数学与应用数学专业毕业论文时间尺度上具分布滞量的二阶半线性动力方程的振动性

1、时间尺度上具分布滞量的二阶半线性 动力方程的振动性数学与应用数学专业学生：曹慧霞 指导老师：曾云辉摘要：本文研究了一类时间尺度上具有分布滞量的二阶半线性阻尼动力方程的振动 性质，通过引入参数函数，广义 riccati变换和yang不等式技巧等方法，给出了此类方程所 有解振动的充分条件，所得结果的推广和改进了已有文献的结果关键词：时间尺度；分布滞量；半线性；振动性1引言本文讨论如下的一类时间尺度上具有分布滞量的二阶半线性动力方程(a(t)x%) 1%)+p(t)x%),x%) + q(t/)x(g(t/) “x(g(t4)忒=0,at w t. (1)的振动性质，其中1 >1 ,在本文中假

2、设：(hi)时间尺度t(它是实数域r上的非空闭子集)是无上界的，设lw t且片a0,我们定义时间尺度区间a,bt=t = t：a <t <b,a,b= r =a,bc t ；(hz)a, p：t-> r是正的实值 rd 连续函数，满足p/ar*, q(t,d, h (t,s)w crd (tx a,bt，t),且q(t, u), h (t,s)主0最终不恒为零，h(t,s)在t上对第二个变量有连 续偏导数，即h &(t,s);(h 3) g(t, 0 w crd (t x a,bt,t), g(t, )<t,a, b t, g(t, 关于二分别是tt t上严格递

3、增的，且有limmin g(t，d =0°与方程(1)中的积分是stiejes积分.1(h4)满足-c7exp(-as)%w=y.to a( ) t1 a(s)2主要引理：引理2.114如果g w r +即g : tt r是实值rd -连续函数，并且对于任意的tto严)t，满足1 +如(t)g(t) >0,则初值问题ya = g(t)y,y(to) = y0 r在to严)t上有唯一的正解eg( %).这个 指数函数”满足半群性eg (a, b)eg (b, c) = eg(a,c).t ：=v(t).设8：t r r,引理2.2i4假设v：tt r是严格递增函数，并且时间尺度如

4、果对任意的t w工vt)和co (v(t)存在，则(2),i4 一一，一，-引理2.3 设x(t)是-可微的，并且最终为正或最终为负，则i(x ) ： = x hxc (i -h)x，dh.0(3)引理2.4i4设x和y均为非负实数，则对于任意的九aixy j -x < ( -1)y ；(4)当且仅当x =丫时等号成立.引理2.5假设条件(hi) (h4)和(5)成立.设x(t)是方程(1)的一个最终正解.则存在ti w *0,0°)丁使得当 t wti,°°)t时，则x之0,(a(t)xi x (t) y0.(5)证明假设方程(1)在t0,g)上有一个非振

5、动解x(t),不妨设存在ti w to,m)t使得当 t w ti严),<x(t)>0,x(g(t)>0, a, b f x(t) < 0 时同理可证).下证x弋t) >q,t = t,t 2t0.若不然,对 ti >to ,当 t 占ti时有 x，)<0,令u(t) =-(a(t)x (t),x <t),则 u%) =(a(t)x%),x%)之一必”u(t)从而有 a(t)t对(6)在t0,t上积分,可得jt0u't)u(t)_ p(t)一 a(t)(6)u (s)u(s)ts -包 t0 a(s)ts,也就是 u(t)之 cexp(

6、j()叫)， t0 a(s)t其中c >0是常数.故xt) <-exp(f- a(t)t0p(s)a(s)is)，c对万程(7)在to，t上积分，得x(t) <x(to)- h to a()t1exp . ：s .'： 'to a(s)令 tt g，并结合（5）有 ijm x（t） x（t0）一 t ）：t climtoonexp? 一p(s)o0a(s)这与假设x（t）0矛盾，所以xa（t） 0.证毕.3主要结果及证明定理3.1假设条件（hj （h3）和（5）成立。如果存在一个正的可微函数z:tt r,tlim sup (1(s) -t 1t0a(g(s,a

7、)z (s) _ p(s) z(s) a(s)(1) 1(g (s,a)z(s) s =二(8)成立，则方程（1）在t0严）ph是振动的.证明假设方程（1）在to,g）h有一个非振动解x（t）,不妨设存在ti w t0,m）t使得当 t 乏t1严)/，有 x(t) >0 , x(g(t, -) > 0, - = a,b j(x(t) < 0 时同理可证).由引理2.5，又由g(t,t)是关于已是非减的，因此g(t/)>g(t,a),ea,bt,从而有 x(g(t,a) < x(g(t, -) < x(t),t w t, t w a,团丁下证 x怨 <

8、qt 2t0.由(a(t)x%) 'x%)&m0,t 40,即(a(t)(x%)y卢40,t ft。，所以1a ：(t)(x ：(t)a二(t)(x (t)/=a (t)(x (t) - x (t) hx 二(t) (1 -h)x ：(t),dh 三 00即x%(t) mqt之t0,所以1aavb(a(t)xa(t)xa(t)a+p(t)xa(t)x%) +(x(g(t,a)q(t,句 j0,(9)ab为书写方便，我们记 /=n1(t) = q(t/)aw ,(下同)a则(9)式可简写(ax& *x3a+pxa tx&+(xg) "/ <0,(1

9、0)应用前几个引理及文献14,在3,°°)t上，有1-, a( x ) _a；，(x 二),(x 尸 =xfx g x g -1(a 二)x cx ： g-(a g)(11)1成立.从而(x g)=(x g) : h(x g 二)(1 - h)(x g),dh01一 (x g) : h(x g) (1 -h)(x g),dh ='(x g) '(x，g)g :. 0由上式和式（11）的第一个不等式，即可得到在t0,8）t上,(x g) '(x g)(12)a(x )在t1,0°)h定乂函数 w 为 w = z寸(x g)(13)则在t1严）

10、t上,有w（t） >0.于是，有1zg(w二) 11(a g) (z二)=zn1 +九xyl x 得t-w(t1) m w(t) -w(l)三-.(ji(s)-a(g(s,a)z (s) p(s)z(s)t1a(s)；一-' v-)z(s) s(1) (g (s,a)t即在也严）t上，下式（匕）t1a(g(s,a)z (s) _ p(s) z(s) a(s)(1) 1(g (s,a)z(s) s - w(t1)成立.证毕.定理3.2假设条件（h1）（h3）和（5）成立.如果存在正的可微函数z：tt r和常数m w n0,使得z （s） p（s） 11 t ma（g（s'a

11、）z（s） 一 a（s）limiup严,（t-s） （“s）hgf）z（14）成立，则方程（1）在t0,g）k是振动的.证明 假设方程（1）在t0,g）计有一个非振动解x（t）.不妨设存在ti乏t。,8）使得当t wt1,9)/寸，有 x(t) >q,x(g(t,a) >0.-1_ -w ：(s)类似于定理3.1的证明,我们得到式（14）.由式（14）可知,在t1严）t上，下式a(g(s,a)z(s) 1 (s) -r军 1.(1) (z(s)g (s,a)成立，因此对于t wt1,g）有t(t-s)m(j1(s)-a(g(s,a)z (s) _ p(s) z(s) a(s)(1)

12、 1(g (s,a)t)z(s) ：s -(t-s)mw :(s) ：st1=-(t -s)mw(s) tit+ f(t -s)m)aw(<t(s)as<(t -t1)mw(t1).由上 式得，对于t1t匚t1产）t，有1 t71m . (t -s)m(j1(s)- t t1a(g(s，a)屠-黑4一)z(s)s八(1)1(g (s,a)?1)mw(t1),证毕.5.例:考虑方程22t3x 弋t)3x)2.23彳a4 1、3, r 1 j、3+ / x (t) x (t) + j xq)t2 t0,t 2z,t -t0 :=2.(15)在方程（15）中,2二 11ta(t) =t3

13、,p(t) =/,q(t, )2,g(t,)= 一，ttn条件（hi）和（h3）显然成立.因为当t之2时,一p(t)a(t)1=1 -t 8t31=1 - 50,t3则条件（h 2）是成立的，接下来由文献15,引理2和条件（h2）得，当t之2时,p(s)e足,2） 一二班）t 8ss =1 - s 3 ss = 1255t飞2飞52一3 -152t飞1 2飞51 -2飞522一 一 一 1,t 3 1-2 3 - 1 - 2 3 .,3t因此，当tt的时，21a(s)1e4 a(s，2) .$ =51s ls =()2333t5-53-'25 -1从而当t之2时，令z（t） =t,则当

14、tt笛时,tj1(s)-2a(g(t,2)z (s) p(s)z(s) a(s)(1)(1)(gt,2)1z(s) s=口42 s2 s 3s3l8s5(：)'(：)¥32, t 111s s s = -log2(t) - 二2 4s4乙因此条件（8）是成立的，有定理3.1知，方程（15）是振动的.【参考文献】1 hilger s. analysis on measure chains-a unied approach to continuous and discrete calculusj. results math,1990, 18:18-56.2 agarwal r p

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