25函数的微分

1、1微分的定义微分的定义微分的几何意义微分的几何意义微分公式与运算法则微分公式与运算法则小结小结 思考题思考题 作业作业2.5 函数的微分函数的微分(differential)微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用2导数导数微分微分导数与微分导数与微分表示函数在一点处由自变量所引起表示函数在一点处由自变量所引起的函数变化的快慢程度的函数变化的快慢程度.是函数在一点处由于自变量微小变化是函数在一点处由于自变量微小变化所引起的改变量的近似值所引起的改变量的近似值.有着密切的联系有着密切的联系.3正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.20 xa 0 x0 x,00 x

2、xx 变到变到设边长由设边长由,20 xa 正方形面积正方形面积2020)(xxxa .)(220 xxx )1()2(;的主要部分的主要部分且为且为 a x )1()2(x x 2)( x 1.问题的引出问题的引出实例实例x 线性函数线性函数(linear function)xx 0 xx 0一、微分的定义一、微分的定义的线性的线性(一次一次)函数函数,x 当当,的次要部分的次要部分且为且为 a 很小时可忽略很小时可忽略.2,0 xxax 很小时很小时当当的高阶无穷小的高阶无穷小,xxa02即).( xo 4),(xfy 对对一一般般函函数数,的常数的常数是不依赖于是不依赖于其中其中xa x

3、ay , 0 a当当yxa 满足满足如果如果)(xfy y 一定条件一定条件,的的是是因此因此xxa 之差之差且它与且它与 y 线性函数线性函数, 对一般函数对一般函数则无论在理论分析上还是在实际则无论在理论分析上还是在实际).( xo 则函数的增量则函数的增量可以表示为可以表示为 如果存在这样的如果存在这样的近似公式近似公式,应用中都是十分重要的应用中都是十分重要的.)( x o,很很小小时时且且 x ),(xfy xay5定义定义,)(在某区间内有定义在某区间内有定义设函数设函数xfy 2. 微分的定义微分的定义,00在这区间内在这区间内及及xxx )()(00 xfxxfy如果如果),(

4、无关的常数无关的常数是与是与其中其中成立成立xa 0)(xxfy在点在点 则称函数则称函数xa 0dxxy 相相应应于于自自变变量量在在点点0)(xxfy .d0 xayxx 即即可微可微(differentiable),a为微分系数为微分系数),(d0 xf或或记作记作微分微分(differential),并称并称为函数为函数的的增量增量 x )( xoxa . .6可微可微在点在点函数函数0)(xxf定理定理证证 (1) 必要性必要性,)(0可微可微在点在点xxf),( xoxay .a ,)(0可可导导在在点点即即函函数数xxf3. 可微的充分必要条件可微的充分必要条件)(xf函函数数.

5、)(d0 xxfy 即有即有).(0 xfa 且且,0处可导处可导在点在点x),(0 xfa 且且 满足什么条件的函数是可微的呢？满足什么条件的函数是可微的呢？ 微分的系数微分的系数a如何确定呢如何确定呢? 微分与导数有何关系呢微分与导数有何关系呢?下面的定理回答了这些问题下面的定理回答了这些问题. xyxxoa )(0lim x 0lim x7(2) 充分性充分性),()(0 xxxfy ,)(0 xfxy即即,)(0可可导导在在点点函函数数xxf),(lim00 xfxyx ),()(0 xoxxf ,)(0可微可微在点在点函数函数xxf.可微可微可导可导 求导法又叫微分法求导法又叫微分法

6、.)(d0 xxfy 从而从而.)(0axf 且且其微分一定是其微分一定是可微可微在点在点函数函数0)(xxf定理定理)(xf函函数数即有即有,0处可导处可导在点在点x),(0 xfa 且且.)(d0 xxfy )0, 0( x8注注 yyxdlim0 )(10 xf 有有时时当当,0)()1(0 xf )(10 xf,0,时时当当从从而而 xyx 0lim)(0 xf . 1 ).d(dyoyy 第一章第七节定理第一章第七节定理1 (58页页).d yy xxf )(0 xyx 0lim 的的是是即即yy d).0( x当当 微分的实质微分的实质的的是是又又由由于于xxxfy )(d0 线性

7、函数线性函数, 线性主部线性主部. . 主部主部, ,的的是是称称yy d 所以在所以在 条件下条件下,0)(0 xf9 的条件下的条件下,xxfy )(d0 以以,)()(00时时xfxxfy 近似代替增量近似代替增量 其误差为其误差为).d( yo因此因此,很小时很小时在在 x 有精确度有精确度.dyy 较好的近似等式较好的近似等式 结论结论在在0)(0 xf10有关有关和和与与xx xx 的增量的增量通常把自变量通常把自变量)3(),(ddxfy或或 称为函数称为函数的微分的微分, 记作记作.)(dxxfy 即即称为自变量的称为自变量的微分微分,记作记作,dx.dxx 即即注注,)()2

8、(的微分的微分在任意点在任意点函数函数xxfy 什么意思？解解 , d .yxy已知 求例如：例如： ,1)(dxxxxy , 故得由于xy .ddxxy11自变量的增量就是自变量的微分：函数的微分可以写成:上例表明上例表明: :xxdxxfyd)(dxxfxfd)()(d 或. dd)( , d)(d xyxfxxfy有时当即函数 f (x) 在点 x 处的导数等于函数的微分 d y 与自变量的微分 d x 的商, 故导数也故导数也称为微商称为微商.12例例1 1解解,d)2(,d)1(,23 xyyxy求求23xy 02. 02d)3( xxy .24. 0 02. 02202. 023d

9、)3( xxxxxxy xxy )(d)1(3 xx 23 xxyxx 2223d)2(x 12242408. 08242408. 82)02. 2(33y13几何意义几何意义y 当当,很小时很小时当当 x ( (如图如图) )ydxxfyd)(d0 二、微分的几何意义二、微分的几何意义对应的增量对应的增量,.pqnq线段可近似代替线段增量时增量时;是曲线的纵坐标是曲线的纵坐标,的附近的附近在点在点m就是就是切线切线纵坐标纵坐标x tanpq yd xyo)(xfy t0 xm xx 0n pqy yd)( xo x 14 几何上, 函数 y = f (x) 在点 x 处的微分表示为: 相应于

10、自变量 x 的改变量 x, 曲线y = f (x) 在点 p(x, y) 的切线上纵坐标的改变量.15三、微分公式与运算法则三、微分公式与运算法则1.1.微分的基本公式微分的基本公式可微 可导 微分的基本公式与导数的基本公式相似 微分公式一目了然, 不必讲了.16xxfyd)(d 基本求法基本求法1. 基本微分公式基本微分公式xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxcdcotcsc)(cscddtansec)(secddcsc)(cotddsec)(tanddsin)(cosddcos)(sindd)(d0)(d221 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1

11、7xxxxxxxxxxxxxxxxaxxxeexaaaaxxxxd11)cotarc(dd11)(arctandd11)(arccosdd11)(arcsindd1)(lnddln1)(logdd)(ddln)(d2222 2. 运算法则运算法则2ddddd)(ddd)(dvvuuvvuvuuvuvvuvu)(),(均为可导函数xvvxuu18例例2 2解解.d),ln(2yexyx求求设设 ,2122xxexxey .d21d22xexxeyxx 例例3 3解解.d,cos31yxeyx求求设设 )(dcosd31xexy,3)(3131xxee xxexexyxxd)sin(d)3(cos

12、d3131 .d)sincos3(31xxxex .sin)(cosxx )(cosd31xex vuuvuvdd)(d 19例例.d,cos31yxeyx求求设设 )sin(cos) 3(3131xexeyxx解)sincos3(31xxexdxxxedyx)sincos3(3120;d)(d,)1(xxfyx 是自变量时是自变量时若若的可微的可微即另一变量即另一变量是中间变量时是中间变量时若若tx,)2(),()(xfxfy 有导数有导数设函数设函数 ydxd.d)(dxxfy 结论结论)(xfy 一阶微分形式的不变性一阶微分形式的不变性xxfyd)(d 3. 复合函数的微分法复合函数的微

13、分法此结论用于求复合此结论用于求复合函数的导数函数的导数,有时有时能简化运算能简化运算.无论无论x 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量, 函数函数的微分形式总是的微分形式总是则则函数函数),(tx )(xf )(t td21例例4 4.d,2yeybxax求求设设 解解 法一法一 用复合函数求导公式用复合函数求导公式 xeybxaxd)(d22bxaxe 法二法二 用微分形式不变性用微分形式不变性,uey ueyud)(d ueud2bxaxe 2bxaxe .2bxaxu 在计算中也可以不写中间变量在计算中也可以不写中间变量,直接利用直接利用微分形式不变性微分形式不变性.d)(2bxa

14、x xbxad)2( xbxad)2( 22练习求)2arctan(dxxx2arctan )2(arctandx xxd2arctan)2(d)2(112xxx xxxxd)2(122arctan2 xd xdxxxxdyxxxxxxy)4122(arctan4122arctan24112arctan222或23例例5 5解一解一.d122yxyyx求求设设 yx d20)(d22 xyyx.d22d22xxyxyxyy xxyd2 xy d2yxyd20 yx2.d22d22xxyxyxyy xy22yyxy 20 .2222xyxyxyy解二解二 将方程两边将方程两边x对求导得对求导得2

15、4,0)cos(sinyxxy求求 .dy解解: :xyyxcossin)sin(yx0)1 ( yxyd d )sin(cosyxxyxyxsin)sin(例例6 设设 y)sin(cosyxxyxyxsin)sin(方程两边对方程两边对x求导得求导得25例例解解 7 在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立使等式成立.).(d)()(sind)2(;dcos)(d)1(2xxtt ,dcos)(sind)1(ttt ttdcos .dcos)sin1(dttct );sin1(dt )(d)(sind)2(2xx,cos42xxx )(sind2

16、x)(sind1t xxxdcos22).(d)cos4(2xxxxxxd21说明说明: : 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. .26)(22 44)(22)(4sin22)sin(k2224数学中的反问题往往出现多值性数学中的反问题往往出现多值性 , 例如例如:27例例8 8?,05. 0,10问面积增大了多少问面积增大了多少半径伸长了半径伸长了的金属圆片加热后的金属圆片加热后半径半径cmcm解解,2ra 设设,10cmr 05. 0102 ).(2cm .)(0 xxf yyd , 0)(0 xf. y 用用来来近近似似计计算算.05. 0cm

17、r rr 2a rar ad 四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用1. 计算函数增量的近似值计算函数增量的近似值,很小时很小时且且 x 28)()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小时很小时x .),(0微微分分函函数数的的原原值值函函数数的的末末值值即即用用来来近近似似计计算算 xxf2. 计算函数的近似值计算函数的近似值)(0 xx x曲线曲线处处在点在点)(,()(00 xfxxfy 的切线的表达式的切线的表达式.通常称为函数通常称为函数的一次近似或线性近似的一次近似或线性近似.)(xfy 附近的近似值附近的近似值在点在

18、点求求0)()1(xxxf 290360cos0 故故例例9 9.0360cos0的近似值的近似值计算计算 解解,cos)(xxf 设设)( ,sin)(为弧度为弧度xxxf ,30 x令令.,)()(00要很小要很小要容易算要容易算与与xxfxf xxfcos)( 360 x就是函数就是函数.3603处的值处的值在在 x)3603cos( xxfxfxxf )()()(000303603sin3cos 3602321 .4924. 0 )3603cos(0360cos0 xxfxfxxf )()()(00036030)(cos xxxx 30cos xx31180dx29sin的近似值的近似

19、值 .解解: 设设( )sin,( )cosf xxfxx则取取300 x,629x则则1802918029sin6sin6cos2123)0175. 0(485. 0)180(练习练习. . 求求29sin4848. 029sin32常用的几个一次近似式常用的几个一次近似式)|(|很小时很小时x附附近近的的近近似似值值在在点点求求0)()2( xxf.)0()0()(xffxf ,)()()(000 xxfxfxxf , 00 x令令. xx );(sin)2(为弧度为弧度xxx );(tan)3(为弧度为弧度xxx ;1)4(xex .)1ln()5(xx 2. 计算函数的近似值计算函数的

20、近似值n;111)1(xnx 33证证)1(,)1(1)(11 nxnxf, 1)0( fxffxf)0()0()( .1nx 例例1010.021. 13的近似值的近似值求求解解33021. 01021. 1 知知021. 0311 007. 1 xffxf )0()0()(.1)0(nf xnxn111 由公式由公式021. 01021. 1 xn,1x n )(xf设设;111)1(xnx 34例例1111.计算下列各数的近似值计算下列各数的近似值解解.)2(;5 .998)1(03. 03 e35 .99830015. 0110 )0015. 0311(10 .995. 9 03. 0

21、 e.97. 0 xex 103. 01 (1)(很小时很小时x35 . 11000 (2)(很小时很小时x)10005 . 11(1000 3nxnx111 35微分概念微分概念 微分的基本思想微分的基本思想微分的几何意义微分的几何意义微分公式与运算法则微分公式与运算法则五、小结五、小结导数与微分的关系导数与微分的关系可微可微可导可导 xxfyxxd)(d00 yd就是切线纵坐标对应的增量就是切线纵坐标对应的增量熟记熟记微分公式、用一阶微分形式不变性求微分微分公式、用一阶微分形式不变性求微分以直代曲以直代曲36xffxf )0()0()(00dxxxxyy xxf )(0)()()()(00

22、0 xxxfxfxf ,很小时很小时当当 x ,0时时当当 x微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用37练习题练习题3. 3. 已知已知,yxexy求求.d yxxeed )d(arctanxd d( )sin2 dxx2. 2. 设设 ,0a且且,nab 则则nnba)(xyy 由方程由方程063sin33yxyx确定确定, ,.d0 xy求求4. 设设1.填空填空381. 填空填空xxeed )d(arctanxe211xd xxee21d( )sin2 dxxcx2cos21 2. 设设 ,0a且且,nab 则则nnba1nanba39利用微分形式不变性利用微分形式不变性, , 得

23、得3. 3. 已知已知,yxexy求求.d y解：解：xyyxddyd)d(dyxeyxdx yx yyexxe 另解：利用隐函数求导法则。另解：利用隐函数求导法则。dyxydx(1)x ydyedxx yx yyeyxe x yx yyedydxxe 404. 设设)(xyy 由方程由方程063sin33yxyx确定确定,.d0 xy解解: 方程两边求导方程两边求导,得得23x当当0 x时时,0yxyxd21d0求求yy23x3cos306 y22cos32xxyy 21|0 xy41作业作业习题习题2-5 (1222-5 (122页页) )3. 7(1). 10. 42 由导数的由导数的“微商微商”及一阶微分形式不变性及一阶微分形式不变性, , 再来看反函数、参数方程、复合函数等的求导再来看反函数、参数方程、复合函数等的求导公式就会有另一种感觉：公式就会有另一种感觉：dd1 ( )d( )d( )xxyyfxxfx反函数的导数d( )d( ) d( )d( )yy tty t