函数展开成幂级数48191

1、两类问题: 在收敛域内和函数)(xsnnnxa0幂级数求 和展 开本节内容本节内容:一、泰勒一、泰勒 ( taylor ) 级数级数 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 第十章 )()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xrn其中)(xrn( 在 x 与 x0 之间)称为拉格朗日余项拉格朗日余项 .10) 1()(! ) 1()(nnxxnf则在若函数0)(xxf在的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 ,该邻域内有 :)(0 xf)(00 xxxf200)(!

2、2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(为f (x) 的泰勒级数泰勒级数 . 则称当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数麦克劳林级数 .1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?待解决的问题待解决的问题 : :若函数的某邻域内具有任意阶导数, 0)(xxf在各阶导数, )(0 x则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足:.0)(limxrnn证明证明:,)(!)()(000)(nnnxxnxfxf令)()()(1xrxsxfnn)(limxrnn)()(lim1xsxfnn,0)(

3、0 xxknkknxxkxfxs)(!)()(000)(1)(0 xx设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.证证: 设 f (x) 所展成的幂级数为),(,)(2210rrxxaxaxaaxfnn则;2)(121nnxnaxaaxf)0(1fa;) 1(!2)(22 nnxannaxf)0(!212fa ;!)()(nnanxf)0()(!1nnnfa 显然结论成立 .)0(0fa 1. 直接展开法直接展开法由泰勒级数理论可知, 展开成幂级数的步函数)(xf第一步 求函数及其各阶导数在

4、 x = 0 处的值 ;第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 r ; 第三步 判别在收敛区间(r, r) 内)(limxrnn是否为骤如下 :展开方法展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知其级数展开式0. 的函数展开1. 将函数xexf)(展开成 x 的幂级数. 解解: ,)()(xnexf), 1 ,0(1)0()(nfn1其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 )(xrne! ) 1( n1nxxe! ) 1(1nxn故,!1!31!21132nxxnxxxenrlim!1n! ) 1(1nn0),(x( 在0与x 之间)x2!21x3!31xnxn!1故得

5、级数 将xxfsin)(展开成 x 的幂级数.解解: )()(xfn)0()(nf得级数:x)sin(2 nx其收敛半径为 ,r对任何有限数 x , 其余项满足 )(xrn) 1(sin(2 n! ) 1( n1nx! ) 1(1nxn12kn),2, 1,0(k3!31x5!51x12! ) 12(11) 1(nnnx),(xxsinn0kn2,) 1(k,012! ) 12(115!513!31) 1(nnnxxxxnnxnxxx2142! )2(1) 1(!41!211cos类似可推出:),(x),(x12153! ) 12(1) 1(!51!31sinnnxnxxxx例3. 将函数mx

6、xf)1 ()(展开成 x 的幂级数, 其中m为任意常数 . 解解: 易求出 , 1)0(f,)0(mf, ) 1()0( mmf, ) 1()2)(1()0()(nmmmmfn于是得 级数 mx12!2) 1(xmm由于1limnnnaarnmnn1lim1nxnnmmm!) 1() 1(级数在开区间 (1, 1) 内收敛. 因此对任意常数 m, 11, )(xxf2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(1! ) 1() 1() 1(111)(nxnnmmxmmxfxmxf1)()()1 (xfx),(xmfmxxf)1 ()(xxxxmxxfxf00d1d)()()1ln()0

7、(ln)(lnxmfxf1)0(f推导推导则为避免研究余项 , 设此级数的和函数为2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(xmxm1)1 ()11(x称为二项展开式二项展开式 .说明：说明：(1) 在 x1 处的收敛性与 m 有关 .(2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理二项式定理.由此得 对应1,2121m的二项展开式分别为xx21112421x364231x)11(x48642531x111 x24231x3642531x)11(x486427531xx21111 x2x3x)11(xnnx) 1(x) 11(1112xxx

8、xxn211x x11利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 例例4. 将函数展开成 x 的幂级数.解解: 因为nnxxx) 1(12)11(x把 x 换成2x211xnnxxx242) 1(1)11(x, 得将所给函数展开成 幂级数. 将函数)1ln()(xxf展开成 x 的幂级数.解解: xxf11)()11() 1(0 xxnnn从 0 到 x 积分, 得xxxxnnnd) 1()1ln(00,1) 1(01nnnxn定义且连续, 区间为.11x利用此题可得11) 1(41312112lnnn11x11x上式右端的幂级数在 x 1 收敛 ,有在而1)1ln(xx所以展开式对 x 1

9、 也是成立的,于是收敛6. 将xsin展成4x解解: )(sinsin44xx)sin(cos)cos(sin4444xx)sin()cos(4421xx2132)4(!31)4(!21)4(121xxx)(x的幂级数. 2)4(!21x4)4(!41x1)4(x3)4(!31x5)4(!51x将3412 xx展成 x1 的幂级数. 解解: )3)(1(13412xxxx)3(21)1 (21xx 14121x 4121x222) 1(xnnnx2) 1() 1( 81141x224) 1(xnnnx4) 1() 1(nnnnnx) 1(2121) 1(3220)31(x)21(x 18141x11. 函数的幂级数展开法(1) 直接展开法 利用泰勒公式 ;(2) 间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开2. 常用函数的幂级数展开式xe1),(x)1 (lnxx1, 1(xx2!21x,!1nxn221x331x441x11) 1(nnxn式的函数 .! ) 12() 1(12nxnnxsinx!33x!55x!77xxcos1!22x!44x!66x! )2() 1(2nxnnmx)1 ( 1xm2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(当 m = 1 时x11,) 1(132nnxxxx),(x),(x) 1, 1(x) 1, 1(x作业