不定积分的计算

1、第二节第二节 不定积分的计算不定积分的计算一、第一类换元法一、第一类换元法二、第二类换元法二、第二类换元法三、分部积分法三、分部积分法设设)(uf具具有有原原函函数数)(uf， ( )( ) ( )( )( )( ) ( )uxg x dxfxx dxf u duf ucfxc第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）说明说明使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将 dxxg)(化为化为.)()( dxxxf)(xu 可导，可导， 则则有有换换元元公公式式 定理定理1 1一、第一类换元法一、第一类换元法例例1 1 求求.231dxx 1()() ()1 ( )u ax bf axb

2、dxf axb d axbaf u dua一般地，例例2 2 求求2.xxe dx例例3 3 求求.12dxxx 例例4 4 求求.122dxxa 例例5 5 求求221 (0)dx aax例例6 6 求求2221(1).8251(2)441(3)32dxxxdxxxdxxx求求),(12为常数为常数badxbaxx 由例由例6可知可知:24.ab 可由的符号确定,042 badxnmxdxbaxx 22)(11,042 badxmxdxbaxx 22)(11,042 badxnxmxdxbaxx )(112例例7 (1)7 (1) 求求.1dxeexx (2) 求求.11dxex 例例8 8

3、 求求.tan xdx xdxcotcx sinln第二类积分换元公式第二类积分换元公式二、第二类换元法二、第二类换元法112( ),( )( )0( )( ) ( ) ( )( )( )xtttxf x dxftt dtf tcfxc定理 设且可导，此时存在 ，则有1322(1)(1)dxxx例1 求3dxxx例2 求例例3 3 求求解解).0(22 adxxa令令taxsin tdtadxcos dxxa22tdtatacoscos dtta22cos12tax22xa 2,2tdtta 22cosctta )2sin21(22cxaxaxa 22221arcsin2例例4 4 求求解解)

4、.0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecctt tanseclntax22ax caaxax 22ln 2,2t.ln)ln(22caaxx .)ln(22caxx 例例5 5 求求解解.d112xxx 令令txtan 2,2 tttxdsecd2 xxxd112ttttdsectansec2 ttdtansectt1x12 x ttdsin1 tt dcsc.cotcsclnctt .11ln2cxx 例例6 求求解解).0(122 adxax令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec dxax221

5、dttatta tantansec tdtsecctt tanseclntax22ax .ln22caaxax .lnln22caaxx .ln22caxx 再令再令,sectax 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecctt tanseclncaaxax 22lncaxax lnln22.ln22caxx .ln12222caxxdxax 例例7 7 求求解解.d112xxx 令令txsec 2, 0ttttxdtansecd xxxd112tttttdtansectansec tdct t1x12 x.1arccoscx 再令再

6、令,sectx 2, 0t,dtansecdtttx xxxd112tttttdtansectansec tdct t1x 12 x.1arccoscx .|1arccosd112cxxxx 一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22(3),ax可令可令,sintax 22(4),ax可令可令,tantax 22(5),xa可令可令,sectax 2,2t 2,2t 2, 0 t(1),nnaxbtaxb可令1212(2),nnnxxtx nn n,可令为的最小公倍数.两类积分换元法：两类积分换元法： （一）（一）凑微分凑微分（二）（二）三角代换、根式代换三角代换、根式代

7、换 第一类换元积分是把被积函数中的第一类换元积分是把被积函数中的某个函数看做一个新变量某个函数看做一个新变量. 第二类换元积分是把积分变量看做第二类换元积分是把积分变量看做一个函数一个函数.问题问题 ?dxxex解决思路解决思路利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.设设函函数数)(xuu 和和)(xvv 具具有有连连续续导导数数, ,vuvuuv , vuuvvu ,ddxvuuvxvu .dduvuvvu 分部积分公式分部积分公式三、分部积分法三、分部积分法例例1 求积分求积分.d xxex解解,xu ,dvdedxexx dxxex dxexexx.cexexx 分部积分法

8、的关键是正确选择分部积分法的关键是正确选择 和和 . .uv选择选择 和和 的原则是的原则是: :uv1),v 易求2).vduudv比更简单 )(xexd例例2 2 求积分求积分.dcos xxx解（一）解（一） 令令,cos xu vxxxd)d(21d2 xxxdcos xxxxxdsin2cos222显然，显然， 选择不当选择不当，积分更难进行，积分更难进行.vu ,解（二）解（二） 令令,xu vxxxd)sind(dcos xdxxcos )(sin xxd xdxxxsinsin.cossincxxx 例例3 3 求积分求积分.d)1(2 xexx解解, 12 xu,dvdedx

9、exx dxexx)1(2 dxxeexxx2)1(2.)(2)1(2cexeexxxx （再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）,xu dvdxex .)32(2cexxx )()1(2xedx总结总结: 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函数弦函数或幂函数和指数函数的乘积或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函就考虑设幂函数为数为 , 使其降幂一次使其降幂一次(假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数)u且且取取可可采采用用分分部部积积分分 ,.dxv 当当作作被被积积表表达达式式中中其其余余部部分分, )(xpun . )(为为多多项项式式函函数数其其中中xpn,d)

10、( xexpxn ,dsin)( xxxpn xxxpndcos)( 即对即对类型的积分类型的积分例例4 求积分求积分解解令令,arctan xu dvdx xdxarcsin)(arcsinarcsinxdxxx dxxxxx21arcsin.darcsin xxcxxx 21arcsin例例5 求积分求积分2ln d .xx x解解,ln xu 32,3xx dxddv2lnxxdx3211ln33xxx dx3311ln.39xxxc3lnd3xx总结总结: 若被积函数是幂函数和对数函数或幂若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函函数和反三角函数的乘积，就考

11、虑设对数函数或反三角函数为数或反三角函数为 .u且且取取可可采采用用分分部部积积分分 ,.u当当作作被被积积表表达达式式中中其其余余部部分分,d)(dxxpxvn . )(为为多多项项式式函函数数其其中中xpn,darcsin)( xxxpn,darctan)( xxxpn xxxpndln)(即对即对类型的积分类型的积分例例6 6 求积分求积分cos d .xex x总结总结:,可可采采用用分分部部积积分分.dxv 可可把把任任一一项项取取为为.用用解解方方程程方方法法求求得得把把所所求求的的不不定定积积分分一一般般要要连连续续分分部部两两次次再再 若被积函数是正若被积函数是正(余余)弦函数和指数函弦函数和指数函数的乘积数的乘积, xv d 可把任一项取为可把任一项取为,dsin xxex xxexdcos 即对即对类型的积分类型的积分,在接连几次应用分部积分公式时在接连几次应用