高等数学一自考历真题

1、5分,共25分)2012年10月高等教育自学考试高等数学(一)试题课程代码：00020一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)1 .在区间(0,)内，下列函数无界的是( B )。A . sinx B . xsinx C . sinx cosx D . cos(x 2)1 bx2 .已知极限lim 1 -e2,则b ( D )。x 2x11 .已知直线I与好由平行且与曲线 y x ex相切，则切点坐标为(0,-1 )12 .函数f(x) ln(1 x2)在区间卜1 , 2上最小值为0。2x13 .设函数 (x)° tcostdt,则 '(x) 4xcos2x。22

2、2214 .求函数z arcsin(x y )的定义域为x y 1。15 .设函数 z (x e2),则一z_4。yl (1,0)三、计算题(一)(本大题共5小题，每小题16 .求极限lim xx 。x 0 sin x设函数f(x)二阶可导，则极限lxm0f'(x° 2 x) f'(x0)bx解：原极限2x limx 0 (. 1 x .1 x)sin xA .f''(x0)B . f''(x0)C . 2f''(Xo) D(C )。. 2f''(Xo)=1.(3分)(5分)17 .已知函数 f(x)可导

3、，且 f'(0) a,g(x) f(sin x),求 g'(0)。4 .函数 f (x)dx F(x)A . F (sin x)sin x CC ,贝U f (sin x)cosxdx ( C )。B . f (sin x)sin x CC. F (sin x) CD . f (sin x) C解：g' (x) f '(sin x) cosx ,g'(0)f'(0) a。118.设函数 yx7(x 0),求 dy。(3分)(5分)5 .函数z f(x,y)在点(xo,yo)处偏导数存在，则该函数在点(xo,yo)处必(A )。A .有定义 B .

4、极限存在C .连续 D .可微二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)则复合函数ff(x)4xO1 3x解 取对数得xT八两端对工求导得乙学=上第？3分ydx x3则 =.*5 分极限 lim In 1 x sin _0。xx12.某广品厂量为 q时总成本C(q) 200 q2 ,200x 1.极限lim J。x 1 xln x100时的边际成本为19.设函数f(x)在区间I上二阶可导，且f''(x) 0,判断曲线y ef(x)在区间I上的凹凸性。10 .设函数y 2空的铅直渐近线为x 1。 1 x解y =9、2分该曲线在区间1上是凹的.5分20 .计算不定积分xc

5、os（x2 1）dx。解 原积分=1 Jcosfx3 + 1)d(x! +1)3分= -sin(jrJ +1) + C,=Jl-cosljdy5分四、计算题（二）（本大题共 3小题，每小题7分，共21分）21.设函数y 1nx x的单调区间与极值。xl=cosl1 -（击若写出 = J；dx,解该函数的定义域为（0,国）.令人空当0工时./ 0 ；当£工+00时.V0.所以函数的单调增加区间为（0,e）,单调减少区间为（号ao）,6分该函数在x = c处取得极大值y =.e22.求微分方程（x y）dx dy 0满足初始条件yx0 1的特解。22.解 原方程变形为 半十下二k. dr

6、y = e l"(Jx Idx+C)4分= e-i( jreidx+C)-x-1+Cfx6分五、应用题（本大题9分）24 .过点（1 , 2）作抛物线与抛物线及y轴所围的平面区域为 （1）求D勺面积A;（2）求畸x轴一周的旋转体体积犀二J"“sin±drl-cosl1的切线，设该切线D.Vx。7分（注：若写出=给3分.）六、证明题（本大题5分）由初始条件得C = 0,则所求特解为y二工-L （注士若用常数变易法求解，可参照上述步骤给分.）25 .设函数f(x)可导， 且 f' (sin x)sn2x , f(0) 0 ,证明 f (x) ln x2 1。cos x2x23.计算二重积分I ysin dxdy ,其中 d y区域时其线y