定积分习题课

1、2问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程存在定理存在定理广义积分广义积分定积分定积分定积分定积分的性质的性质定积分的定积分的计算法计算法牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(afbfdxxfba 一、主要内容一、主要内容31 1、问题的提出、问题的提出实例实例1 （求曲边梯形的面积（求曲边梯形的面积a）iniixfa )(lim10 曲曲边边梯梯形形 由由连连续续曲曲线线)(xfy )0)( xf、x轴与两条直线轴与两条直线ax 、bx 所所围围成成.4实例实例2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）iniitv

2、s )(lim10 设某物体作直线运动，已知速度设某物体作直线运动，已知速度)(tvv 是时间是时间间隔间隔,21tt上上t的一个连续函数，且的一个连续函数，且0)( tv，求，求物体在这段时间内所经过的路程物体在这段时间内所经过的路程 s.方法方法:分割、近似、求和、取极限分割、近似、求和、取极限.52 2、定积分的定义、定积分的定义设函数设函数)(xf在在,ba上有界，上有界，在在,ba中任意中任意若干若干个分点若干若干个分点bxxxxxann 1210把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，), 2 , 1( i，在各小区间

3、上任取在各小区间上任取一点一点i （iix ），），定义定义,12110nnxxxxxx 6怎怎样样的的分分法法， baidxxf)(iinixf )(lim10 .也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上的的取取法法，只只要要当当0 时时，和和s总总趋趋于于确定的极限确定的极限i，在区间在区间,ba上的上的定积分定积分，记为记为记记,max21nxxx ，如如果果不不论论对对,ba我们称这个极限我们称这个极限i为函数为函数)(xf作作乘乘积积iixf )( ), 2 , 1( i点点i 怎怎样样并并作作和和iinixfs )(1 ，7可积的两个可积的两个条件：条件： 当当函函数数)(x

4、f在在区区间间,ba上上连连续续时时，定理定理1定理定理2 设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上有界，上有界，称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积.且只有有限个间断点，则且只有有限个间断点，则)(xf在区间在区间,ba上可积上可积.3 3、存在定理、存在定理84 4、定积分的性质、定积分的性质 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(性质性质1 babadxxfkdxxkf)()( (k为常数为常数)性质性质2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(假假设设bca 性质性质39 则则0)( dxxfba )(ba 性质性质5如果在区间如果在区间,ba上

5、上0)( xf，推论：推论：则则dxxfba )( dxxgba )( )(ba 如果在区间如果在区间,ba上上)()(xgxf ，（1）dxxfba )(dxxfba )()(ba （2）dxba 1dxba ab 性质性质410如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间,ba上连续，上连续，则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ， 使使dxxfba )()(abf )(ba 性质性质7 (定积分中值定理定积分中值定理)设设m及及m分别是函数分别是函数 则则 )()()(abmdxxfabmba . )(xf在在区区间间,ba性质性质6上上的的最最大大值值及及最最小小

6、值值，积分中值公式积分中值公式115 5、牛顿、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 如果如果)(xf在在,ba上连续，则积分上限的函数上连续，则积分上限的函数dttfxxa )()(在在,ba上具有导数，且它的导数上具有导数，且它的导数是是 )()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 定理定理1定理定理2（原函数存在定理）（原函数存在定理） 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一个个原原函函数数. 12定理定理 3（微积分基本公式）（微积分基本公式） 如果如果)(xf是连续函数是连续函数)(xf在区

7、间在区间,ba上的一个原函数，则上的一个原函数，则 )()()(afbfdxxfba .)()(babaxfdxxf 也可写成也可写成牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式.,:上上的的增增量量它它的的任任一一原原函函数数在在区区间间上上的的定定积积分分等等于于一一个个连连续续函函数数在在区区间间表表明明baba136 6、定积分的计算法、定积分的计算法 dtttfdxxfba )()()(换元公式换元公式（1）换元法）换元法（2）分部积分法）分部积分法分部积分公式分部积分公式 bababavduuvudv14、广义积分、广义积分(1)无穷限的广义积分无穷限的广义积分 adxxf)( babdxxf

8、)(lim当极限存在时，称广义积分当极限存在时，称广义积分收敛收敛；当极限不存在；当极限不存在时，称广义积分时，称广义积分发散发散. bdxxf)( baadxxf)(lim15(2)无界函数的广义积分无界函数的广义积分 badxxf)( badxxf )(lim0当极限存在时，称广义积分当极限存在时，称广义积分收敛收敛；当极限不存在；当极限不存在时，称广义积分时，称广义积分发散发散. badxxf)( badxxf)(lim0 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim016二、与定积分概念有关的问题的解法二、与定积分概念有关的问

9、题的解法1. 用定积分概念与性质求极限用定积分概念与性质求极限2. 用定积分性质估值用定积分性质估值3. 与变限积分有关的问题与变限积分有关的问题17三、有关定积分计算和证明的方法三、有关定积分计算和证明的方法1. 熟练运用定积分计算的常用公式和方法熟练运用定积分计算的常用公式和方法2. 注意特殊形式定积分的计算注意特殊形式定积分的计算3. 利用各种积分技巧计算定积分利用各种积分技巧计算定积分4. 有关定积分命题的证明方法有关定积分命题的证明方法思考思考: 下列作法是否正确下列作法是否正确?xxx1d1112 112 xxd111132 )(32xt 令令0d23112111 ttt18四、典

10、型例题四、典型例题(1)(1)例例1. 求求.d1lim10 xeexxxnn 例例2. 求求 nnnnnnnnin1sin212sin1sinlim 例例3.d411032xxx 估计下列积分值估计下列积分值例例4. 证明证明.2d222042exeexx 例例5.设设)(xf在在 1 ,0上是单调递减的连续函数上是单调递减的连续函数， 试证试证 1 ,0 q都有不等式都有不等式明对于任何明对于任何 100d)(d)(xxfqxxfq19例例1. 求求.d1lim10 xeexxxnn 解解: 因为因为1,0 x时时,xxneex 10所以所以xeexxxnd110 0 xxnd10 11

11、n利用夹逼准则得利用夹逼准则得0d1lim10 xeexxxnn,nx 20因为因为 依赖于依赖于且且1) 思考例思考例1下列做法对吗下列做法对吗 ?利用积分中值定理利用积分中值定理, eenn 1lim原式原式0 不对不对 ! ,n.10 说明说明: 2) 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 . px 11ppxx 11)10( x1 px1 如如, p265 题题421 nnnnnnnnin1sin212sin1sinlim 解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和： nkknnk11sin 已知已知,

12、2dsin1sinlim101 xxnnknkn利用利用夹逼准则夹逼准则可知可知.2 i nknnknn11sin1 nknnk11sin (考研考研98 ) 11lim nnn例例2. 求求22思考思考: : nnnnnnjn1sin212sinlim 提示提示: :由上题由上题1sinlim nnijn 11)1(sin nnnn ? 11)1(sinlim nnnnn 2 2 21sin212sin1sinlim nnnnnnnnin00 故故23练习练习: 1.求极限求极限).21(lim22222nnnnnnnn 解：解：原式原式nn1lim nini12)(11xxd11102 4

13、 2. 求极限求极限).2212(lim12121nnnnnnnnn 提示提示：原式原式nn1lim nini121lim nnn nini12n1 xxd210 2ln1 11lim nn nini12左边左边= 右边右边24例例3.d411032xxx 估计下列积分值估计下列积分值解解: 因为因为1 ,0 x3241xx 41,412x xxxd411032 xd2110 xxd41102 即即xxxd411032 216 25例例4. 证明证明证证: 令令,)(2xxexf 则则xxexxf 2)12()(令令,0)( xf得得,21 x,1)0( f,41)21(ef 2)2(ef ,

14、1)(min42,0exf 22,0)(maxexf 故故22042d22exeexx .2d222042exeexx 26例例5.设设)(xf在在 1 ,0上是单调递减的连续函数上是单调递减的连续函数， 试证试证 1 ,0 q都有不等式都有不等式证明证明：显然显然1,0 qq时结论成立时结论成立.(用积分中值定理用积分中值定理) qxxf0d)( 10d)(xxfq qxxfq0d)()1( 1d)(qxxfq)1(q )(1 fq q )()1(2 fq , 01q 1 ,2q 10 q当当时时,)()()1(21 ffqq 故所给不等式成立故所给不等式成立 .明明:对于任何对于任何 10

15、0d)(d)(xxfqxxfq0 27四、典型例题四、典型例题(2)(2)例例6 6.2sin120 dxx求求例例7 7.cossinsin20 dxxxx求求例例8 8.12ln02 dxex求求例例9 9.2sinln40 xdx求求例例1010. )1(ln1sin212128 dxxxx求求例例11. 选择一个常数选择一个常数 c , 使使例例1212.,1min222 dxxx求求例例1313.)()1(,)(102022 dxxfxdyexfxyy求求设设0d)(cos)(99 xcxcxba28例例6 6解解.2sin120 dxx求求 20cossindxxx原式原式 244

16、0)cos(sin)sin(cosdxxxdxxx. 222 2 yox4 xsinxcos29例例7 7解解.cossinsin20 dxxxx求求,cossinsin20 dxxxxi由由,cossincos20 dxxxxj设设,220 dxji则则 20cossincossindxxxxxji 20cossin)sin(cosxxxxd. 0 ,22 i故得故得.4 i即即30例例8 8解解.12ln02 dxex求求,sintex 令令.sincos,sinlndtttdxtx 则则 62)sincos(cosdtttt原式原式 262sincosdtttxt02ln2 6 2626

17、sinsintdttdt.23)32ln( 31例例9 9解解.2sinln40 xdx求求,2tx 令令.sinln212sinln2040 tdtxdxi 402sinlnxdxi 40)cossin2ln(dxxx 40)coslnsinln2(lndxxx 2440sinlnsinln2ln4xdxxdx 20sinln2ln4xdxi22ln4 . 2ln4 iux 2 令令32例例1010122182sinln (1).1xx dxx 求求解解dxx 2121)1ln(0原式原式dxxdxx 210021)1ln()1ln(.21ln23ln23 33tttcbcadcos99 例

18、例11. 选择一个常数选择一个常数 c , 使使0d)(cos)(99 xcxcxba解解: 令令,cxt 则则xcxcxbad)(cos)(99 因为被积函数为奇函数因为被积函数为奇函数 , 故选择故选择 c 使使)(cbca 即即2bac 可使原式为可使原式为 0 .34例例1212.,1min222 dxxx求求解解 1,11,1min22xxxxxx是偶函数是偶函数,dxxx,1min2220 原式原式 21102122dxxdxx. 2ln232 35例例13. 设设,d)(022yexfxyy 解解: .d)()1(102xxfx 求求xxfxd)()1(102 013)()1(3

19、1xfx xxfxd)()1(31103 xexxxd)1(3110232 2101)1(2)1d()1(612 xexx)1(2 xu令令 10d6ueueu01)1(6ueue )2(61 e36四、典型例题四、典型例题(3)(3)例例1414例例1515.cos1)(sin2cos1)(sin:, 0)(0202 dxxxfdxxxxfxf证明证明上连续上连续在在设设例例1616.)()()(. 0)(,)(2abxfdxdxxfxfbaxfbaba 证明证明上连续，且上连续，且在区间在区间设设.123)2(;94)1(:2122 xxxdxxxdx求下列广义积分求下列广义积分37例例1

20、414.cos1)(sin2cos1)(sin:, 0)(0202 dxxxfdxxxxfxf证明证明上连续上连续在在设设证证, tx 令令)(cos1)(sin)(02dtttft 左边左边,dtdx dxxxfx 02cos1)(sin)(dxxxxfdxxxf 0202cos1)(sincos1)(sin.cos1)(sin2cos1)(sin0202dxxxfdxxxxf 38例例1515.)()()(. 0)(,)(2abxfdxdxxfxfbaxfbaba 证明证明上连续，且上连续，且在区间在区间设设证证作辅助函数作辅助函数,)()()()(2axtfdtdttfxfxaxa )(

21、2)(1)()(1)()(axxfdttfdttfxfxfxaxa ,2)()()()( xaxaxadtdtxftfdttfxf390)2)()()()()( dtxftftfxfxfxa即即2)()()()( xftftfxf, 0)( xf.)(单调增加单调增加xf, 0)( af又又, 0)()( afbf.)()()(2abxfdxdxxfbaba 即即40例例1616.123)2(;94)1(:2122 xxxdxxxdx求下列广义积分求下列广义积分解解 (1) 02029494xxdxxxdx原式原式 bbaaxdxxdx02025)2(lim5)2(limbbaaxx0052a

22、rctan51lim52arctan51lim .5 41(2),1231lim)(lim211 xxxxfxx.)(1的瑕点的瑕点为为xfx 2120123lim xxxdx原式原式)11(2)11(lim21220 xxd210211arcsinlim x.43arcsin2 42四、典型例题四、典型例题(4)(4),3)1(,0)( fxxf处连续处连续在在已知已知且由方程且由方程 xyyxttfyttfxttf111d)(d)(d)(确定确定 y 是是 x 的函数的函数 , 求求. )(xf例例17. .例例18. .ttttfxfxdcos2sin)()(02 求可微函数求可微函数

23、f (x) 使满足使满足例例19. . 求多项式求多项式 f (x) 使它满足方程使它满足方程 10302d)1(d)(xxttfttxfx例例20. . 证明恒等式证明恒等式)20(4darccosdarcsin22cos0sin0 xttttxx43例例17.解解：,3)1(,0)( fxxf处连续处连续在在已知已知且由方程且由方程 xyyxttfyttfxttf111d)(d)(d)(确定确定 y 是是 x 的函数的函数 , 求求. )(xf方程两端对方程两端对 x 求导求导, 得得)(yxf yttf1d)(yyfx )( xttfy1d)()(xfy )(yxy 令令 x = 1,

24、得得)1(d)()(1fyttfyyfy 再对再对 y 求导求导, 得得)1(1)(fyyf y3 cyyf ln3)(,3,1 cy得得令令3ln3)( xxf故故44例例18.ttttfxfxdcos2sin)()(02 求可微函数求可微函数 f (x) 使满足使满足解解: 等式两边对等式两边对 x 求导求导, 得得)()(2xfxf xxxfcos2sin)( 不妨设不妨设 f (x)0,则则xxxfcos2sin21)( xxfxfd)()( xxxdcos2sin21cx )cos2ln(2145注意注意 f (0) = 0, , 得得3ln21 c3ln21)cos2ln(21)(

25、 xxfxcos23ln21 ttttfxfxdcos2sin)()(02 cxxf )cos2ln(21)(46例例19. 求多项式求多项式 f (x) 使它满足方程使它满足方程解解: 令令, txu 10302d)1(d)(xxttfttxfx则则 10d)(ttxf xuufx0d)(1代入代入原方程得原方程得 xuuf0d)( xttfx0d)1(242xx 两边求导两边求导:)(xf xttf0d)1()1( xfxxx443 )(xf )1(2 xf)1( xfx4122 x可见可见 f (x) 应为二次多项式应为二次多项式 , 设设cbxaxxf 2)(代入代入 式比较同次幂系数

26、式比较同次幂系数 , 得得. 1,4,3 cba故故143)(2 xxxf再求导再求导:47例例20. 证明恒等式证明恒等式)20(4darccosdarcsin22cos0sin0 xttttxx证证: 令令ttttxfxxdarccosdarcsin)(22cos0sin0 则则 )(xfxxxcossin2xxxcossin2 因此因此, )0()(2 xcxf又又 )4( fttttdarccosdarcsin212100 tttdarccosarcsin210 dt2210 4 故所证等式成立故所证等式成立 .0 48例例21.,0)(,)(, )( xgbaxgxf且且上连续上连续

27、在在设设试证试证, ),(ba 使使 baxxfd)( baxxgd)()()( gf 分析分析: 要证要证0d)()(d)()( babaxxgfxxfg 即即 xaxxgd)( baxxfd)( xaxxfd)( baxxgd)( x0 故作辅助函数故作辅助函数 baxabaxaxxgxxfxxfxxgxfd)(d)(d)(d)()(至少存在一点至少存在一点49证明证明: 令令 baxabaxaxxgxxfxxfxxgxfd)(d)(d)(d)()()(, )(xgxf因因在在,ba上连续上连续,)(上连续上连续在在故故baxf在在,),(内可导内可导ba, 0)()( bfaf且且至少至

28、少, ),(ba 使使,0)( f即即0d)()(d)()( babaxxgfxxfg 因在因在,ba上上)(xg连续且不为连续且不为0 ,0d)( baxxg从而不变号从而不变号,因此因此故所证等式成立故所证等式成立 .故由罗尔定理知故由罗尔定理知 ,存在一点存在一点50思考思考: 本题能否用柯西中值定理证明本题能否用柯西中值定理证明 ? ?如果能如果能, 怎样设辅助函数怎样设辅助函数?),(ba baxxfd)( baxxgd)(,)()( gf 要证要证: xattfxfd)()( xattgxgd)()(提示提示: 设辅助函数设辅助函数 51例例22. .设函数设函数 f (x) 在在

29、a, b 上连续上连续,在在(a, b) 内可导内可导, 且且 . 0)( xf:,)2(lim证明证明存在存在若若axaxfax (1) 在在(a, b) 内内 f (x) 0 ; (2) 在在(a, b) 内存在点内存在点 , 使使 )(2d)(22 fxxfabba (3) 在在(a, b) 内存在与内存在与 相异的点相异的点 , 使使 baxxfaabfd)(2)(22 (03考研考研) 52证证: (1) ,)2(lim存在存在axaxfax ,0)2(lim axfax由由 f (x)在在a, b上连续上连续, 知知 f (a) = 0. ，又又0)( xf所以所以f (x) 在在

30、(a, b)内单调增内单调增, 因此因此 ),(, 0)()(baxafxf (2) 设设)(d)()(,)(2bxaxxfxgxxfxa , 0)()( xfxg则则)(),(xgxf故故满足柯西中值定理条件满足柯西中值定理条件, 于是存在于是存在 使使),(ba aabattfttfabagbgafbfd)(d)()()()()(22 xxattfxd)()(253即即 )(2d)(22 fttfabba (3) 因因 0)()( ff)()(aff 在在a, 上用拉格朗日中值定理上用拉格朗日中值定理),(),( )( aaf 代入代入(2)中结论得中结论得)(2d)(22afttfabb

31、a 因此得因此得 baxxfaabfd)(2)(22 5423.(0123.(01，)设设)(xf在在 上连续，在上连续，在 可导，可导，1,0)1,0(且满足且满足dxxfefx)(3)1(21310 证明：存在证明：存在 ，使得，使得)1,0( )(2)( ff 24.(0124.(01，) 设设dxxxannnnn 123110则极限则极限 nnanlim1)1(231 e25.(0425.(04，)设设,tan401dxxxi ,tan402dxxxi 则则1)(21 iia211)(iib 1)(12 iic121)(iid 5526.设函数设函数 在区间上在区间上 的图形为的图形为： yf x1,3( )f xx1-2023-1o则函数 0 xf xf t dt的图形为（ ） a( )f xx0231-2-11 b( )f xx0231-2-11 c( )f xx0231-11 d( )f xx0231-2-11. 56( )yf x 3, 2 , 2,3 2,0 , 0,20( )( ) ,xf xf t dt. a(3)f3( 2)4f .b(3)f5(2)4f.c(