哈工大断裂力学讲义(第二章)

1、第二章应力强度子的计界1计算K值的儿种方法Al数学分析法:复变函数法、积分变换;A2近似计算法：边界配置法、有限元法;A3实验标定法：柔度标定法;>4.实验应力分析法：光弹性法.2§2-1三种基本裂纹应力强度子的计算3#.无限大板I型裂纹应力强度因子的计算K严瞥/纭Z T计算K的基本公式1P在宰限夫至平近中冥有长度劳25穿透板厚的裂 纹表面上，距离x = ±b处各作用一对集中力Fcrv 二 ReZ ylmZ, bv = ReZf + ylmZ/ J =-yReZ： 选取复变解析函数：:2pz J/ +b?以新坐标表示边界条件：忖-f =0Z < a.除去z =

2、±b处裂纹为自由 表面如切出小坐标系内的第一象限的 薄平板，在X轴所在截面上内力总和为戶42在无限大平板中，具有长度为2a的穿透板厚的裂纹表 面上,在距离x = ±a的范围内受均布载荷Q作用利用叠加原理集中力qdx =，祐，dx sj兀(a -x )令 x = a cos 9 =>a2 -x2 - a cos 9 dx =(2 COS OdO3吨厂般di汕当整个表面受均布载荷时K=2qsin-1 (%) = qyra7T6#3.受二向均布拉力作用的无限大平板，在X轴上有一系列 长度为2a ）间距为2b的裂纹#单个裂纹时CTZZ = 4za7n Z= 边界条件是周期的:

3、y = O,a < x < a,a + 2b < x < a + 2b込=0厶=0 7TZ cr sin 2b/ 兀Z、2/ 兀a、2rm訐一伽五）9采用新坐标：gm=> Z =71crsin (f + tz)2b 5龙(F + d) 2( 叫2(sin) - (sin )2b2bsin £ = <,cos £ = 12b 2b 2bJT “JT “7T7T “7Tn sin (g + a) = sin g cos a + cos g sin a2b2b 2b2b 2b7T7TTT-£ cos a + sin a7t2b2b2b

4、sin ( + «)2 = ()2 cos2 a + 2 , cos asin a + (sin a)22b2b2b 2b 2b 2b 2b 2 2sin (f + Q) (sin a) =2 £ cos a sin a2b2b 2b 2b 2b7tacr sin 2b兀a7tacossin2b 2b 2b.na bsin 2b二 K二 lim27rgZ -(" = cr 2b tan ATH 7ta . Ha V 2bJcossinV 2b 2b 2b=cr 2b 7ia修正系数，大丁1表示其他裂纹存在对 K的影响若裂纹间距离比裂纹本身尺寸大很多（<1 ）

5、可不2 b 5考虑相互作用，按单个裂纹计算.二.无限大平板ii、in型裂纹问题应力强度因子的计算1. II型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):/rn = iimZ()7M13无限大平板中的周期性的裂纹，且在无限远的边界上处于 平板面内的纯剪切力作用.#Z(z) =rsin2b吨)5訝聞金(*)Z(§) =Jsin 盒忆+ a)2 (sin 守)2142. Ill型裂纹应力强度因子的普遍表达形式（无限大板）:4. III型周期性裂纹:”/ 2b 7taK = t Tret .1 tan V 7ra 2b15§ 3-2 深埋裂纹的应力強度子的计算161950年，格林和

6、斯内登分析了弹 性物体的深埋的椭圆形裂纹邻域内的 应力和应变得到椭圆表面上任意点， 沿y方向的张开位移为2 2 1a c17#其中:第二类椭圆积分#18Z = qcos0,X = psin 爭ac0 = £2 sin2(p+ ()2 cos2 cp d(p1962年，Irwin利用上述结果计算在这种情况下的应 力强度因子原裂纹面牛+ 牛=1 => c2Xj2 +a1z =a2c2>P _ I o . °2 sirr(p + cr cos cp假设:椭圆形裂纹扩展时 zfp1=X> / = = Jc Sin 0+6TCOS (P p ac边缘上任一点px,

7、zWx = (/? + r) sin? = (l + /)/?sin9 = (1 + /)%j£ = (/? +厂)COS0 = (1 + /)Zj= p'(#,z'),pOi，Zi)均在尸0的平面内_k f2 f2 .,2 ,2 zi . r42 2,2 /2=>c x +q z =(1 + /)qc = a c20新的裂纹面仍为椭圆长轴 c' = （l + f）c短轴 a =(l + f)aE（/）原有裂纹面:2(1-“2)b(l+/>z2 夕+7x2= (i+/)y°#zJ yf 2扩展后裂纹面：+ +（4）Q c y°以

8、疋=丙，£二代入=> 原有裂纹面的边缘y向位移yZi=i_Hi_呼疋 厂/ '土二土旳三2 2 2 2 2 2 1_(1_2/)*_(1_2门片=1_ 2/(善+ 片) aca ca c=2/=y2= 2<= 2/(l + /)2y°2 2仇2Jc，sin2(p + a2 cos2 cp=> yr2 = 2% Jc? sin? ©+ / gs，cp ac设各边缘的法向平而为平而应变，有:KV 4G V 2兀qon当0 =兀时,v=)r(2k + 1) sin sink = 3 4/724#E2=> 如胆 Sil? 0 + / co&

9、quot; 0 = 1 % - "2 )2 ac二> K； = ' ()2 yl Jc sin2 cpcr cos2 cp4 1 一“ac2(1 “2)CTQ>，0=而sin2(p+ a2 cos2(p>y26#在椭圆的短轴方向上，即0 = ?,有椭圆片状深埋裂纹的应力强度因子兀2 当 a c 时，e = ： => K =b 壬帯 厶71-圆片状深埋裂纹应力强度因子§ 3-3 半椭圆农面裂纹的应力强度因子计算、表面线裂纹的应力强度因子欧文假设：K kKO.lsinST表_ 边匕边W x2厂天又有可7+)八/埋八冲冲tan=.（边裂纹长度板宽度

10、半椭圆片状表面线裂纹Kl与 深埋椭圆裂纹的K,之比等于丛裂 纹平板$与中心裂纹平板的K, 值之比A当亦口 1时,27rA 2ttAsin« W W7lA 7rAtanuW Wnq J1.2 « 1.1K冲n 仏= 1.1f埋K,表=11（埋=椭圆片状表面裂纹A处的K/值1、表面深裂纹的应力强度因子深裂纹：引入前后二个自由表面 n使裂纹尖端的弹性约束减少=>裂纹容易扩展 二>（增大n $ （表面）=回.$（埋藏）弹性修正系数，由实验确定一般情况下Me前自由表面的修正系数后自由表面的修正系数1. 巴里斯和薛时，二 接近于单边切口试样 M=1.12时，二 接近于半圆形

11、的表面裂纹M.=l利用线性内插法=1 + 0.12(1-)C利用中心穿透裂纹弹性体的厚度校正系数裂纹深度板厚浅裂纹不考后自由表面的影响2. 柯巴亚希沙莫斯M =1 + 0.12(1-)22c2B7i a=(tan)2兀a2B= 表面深裂纹的应力强度因子（应为最深点处）32§ 2-4 其他问题应力强度子的计算、III型复合问题应力强度因子的计算复变数：Z = x + iy z = x-iy取复变解析函数：x(z) = p + iq%二门+妬取应力函数20 = 0+ 0+ zx(z) + zx(z)或 (p = Re0(z) + ZX(Z)n满足双调和方程分析第一应力不变量kb严丽*乔d

12、2(p d2(p A 、屮'W=4Re兀对于III型复合裂纹I型:crv = ReZ7 一 y ImZ, crv = ReZ7 + ylmZ/=5> QX + bj 哮 jo= 2ReZ|”01”0II 型： b, =2ImZ + yReZ 込,=yReZ二 I、II型复合裂纹在裂纹前端处的不变量35#取复数形式的应力强度因子 K = Kl-iKn(bx +by)+J I 冏 TOKK时亍 2血('|gK = lim2J2xf(Z)36又 (6 + bJ = 4ReY(Z)若采用g = Z ci => K = 2Vlim Jz - E(Z)选择亡满足具体问题的应力边

13、界条件/二耳(Z) + 斤(Z) + Z瓦(Z) + 药(Z)复变解析函数表达的双调和函数的普遍形式或复变应力函数为普遍形式利用这个方法可以求解很多”无限大”平板中的穿 透裂纹问题.二、无限宽板穿透裂纹应力强度因子的计算实际情况应看成有限宽计算.必须考虑的自由边界对 裂纹尖端应力场和位移场的影响在理论上得不到完全解. 通过近似的简化或数值计算方法.界配賈法甫限華元法等.3界配愛法:将虚方函数用无穷级数表达准箕满d 双调和方程和边界条件,担不是满足所有的边界条件，而 是在有限宽板的边界上,选足够多的点，用以确定应力函 数，然后再由这样符合边界条件的应力函数确定值.K边界配置法:只限于讨论直边界问

14、题.1. 威廉氏(Williams)应力函数和应力公式Williams应力函数co）+ + （1）.帖,8）二C .尸-cos（-1）8 +cos（+1）8戶 122 + 12满足双调和方程边界条件:裂纹上、下表面6 = ±25 ,心均为零在边界上的边界条件的满足如下 确定述郁|宽板的边界王选取足釦 的点,使这一点的边界条件满足.为了计算方便引入无量纲量Dj = C)B试件宽度P试件厚度n 0(")哼工°0O>1丄+(1)丿-cos(- -1)0 +cos( + 1)02丄+122屠5爲郭dW)4= 例一 2+3)吨卵一(戸吨一湘2. K的计算K0g30针对

15、型裂纹= -f= cos - sin -sin/2r222K、 0 Z1 . 0 . 33 crv =1 cos (1 + sin sin Q)罔 2V 22丿-J & = 0 时，by = 6 = r= 厂 T 0 72兀丫=> K| 二 lim 丁2处0 爲r->0当0 = 0时，cos0 = ，当j =1时,在乘血时后与厂 无关.而当=2, 3时,在乘J5万之后与厂有关，当 厂0都为零n K =()_2 1 x (- 2 -1) 1- (- 1) 11 BW w 2 2 2= J 2兀DB/W3. 借用无裂纹体内的边界条件求系数取含裂纹三点弯曲试样的左半段的 受力状态

16、和不含裂纹的悬臂梁受力是一 样的.取加个点分析，以加有限级数代替无限级数精度足够.对于不同的点有n 匹2 m7=1=K尸轨）23579F() = 11.6(V -18.4()2 + 87.2(150.4(+ 154.8()5WWWWWW其中s = 4W标准试件§ 3-5 确定应力强度因子的有限元法不同裂纹体在不同的开裂方式下的应力强度因子是不 同的.一些实验方法解析方法都有各自的局限性，而有限元 等数值解法十分有效地求解弹塑性体的应力和位移场，而 应力和位移场与K密切相关，所以，可以通过有限元方法 进行应力强度因子的计算.一.位移法求应力强度因子I型:-Dcos-cosl2 2K(2

17、Z: + l)sin-sin2 2有限元法=> 裂纹尖端位移*=磊v(r,7T)r二.应力法求应力强度因子外推法KI型：% （厂,0）=运士扎（0）有限元法 =>勺(匚0) => K二by JlTCT利用刚度法求应力时，应力场比 位移场的精度低（因应力是位移对坐标的偏导数）.三间接法求应力强度因子（应变能释放率法）1 Ef四./积分法r :围绕裂纹尖端的闭合曲线f :积分边界上的力U :边界上的位移" =应变能密度线弹性问题:§ 2-6 叠加原理及其应用一.K的叠加原理及其应用线弹性叠加原理:当n个载荷同时作用于某一弹性体 上时，载荷组在某一点上引起的应力

18、和位移等于单个载 荷在该点引起的应力和位移分量之总和.叠加原理适用丁 K 证明： Ki = lim 5/©, I%。T，笛=咧妬7（7丄=。1匚二 二 k K + K t2 込,睨2）=!吧7匕1_I I I由叠加原理有5 1= byho +by 1河实例:钏钉孔边双耳裂纹叠加原理： K=Kf)+ K$)- K$)n K=丄(K$)+ Kf) 其中：即风/花+命 圆孔直径目二板Jsec 等-修正有效裂纹长度托（Q）确定K$）：无限板宽中心贯穿裂纹受集中力P作用P冷(D + 2a)有限板宽:2Wse/(2"=2W兀(D + 2a)see兀(+ d)2W2W7r(D+2a).

19、/_ z a x W secZ 兀a + () +二.应力场叠加原理及其应用1CT4<74£ = c£ = <7J 1tt t1t t tCPFt?T4-"帀r升Jr g几：无裂纹时外边界约束在裂纹所处位置产生的内应力场 的应力强度因子等于没有外界约束，但在裂纹表面上反向 作用着无裂纹时外界约束在裂纹出产生的内应力人所致 的应力强度因子.°52实例:旋转叶轮（或轴）内孔端裂纹1. 求解无裂纹时，旋转体在无裂纹部位的内应力勺=二巾2可（1+R： &1 + 3” r哥十/一 3 + ”尺55#“二R 1 1 J"亠b严¥

20、;/莎附（i+篡）8广f为叶轮密度为角速度 &为叶轮内径r2为叶轮外径厂为计算点的位置“'二“ 平面应力 总 平面应变R一2. 根据类比原则比较两种情况：内孔半径一致，裂纹大小及组 态一样，裂纹面上下受力一致,外边界无约束，唯 一不同的是一个是有限体，一个是无限体，由于边 界是自由的=> K=KII3. 根据叠加原理Sifa沁的无限宏板,受双向暧览泄 孔边附近的应力（注意无裂纹时），由弹性力学知8_兀=久（1+笙）.2）n K © = K II=> K： = K= cr0V/()§ 2. 7 实际裂纹的近似处理利用断劝学进狂安全评价吐二謎确定缺陷

21、的 犬小，部位和形状，偏于安全考虑:夹杂、空洞、气孔、 夹杂性裂纹n裂纹应针对实际问题进行分析一.缺陷群的相互作用1.垂直外应力的并列裂纹并列裂纹的作用使下降©,工程上偏安全考虑并列裂纹作为单个裂纹考虑；沁王密集的缺陷群，假定它们蝕间规则排列併垂把 空间裂纹简化成平面裂纹.2.与外应力垂直的面内共线裂纹如裂纹中心间距大于缺陷尺寸五倍以上，可做为单个 裂纹处理,否则必须考虑修正.二.裂纹形状的影响通过探伤手段=> 裂纹形状的影响1.探伤结果是面积当缺陷的面积相同时，的椭圆裂纹笛最大 c 2n 以| = |的椭圆裂纹分析是偏于安全的2.探伤的结果是最大线尺寸>当最大直径相同时

22、，圆裂纹的K&匕椭圆裂纹人=以圆裂纹估算偏于安全皿缺陷长度三样ii奏穿裂如賂林裂纹的突=>以贯穿裂纹估算偏于安全§2.塑性区及其修正小范围屈服:屈服区较小时（远远小丁裂纹尺寸）二 线弹性断裂力学仍可用一塑性区的形状和大小1.屈服条件的一般形式屈服条件:材料超过弹性阶段而进入塑性阶段的条件.薄壁圆筒扭转：T = TS复杂情况：/（6,6。"切乙"丿=。,（555）= C2.根据屈服条件确定塑性区形状大小a.利用米塞斯(von. mises)屈服条件当复杂应力状态下的形状改变能密度等于单向拉伸屈 IgjSBgSafi密度届g：即三(5 -内)2 + (a

23、2 一6)2 + (<r3-CT,)2 = 2crs2对于I型裂纹的应力公式00 1平而应力K22 &1 I Q 2 °、n r =cos l±3snr 127TCT22平面应力下，1型裂纹前端屈服区域的边界方程 当& = 0时，防丄(处)22乃6 =(y： = “G +)平面应变n h = -ycos? 0(1 2“)2 + 3sin2 -27ra22平面应变下，I型裂纹前端屈服区的边界方程 当(9 = 0 时h 二 0.16 丄(5)2 (/ = 0.3) =(1 2“)2 丄(5)2271 crv2兀 crcb.利用Tresca（屈雷斯加）屈服条件在复杂受力下，当最大切应力等于材料弹性拉伸时的 屈服切应力，材料即屈服.比较发现:平面应变塑性区尺寸小，平面应变处于三 向拉伸状态不易屈服.平面应变的有效屈服应力入比6高塑性区中的最大应力b = %平面应变5 = 3bs CTVJ =忑6平面应力3. 应力松弛的影响由于塑性变形引起应力松弛应力松弛