高等数学第二章导数与微分课后复习资料

1、高等数学(同济大学数学系)第七版第二章导数及微分课后答案导数概念2L设物体绕定轴旋转，在时间间隔0,上转过角度6.从而转角夕是i的函数：”0(t).如果旋转是匀速的，那么称3:-为该物体旋转的角速度.如果旋转是非匀速 I的,应怎样确定该物体在时刻。的角速度？解 物体在时间间隔,/ + A，上的平均角速度一 外 + 加)-。()CO = ；A/A/在时刻的角速度X(i3 = liin U) = lim = G'( S )取o .o A/?&2,当物体的温度高周围介质的温度时，物体就不断冷却.若物体的温度T与时间/的函数关系为7= 7(,) .应怎样确定该物体在时刻，的冷却速度？解

2、 物体在时间间隔if.2+AH上平均冷却速度一 A7'+-T(t)V = =加M在时刻，的冷却速度T(/ +A/) -7(/)v = lim = lim；= / I).3i。Al wSt囱3.设某工厂生产一件产品的成本为(：(x) = 2000 + 100# - 0. 1#2(元)，函数C(函称为成木函数，成本函数C(函的导数C'd)在经济学中称为边际成本.试求(1)当生产100件产品时的边际成本;(2)生产第101件产品的成本，并与(1)中求得的边际成本作比较，说明边际成 本的实际意义.解(1 ) C(x) = 100 -()2,C*( 100) =100-20 =80(元/

3、件).(2) C( 101 ) = 2 000 + 100 x 101 -0. I x ( 101 )2 = I 1 079. 9(元)，(：(100) = 2()00 + 100 x 100 -0. I x (100)2 = 11000(元),C( 101 ) - (：( 100) = 11 079. 9 -11 000 = 79. 9(元).53一、高等数学(第七版)上册习题仝解/(x)=3"则/(欠)在X = 1处的().(A)(C)左.右导数都存在左导致不存在，右号数存在(R)(D)左导数存在，右导数不存在 左/中数都不存在厂Ua1二232,v .33hm.-1 X - 1=

4、lim -="( AT2 4- X 4- 1 ) = 2 ；73，2.二！故该函数左导数存在，石.导数不存在，因此应选(B).E58.设/(4)可导JC) =/(/) (1 +1 sin/ ),则/(0)=0是仆,)在力=0处可导的)-(A)充分必要条件(B)充分条件但非必要条件(C)必要条件但非充分条件(D)既非充分条件又非必要条件的 1 尸(万)-尸(0)/(x)(l +sinz) -/(0)解 卜.U ) = lirn = lirn,o x - 0。'x=1加卜”，+ f(x)皿=/() +/(0), 1XX Jr(0)=2m r。X - 0<rX=./(x)的=

5、7(0) -J(0).l x* X J当0)=。时/.(o)=F'JO).反之当尸.()=.()时J(o)=0,因此应 选(A >.值9,求下列函数的导数：(1) y = x4；(2)尸*;(3) y=一6；(4) y 二士；(5 ) y =;：(6) y = x 7x；4x，啰解(l)y'=4J.x 21(2) y = xJ ” = x -1(3) / 二1"乂(4) >=一+”= -+- =(5) y=，-2,y,= _2/3.”16 11 丁 = x* ,y，=$ J2 之一上 上 / I 一£(7)=x2 ' 彳,y'=6

6、.n眨10.已知物体的运动规律为$二日求这物体在/ =2 "时的速度.解" " f = 3产，*=2 = 12( 3s).除11 .如果/(4)为偶函数，且，(0)存在，证明八0) :0.证/C)为偶函数，故有/( -4)=/(*).因为60)二.d给二而鱼二三用0X -()。 解 0/( 7-/(0)一一二二厂=-，()，所以r(o)二。.£12.求曲线y = sin。在具有卜列横坐标的各点处切线的斜率:解由导数的几何意义知I 二/I"与.=cosxlt.|ff"自=)1-:cos S-1.国13.求曲线),二 c 上点(；.g)处

7、的切线方程和法线方程./3解<1. 亍二(-sin() .予二-V-故曲线在点幅小)处的切线方程为”呆一号卜号)即竽% +)'_( + 空F)=0.曲线在点忖处的法线方程为笫二宓导数与微分#SH4.求曲线J二尸在点（0.1）处的切线方程.故曲线在（0,1）处的切线方程为y - 1 = I （ jv - 0）,HP x - y + 1 = 0.以15在抛物线）三/上取横坐标为七=1及b =3的两点，作过这两点的割线.问该 抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？解割线的斜率.32 -I28 4a=TT = T=4-假设抛物线上点（%,4）处的切线平行于该割线，则方（J）'l&#

8、176; =4,即 2.r0 =4.故加=2,由此得所求点为（2,4）.316.讨论下列函数在,二0处的连续性与可导性:(D(2)y = I sin x I ；2 .】x sin .v =x10.x =0.(1 ) Hm/( x) = lim Isin x I =0 =/(0)，故 y = I sin 与1 在 n =0 处连续.又 *0I。匚（0）二出山立一？0）二1而 ， x - 0 s-sin xx匚(0)=而&» = lim 空=1./;(。)关/+ (0),故y = Isin ”1在算=0处不可导.(2) lirn/(x) = lim x2 sin =0 =/(0)

9、，故函数在* =0 处连续.又 aa-»0X/(0) = lim/(X)-八0)%-0广sin im= lim xsin - = 0,2*X故函数在4=0处3 *&17.设函数/(x) =ax + b,.E近I ,x > I.为了使函数/（#）在X = l处连续且可导,a 3应取什么值?55一高等数学（第七版）上册习颍全解解 要函数/(4)在* = 1处连续，应有lim/G) =lim/(x) =/(1),即 1 = a + 6.要函数/(4)在“ =】处可导，应有匚(1) =/.(1).而 , 1、1. /(彳)/( 1 )/ T 。/. ( I ) = hm：= h

10、m = 2 ,.-I- x - I > -I - x - I / 1 、1- /(X)-/1 QN + ” 1/.()= lilll, 一 = 1HII ：-I X - 1<-I X - 1.a(x-l) + a+ 6- l . a(x =Inn= inn - 三 a.IX - 11-1- x - 1故 a =2,6 = - 1.，一七 上0已知/)二,' '求厂(0)及二(0),又/(0)是否存在？ 20,解匚(0) = 1"«x= hm二一I ,.C r /(X)-/(0). / 0/ ( 0 ) = hm = hm = I).1 -0- x

11、 - 0o x由于二(0)*匚(0),故/'(0)不存在sin x.* < 0 ,求，(力X, 2().的r /n r /(二)-/(0) r sin/解A(0)= hm = Inn= 1 , K>X - U<-0- Xf+(0)= Hm= lim 三=1. rCTX - 0-CT X由于八（o）二，.（o）故 r（。）=i.因此fix=cos X, A： <0 .】， A：券0.以20.证明：双曲线"二标上任一点处的切线与两坐标轴构成的三体形的面积都等 于 2a2.证 设（*0，%）为双曲线/上任一点，前线在该点处的切线斜率切线方程为a /、T、x

12、）>70= 一了（"）或天+升由此可得所构成的二角形的面积为第二素导数与微分574 = ； I 2xq I 12yo I = 2a2.1函数的求导法则.推导余切函数及余割函数的导致公式:(cot x ) ' = 一 esc2 x.( esc t) ' = - esc xcot x.解(cot X” =cos Xsi n x二 sin -sin x - cos xcos xsiirx1sirr aesc r.esc x)=-eos xsin xsiirxCSC A cot X.&2.求卜列函数的导数:(1)72-7+ 12；(2)5- -2, +3/ ；(

13、5)y = 2 tan x + sec x - I y = x2 In x；y = sin xcos x ；(7)In x(9)y = x2In 熊cos x ；(10 1 十 cos (2): 15? -2xln 2 +3d.(3)y' = 2se(rx + sec xtan x = sec x(2sec x + Ian x).(4)1 , 2cos 2x = cos 2x.2(5), 1y9 = 2jln x + x =x( 2ln x + 1 ).x(6)3c"co：s x - 3exsin x = 3ex ( cos x - sin x ).(7)- 2xeA e&q

14、uot; ( x -2)43'二 2xln xcos x x2 9 -cos x + x2 In x( - sin x)x二 2xln xuob x + xcob x - x2 In xsin x.第二至导数与微分59(10) s,eos /( 1 4- cos / ) - ( 1 + sin，)( - siti / )(1 + COS t ) 21 + sin I + cos /(1 + cos i) ?圈3.求卜列函数在给定点处的导数:(1) y = sin * - cos 久，求 和 I* =孑；(2) p = gsin 0 +；cos 03 rz/二K + T 求/和(1 )

15、y9 = cost + sin x,y' lx = IT TT j3 + 1<(» - + Sill -=-662yr I i = cos -y- + sin ； = J2J44(2) = sin 6 + 6cos 0 + !( - sin 伊)=sit】0 + 0cos 0、d。22dp1 . TT IT 7T /2 / . TT =sin + cos = I I + 如24444 2 )3231417(3) fx)=不0 + 下, ()=%， /(2)=T + V = T7,磬4.以初速为竖直上抛的物体，其上升高度6与时间/的关系是s = W 川.求:(1)该物体的

16、速度”Q;(2)该物体达到最而点的时刻.解()”(，)=，=%-&/(2)物体达到最高力:的时刻= 0 ,即h -卬=。，故，=，. g明5.求曲绞尸2痛+/上横坐标为工=0的点处的切线方程和法线方程-解y' - 2cos x + 2.v.y' I < / =2 .v I r =0 =。因此曲线在点(0,0)处的切线方程为y-() = 2(.r-0),即2"-)二(),法线方程为)-0= 一;(x - 0),HP jr+2y=0.E36 .求下列函数的导致：(| ) y = (2.x + 5 )4 ；(2 ) j = ros( 4 _ 3. )；(3)

17、y = e'3j(4) y = In (I /)；y = sin"x ；(6) y -x2 ；(8) y = arctan ( eJ)； (10 ) y = In <u)s x.(1 )'=4(21+5尸- 2 =8(2x + 5)(3)-sin (4 - 3x)( - 3) = 3sin (4 - 3* ).e "31 ( -6a) = -6xe *31 .(5) 2jv1 + x22x=2sin acos x = sin 2x.!( _ >)="J*(7)二 2r = Ixspc"r ._ 21 + ( ex)2: 2ar

18、csin x 2arcsin x.(10) /二一-(-sin x) = - tan x. cos x以7.求"列函数的导数:(1)y = a resin ( I - 2.t)；(4)y = arccos ; x(5)I - In x y =1 + In x*(6)sin 2.v(7)=arcsin 卜；(8)y = In ( sec x + Ian x);(10) y = In ( esc x - col x).(-2)=2/11 - x(3)y' = -e ' 丁cos 3x - 3已 了sin 3r1 tc ? ( cos 3x + 6sin 3x).61一、高

19、等教学乂第七版）上册习题全解/、 ，I /« 1x1(4) y =- 一=二二. _r 二=向IT J e(1 + In x) - ( 1 - hi (I + In x)2x( 1 + In x)2/ ,、, 2a:cos 2x - sin 2x),=o-i - (A)2 2G 2.77(9) y9 =sec xlan x + sed) = sec x.sec x + Ian 彳, 1 2(10) y9 =( - esc xcol x + esc*x) = esc x.CSC AT - cot X除g.求下列函数的导数;(1)y = "sin 彳(2)=Intan +；(3

20、) Ji +h”(4)(9)y = sin 'xcos 篇：a resin x y = 一arccos x(8)x + 1y = arclan x - Iy = Inlnln x ；J - A(1() y = arcsinV 1 + A/1 + x + /1 - x解(2)(3) y9 = 21n x - = J"工"2 /1 + In2j'+ ln?.r第二章导数与微分(4)=-1 + (7x)2 jx 2 jx( 1 + x)(5 ) yr = nsinn . Lxros xcos nx + sinnr( - sin /) ="sin'

21、、" 1 a ( cos xcos nr - sin xsin nx )=- 1 acos ( zi + 1 )x.( 8 ) )，= II l> W iwInIn r In x x xln xlnln x(9)加/ + =.)( ji +.+/i -X)-( ym -/I -X)(t zI2/1+” 2/n 2/ +“ 2、八一0(/I+/| -X)2一二A -("十斤"十 一一一1、/ 1 +-十/ 1 + 4 y/ -X2 2 + 2/1 - F./2x( 1 +%)/1 - %( i +1)/2%(1 - x j29.设函数，()和(x)可导，II/

22、2(x) +/小)搔0,试求函数)，="6+77；7的 导致.61一.高等数学（第七版）上处习题全解解 yz2/( X)/ ( X ) +2g(x)gXx)MW) +g"")二+/(x)/(4) v72(x) +g2(x)a io.设/(*)可导，求下列函数的护数半：(I ) >=/(/) ；(2) y =/(sin2x) +/(cos?x).解(1) y，=/，(x2)2x=2rf(r2).(2 ) yz =/"( sin2.r)2sin xcos 欠+，( cos、)2cos n(- sin .r)=sin 23：/(sir/”) -'

23、(cos，).QU.求下.列函数的导数：(I ) r = e-x(x2-2x+3)；(3) y = arctan yj ；一：e ef + e(7) y = c-sm；(2 ) y = siir a - sin ( x*In x* (6) y = Ineos ；(4) y(9) y = xarcsin 全 74 - r2 ：(8 ) / = v x + ./7;(10) y = arcsin -=sin 2.rsin ( r2 ) + 2rsin2.rcos( .(5)解 () , 二,-，( / 2i+3) +e_Y2.E_2)二一? .4 (2) yf =2sin xcos x sin (

24、/)+ sin xcos (x?) - 2x(e' +e -')(十广)(d+。')24(e'+C或 < =（山）=一； ch65一、高等数学(第七版)上册习题全解(7) y' = ei-cos 5)(一12)二!sin2 sin -cos+ 7 二 2 aL2 卜1 4 "，# +%_事,团 I I + r(2) y = sh x , ech 1 ； (4 ) y = sh1 + ch2.r ； (6 ) y = arsli( + )； (8) y = arctan( ih x)； (,0)y = eh?(77T)-12.求卜列函数的导

25、数：(I ) y = ch( sh *)； y = th( In x)；(5) y = th(l -/)；(7 ) y = arch ( e2r)；(9) y = Inch x + ； 2drx解(】)>'=sh(sh x) ch x = ch xsh(sh x).(2) y' = ch xcvh * + sh xctb Sb x= crh *( ch % + sli2x).小,111(J ) y =.ch- ( In x)4 xch2 ( In x)2xch2 (1 - AC2 )(4) y = 3sh24ch x + 2ch xsh x 二 sli xch x( 3s

26、h 霓十 2).(5) /x-ryJ_厂 ( -2x)=- ch2(l -x2)(6) ( = 7J 2x =,:二一一/ +(42 +)2 次+ 1，I2. c 24(/) y = « - 2 =-J( J*)2 -i介；-11 + ( th x)21 1 1 1- -一一III 一ch2x . shx ch ch2x 4- sh2x1 +T-ch x11 + 2sh2x(9) r* = -y-§h xrch x( 2c卜式)-. sh x sh x 4ch rsh x =-ch x chtsh x( ch2K - 1 )ch Asvx t 3 = lh.ch32c(10

27、) y' = 2chf -j-jjshLzlx +-1/X + 1 ( A - 1 )(x + D2-7sh(2(x + 1)2值13.设函数/(x)和4(x)均在点a0的某一邻域内有定义J3 )在x()处N导. 与)=0,g(%)在40处连续.试讨论/(幻4%)在飞处的可导性.解由/(化)在小处可导，且/(1°)=。,则有 r / _/(小).f ( x0 ) = iim = 11 tn;X - Ao一M X 一 Xo由g(I)在无0处连续.则有limg(r);g(4o),故/()晨)-/(%)«(%)/(.r),、，、hm= Iimg( V)=/ (x()g(“

28、).一“X - Xq-7” _ *0即/(幻点”)在飞处可导,其导数为/'(打)/小).1314.设函数/(*)满足下列条件:(1 ) /(4+y) =/(x) /(),),对一切 X.ye R :(2) /(x) = I +工g(与),iYijIiin g( a) = 1.ir(l试证明/(“)在R上处处可导，H/'(C=/(*).证由(2)知/(0) =1,故r(x).(+=A：j立wo匕力一。a.x二幺空二,弋 5)s “Av JA.v=12*)6(品)=/(%) 1 =/(.、).高阶导数il求下列函数的二阶号数:(2) y = eH-,;(1 ) y = 2” + I

29、n x;第二章导数与微分73(4 ) y = e . 'sin t ：(3 ) y = xcos x ；(5) y Ta - X2 r/二.( -2第)=-f, J - x-x - 1“二 2(- -1) -2x (21)= _2( 1 + /)?二(久2 一=(I -X2)2,(7 ) ，' = sec2 = 2sec2xlan x.;(7 ) y = tan x;(9 ) y = (1 + x2)arclan x：(10) y =?；(11) y = xe'*：(12 ) y = ln( x+ x2 ).解(j)a J,y"=4-4. 4X2(12) y，

30、= j.2 =2e2xT,y-=20 2 =4/，(3 )jf =cos x+ x( - sin x) = cos * - a sin x ,v" =- sinx - sin x - xcos x = - 2sin x -xcosx.(4)' =r f(- 1 )sin / + ft 2cos t = e f( cost- sin /).)“=e ' (一 I ) ( cos I - sin t) + e -r ( - sint -cosI)=e - ' ( - 2cos /) = - 2e - zcos /.QT (-2x)V a 一)-x ,; “-九不

31、"" P a ?L 夕一)2二82)一32.M J + I 尸一/ .2(，+ ) 3y 6M2.-| )(9 ) ，二 2rarctan i + ( 1 + x2) -r = 2xarclan r + 1 t 1 + x2= 2arclari % + 2ir = 2arctan x +r.I +x2I + )/ i ri k ，4“-x - I ) e(13) y =z- =1,xx (ea + (% - I )er)x2 -2x(x - 1 )<?ex(2 -2x +2)r 二z:1-(14) y'=b +xer - 2x = ( 1 +2/)d ,+ (

32、1 +2/)/ 2 =2x(3 +2/)/.踮4.己知物体的运动规律为s =.4sin（八皿是常数）,求物体运动的加速度,并验证:.2.“21 + x2xy =.(/i +x2)2 y( i 十/尸陷 2,设/(%) =(x + 10)r(2) =?解 /')=6(冥 + 10户 J"(n) =30(x + l()4./v(x) =120(x + 10) 广(2) = 120 x I23 = 207 360.值3.设/"(")存在，求卜列函数的二阶导数2：dx(I ) y=/(x2)；(2) y=ln/(x).解(1) >'=/'(/

33、)2、=28(/)，y”=2/%/)+20”(小) 2x=2/( x2) +4/”(/).(2)一而> =-Teo.图5.An ds .(卜5. ，.解 =4eos Mt (t) = /iojcos - - = .laTsin(ot.山山，-r + “3 = - Aoj' sin + 5 /lsin cuf - 0. 山2国6.密度大的阴星进入大气层时.当它离地心为a Ln时的速变与瓜成反比.试证陨星的加速度a与成反比.证由题意知“4咤，其中A为比例系数，则d2sd / Ads1AAA2d/2d.4J山2J.252'即陨星的加速度与丁成反比.匕7.假设质点沿工轴运动的速度

34、为?=/(3).试求质点运动的加速度.(1/解质点运动的加速度为"=(/琮=O金8.验证函数> =G+ C”(入，g，c2是常数)满足关系式4 2y =0斛>'= G *廿" -C2Ae-A/ = CIA2eA* +C2A2e-A故y"-八 2, = g 入+G"e-2 - A2(CjeAx +C2e'Ax) =0.5a9.验证函数y = e%in#满足关系式/ - 2y' + 2j = 0.解)'=ex sin x + excos x = e* ( sin x + cos x).y" = ex (

35、sin x + cos x) + ex ( cos x - sin x) = 2excos x,故y" -2)' + 2y = 2ercos x - 2e* ( sin x + cos x) +2exsin x = 0.&io.求卜,列函数所指定的阶的导数：()y = excos x.求 y'4,：(2) y =x2sin 2*，求 y<50).（I ）利用莱布尼茨公式（"）”=X其中，C：=n( n - 1 ) ( n - 2)-(n - 4- J )Fdecs x)H) = (<?)(4,C(»S 4 +4(eD'&

36、quot;(cos %)'e*)”(cos %)” 十44-3-23!()/(cosx)rv + ex(cosx)(4)=eicos 欠-4c1 sin x + 6el ( - cos ”) + 4exfiin x + excos x-4* cos x.(2)由(sin 24)")=2%in(24 +r）及莱布尼茨公式得(/sin 2x),5fn =x2(sin 2x)(刈 +50(，)'(sin 2»削 + 2*2(/)”(§访 2x)(4g) 4 =2$Win(2*+苧+ 100 - 249xsin,497T2x + I 905=2'&

37、#176;( x2sin 2x + 50xcos 2x + y1sin 2x).S-li-求下列函数的几阶导数的一般发达式：(Dy =xn +alxn-1 +(i2xn2 + +册_/ + 4(5 ,a2.an 都是常数):(2 ) y = sin2x；(3) )=Tn%；(4 ) y=xe*.解 (1 )= nxn 1 +«)(«-! ).in * 2 + 2( -2' 十十 a. . 1 .< = "(- I)/ +5(l)(-2).-3 +y(n)("-2)3 -2-1 =！.(2 ) y = sin2r = ( 1 - cos 2a

38、 ),(4 ) y' = ex + xe4 = ( 1 + 4)Z ,)，= ex + ( I += (2 4- r)e设严)=«+动<?,则产“=/+(A +*= (I +今+)6,故严> =(+') ET 12.求函数/(%) =x2ln(l 1)在一 二0 处的 n 阶导数，")(0) (zi才3).斛本题可用莱布尼茨公式求解.设 w 二 In( 1 + X),f=/ ,则<“)=，二I( ? 7" ( n = I , 2 ,)，r' = 2r, t< =(I + X ) n2,d)=0(k23).故由莱布尼茨

39、公式，得八>(0)=UJ="!g3).一275一.高等数学(第七版)上册习题全弱习题2 -4川隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率21.求由下列方程所确定的隐函数的导数千：<l.v(1 ) >? - 2xy + 9=0；(2)+/ -3axy =0；(3 ) xy = er 4' ；(4 ) y = 1 - xer.解(1 )在方程两端分别对X求导,得2yy9 - 2y - 2xyl =0 ,从而 < 二 一)一,其中)二)(“)是由方程/ -2w + 9=0所确定的随函数. y - X(2)在方程两端分别对力求导，得3% +- 3” -

40、3agy'= 0,从而yf = 7 '，其中y =>(*)是由方程/ + y3 - 3ax)=0所确定的隐函数. y - ax(3)在方程两端分别对4求导，得>+ 疗=e*，)( 1 + /),从而 <1三，其中，二，(入)是由方程二y二/”所确定的隐函数.% - e(4)在方程两端分别对*求导，得yr - - ey - xe- y1,从而/二-丁 J,其中y=y(#)是由方程二1所确定的隐函数.1 xey32.求曲线加+尸在点(乌-a处的切线方程和法线方程.解 由导数的儿何意义知，所求切线的斜率为A=y"(e"岛)，在曲线方程两端分别对力

41、求导，得2 L 2 工,一4-7 + yy -丁/ =0 t从而，y'= 一=pL于是所求的切线方程为即.法2发方程为即 之 一 y = 0.国3求山下列方程所确定的隐函数的二阶导数”7：ch*(1 ) #2 一 y2 = ；( 2 ) Ml2 + 02 /="2/J ；(3) y = Ian ( x + y) ；(4 ) y = 1 + xe?.解(1)应用隐函数的求导方法，得2'-2”' =0,于是丁=巴.y在上式两端再对力求导.得.y22.、,"一一 y_匕二二_ _ 1V 厂 TV(2)应用隐函数的求导方法，得2 淡2 +2。2力，=0,于是

42、,b2x y =- ay(3)应用隐函数的求导方法，得y9 = sec2 (x 十,)(】十,') = ; I + tan2 (x + y) ( 1 + jr) = ( 1 + y2 ) ( 1 + J *) 于是i-(i +r) yy" = 2；=_2(1：)= _ Zes。：( m + y) cot ( x + y ) .y ).(4)应用险函数的求导方法,得j = e + re j , 于是， 0,，二f“ c、,)'( 1 _ xr1 ) e1 ( xe1 y1)'= 一a二的279一、高等数学(第七版)上用习题全解-(1 -xe>)2 - (1

43、 -jve)3 ,值4.用对数求导法求F列函数的导数：，山;J;"、篇:(3) y =(4)= 4x£n -cx.C + 1)解在y=C两端取对数，得In y = x In 9 - ln( 1 +x).在上式两端分别对力求导，并注意到y = y(")，得-=In x - ln( 1 + x) ： x T-1 = In + t,) x I +x/11 +%干是(2)在丫= /QllL两端取对数，得V/7T2In y=(一In(久一5) - -ln(rr2 +2)1 =!In(父一5) - -rln(a:2 +2).，I2JND在上式两端分别对工求导，并注意到y二yG

44、).得y'lll 2x = . 一.755 25 一+2'于是,12x- 5 f 12*1，=kiy - 551 + 2)卜 厉m 京F -近久历(3)在y= "：2(3丁)4两端取对数得(冤 +1)In y =# +2) t 41n( 3 - x) - 5ln( 1 ± x).乙在上式两端分别对“求导，并注意到y = >(")，得yr 1 I4r2 x+2于是2(x+2) 3 -x/7+7(3 -x)4r145(-I)5 l2(x +2) 3 - a 1 t .In 丁二：I*.(4)在y = yxsin-/两端取对数，得n % + Ins

45、in x + -ln( 1 -Av在上式两端分别对x求导，并注意到y = y(x)，得y1I1cos x1( 一 e*)y2xsin x21 - eM于是I cos x e2x +2sin x 4( 1 -e*)ES5.求下列参数方程所确定的函数的导数?：drX = ar t(x =1 - sin 0),(1) .(2)y = br ；y = "CQS 仇d,解 (1)/二 丁二丁7 二丁人dx ax 2(it 2dt业,八 dy d。 cos 0 - Osin 0cos 6 - Osin 8(2) -i一 一 一二 一一. dx dx 1 - sin 0，0( - cos 0)1

46、- sin。- Geos 0d6除6.已知y = /cos f,求当，咛喏的值.dydy df e;cos / - sin t cos / 一 sin t - =一= . , =dx <Jx d7e'sin t + ezcos / sin t + cos (于是1T二A2=T = /y- X d d=耳 - 2.1+ -Ei7.写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程:(1)x = sin t,7T在处;y = cos 2t,4第二章导数与微分83=£ X d -d722 二 用一2 4d-d,曲线在点(g.o)处的切线方程为即2+y-2=0.法线方程为即

47、-4)-1 =0.5/ 3qJ ,3。：2乂1 型二J 2“dy d/ I +/2/(I +a)2 L ) = = . - ，dx dx / 3"，3”( 1 + J ) 一 2山 + Z2/( I + » )22t*(lxr“广七/ 612I ;2为也右、丁“，丁a .曲线在点1a,£a)处的切线方程为 J 。 J12y 7一0 =即4x±3y-l2«=0.法线方程为12广丁即 3x - 4y + 6a = 0.合8.求F列参数方程所确定的函数的二阶导数Z： dx(1)(2)r = acos t, y = 5sin /;J=2e(3)x =/

48、'（，），、“、设/"（，）存在且不为零.J =（f （1）-/（。，半苴 当为_L(k -1 d- v dr dx/ r Idrd7(lx(1/)'= dx2- asin /。/当 d八d"d.xd7bco! i, ab z ,、(-CSC*/) a- b，, i -asin I o2sin3/山；-3e2 2, d2 v 升X4 ne34 3r=c3"9(4)亚 J'Q) +WH)二, <6 . I 取一 r(o -/”(，)陷.9.求下列参数方程所确定的函数的三阶导数八:<lx除10.落在平静水面I：的石头,产生同心波纹,

49、若易外一圈波半径的增大速率总是6 m/6,问在2 冬末扰动水面面积增大的速率为多少？解 设最外一圈波的半径为=/(/) .网的面积S =5(，).在§ =仃/两端分别对 ，求导,得dS -<r丁 =2tt，.d/ dt当,=2时，r = 6 X 2 = 12. 2 = 6 ,代入上式得 (U1 q-= 2it , 12 - 6 = 144ir (rn2/s).山i=2&11.注水人深8%上顶直径8 m的正注水形容器中,其速率为4 mVmin.当水深为5 m时，其表面上升的速率为多少？解 如图2-1所示，设在/时刻容器中的水深为以，)，水的容积为M，)，因为=。，即=。,

50、所以 ,4 o2d V tt . 2 d dh 4 d V d/ 4 山'山不产lf故 4 =八黑.« 0. 204 (tn/min ).<h 八=5 25 tf257r会12.溶液自深18 cm、顶百径12 cm的出国锥形漏斗中漏人-立在为10 cm的网柱形筒 中开始时漏斗中盛满f溶液,已知当溶液在漏斗中深为12 cm时，其表面下降的速率 为1 cm/min.问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少?留 如图2 2 ,设在/时刻漏1-中的水深为二 3),网柱形筒中水深 为/，=/().建立 tt6 2 , 18 - ±irJ 1/ = tt52/i.第二堂导

51、数与微分87又看吟掷,故帚 18-9(3)即216。-/3 :25不近上式两端分别对，求导，得3 2 d M 皿-ir/r =二 257T 27 dr dr当 2时当=一，此时dh 1 d7=252 = 0. 64 ( cm/min ). J。函数的微分3 q27 d4 I 尸K- -i习题2 5 7SSL已知y = / 7,计算在k = 2处当品分别等于1,0.1 ,0. 01时的»及dr. 解 A，=(无十A戈)"-(a+Ae )一4十x=3x( Ax) ? +3.1,4% + ( At) ' - Ax, dy = (3x2 - 1 ) Ax.于是I；*、=6

52、, 1 + 3 , 4 + 1' - 1 = 18 ,dy I ；= 11 , I =11；)1 ，c =6 (0. 1 )2 + 12 - (0. 1) + (0M)3 -0. 1 = 1, 161,dyl i=U (0. 1 ) = 1. 1 ；Ayl e =6 - (0. 01 )2 + 12 - (0. 01 ) 4- (0. 01 )3 - 0. 01 =0. 110 601 .Ay I Ja = 11 ( 0. 01 ) = 0. 11 .Q29设函数尸/(%)的图形如图2-3,试在图23(&)、(1)、(6、(9中分别标出在点气的dy"y及Ay - dy,并说明其正负.o卜 Av vO(b)图2-3解(a) Ay >O.dy >O,Ay-dy >0.(b) Ay