初一数学上册总复习讲义

1、初一总复习、有理数1.代数式：用运算符号+- X +连接数及字母的式子称为代数式(单独一个数或一个字母也是代数式)2. 几个重要的代数式：(m n表示整数)(1) a与b的平方差是：a 2-b2 ; a 与b差的平方是：(a-b) 2 ;(2) 假设a、b、c是正整数，那么两位整数是：10a+b，那么三位整数是：100a+10b+c(3) 假设m n是整数，那么被5除商m余 n的数是：5m+n _ ;偶数是：2n ，奇数是：2n+1;三个连续整数是：n-1、n、n+1 ；、有理数1. 有理数：(1) 凡能写成q(P,q为整数且P 0)形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；P正分数、

2、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数； 不是有理数;(2)有理数的分类:正有理数有理数零正整数正分数有理数正整数整数零负整数负有理数负整数负分数正分数负分数(3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；(4) 自然数 0和正整数；a>0a是正数；av0 a是负数；a>0a是正数或0a是非负数；a< 0 a是负数或0 a是非正数.2. 数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3. 相反数：(1) 只有符号不同的两

3、个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； 注意：a-b+c的相反数是-a+b-c ； a-b的相反数是b-a ； a+b的相反数是-a-b ；(3) 相反数的和为0a+b=0 a、b互为相反数.4. 绝对值：(1) 正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数；注意:绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;(2)绝对值可表示为:a(a0)、0(a0)或aa(a0)爲層殆；绝对值的问题经常分类讨论;|b|=|a b|,(4) |a|是重要的非负数，即|a| >0;注意：|a|5. 有理数比大小：(1)正数的绝对值越大，这个数越大；(2)正数永远比0

4、大，负数永远比0小；(3)正数大于一切负数；(4)两个负数比大小，绝对值大的反而小；(5)数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；(6)大数-小 数 0，小数-大数V 0.6. 互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；假设a工0,那么a的倒数是-;倒数是本身的数是土 1;假设ab=1 a、b互为倒数；假设ab=-1 a、 ab互为负倒数.7. 有理数加法法那么：(1) 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；(2) 异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；(3) 一个数与0相加，仍得这个数.&有理数加法的运算律：(1) 加法的交换律:a+b

5、=b+a ； (2)加法的结合律:(a+b) +c=a+ (b+c).9.有理数减法法那么：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+ (-b).10有理数乘法法那么：(1) 两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；(2) 任何数同零相乘都得零；(3) 几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11有理数乘法的运算律：(1) 交换律：ab=ba; (2)结合律：(ab) c=a(bc); (3)分配律：a(b+c) =ab+ac.12. 有理数除法法那么：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数， 即a无意义013. 有理数乘方的

6、法那么：(1) 正数的任何次幕都是正数；(2) 负数的奇次幕是负数；负数的偶次幕是正数；注意：当 n为正奇数时：(-a) n=-an 或(a -b) n=-(b-a) n ,当 n 为正偶数时：(-a) n =an或(a-b) n=(b-a) n .14. 乘方的定义：(1) 求相同因式积的运算，叫做乘方；(2) 乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫 做幕；(3) a2是重要的非负数，即a2>0;假设a2+|b|=0a=0,b=0 ；15. 科学记数法：把一个大于10的数记成ax 10n的形式，其中a是整数数位只 有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16. 近

7、似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确 到那一位.17. 有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18. 混合运算法那么：先乘方，后乘除，最后加减；注意：怎样算简单，怎样算准 确，是数学计算的最重要的原那么.19. 特殊值法：用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜测的方法，但 不能用于证明.【典型例题解析11：1、假设abfO,那么回 旦 凹 的值等于多少？a b ab2 .如果m是大于1的有理数，那么m定小于它的()A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方3、 两数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对

8、值是 2，求IlIIao bx2 (a b cd)x (a b)2006 ( cd )2007 的值。4、如果在数轴上表示a、b两上实数点的位置，如以下图所示，那么| a b | | a b |化 简的结果等于(A. 2a B. 2a C.O D. 2b5、(a 3)2 |b 2| 0，求ab的值是()A.2 B.3C.9 D.66、有3个有理数a,b,c，两两不等，那么,口 中有几个负数？b c c a a b7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1, a b,a的形式式，又可表示为0,b，b 的形式，求 a2006 b2007a8三个有理数a,b,c的积为负数，和为正数，且Xabc|ab

9、| |bc| |ac| 那么|a| |b|c|abbcacax3bx2 cx 1的值是多少？9、9、假设 a,b,c 为整数，且 |a b |2007|c a |2007 1 ,试求 |c a|a b|bc|的值。【典型例题解析21：1、(1)假设 2 a 0，化简 |a 2| |a 2|(2)假设xpo,化简 |x| 2x| |x 3|x|2、设 ap 0，且 x ，试化简 |x 1| |x 2| |a|3、a、b是有理数，以下各式对吗？假设不对，应附加什么条件?(1)1 a b| |a|b|；(2)|ab| |a|b|;|a b| |ba|；(4)假设|a | b那么a b(5)假设|a|

10、p|b| ,那么a p b(6)假设 af b，贝» |a|f |b|3、假设|x 5| |x 2| 7，求x的取值范围。4、不相等的有理数a,b,c在数轴上的对应点分别为A、B、C ,如果 |a b| |b c| |a c|，那么B点在A、C的什么位置？5、设 apbpcpd，求 | x a | | x b | | x c | | x d | 的最小值。6、abcde 是一个五位数，apbpcpdpe，求 | a b | |b c| | c d | | d e| 的最大值。(aia2a3L a2005)7、设ai,a2,a3,L ,a2oo6都是有理数，令M9. (a2 a3 a4

11、 La2006), N 佝a2a3 La2006 ) (a2a3a4 La2005 ), 试比拟M N的大小。2 200610如果(a 1)2 |b 2| 0，求代数式(b a) (a b005的值2ab (a b)11假设a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2,求a2 b2 土 (1 2m m2) 的值。【备用练习题3】：1、ab 1，比拟M N的大小2、x2 x 1 0，求x3 2x 1的值3、亠丄丄K，求K的值y z x z x y4、a355,b 444,c 533，比拟 a,b, c 的大小5、 2a2 3a 5 0，求 4a4 12a3 9a2 10 的值。综合练习(一)

12、1、假设3 5，求亠丄也旦的值 x y2x 2y 3x 3y2、|xy 9|与(2x y 3)2互为相反数，求yx。12007)( b 2007)2，P是数轴上的表示原3、|x 2| x 2 0,求x的范围。4、判断代数式区凶1的正负x5、假设盛型 i，求回回£凹的值。 abcd ' a b c d2 11 1、 |ab 2| (b 1)0 ,'、ab (a i)(b 1) (a 2)(b 2) L (a7、 2p xp3，化简 |x 2| |x 3|&a,b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值等于 点的数，求P1000 cd皂上m2的值。abcd9、问中应

13、填入什么数时，才能使|2006 W 2006 | 200610、a,b,c在数轴上的位置如下图， ,L h ac i jc 化简：b|成立的x的取值范围|a b| |b 1| |a c| |1 c| |2b 3|11、假设 af0,bp0，求使 |x a | |x b| |a12、计算：(2 1)(22 1)(24 1)(28 1)(216 1) 、算：232113、a2004 20042004，b2003 2003 20032005 2005 2005，c2004 200420042006 2006 20062005 2005 2005求 abc。9914、P ,q嗒，求P、q的大小关系99

14、15、有理数a,b,c均不为0'且abc 0。设x|化|b|c ax19 99x 2021 的值。精选整式的加减项多项式去括号、添括号法那么同类项合并同类项整式列代数式整式加减法丰富的问题情景1单项式：在代数式中，假设只含有乘法包括乘方运算。或虽含有除法运算， 但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.2. 单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数， 简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的 次数.3. 多项式：几个单项式的和叫多项式.4. 多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个 单项式叫多项式的项；多项式里，

15、次数最高项的次数叫多项式的次数；注意：假设a、b、c、p、q是常数ax2+bx+c和x2+px+q是常见的两个二次三项式.5. 整式：凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫 整式.单项式整式分类为：整式多项式6. 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项.7. 合并同类项法那么：系数相加，字母与字母的指数不变.&去添括号法那么：去添括号时，假设括号前边是“ +号，括号里的各项 都不变号；假设括号前边是“-号，括号里的各项都要变号.9. 整式的加减：整式的加减，实际上是在去括号的根底上，把多项式的同类项 合并.10. 多项式的升幕和降幕排列：把

16、一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大或从大到小排列起来，叫做按这个字母的升幕排列或降幕排列.注意：多 项式计算的最后结果一般应该进行升幕或降幕排列.典型例题11 化简求值：5abc 2a2b 3abc 24ab2 a2b其中 a, b,c满足 a 1 |b 2 c2 02代数式(2x2 ax 1 y 5) (lx 2y 1 bx2)的值与字母x的取值无关，求2a 5b的值3 a3 b327,a2bab26，求代数式(b3a3)(a2b3ab2)2(b3a2b)的值4当x 1时，代数式2ax3 3bx 8的值为18,求代数式9b 6a 2的值5x 2, y 4时，代数式ax3 fby 5 1

17、997，求当x 4, y 1时，代数式3ax 24by3 4986 的值6 a2 a 10，求 a3 2a22007 的值.7亘上5，求代数式迪卫疽卫的值a ba b 2a b8当50 (2a 3b)2到达最大值时，求1 4a2 9b2的值典型例题2【例n假设代数式曲»步-弘+“d昭字母x綁值横求代敎式-严2护_£八对的值亠燃/是自然数,+扩计说迄项式,【例3】两个观4和趴 4榔押+产"If ?严" + F+加亠试判断是否存在整如 A-S是五伙次项式？卜【例】已眼2为自然数，且X v八当1 + = 1999-7 = 2000求匸卄+玄的所有值中最九的一牛

18、是多几【例寸设=bx 一磁+ 1那么茲“二的值是x - m x +1AJD.【例6如果代数式加处疋卡皿一亍当龙二-2时的值为7户那么当人=2时,该式的值是+【例小补届沌比)如果不管期十细代5.12个宦值，求代魏式春p的值屮 a -t>【例对当5Q- (2a+3h)2到达最大值时，求1 +订-卿的值勺【例g】假设気恥互异，且亠=丄=丄，求开+£的值"a-b b-c c-a【例:10】己知肿+用-1=0,求 + 2+2005的值。三、 一元一次方程1等式的性质：等式性质 1 ：等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质 2：等式两边都乘以或除以同

19、一个不为零的数，所得结果仍是等式.2方程 ：含未知数的等式，叫方程 .3方程的解： 使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解； 注意：“方程的解 就能代入！4一元一次方程： 只含有一个未知数， 且未知数的次数是 1，并且含未知数项的 系数不是零的整式方程是一元一次方程 .7. 元一次方程的标准形式：ax+b=O x是未知数，a、b是数，且az0.8. 元一次方程的最简形式：ax=b x是未知数，a、b是数，且az 0.9. 一元一次方程一般步骤：整理方程。去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1检 验方程的解 .10 .列方程解应用题的常用公式：1周长、面积、体积问题：C圆=2 n R,

20、S圆=n R, C长方形=2a+b , S长方形=ab, C正方形=4a,S正方形=a , S环形=n (R-r ),V 长方体=abc , V正方体=a , V圆柱=n R"h , VRh.3(2) 柱体的体积等于底面积乘以高，当体积不变时，底面越大，高度就越低. 所以等积变化的相等关系一般为：变形前的体积=变形后的体积.(3) 打折销售这类题型的等量关系是：利润二售价-本钱.(4) 行程问题中关建的等量关系：路程=速度X时间，以及由此导出的其化 关系.(5) 在一些复杂问题中，可以借助表格分析复杂问题中的数量关系，找出假设 干个较直接的等量关系，借此列出方程，列表可帮助我们分析各

21、量之间的相互关 系.(6) 在行程问题中，可将题目中的数字语言用“线段图表达出来，分析问 题中的数量关系，从而找出等量关系，列出方程.(7) 关于储蓄中的一些概念：本金：顾客存入银行的钱；利息：银行给顾客的酬金；本息：本金与利息的 和；期数：存入的时间；利率：每个期数内利息与本金的比；利息 二本金X利率 X期数；本息二本金+利息.典型例题解析1：1、解以下方程：(1)2 1(2) - - - 1 2 x 2 ；362 3 4(3) 0.70.3x 0.21.5 5x0.20.52、能否从(a 2)x b 3 ；得到x H，为什么？反之'能否从x工得到(a 2)x b 3，为什么？3、假

22、设关于x的方程罗2詈，无论K为何值时'它的解总是x 1，求m、 n的值。4、假设 (3x 1)85x84xL ax a°。求a53493a?a°的值。5、x 1是方程2mx 3x j的解'求代数式(m2 7m 9严的值6、关于x的方程(2k 1)x 6的解是正整数，求整数K的值。7、假设方程2x屮4 6x与方程2mx竽2专同解求m的值。8关于x的一兀一次方程(m2 1)x2 (m 1)x 8 0求代数式200( m x)(x 2m) m的值。9、解方程汽几无L2006 2007200610、方程2(x 1)3(x 1)的解为a 2，求方程22(x 3) 3(

23、x a) 3a的解。11、当a满足什么条件时，关于x的方程|x 2| |x 5| a，有一解；有无数解;无解。典型例题解析21、要配制浓度为20%的硫酸溶液100千克，今有98%的浓硫酸和10%的硫酸， 问这两种硫酸分别应各取多少千克？2、一项工程由师傅来做需8天完成，由徒弟做需16天完成，现由师徒同时做了 4天，后因师傅有事离开，余下的全由徒弟来做，问徒弟做这项工程共花了几天？3、某市场鸡蛋买卖按个数计价，一商贩以每个 0.24元购进一批鸡蛋，但在贩运 途中不慎碰坏了 12个，剩下的蛋以每个0.28元售出，结果仍获利11.2元，问该 商贩当初买进多少个鸡蛋？4、某商店将彩电按原价提高40%，

24、然后在广告上写“大酬宾，八折优惠结果 每台彩电仍可获利270元，那么每台彩电原价是多少？5、一个三位数，十位上的数比个位上的数大 4个位上的数比百位上的数小2, 假设将此三位数的个位与百位对调，所得的新数与原数之比为 7:4,求原来的三位 数？6、初一年级三个班，完成甲、乙两项任务，一班有45人，二班有50人,三班有43人，现因任务的需要，需将三班人数分配至一、二两 个班，且使得分配后二班的总人数是一班的总人数的 2倍少36人，问: 应将三班各分配多少名学生到一、二两班？7、一个容器内盛满酒精溶液，第一次倒出它的1后，用水加满，第二次倒出它的31后用水加满，这时容器中的酒精浓度为25%，求原来

25、酒精溶液的浓度。28某中学组织初一同学春游，如果租用 45座的客车，那么有15个人没有座位; 如果租用同数量的60座的客车，那么除多出一辆外，其余车恰好坐满，租用45座的客车日租金为每辆车250元，60座的客车日租金为每辆300元，问租用 哪种客车更合算？租几辆车？9、1994年底，张先生的年龄是其祖母的一半，他们出生的年之和是 3838,问 到2006年底张先生多大？10、有一满池水，池底有泉总能均匀地向外涌流，用 24部A型抽水机，6 天可抽干池水，假设用21部A型抽水机13天也可抽干池水，设每部抽水机单位时间的抽水量相同，要使这一池水永抽不干，那么至多只能用多少部 A 型抽水机抽 水？1

26、1、狗跑 5步的时间，马能跑 6步，马跑 4步的距离，狗要跑 7 步，现在狗已跑 出 55 米，马开始追它，问狗再跑多远马可以追到它？12、一名落水小孩抱着木头在河中漂流， 在 A 处遇到逆水而上的快艇和轮船， 因 雾大而未被发现， 1 小时快艇和轮船得悉此事，随即掉头追救，求快艇和轮船从 得悉到追及小孩各需多少时间？四、图形初步认识总复习一多姿多彩的图形立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球、台体等1、几何图形平面图形：三角形、四边形、圆等 .主正视图 从正面看2、几何体的三视图侧左、右视图 从左右边看俯视图 从上面看1会判断简单物体直棱柱、圆柱、圆锥、球的三视图 .2能根据三视图描述根本几何

27、体或实物原型 .3、立体图形的平面展开图1同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平现图形不一样的 .2了解直棱柱、圆柱、圆锥的平面展开图，能根据展开图判断和制作立体模 型.4、点、线、面、体1几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最根本的图形 . 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线 .面：包围着体的是面，分为平面和曲面体：几何体也简称体.(2) 点动成线，线动成面，面动成体.(二) 直线、射线、线段1根本概念图形直线射线线段端点个数无一个两个表示法直线a直线AB(BA射线AB线段a 线段AB (BA作法表达作幟B作射线AB作线段a; 作线段AB连接AB延长表达不能延长反向

28、延长射线AB延长线段AB 反向延长线段BA2、直线的性质经过两点有一条直线，并且只有一条直线简单地：两点确定一条直线.3、画一条线段等于线段(1) 度量法(2) 用尺规作图法4、线段的大小比拟方法(1) 度量法(2) 叠合法5、线段的中点(二等分点)、三等分点、四等分点等 定义：把一条线段平均分成两条相等线段的点.图形：A M B符号：假设点 M是线段AB的中点，贝U AM=BM=ABAB=2AM=2BM.6、线段的性质两点的所有连线中，线段最短.简单地：两点之间，线段最短.7、两点的距离连接两点的线段长度叫做两点的距离.&点与直线的位置关系(1)点在直线上(2)点在直线外.(三) 角

29、1角：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角2、角的表示法(四种)：3、角的度量单位及换算4、角的分类锐角直角钝角平角周角范0v/B90° v/B围<90°=90°<180°=180°=360°5、角的比拟方法(1) 度量法(2) 叠合法6、角的和、差、倍、分及其近似值7、画一个角等于角(1) 借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0180°之间共能画出11个角.(2) 借助量角器能画出给定度数的角.(3) 用尺规作图法.&角的平线线 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平 分线.图形：符号：9、互余、互补(1) 假设/ 1+Z 2=90°,那么/ 1与/2互为余角.其中/ 1是/2的余角，/ 2是 Z1的余角.(2) 假设/ 1+Z 2=180°,那么/ 1与/2互为补角.其中/ 1是/2的补角，/ 2 是/ 1的补角.(3) 余(补)角的性质：等角的补(余)角相等.10、方向角(1