25极限存在准则与两个重要极限

1、1/43._, 0)1(lim . 12 babaxxxx则则若若._32)2()1(lim . 2233 xxxxx._)12121(lim . 3 nnn2/43._, 0)1(lim . 12 babaxxxx则则若若1lim)1(lim222 xbbxaxaxxbaxxxxx1)()1(lim2 xbxbaxax0 001baa1 ba113/43._32)2()1(lim . 2233 xxxxx32)2()2)(1()1)(2()1(lim222 xxxxxxxxx32)333(3lim22 xxxxx9 94/43._)12121(lim . 3 nnn12121lim nnnn

2、原式原式2)1(2)1(lim nnnnnn2112111lim nnn 22 22 三、小结三、小结 思考题思考题 一、极限存在准则一、极限存在准则二、两个重要极限二、两个重要极限6/431.11.1、夹逼准则夹逼准则7/431.11.1、夹逼准则夹逼准则avawuwvuwvu limlimlim;:,则则满足满足，三个变量，三个变量如果在某个变化过程中如果在某个变化过程中准则准则（夹逼定理）（夹逼定理）8/43证明：证明：为例为例以以 naun lim时，恒有时，恒有使当使当11, 0, 0nnn au aua即即成立成立awn lim又又时，恒有时，恒有使当使当对于上述对于上述22, 0

3、,nnn aw awa即即成立成立 21,maxnnn 令令时，上两式都成立时，上两式都成立当当nn wvu 又又 ava成立成立即即 avavn lim9/431.11.1、夹逼准则夹逼准则avawuwvuwvu limlimlim;:,则则满足满足，三个变量，三个变量如果在某个变化过程中如果在某个变化过程中注注.,的的极极限限相相同同和和且且在在该该变变化化过过程程中中和和适适的的极极限限的的关关键键是是构构造造出出合合利利用用夹夹逼逼准准则则求求wuwuv准则准则（夹逼定理）（夹逼定理）10/43例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解 nnn22111nnnnnn11

4、1limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnnnnn 2,12 nn11/43例例2 2nnnn!lim 求求解解nnn!00lim n01lim nn由夹逼定理得由夹逼定理得0!lim nnnnnnnnn 321 0 n1 nnnnnnn 112/43例例3 31coslim :0 xx证明证明2sin2cos1 2xx xcos102lim0lim200 xxx由由0)cos1(lim0 xx知知1coslim0 xx02)2(222xx 证明：证明：13/431.11.1、夹逼准则夹逼准则 x

5、x、xsinlim.14/431sinlim2 . 10 xx、x推导推导.,:弧度弧度圆心角为圆心角为切线切线作单位圆作单位圆如图所示如图所示xdao证证明明是是偶偶函函数数，所所以以只只需需对对因因为为 0sinxxxaobs 2tan22sinxxx xxxtansin 即即1sincos xxx及夹逼定理知及夹逼定理知由由, 1coslim0 xx1sinlim0 xxxoabcdx,cos1sin1sinxxxx 得得除除( (第一重要极限公式第一重要极限公式) )aobs扇扇 aods 15/43例例4 4求求;sinlim0 xxx;tanlim) 2(0 xxx xxxsinl

6、im) 1 (0 xxxsin1lim01 xxxtanlim) 2(0 xxxx1cossinlim0 xxxxcos1sinlim0 1 1sinlim) 1 (0 xxx1tanlim) 2(0 xxx可以作为公式使用。可以作为公式使用。16/43例例5 5;cos1lim20 xxx 2202sin2limxxx 解解：原原式式220)2(42sin2limxxx 20)22sin(lim21xxx 2121 21 )0)( 1)()(sinlim0)( xxxx 推广：推广：一般形式一般形式17/43例例6 6求求;2sinlim) 1 (0 xxx)0( sinsinlim)2(0

7、 mnnxmxx解解xxx22sin2lim)1(0 原原式式; 2 nxnxnxmxmxmxx sinsinlim)2(0原式原式nm xxxsinlim 例例7 7xxxsin1lim 0 18/43型型未未定定式式00)1相相同同”符符号号后后的的变变量量与与分分母母分分子子“sin)2xxx1sinlim 如：如：)sin11sin(limxxxxx 第一重要极限的特征第一重要极限的特征型）型）（0 xxx11sinlim )00(11 19/43例例8 8求求xxx3arcsinlim0)00( 型型解解xtarcsin 令令31 xxx3arcsinlim0例例9 9求求 xxxs

8、inlim)00( 型型txtx ,:令令解解0tx ttxxtx)sin(limsinlim0 tttsinlim0 1 tttsin3lim020/43xxx sin,0时时第一重要极限的几何解释第一重要极限的几何解释xsinxoyx 弦弦长长、弧弧长长是是等等价价的的时时当当,0 xx21/431.11.1、夹逼准则夹逼准则 xx、xsinlim.2.12.1、单调有界准则单调有界准则22/432.12.1、单调有界准则、单调有界准则准则准则：单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限. .x1x2x3x1 nxnx几何解释几何解释: :am单调上升有上单调上升有上界数列必有极限；界数列必

9、有极限；单调下降有下单调下降有下界数列必有极限界数列必有极限两个结论两个结论: :23/43.)(333的的极极限限存存在在重重根根式式证证明明nxn 例例1010证证 是单调递增的是单调递增的先证先证nx33321 xx1 kkxx设设kkxxkn 311则则当当13x 13 kx2 kx 是单调增加的是单调增加的nx24/43.)(333的的极极限限存存在在重重根根式式证证明明nxn 例例1010证证, 331 x, 3 kx假假定定kkxx 31则则33 , 3 是有界的是有界的再证再证nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx 近

10、而近而,32aa 2131,2131 aa解得解得( (舍去舍去) ).2131lim nnx 是有界的是有界的nx25/431.11.1、夹逼准则夹逼准则 xx、xsinlim.2.12.1、单调有界准则单调有界准则2.22.2、ennn )11(lim26/432.22.2、ennn )11 (lim,)11 (nnny 设设单单增增且且有有界界我我们们来来证证数数列列nynnny)11 ( 21! 2) 1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( ).11 ()221)(111 ()!1(1)111 ()221)

11、(111 (!1)111 (! 21111 nnnnnnnnnnnyn,1nnyy 显显然然 ;是是单单调调递递增增的的ny27/43!1! 2111nyn 又又1212111 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的ny.lim存存在在知知由由极极限限存存在在准准则则nnyii ennn )11(lim通常记通常记)045459828281718. 2( e211)21(11 n28/43,1时时当当 x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(lim

12、xxxxxxxx, e .)11(limexxx 可以证明：可以证明：exrxxx )11(lim,有有对于对于29/43, xt 令令ttxxtx )11 (lim)11 (limtttttttt)1(lim)1(lim 11)111(lim ttt)111()111(lim1 tttt. e exxx )11 (lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(limxxy)( oyxe 30/43 exxx )(1)(1lim, 0)( 则则若若共同形式：共同形式：ennn )11(limexxx )11(limexxx 10)1(lim型”型”

13、的“的“极限的特征：幂指函数极限的特征：幂指函数 1)1无穷小互为倒数无穷小互为倒数指数部分：无穷大且与指数部分：无穷大且与无穷小）无穷小）底数部分：（底数部分：（极限的结构：极限的结构： 1)2第二重要极限的特征第二重要极限的特征31/43xxxx)1(lim.1 例例xxxx)1(lim 111)111(lim xxx1)111( x方法一：方法一：111 eexxxx)1(lim xxxx)11(lim 方法二方法二：xxx)11(1lim e1 32/43nnn)21(lim.2 例例型型）（ 1nnn)21(lim 22)21(limnnn 2e ttt20)31(lim.3 例例型

14、型）（ 16310)3(1lim ttt6 e33/43xxaxax)(lim.4 例例型型）（ 1方法一：方法一：aaaaxxaxaaxa)21()21(lim22 原原式式aaee221 方法二：方法二：xxxaxa)11(lim 原原式式aaaeee2 aaxaaxxxaxa )1()1(lim34/43xxaxax)(lim.4 例例ae2 这种题型很典型，如：这种题型很典型，如：xxxx)11(lim xxxx)22(lim xxxx)1212(lim 35/43xxaxax)(lim.4 例例型型）（ 1方法三方法三：axaxaaxxaxa 22)21(lim原原式式ae2 xxx

15、20)sin1(lim.5 例例型型）（ 1xxxxxsin2sin10)sin1(lim 2 e36/43例例6 6.)11(limxxx 求求解解1)11(lim xxx原式原式.1e 例例7 7.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原式原式.2e 例例8 8解解2cos122)cos1(lim2xxx 原式原式.2e .)cos1(lim2sec222xxx 求求例例9 9解解xxxxx)11()11(lim 原式原式. 11 ee.)11(lim2xxx 求求37/43exexexexxxxxxxxx ln/11/10/10csc0)ln1 (l

16、im)21 (lim)1 (lim)sin1 (lim练练习习：以以下下各各式式对对否否？1 e2e38/43现有资金现有资金a0元，年利率为元，年利率为r，问问t年以后本、利总年以后本、利总和和at为多少？为多少？例例10（连续的复利问题）（连续的复利问题）1、按年计息、按年计息第一年末：第一年末：raaa001 )1(0ra 第二年末：第二年末：raaa112 20)1(ra 第第t年末：年末：ttraa)1(0 复利公式复利公式39/43现有资金现有资金a0元，年利率为元，年利率为r，问问t年以后本、利总年以后本、利总和和at为多少？为多少？例例10（连续的复利问题）（连续的复利问题）2

17、、按月计息、按月计息月利率为：月利率为：12r第第t年末：年末：ttraa120)121( 3、按天计息、按天计息ttraa3650)3651( 40/43现有资金现有资金a0元，年利率为元，年利率为r，问问t年以后本、利总年以后本、利总和和at为多少？为多少？例例10（连续的复利问题）（连续的复利问题）每年计息每年计息 m 次，则有次，则有mttmraa)1(0 连续复利：连续复利： mmtmtmraa)1(lim0 nrm 令令rtnnna)11(lim0 rtnnna)11(lim0 rtea0 41/43若资金现值为若资金现值为a0，其增长率（利率）为，其增长率（利率）为r，则则在连续

18、复利计息的前提下，在连续复利计息的前提下，t年以后的未来值：年以后的未来值：经济结论：资金的时间价值经济结论：资金的时间价值rtteaa0 若已知若已知at，如何求，如何求a0 ？rtteaa 0贴现公式贴现公式42/431.11.1、夹逼准则夹逼准则 xx、xsinlim.2.12.1、单调有界准则单调有界准则2.22.2、exxx )11(lim三三、小结小结; 1sinlim10 某过程某过程.)1(lim210e 某过程某过程,为为某某过过程程中中的的无无穷穷小小设设 作业：作业：第第63646364页页 43/43 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e求极限求极限 xxxx193lim 思考题思考题44/43例例4 4、1lim