静态误差理论及数据处理数据报告

1、静态误差理论及数据处理综合应用报告摘要：误差理论从产生到发展，经历了很长一段时间。研究误差的意义在于能够正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，并且正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果。本文主要针对静态误差，具体阐述了静态误差理论，以及静态误差理论在实际数据处理中的具体运用。关键字：静态误差 数据处理一、静态误差理论1. 误差的基本性质1.1误差的基本概念误差是评定测量精度的尺度，误差越小表示精度越高。1在测量中，误差就是测量值与真值之差。若某物理量的测量值为y，真值为Y，则测量误差dy = y - Y。虽然真值是客观存在的，但实际应用时它一般无从得知。按照误差的性质，可分为随机误差，系统

2、误差和粗大误差三类。随机误差：是同一测量条件下，重复测量中以不可预知方式变化的测量误差分量。系统误差：是同一测量条件下，重复测量中保持恒定或以可预知方式变化的测量误差分量。粗大误差：指超出在规定条件下预期的误差。1.2随机误差1.2.1 定义测得值与在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值之差。又称为偶然误差。1.2.2 特征在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差。 1.2.3 关于随机误差的正态分布特征当对同一量值进行多次等精度的重复测量，得到一系列的测量值，每个测量值都含有误差，这些误差的出现没有特定的规律，但就误差的总体而言，却有统计规律

3、。多数随机误差都服从正态分布。2分析服从正态分布的随机误差的特性。设被测量值的真值为，一系列测得值为，则测量列的随机误差可表示为： 式中。正态分布的分布密度与分布函数为 式中：标准差（或均方根误差） e自然对数的底，基值为2.7182。它的数学期望为： 它的方差为：由正态分布函数公式可知，即绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等，这称为误差的对称性；绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多，这称为误差的单峰性；随机误差只是出现在一个有限的区间内，即-k,+k,称为误差的有界性；随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零，这称为误差的补偿性。31.2.4 算术平均值及标准差的计算1.2

4、.4.1 算术平均值由于随机误差的抵偿性，当测量次数足够多时，正，负误差的绝对值相等，因此，多次测量的算术平均值作为被测量的测量结果，能减小随机误差的影响。设x1,x2,x3, ,xn为n次测量值,则算术平均值x为x=1ni=1nxi1.2.4.2 实验标准（偏）差由于随机误差的存在，等精度测量中各测得值一般皆不相同，它们围绕着测量列的平均值有一定的分散性，测量的标准差可用实验标准（偏）差表征，由贝赛尔公式计算。s=1n-1i=1n(xi-x)2应当指出，标准差不是测量列中任何一个具体测得值的随机误差，标准差的大小说明在一定条件下的等精度测量随机误差的概率分布情况。标准差大，随机误差的分布范围

5、宽，精密度低；标准差小，随机误差的分布范围窄，精密度高。1.2.4.3 算数平均值的标准偏差如果在相同条件下对同一量值做多组测量，每一测量列都有一算术平均值，由于随机误差的存在，各个测量列的平均值各不相同，它们围绕着真值有一定的分散性，因此可用算术平均值的标准差来表征算术平均值的分散性。sx=sn=1n(n-1)i=1n(xi-x)21.3系统误差 1.3.1 定义在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。1.3.2 性质 在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差。1.3.3 系统误差的发现

6、方法如何发现测量中的系统误差，是分析和处理系统误差的首要问题。只有将产生系统误差的因素全部找出，才能采取相应的措施消除或减弱系统误差对测量结果的影响。由于产生系统误差的因素是多方面的，又很复杂，我们还不能找到一套适用于所有系统误差的通用方法。但对于测量中存在的较为显著的系统误差，可以通过一些检验方法和手段发现。4 1. 通过实验对比检验系统误差为了验证某一测量仪器或测量方法是否存在系差，可用高一级精度的仪器或测量方法给出标准量进行对比检验。这种检定不仅能发现测量中是否存在系差，而且能够确定具体数值。有时，由于测量精度高或被测参数复杂，难以找到高一级精度的测量仪器或测量方法提供的标准量。此时，可

7、用同精度的其它仪器或测量方法给出的测量结果作对比，若发现明显差别，表明二者之间有系差。2. 通过理论分析判断系统误差对测量器具、测量原理、方法及数据处理等方面进行具体分析，能够找到测量中的各系差因素。3. 对测量数据进行直接判断通过观察测量数据的变化趋势，直接发现测量中的系统误差。这一方法较为粗略，但简单易行。4. 用统计方法进行检验按随机误差的统计规律做出某种统计判断，如果不相符合，则说明包含系统误差。由于这种判别方法不涉及测量本身，仅针对测量数据因而便于使用。但每种统计方法都不是完美的，其应用是有限的，常用的有：残差校验法、阿贝-赫梅特判别法、残差总和判别法、标准差比较法等。1.4 粗大误

8、差1.4.1 粗大误差的产生原因测量数据中包含随机误差和系统误差是正常的，只要测量误差在一定的范围内，测量结果就是正确的。但当测量者在测量时由于疏忽造成错误读取示值，错误纪录测量值，错误操作以及使用有缺欠的计量器具时，会出现粗大误差，此数据的误差分量明显偏大，即明显歪曲测量结果。任意一测量数据都含有测量误差，并服从某一分布，它使测量结果具有一定的分散性。因此，任凭直观判断，难于区分含有粗大误差的异常数据和正常数据。1.4.2 粗大误差的判别方法在测量过程中，确实是因读错记错数据，仪器的突然故障，或外界条件的突变等异常情况引起的异常值，一经发现，就应在记录中除去，但需注明原因。这种从技术上和物理

9、上找出产生异常值的原因，是发现和剔除粗大误差的首要方法。有时，在测量完成后也不能确知数据中是否含有粗大误差，这时可采用统计的方法进行判别。统计法的基本思想是：给定一个显著性水平，按一定分布确定一个临界值，凡超过这个界限的误差，就认为它不属于偶然误差的范围，而是粗大误差，该数据应予以剔除。在判别某个测得值是否含有粗大误差时，要特别慎重，应作充分的分析和研究，并根据判别准则予以确定。常用的判别准则有：准则；罗曼诺夫斯基准则；格罗布斯准则等2. 测量不确定度2.1 定义测量不确定度是指测量结果变化的不肯定。5它是表征被测量的真值在某个量值范围的一个估计，是测量结果含有的一个参数，用来表示被测量值的分

10、散度。从测量不确定度的定义中可知，一个完整的测量结果包括：被测量值的估计和分散性参数两个部分。即：测量结果=被测量的估计值+不确定度。2.2 分类不确定度从评定方法上可分为两类：A类分量和B类分量。用统计方法来评定的不确定度称为A类不确定度评定，当测量误差服从正态分布时，以标准差表示称为标准不确定度，用符号u表示，u=s。由于标准差所对应的置信概率通常不够高，正态分布情况下仅为68.3%，因此还可用标准差的倍数来表示不确定度，用符号UA表示。扩展不确定度和标准不确定度的关系为UA=ku，式中k称为包含因子（或覆盖因子），是相对于置信概率p的置信系数。由于实际测量时一般为小样本，u的可信程度较低

11、，所以应按t分布确定k值，t分布系数由附录中查找。不能由统计方法评定的不确定度称为B类不确定度评定，A类以外的不确定度均属B类不确定度。进行B类不确定度评定时，须分析实际情况，利用生产部门或研究部门提供的技术说明文件，以及对测量仪器特性的了解和经验，对测量值B类不确定度做出评定。要求评定者有一定的分析能力和经验，能根据不同的信息资料做出相应的处理。如当测量仪器检定证书上给出准确度等别时，可按检定系统或检定规程所规定的该等别的不确定度大小，按规定的分布（正态分布或t分布等）求出B类不确定度。当量仪器检定证书上给出准确度等级时，可按平均分布利用仪器规定的最大仪器误差进行评定。2.3 直接测量不确定

12、度的评定直接测量就是用测量仪器直接获得被测量的量值的方法，分为等精度和不等精度直接测量。2.3.1 等精度直接测量的不确定度评定等精度测量是指参与测量的要素均不发生改变的条件下进行的多次重复测量。等精度测量是一个理想的条件。对等精度测量进行不确定度评定，首先要判定是否存在系统误差和粗大误差，对系统误差设法消除或加以修正，对测量数据进行粗大误差的判别，确定为粗大误差的应予以删除，不能够消除的系统误差应进行不确定度的B类评定。不确定度的A类评定:计算测量列的算术平均值x：x= 1ni=1nxi计算残余误差vi：vi=xi-x计算算术平均值的标准偏差sx， 及标准不确定度u=sx=1n(n-1)i=

13、1nvi2确定包含因子kp包含因子kp与测量列的分布特征，自由度及置信水准p有关。计算扩展不确定度UAUA=kpu 或UA=tpu不确定度的B类评定：已知置信水准和包含因子根据经验和有关信息资料，由置信区间a和相应的包含因子k按照公式求出标准B类不确定度：u=ak已知扩展不确定度和包含因子如果仪器制造部门的说明书中明确给出扩展不确定度U和包含因子K，则可求出标准B类不确定度：u=Uk已知使用仪器的等级如果仪器制造部门的说明书中明确给出测量仪器的准确度等级，可按最大允许误差A来求标准B类不确定度：u=A3已知重复性限和重复性限求不确定度如果仪器制造部门的说明书中明确给出重复性限r和复现性限R，则

14、标准B类不确定度为：u=r2.83 或 u=R2.83考虑到包含因子，总的B类不确定度为：UB=kpu总的不确定度：U=UA2+UB2测量结果的表达X=x±U 并标明置信水准2.3.2 不等精度直接测量的不确定度评定计算不确定度时B类不确定度的求法与等精度测量相同，A类不确定度的计算如下：权值的确定不等精度测量是指在测量过程中，除被测对象不改变，其他的要素发生改变的测量。如仪器、测量方法、测量环境以及测量人员中任何一项发生改变，都可认为是不等精度测量。不等精度测量中不确定度计算涉及权w，即测量的可信赖程度，权值越大可靠程度越高。在其他测量条件相同的情况下，测量次数越多，则测量结果越可

15、靠，其权值也越大，故可用测量次数来确定权值，即w=n。假定同一个被测量有m组不等精度的测量结果，这m组测量结果是从单次测量精度相同而测量次数不同的一个系列测量值求得的算术平均值。因为单次测量精度都相同，其标准差均为s，则算术平均值的标准差为Si=Sni i=1,2,3, ,m由此得到n1s12=n2s22=nmsm2=s2，因为w=n， 又可写成w1s12=n2s22=nmsm2=s2或表示成 w1:w2: :wn=1s12:1s22:1sn2即测量结果的权值wi与其相应的方差成反比测量列的算术平均值x：x=i=1nwixii=1nwi算术平均值的标准偏差sx：sx=1i=1n1si2上式是已

16、知si时的不确定度计算，如果权值已知，当然也可根据权值计算不确定度，见下式：sx=i=1nwivi2(n-1)i=1nwi计算扩展不确定度UAUA=kpu包含因子kp与测量列的分布特征、自由度及置信水准P有关最后合成总不确定度U=UA2+UB2 并写出结果表达式2.4 提高测量精度的途径在拟定或设计测量方法时，需要确定测量的不确定度。测量的总不确定度应根据被测量的精度要求恰当的给以规定。反过来，要想提高测量的精度，就应尽可能的减小最后结果的总不确定度。根据不确定度的合成关系，可从下面几方面着手。控制测量的误差因素控制各误差因素来减小各不确定度分量，这是提高测量精度的最基本方法。首先从根源上消除

17、或减小误差的影响。对测量的环节进行具体分析，找出产生误差的原因，采取恰当的措施减小或消除。例如严格控制环境温度，保证稳定的测量环境，选择好的测量仪器，提高仪器的测量精度等。再次选择恰当的方法，能避免某些误差因素对测量结果的影响。例如：对称测量可消除线性变化的误差，对于周期性的系差采用一定的方法（半周期法）可减小或消除。选择有利的测量方案在间接测量中，测量结果往往与很多因素有关，测量方案的选择有多种，最佳的方案就是使测量结果的不确定度达到最小的方案。要做到这一点，应从两方面入手，首先选择最佳的测量公式。一般说来，间接测量的函数公式可能不止一种，在间接测量的函数公式中，不确定度分量的个数越少，合成

18、的总不确定度就会越小。因此如果可由函数公式所涉及的直接测量的个数最少来确定函数公式，既确定测量方程的最佳形式。另外，间接测量的不确定度还与灵敏系数有关，应遵循灵敏系数最小原则。根据不确定度的传播公式，显然，若灵敏系数越小，则相应的直接测量量的不确定度分量与灵敏系数的乘积就越小。因此，若能使不确定度分量的灵敏系数最小，就可减小其对间接测量的总不确定度的贡献。控制误差的最大分盘与微小误差相反，在测量中，一个或几个大的误差对测量精度的影响举足轻重。若能适当减小这一个或几个直接测量量的不确定度，就可大大减小最后测量的总不确定度，从而提高测量的精度。因此，为了有效的提高测量精度，还应从大的误差分量下手，

19、适当控制最大误差分量。3. 回归分析在科学实验中，常常需要寻求相互关联的两个或多个变量之间的内在联系。根据测量得到的若干组两个或多个变量的对应数据，求表示这些变量间关系的解析式的过程称为回归。6最简单的回归分析就是线性回归，又以两个变量的线性回归最简单。3.1 直线拟合最小二乘法假定所研究的变量x和y之间存在线性关系，则函数形式可写成y=a+bx由于自变量只有一个，故称为一元线性回归。利用测量的一组数据xi，yi，（i=1,2,n）来确定系数a和b。由于测得的xi，yi，不可能完全落在同一直线上，因此，对应于每个xi，观测值yi，和最佳经验公式的y之间存在一个偏差，我们称它为观测值yi的残差e

20、。7残差的正负和大小表示了实验观测点在回归法求得的直线两侧的分散程度。为了使残差的正负不抵消，且考虑所有实验值的影响，我们计算残差的平方和RSS。如果a和b的取值使残差的平方和RSS最小，a和b即为所求值。3.2 直线拟合最小一乘法一元线性回归是处理两变量关系的最简单的模型。当样本中存在异常值时,经最小二乘法拟合的直线会偏离真实直线，出现偏差。这是因为最小二乘法拟合时，是利用残差平方和最小进行线性拟合，当有异常值时，其残差较大，残差平方和会进一步放大，为了使残差平方和最小，必然把拟合直线拉向异常值，从而偏离真实直线。8但最小一乘法在线性拟合时，是利用偏离直线的绝对值之和最小为依据，因此异常值的

21、影响没有最小二乘法那么显著，是一种稳健性的线性拟合方法。但在计算上，不像最小二乘法那样，有明确的计算公式，并且会出现拟合直线不唯一的情况。由于最小一乘法的计算量大，它的使用不像最小二乘法那么普及。一些文献中的最小一乘法是利用坐标轴平移，把拟合直线的一般形式，变成无截距的形式，每个样本点处找到过样本点(带约束)的最优直线，在所有样本点的最优直线中比较它们的最小绝对值之和，找出最小的值，它所对应的那条直线即为所求直线。当为最优直线时，每个样本点处偏离直线的绝对值之和位于一折线凸函数的最低点上，在此最低点左侧折线的斜率小于零，右侧折线的斜率大于等于零。9利用此性质，确定每个样本点的最优直线。本算法则

22、是利用最小一乘法的特点，最优直线过其中的两个样本点，只要找到这两个样本点就可以确定直线方程，把直线确定转化为样本点的确定。二、数据处理综合应用1. 误差的基本性质与处理实验内容：对某一轴径等精度测量8次，得到下表数据，求测量结果。序号1234567824.67424.67524.67324.67624.67124.67824.67224.674假定该测量列不存在固定的系统误差，则可按下列步骤求测量结果。1、算术平均值2、求残余误差3、校核算术平均值及其残余误差4、判断系统误差5、求测量列单次测量的标准差6、写出最后测量结果实验过程：算术平均值根据：可得：x=i=18li8=24.674125求

23、残余误差根据：-计算可得：li24.67424.67524.67324.67624.67124.67824.67224.674vi-0.000130.000875-0.001130.001875-0.003130.003875-0.00212-0.00013校核算术平均值及其残余误差残差和：=0.000375 残余误差代数和绝对值应符合：当n为偶数时，A 当n为奇数时，测量列中单次测量的标准差测量列算术平均值的标准差=0.000843644=0.0022320712判别系统误差对某量进行10次测量，测得数据为14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.9，14.8，15.

24、1，15.0，试判断该测量列中是否存在系统误差。解：按贝塞尔公式 按别捷尔斯法 由 得 所以测量列中无系统误差存在。3. 判别粗大误差在实验数据的处理过程中，一般不需判断测量的原始数据是否正确，当测量数据含有粗大误差时，对测量结果将造成歪曲并影响不确定度的大小。在此，以钢丝杨氏模量直径测量数据为例，当测量数据中含有粗大误差时，用两种数据处理方法分别求最佳值和不确定度并进行比较。实验原始数据如下表：测量次数n12345678直径 D(mm)0.8960.9120.8890.8950.8930.9960.8970.893直接计算平均值及测量列的标准差D=i=1nDi8=0.909(mm)SD=I=

25、18(Di-D)28-1=0.035855(mm)进行测量数据的分析判断粗大误差的判别方法很多，由于狄可逊准则不需计算标准差，可以快速的判别异常数据。因此此处利用狄可逊准则进行检验。首先将测量数据按顺序排序，排序如下：0.8890.8930.8930.8950.8960.8970.9120.996由于最后一个数据和它前一数据比较，出入较大，因此有理由怀疑最后一个是可疑数据。确定检出水平a=0.05，剔除水平a*=0.01经查表得到测量次数为8次时的狄可逊统计量r08,0.01=0.683r08,0.05=0.554当测量次数为8时，用下式计算狄可逊统计量。r(n)=x(n)-x(n-1)xn-

26、x(2)得到：r8=0.996-0.9120.996-0.893=0.816由于r8>r0(8,0.01),可以确定测量数据中的0.996含有粗大误差，为异常数据而且应剔除并应在原始数据中进行标识。原始数据整理为：测量测试n12345678直径D(mm)0.8960.9120.8890.8950.8930.9960.8970.893剔除异常数据后，对剩下的原始数据重新分析判断，发现已不存在粗大误差。这时对剩下的原始数据计算最佳值及测量列的标准差。计算如下：D=I=18DI-0.9967=0.896(mm)SD=I=18(DI-D)2-(0.996-0.896)26=0.0073(mm)4

27、. 不确定度的计算某圆球的半径为r，若重复10次测量得r±r =(3.132±0.005)cm，试求该圆球最大截面的圆周和面积及圆球体积的测量不确定度，置信概率P=99。解：求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度已知圆球的最大截面的圆周为：其标准不确定度应为： 0.0314cm确定包含因子。查t分布表t0.01（9）3.25，及K3.25故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为：UKu3.25×0.03140.102求圆球的体积的测量不确定度圆球体积为：其标准不确定度应为：确定包含因子。查t分布表t0.01（9）3.25，及K3.25最后确定的圆球的体积的测量不确定度

28、为UKu3.25×0.6162.0025. 最小二乘法的应用以液体旋光率实验为例，进行葡萄糖溶液浓度的反预测，计算葡萄糖溶液浓度的反预测值及其不确定度计算。葡萄糖溶液浓度及旋光度测量数据如下表：浓度(g/ml)0.1000.1250.1500.1750.2000.250未知零点误差旋光度(*)左9.7012.3514.9017.1520.3025.3012.60-0.10右9.6512.3514.8517.1020.2025.2512.550测量条件：T=18.3 =589.3nm L=20cm经过计算旋光度和浓度关系对应如下：浓度(g/ml)0.1000.1250.1500.175

29、0.2000.250未知旋光度(。)9.7212.4014.9217.1820.3025.3212.62 直接预测不求不确定度 以浓度为自变量x，旋光度为因变量y，利用关系式=CL用最小二乘法直线拟合无截距形式y=bx进行数据处理得：旋光率的计算斜率 b=L=i=16xiyii=16xi2=100.18则 旋光率为：=50.09ºmlg.dm浓度反预测点的计算x=yb=12.62100.18=0.126 g/ml有不确定计算的预测旋光率的计算以浓度为自变量x，旋光度为因变量y，利用关系式=CL用最小二乘法直线拟合无截距形式y=bx进行数据处理得：斜率 b=L=i=16xiyii=16xi2=1