高中数学人教A版浙江专版必修4讲义：第二章 2.4 2．4.1　平面向量数量积的物理背景及其含义 含答案

1、人教版高中数学必修精品教学资料 24.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 预习课本预习课本 p103105,思考并完成以下问题思考并完成以下问题 (1)怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同吗？怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同吗？ (2)向量向量 b 在在 a 方向上的投影怎么计算？数量积的几何意义是什么？方向上的投影怎么计算？数量积的几何意义是什么？ (3)向量数量积的性质有哪些？向量数量积的性质有哪些？ (4)向量数量积的运算律有哪些？向量数量积的运算律有哪些？ 新知初探新知初探 1向量的数量积的定义向量的数量积的定义 (1)两个非零向量的数量积：两个非零向量的

2、数量积： 已知条件已知条件 向量向量 a,b 是非零向量是非零向量,它们的夹角为它们的夹角为 定义定义 a 与与 b 的数量积的数量积(或内积或内积)是数量是数量|a|b|cos 记法记法 a b|a|b|cos (2)零向量与任一向量的数量积：零向量与任一向量的数量积： 规定：零向量与任一向量的数量积均为规定：零向量与任一向量的数量积均为 0. 点睛点睛 (1)两向量的数量积两向量的数量积,其结果是数量其结果是数量,而不是向量而不是向量,它的值等于两向量的模与两向它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积量夹角余弦值的乘积,其符号由夹角的余弦值来决定其符号由夹角的余弦值来决定 (2)两个向

3、量的数量积记作两个向量的数量积记作 a b,千万不能写成千万不能写成 ab 的形式的形式 2向量的数量积的几何意义向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念：投影的概念： 向量向量 b 在在 a 的方向上的投影为的方向上的投影为|b|cos . 向量向量 a 在在 b 的方向上的投影为的方向上的投影为|a|cos . (2)数量积的几何意义：数量积的几何意义： 数量积数量积 a b 等于等于 a 的长度的长度|a|与与 b 在在 a 的方向上的投影的方向上的投影|b|cos 的乘积的乘积 点睛点睛 (1)b 在在 a 方向上的投影为方向上的投影为|b|cos ( 是是 a 与与 b 的夹角的夹角

4、),也可以写成也可以写成a b|a|. (2)投影是一个数量投影是一个数量,不是向量不是向量,其值可为正其值可为正,可为负可为负,也可为零也可为零 3向量数量积的性质向量数量积的性质 设设 a 与与 b 都是非零向量都是非零向量, 为为 a 与与 b 的夹角的夹角 (1)aba b0. (2)当当 a 与与 b 同向时同向时,a b|a|b|, 当当 a 与与 b 反向时反向时,a b|a|b|. (3)a a|a|2或或|a| a a a2. (4)cos a b|a|b|. (5)|a b|a|b|. 点睛点睛 对于性质对于性质(1),可以用来解决有关垂直的问题可以用来解决有关垂直的问题,

5、即若要证明某两个向量垂直即若要证明某两个向量垂直,只需只需判定它们的数量积为判定它们的数量积为 0；若两个非零向量的数量积为；若两个非零向量的数量积为 0,则它们互相垂直则它们互相垂直 4向量数量积的运算律向量数量积的运算律 (1)a bb a(交换律交换律) (2)(a) b(a b)a (b)(结合律结合律) (3)(ab) ca cb c(分配律分配律) 点睛点睛 (1)向量的数量积不满足消去律：若向量的数量积不满足消去律：若 a,b,c 均为非零向量均为非零向量,且且 a cb c,但得不到但得不到 ab. (2)(a b) ca (b c),因为因为 a b,b c 是数量积是数量积

6、,是实数是实数,不是向量不是向量,所以所以(a b) c 与向量与向量 c 共共线线,a (b c)与向量与向量 a 共线共线,因此因此,(a b) ca (b c)在一般情况下不成立在一般情况下不成立 小试身手小试身手 1判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确(正确的打正确的打“”“”,错误的打错误的打“”“”) (1)两个向量的数量积仍然是向量两个向量的数量积仍然是向量( ) (2)若若 a bb c,则一定有则一定有 ac.( ) (3)若若 a,b 反向反向,则则 a b|a|b|.( ) (4)若若 a b0,则则 ab.( ) 答案：答案：(1) (2) (3) (4) 2若若|

7、a|2,|b|12,a 与与 b 的夹角为的夹角为 60,则则 a b( ) a2 b.12 c1 d.14 答案：答案：b 3已知已知|a|10,|b|12,且且(3a) 15b 36,则则 a 与与 b 的夹角为的夹角为( ) a60 b120 c135 d150 答案：答案：b 4已知已知 a,b 的夹角为的夹角为 ,|a|2,|b|3. (1)若若 135,则则 a b_； (2)若若 ab,则则 a b_； (3)若若 ab,则则 a b_. 答案：答案：(1)3 2 (2)6 或或6 (3)0 向量数量积的运算向量数量积的运算 典例典例 (1)已知向量已知向量 a 与与 b 的夹角

8、为的夹角为 120,且且|a|4,|b|2,求：求：a b; (ab) (a2b) (2)如图如图,正三角形正三角形 abc的边长为的边长为 2,abc,bca,cab,求求 a bb cc a. 解解 (1)由已知得由已知得 a b|a|b|cos 42cos 1204. (ab) (a2b)a2a b2b216(4)2412. (2)|a|b|c| 2,且且 a 与与 b,b 与与 c,c 与与 a 的夹角均为的夹角均为 120, a bb cc a 2 2cos 12033. 向量数量积的求法向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角首

9、先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两向量的其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键夹角是求数量积的关键 (2)根据数量积的运算律根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法 运算运算 活学活用活学活用 已知已知|a|3,|b|4,a 与与 b 的夹角为的夹角为 120,求：求： (1)a b；(2)a2b2； (3)(2ab) (a3b) 解解：(1)a b|a|b|cos 12034 126. (2)a2b2|a|2|b|232427. (3)(2ab) (a3b)2a25a b3b2 2|a|25|a|b|

10、cos 1203|b|2 232534 1234260. 与向量的模有关的问题与向量的模有关的问题 典例典例 (1)(浙江高考浙江高考)已知已知 e1,e2是平面单位向量是平面单位向量,且且 e1 e212.若平面向量若平面向量 b 满足满足 b e1b e21,则则|b|_. (2)已知向量已知向量 a,b 的夹角为的夹角为 45,且且|a|1,|2ab| 10,则则|b|_. 解析解析 (1)令令 e1与与 e2的夹角为的夹角为 , e1 e2|e1| |e2|cos cos 12. 又又 0180,60. b (e1e2)0, b 与与 e1,e2的夹角均为的夹角均为 30, b e1|

11、b|e1|cos 301, 从而从而|b|1cos 302 33. (2)a,b 的夹角为的夹角为 45,|a|1, a b|a|b|cos 4522|b|, |2ab|24422|b|b|210,|b|3 2. 答案答案 (1)2 33 (2)3 2 求向量的模的常见思路及方法求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系与向量数量积联系,并灵活应用并灵活应用 a2|a|2,勿忘记开勿忘记开方方 (2)a aa2|a|2或或|a| a2,可以实现实数运算与向量运算的相互转化可以实现实数运算与向量运算的相互转化 活学活用活学活用 已

12、知向量已知向量 a,b 满足满足|a|b|5,且且 a 与与 b 的夹角为的夹角为 60,求求|ab|,|ab|,|2ab|. 解：解：|ab|2(ab)2(ab)(ab) |a|2|b|22a b25252|a|b|cos 60 502551275, |ab|5 3. |ab|2(ab)2(ab)(ab) |a|2|b|22a b |a|2|b|22|a|b|cos 6025, |ab|5. |2ab|2(2ab)(2ab) 4|a|2|b|24a b 4|a|2|b|24|a|b|cos 60175, |2ab|5 7. 两个向量的夹角和垂直两个向量的夹角和垂直 题点一：求两向量的夹角题点

13、一：求两向量的夹角 1(重庆高考重庆高考)已知非零向量已知非零向量 a,b 满足满足|b|4|a|,且且 a(2ab),则则 a 与与 b 的夹角为的夹角为( ) a.3 b.2 c.23 d.56 解析：解析：选选 c a(2ab),a (2ab)0, 2|a|2a b0, 即即 2|a|2|a|b|cosa,b0. |b|4|a|,2|a|24|a|2cosa,b0, cosa,b12,a,b23. 题点二：证明两向量垂直题点二：证明两向量垂直 2已知向量已知向量 a,b 不共线不共线,且且|2ab|a2b|,求证：求证：(ab)(ab) 证明：证明：|2ab|a2b|, (2ab)2(a

14、2b)2. 即即 4a24a bb2a24a b4b2, a2b2. (ab) (ab)a2b20. 又又 a 与与 b 不共线不共线,ab0,ab0, (ab)(ab) 题点三：利用夹角和垂直求参数题点三：利用夹角和垂直求参数 3已知已知 ab,|a|2,|b|3 且向量且向量 3a2b 与与 kab 互相垂直互相垂直,则则 k 的值为的值为( ) a32 b.32 c32 d1 解析：解析：选选 b 3a2b 与与 kab 互相垂直互相垂直, (3a2b) (kab)0, 3ka2(2k3)a b2b20. ab,a b0, 又又|a|2,|b|3, 12k180,k32. 求向量求向量

15、a 与与 b 夹角的思路夹角的思路 (1)求向量夹角的关键是计算求向量夹角的关键是计算 a b 及及|a|b|,在此基础上结合数量积的定义或性质计算在此基础上结合数量积的定义或性质计算 cos a b|a|b|,最后借助最后借助 0,求出求出 的值的值 (2)在个别含有在个别含有|a|,|b|与与 a b 的等量关系式中的等量关系式中,常利用消元思想计算常利用消元思想计算 cos 的值的值 层级一层级一 学业水平达标学业水平达标 1已知向量已知向量 a,b 满足满足|a|1,|b|4,且且 a b2,则则 a 与与 b 的夹角的夹角 为为( ) a.6 b.4 c.3 d.2 解析：解析：选选

16、 c 由题意由题意,知知 a b|a|b|cos 4cos 2,又又 0,所以所以 3. 2已知已知|b|3,a 在在 b 方向上的投影为方向上的投影为32,则则 a b 等于等于( ) a3 b.92 c2 d.12 解析：解析：选选 b 设设 a 与与 b 的夹角为的夹角为 .|a|cos 32, a b|a|b|cos 33292. 3已知已知|a|b|1,a 与与 b 的夹角是的夹角是 90,c2a3b,dka4b,c 与与 d 垂直垂直,则则 k 的值为的值为( ) a6 b6 c3 d3 解析：解析：选选 b c d0, (2a3b) (ka4b)0, 2ka28a b3ka b1

17、2b20, 2k12,k6. 4已知已知 a,b 满足满足|a|4,|b|3,夹角为夹角为 60,则则|ab|( ) a37 b13 c. 37 d. 13 解析解析：选选 c |ab| ab 2a22a bb2 42243cos 60 32 37. 5在四边形在四边形 abcd 中中,abdc,且且acbd0,则四边形则四边形 abcd 是是( ) a矩形矩形 b菱形菱形 c直角梯形直角梯形 d等腰梯形等腰梯形 解析：解析： 选选 b abdc,即一组对边即一组对边bd平行且相等平行且相等,acbd0,即对角线互相垂即对角线互相垂直直,四边形四边形 abcd 为菱形为菱形 6给出以下命题：给

18、出以下命题： 若若 a0,则对任一非零向量则对任一非零向量 b 都有都有 a b0； 若若 a b0,则则 a 与与 b 中至少有一个为中至少有一个为 0； a 与与 b 是两个单位向量是两个单位向量,则则 a2b2. 其中其中,正确命题的序号是正确命题的序号是_ 解析：解析： 上述三个命题中只有上述三个命题中只有正确正确,因为因为|a|b|1,所以所以 a2|a|21,b2|b|21,故故 a2b2.当非零向量当非零向量 a,b 垂直时垂直时,有有 a b0,显然显然错误错误 答案：答案： 7设设 e1,e2是两个单位向量是两个单位向量,它们的夹角为它们的夹角为 60,则则(2e1e2) (

19、3e12e2)_. 解析：解析：(2e1e2) (3e12e2)6e217e1 e22e2267cos 60292. 答案：答案：92 8若若|a|1,|b|2,cab,且且 ca,则向量则向量 a 与与 b 的夹角为的夹角为_ 解析解析：ca,c a0, (ab) a0,即即 a2a b0. |a|1,|b|2,12cosa,b0, cosa,b12. 又又0a,b180,a,b120. 答案答案：120 9已知已知 e1与与 e2是两个夹角为是两个夹角为 60的单位向量的单位向量,a2e1e2,b2e23e1,求求 a 与与 b 的的 夹角夹角 解：解：因为因为|e1|e2|1, 所以所以

20、 e1 e211cos 6012, |a|2(2e1e2)2414e1 e27,故故|a| 7, |b|2(2e23e1)24912e1 e27,故故|b| 7, 且且 a b6e212e22e1 e2621272, 所以所以 cosa,ba b|a| |b|727 712, 所以所以 a 与与 b 的夹角为的夹角为 120. 10已知已知|a|2|b|2,且向量且向量 a 在向量在向量 b 方向上的投影为方向上的投影为1. (1)求求 a 与与 b 的夹角的夹角 ； (2)求求(a2b) b； (3)当当 为何值时为何值时,向量向量 ab 与向量与向量 a3b 互相垂直？互相垂直？ 解：解：

21、(1)|a|2|b|2, |a|2,|b|1. 又又 a 在在 b 方向上的投影为方向上的投影为|a|cos 1, a b|a|b|cos 1. cos 12,23. (2)(a2b) ba b2b2123. (3)ab 与与 a3b 互相垂直互相垂直, (ab) (a3b)a23a bb a3b2 4313740,47. 层级二层级二 应试能力达标应试能力达标 1已知已知|a|2,|b|1,且且 a 与与 b 的夹角为的夹角为3,则向量则向量 ma4b 的模为的模为( ) a2 b2 3 c6 d12 解析：解析：选选 b |m|2|a4b|2a28a b16b24821121612,所以所

22、以|m|2 3. 2在在 rtabc 中中,c90,ac4,则则abac等于等于( ) a16 b8 c8 d16 解析：解析：选选 d 法一：法一：因为因为 cos aacab,故故abac|ab| |ac|cos a|ac|216,故故选选 d. 法二：法二：ab在在 ac上的投影为上的投影为|ab|cos a|ac|,故故abac|ac|ab|cos a|ac|216,故选故选 d. 3已知向量已知向量 a,b 满足满足|a|1,|b|2,且且 a 在在 b 方向上的投影与方向上的投影与 b 在在 a 方向上的投影相等方向上的投影相等,则则|ab|( ) a1 b. 3 c. 5 d3

23、解析：解析：选选 c 由于投影相等由于投影相等,故有故有|a|cosa,b|b|cosa,b,因为因为|a|1,|b| 2,所以所以 cosa,b0,即即 ab,则则|ab|a|2|b|22a b 5. 4.如图如图,在边长为在边长为 2的菱形的菱形 abcd中中,bad60,e为为 bc的中点的中点,则则aebd( ) a3 b0 c1 d1 解析：解析：选选c aebd错误错误! ! (adab) 12abad|ab|212|ad|2 1222cos 602212221. 5设向量设向量 a,b,c 满足满足 abc0,(ab)c,ab,若若|a|1,则则|a|2|b|2|c|2的值是的值是_ 解析：法一：解析：法一：由由 abc0 得得 cab. 又又(ab) c0,(ab) (ab)0,即即 a2b2. 则则 c2(ab)2a2b22a ba2b22, |a|2|b|2|c|24. 法二：法二：如图如图,作作abbda, bcb,则则cac. ab,abbc, 又又abbdbccd, (ab)c,cdca, 所以所以abc 是等腰直角三角形是等腰直角三角形, |a|1,|b|1,|c| 2,|a|2|b|2|c|24. 答案：答案：4