高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式学案新人教A版必修4

1、人教版高中数学必修精品教学资料3.1.1两角差的余弦公式学习目标：1.了解两角差的余弦公式的推导过程(重点)2.理解用向量法导出公式的主要步骤(难点)3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计算(重点、易混点)自 主 预 习·探 新 知两角差的余弦公式公式cos()cos_cos_sin_sin_适用条件公式中的角,都是任意角公式结构公式右端的两部分为同名三角函数积,连接符号与左边角的连接符号相反基础自测1思考辨析(1)cos(60°30°)cos 60°cos 30°.()(2)对于任意实数,cos()cos cos

2、 都不成立()(3)对任意,r,cos()cos cos sin sin 都成立()(4)cos 30°cos 120°sin 30°sin 120°0.()解析(1)错误cos(60°30°)cos 30°cos 60°cos 30°.(2)错误当45°,45°时,cos()cos(45°45°)cos(90°)0,cos cos cos(45°)cos 45°0,此时cos()cos cos .(3)正确结论为两角差的余弦公式(4)

3、正确cos 30°cos 120°sin 30°sin 120°cos(120°30°)cos 90°0.答案(1)×(2)×(3)(4)2cos(15°)的值是()a.b.c. d.dcos(15°)cos 15°cos(45°30°)cos 45°cos 30°sin 45°sin 30°××.3cos 65°cos 20°sin 65°sin 20°_

4、.cos 65°cos 20°sin 65°sin 20°cos(65°20°)cos 45°.合 作 探 究·攻 重 难给角求值问题(1)cos的值为()abcd(2)求下列各式的值：cos 75°cos 15°sin 75°sin 195°；sin 46°cos 14°sin 44°cos 76°；cos 15°sin 15°. 【导学号：84352295】(1)d(1)coscoscoscoscoscossin

5、sin××.(2)cos 75°cos 15°sin 75°sin 195°cos 75°cos 15°sin 75°sin(180°15°)cos 75°cos 15°sin 75°sin 15°cos(75°15°)cos 60°.sin 46°cos 14°sin 44°cos 76°sin(90°44°)cos 14°sin 44°

6、;cos(90°14°)cos 44°cos 14°sin 44°sin 14°cos(44°14°)cos 30°.cos 15°sin 15°cos 60°cos 15°sin 60°sin 15°cos(60°15°)cos 45°.规律方法1.解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差,正用公式直接求值(2)在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角差的余弦公式的结构形

7、式,然后逆用公式求值2两角差的余弦公式的结构特点：(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦,正弦乘正弦(2)把所得的积相加跟踪训练1化简下列各式：(1)cos(21°)cos(24°)sin(21°)sin(24°)；(2)sin 167°·sin 223°sin 257°·sin 313°.解(1)原式cos21°(24°)cos 45°.(2)原式sin(180°13°)sin(180°43°)sin(180°77&

8、#176;)·sin(360°47°)sin 13°sin 43°sin 77°sin 47°sin 13°sin 43°cos 13°cos 43°cos(13°43°)cos(30°).给值(式)求值问题探究问题1若已知和的三角函数值,如何求cos 的值？提示：cos cos()cos()cos sin()sin .2利用()可得cos 等于什么？提示：cos cos()cos cos()sin sin()(1)已知sin sin 1,cos cos

9、,则cos()()a bc d(2)已知sin,求cos 的值. 【导学号：84352296】思路探究(1)先将已知两式平方,再将所得两式相加,结合平方关系和公式c()求cos()(2)由已知角与所求角的关系即寻找解题思路(1)d(1)因为sin sin 1,所以sin22sin sin sin22,因为cos cos ,所以cos22cos cos cos22,两式相加得12cos()11所以2cos()所以cos().(2),cos.,cos coscoscossinsin××.母题探究：1.将例2(2)的条件改为“sin,且<<”,如何解答？解sin,且&

10、lt;<,<<,cos,cos coscoscos sinsin ××.2将例2(2)的条件改为“sin,”,求cos的值解,又sin0,0,cos,coscoscoscossin××.规律方法给值求值问题的解题策略(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值时,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,即拆角与凑角.(2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换有：()；2()()；2()().给值求角问题已知sin(),cos(),0,求角的大小. 【导学号：84352297】

11、思路探究解因为sin(),所以sin .因为0,所以cos .因为cos(),且0,所以0,所以sin(),所以cos cos()cos cos()sin sin()××.因为0,所以.规律方法已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围,根据条件确定所求角的范围.(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数.(3)结合三角函数值及角的范围求角.提醒：在根据三角函数值求角时,易忽视角的范围,而得到错误答案.跟踪训练2已知,均为锐角,且cos ,cos ,求的值解,均为锐角,sin ,sin ,cos()cos cos sin sin ×

12、;×.又sin <sin ,0<<<,<<0,故.当 堂 达 标·固 双 基1sin 14°cos 16°sin 76°cos 74°() 【导学号：84352298】abcdbsin 14°cos 76°,cos 74°sin 16°原式cos 76°cos 16°sin 76°sin 16°cos(76°16°)cos 60°.2若sin sin 1,则cos()的值为()a0b1 c±1d1b由sin sin 1,得cos cos 0,cos()cos cos sin sin 1.3已知为锐角,为第三象限角,且cos ,sin ,则cos()的值为() 【导学号：84352299】a bc da为锐角,cos ,sin ,为第三象限角,sin ,cos ,cos()cos cos sin sin ××.4cos(35°)cos(25°)sin(35°)sin(25°)_.原式cos(35°)(25°)