高等数学B答案含综合练习

1、高等数学 (B)(1) 作业答案高等数学(B) (1)作业1初等数学知识一、名词解释：邻域一一设a和 是两个实数，且 0,满足不等式x a 的实数x的全体，称为点a的邻域。邻对值一一数轴上表示数a的点到原点之间的距离称为数a的绝对值。记为a o区间一一数轴上的一段实数。分为开区间、闭区间、半开半闭区间、无穷区 问。数轴一一规定了原点、正方向和长度单位的直线。实数一一有理数和无理数统称为实数。二、填空题1 .绝对值的性质有 a 0、|ab 即、-ja(b 0)、 a a |a、b iba b a 忖、1abia b。2 .开区间的表示有(a,b)、土 匕3 .闭区间的表示有a, b、=匕4 .无

2、穷大的记号为_。5 .(,)表示全体实数,或记为 x 。6 . ( , b)表示小于p的实数,或t己为x b。7 . (a,)表示大于_a_的实数,或记为a x 。8 .去心邻域是指(a , a) (a, a)的全体。用数轴表示即为 9.MANZUL E &.+ 巳9 .满足不等式 2 -1的数x用区间可表示为(1, 1x2三、回答题1 .答：(1)发展符号意识，实现从具体数学的运算到抽象符号运算的转变 (2)培养严密的思维能力，实现从具体描述到严格证明的转变。(3)培养抽象思维能力，实现从具体数学到概念化数学的转变。(4)树立发展变化意识，实现从常量数学到变量数学的转变。2.3.4.

3、答：包括整数与分数。答：不对，可能有无理数。5.1(2I)o答：等价于(1,5。四、计算题1.解：(x1)(x2)解集为(,1)(2,2,解：x26x(x1)(x5)x 5或x3.解:x23x10解集为(x 2)(x1电5) 0x25为方程的解。数(P3)一、名词解释D内任意取一个数函数一一设x与y是两个变量，若当x在可以取值的范围 值时，变量y通过某一法则f,总有唯一确定的值与之对应，则称变量 y是变量 x的函数。其中D叫做函数的定义域，f称为对应法则，集合G=y|y=f(x),x D 叫做函数的值域。数函数一一若函数y f(x)的定义域关于原点对称，若对于任意的 x,包有 f( x)f(x

4、),则称函数y f(x)为奇函数。函函数一一若函数y f(x)的定义域关于原点对称，若对于任意的 x,包有 f ( x) f (x),则称函数y f(x)为偶函数。定义域一一自变量的取值范围，记作 x Do函域所有函数值组成的集合，记作 G=y|y=f(x),x D初等数学一一包括几何与代数，基本上是常量的数学。三角函数： 称 y sin x, y cosx, y tan x, y cot x, y secx, y cscx为 三角函数。指数函数称函数y ax(a 0, a 1)为指数函数。复合函数 设y f(u), u (x),若u (x)的值域包含在y f(u)的定 义域中，则y通过u构成

5、x的函数，记作y f ( (x),称其为复合函数，u称为 中间变量。指数函数称函数y log a x(a 0,且a 1)为对数函数。指函数一一若函数y f(x)的值域为G,若y G ,都有一个确定的且满 足y f(x)的x值与之对应。则由此得到一个定义在 G上的以y为自变量、x为 因变量的新函数，称它为y f(x)的反函数，记作x f 1(y) o指函数称函数y x (为实数)为幕函数。常函数一一称函数y c(c为常数)为常函数。常量一一在某一变化过程中，始终保持不变的量。变量一一在某一变化过程中，可以取不同数值的量。二、填空题2 .函数概念最早是由莱布尼兹引进的。有了函数概念，人们就可以从数

6、量 上描述运动。0, x是无理数1, x是有理数3 .在历史上第一个给出函数一般定义的是狄里克山给出了一个不能画出图形的函数。这就是著名的狄里克雷函数，其表达式是f(x)4 .函数的三种表示法：解析法、图像法、列表法。5 .函数表达了因变量与自变量之间的一种对应规则。6 .单值函数是当自变量在定义域中取定了一数值时、与之对应的函数值是 唯一的函数。7 .奇函数的图像特点是关于原点对称、偶函数的图像特点是关于y轴对称。8 .单调函数的图像特点是总是上升或总是下降。9 .反函数的图像特点是关于直线 y=x对称。三、回答题1 .答：设函数y f(x)在集合D上有定义，如果存在一个正数 M ,对所有的

7、x D ,恒有f (x) M ,则称函数y f(x)为有界函数。2 .答：(1)当一个函数y f(x)在区间(a, b)内有界时，正数M的取法不 是唯一的。(2)有界性是依赖于区间的f (x)在则函数3 .答：*, X2 (a, b),且xi X2,则£(%) f (X2) ,则称函数 y 区间(a, b)内单调增加。否则，称为单调减少。4 .答：若函数y f(x)在区间(a, b)内单调，其值域是(c, d), y f(x)存在反函数y f 1(x),其定义域是(c, d),值域是(a, b)。四、作图题(1) y x2 解：是抛物线。(2) y x3 解：是立方抛物线。(3) y

8、 sin x 解：是正弦曲线。(4) y cosx解：是余弦曲线。(5) y tanx 解：是正切曲线。1(6) y x2 解：是半抛物线。(7) y ln x 解：是自然对数函数。(8) y 2x 解：是指数函数(a>1)。(9) y log2 x解：是对数函数(a>1)。(10) y 10gl x解：是对数函数(a<1) 2(11) y e x解：是指数函数(a<1)(12) y ex 解：是指数函数(a>1)第(1)题图 第(2)题图第(3)题图第(7)题图第(8)题图第(9)题图o2 rl2(1)解：s(2)解：设长为x,宽为y ,则2x 2y y 106

9、0x 20y 10面积 s 20 10 200cm2。(3)解：x 1 0 x1,所以定义域为(1,)1522(4)解：f(2) log 2 5 ,f (-) log 2-， f (a b) log 2 (a 2ab b 1)24-24f(x ) log2(x1)。(5)解：由y 上解彳导x 上上，交换x和y,得到y 上的反函数x 21 yx 22xy ，由x 1 0 x 1,故定义域为(，1) (1,)。1 x(6)解：复合函数为 y (vT7 1)2 1 x 2jxi 3六、讨论题答：(1)复合函数是函数之间的一种运算；(2)并不是任何两个函数都能构成一个复合函数；(3)复合函数可以是由多

10、个(大于两个)函数复合而成；(4) y f(u), u (x)中，后者的值域正好是前者的定义域；(5)构成复合函数的各简单函数，除了最后一个外，都是基本初等函数。极限(P9)、名词解释极限一一一个数列或函数其变化趋势的终极状态。无穷小量一一极限为零的变量或者常数 00连续一一设函数 y f(x)在x %及其一个邻域内有定义，且等式lim f (x) f(x0)成立，则称函数y"*)在* x0连续x Xo数列极限一一对数列xn来说，若n时，Xna,则称数列Xn的极限为a,记作lim xn a。 n函数极限设函数y f (x)在x x0的附近有定义，当x x0时，f (x) A,则称函数

11、y ”*)在* x0时的极限为A ,记作lim f (x) A x x0无穷大量一一若lim f (x),则称f(x)为该极限过程下的无穷大量。二、填空题1 .从极限产生的历史背景来看，极限概念产生于解决微积分的基本问题： 求面积，体积，弧长，瞬时速度以及曲线在一点的切线问题。2 .极限概念描述的是变量在某一变化过程中的终极状态。3 .在中国古代，极限概念已经产生，我国春秋战国时期的庄子天下篇 中说：“一尺之,日取其半，万世不竭”,就是极限的朴素思想。4 .公元3世纪，中国数学家刘徽的割圆术,就用圆内接正多边形周长去逼 近圆周长这一极限思想来近似地计算圆周率 的。5 .极限概念产生于求面积求切

12、线两个实际问题。三、回答题1 .简述连续性概念。答：设函数y f(x)在x xo及其一个邻域内有定义，且等式 lim f (x) f(x0)成立，则称函数y f(x)在x x0连续。y f(x)在(a,b )内 X xo连续是指函数y f(x)在(a,b)内的每个点处均连续。2 .间断点分成几类？/ 厂打上第一类间断点：在该点 的左右极限均存在答-间断占第二类间断点：左右极 限中至少有一个不存在3 .什么是单侧连续？答：设函数y f(x)在x x。及其右邻域内有定义，且等式lim0f(x) f(xo) x x成立，则称函数y "*)在* x0右连续。同理可定义左连续。4 .什么是连续

13、函数？答：若函数y f(x)在(a,b)内的每个点处均连续，且在左端点处右连续， 右端点处左连续，则称函数y "*)在固可 上连续。5 .简述复合函数的连续性定理。答：设函数y f (z)在点z z0处连续，函数z (x)在点x x0处连续，而 Z0(x0),并设y f (x)在点x x0的某一邻域内有定义，则复合函数y f (x)在点x x0处连续。四、论述题极限思想的辩证意义是什么？是一个无限逼近答：极限概念描述的是变量在某一变化过程中的终极状态,的过程，是一个客观上存在但又永远达不到的数。在解决实际问题时，“无限”的过程标志着可以得到精确的答案， 他是为解决实际问题的需要而产生

14、的， 反过 来又成为解决实际问题的有力工具。五、计算题,22 c4-2(1) 解：lim 2 lim-n 3n2 1 n1x o11(2) 斛：lim2 lim 一x 0sin2x x 0 sin2x 4 2x(3) 解：lim (Vn 1 v'n) lim - 0nn . n 1.n-1 V1 Y 111(4)解：lim (1 )lim (1 ) e 一x x xxe六、讨论解：lim f (x)x 0lim (1 x) 1x 0lim f (x) lim 0 0x 0x 0xim f(x) xim f (x)，函数在x=0处极限不存在。若 lim ylimx 0 Xx 0点处的导数

15、值。记为,f (xo), ydyxo dx x冬 xo高等数学(B) (1)作业2导数一、名词解释导数设函数y "*)在* x0及其邻域内有定义,口xx)f(xo)存在,则称此极限值为函数y"*)在* xo平均变化率瞬时变化率称,fjx x) f (xo)为平均变化率。 xx称lim ' lim f0x) f(xo)为瞬时变化率x 0 v x 0瞬函数Xt于区间(a,b)内的每一点x都有导数值，这样由这些导数值 构成的函数称为y f(x)的导函数高阶导数一一二阶及二阶以上的导数。驻点一一使得f (x) 0的点。极值一一设函数y f(x)在x xo及其邻域内有定义，且

16、在x xo的邻域内 f (x) f(xo)包成立，则称x xo为极大值点，称f(xo)为极大值。同理可定义极 小值。极大值与极小值统称为函数的极值。二、填空题1 .导数的物理意义是瞬时速度。2 .导数的几何意义是曲线在一点处切线的些率。3 .导数的第三种解释是变化率。4 .导数是一种特殊的极限，因而它遵循极限运算的法则。5 .可导的函数是连续的，但是连续函数不一定可导。三、回答题1 .什么是费马定理？答：设函数y f(x)在x xo的某邻域u(xo)内有定义，并且在xo处可导， 如果对任意的 x u(xo),有 f (x) f (xo)(或 f (x) f(xo),那么 f (xo) o O2

17、 .什么是罗尔定理？答：设函数y f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，并且 满足f (a) f (b),那么至少存在一点 (a, b),使得f ( ) o。3 .什么是拉格朗日定理？它的辅助函数是怎样构成的？答：设函数y f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，那么至少存在一点(a, b),使得 f(b) f(a) f ( )(b a)辅助函数为：(x) f(x) f(b) f(x a)。b a4 .函数的性质有哪些？答：函数的性质有：有界性，奇偶性，周期性，单调性。5 .导数的绝对值大小告诉我们什么？它反映在函数曲线上情况又怎样？答：导数绝对值大小反映曲线

18、的陡峭程度，导数的绝对值越大，则曲线越陡峭，否则，曲线越平缓。6 .什么是极大值(或极小值)？答：设函数y f(x)在x xo及其邻域内有定义，且在x xo的邻域内f(x) f(xo)恒成立，则称x xo为极大值点，称f(xo)为极大值。设函数y f(x)在x xo及其邻域内有定义，且在x xo的邻域内 f(x) f(xo)何成立,则称x xo为极小值点,称f(xo)为极小值。7 .请举例说明费马定理只给出了极值的必要条件而不是充分条件。答：例如：直线y=c(c为常数)，在任意一点都满足费马定理的条件，且导 数值都是0,但是在任意一点处都不是极值点。8 .最大值与极大值是一回事吗？答：不是一回

19、事。连续函数在某个闭区间上可能有多个极大值和极小值，但是最大值和最小值却各有一个。9 .求最大值或最小值通常要经过哪几个步骤？答：(1)找出驻点和那些连续但不可导的点来，并计算出这些点的函数值；(2)计算出比区间端点处的函数值；(3)将以上个函数值进行比较，可得到最大值与最小值。(4)如果是应用问题，则需先分析题意，设变量，列出函数关系，在求出 唯一驻点，它就是答案。四、计算题221 .解：lim 工 lim f-x-f lim 3-x lim (6 x) 6 x o x x oxxoxxoQ 412 .斛：y 4x 2- 一-f= ox 2 v x3 .解：y 2xsin x x2 cosx

20、-14 .斛：y xln n5 .解： y cos(cosx3)( sin x3)3x23x2 cos(cosx3) sin x316 .解：y ( sin x) tan xcosx17 .解：当 x 0时，y (ln x) x，、一 ，1综上所述，(Inx) 111当 x 0时，y ln( x) x x-1v2V22-8 .解：y ex (2)xln;)，33339 .解：y 二1 x2(1 x2) 2x2x 2 2x2y (1 x2)2TV710.解：y cosx sin(1 x)y sin x sin(2 一 x) 2y cosx sin(3 x)(n)sin(n x) 2五、应用题1.

21、解：V - R3, R t, V 4 t333V 4 3t2 4t2,当 R 10时，t 10, V 400 , 3答：体积V增加的速率为400 cm/s.2 .解：设一边长为x,则另一边长为1-x,，一一一一 _9*, ，一 1矩形面积 S=x(1-x)= x x , S 1 2x,令 S 0,解得 x -2些米，围墙长度为L 2x512/x答：从中间截断，可得到最大矩形的面积。3 .解：设宽为x米，则长为512 2x2 512L 2 422，x x即2x2 512 0,解得x舍掉x 16,答：当宽为16米，长为32米时，才能使材料最省微分(P17)一、名词解释微分设函数 y f(x)在点x

22、处可导，则称f (x) x为函数y f(x)在点x处的微分，记作dy,即dy f (x) x函数的一阶微分形式白不变性一一无论u是自变量也好，还是中间变量也好，dy f(u)du总是成立的。微分的线性化一一由lim y f (x0)知，y f (x0) x (是比x高阶的无穷小)，其中 x 0 xf (xo) x为线性主部，也就是微分。二、填空题1 .微分有双重意义，一是表示微小的量，二是表示一种与求导密切相关的 运算。2 .微分学包括两个系统：概念系统与算法系统。3 .导数是逐点定义的，它研究的是函数在一点附近的性质。4 .微分中佰定理建立了函数的局部性质和整体性质的联系、建立了微积分理论联

23、系实际的桥梁。三、回答题1 .微分学基本问题是什么?答：求非均匀变化量的变化率问题2 .微分学的基本运算是什么？答：求导运算和求微分的运算3 .微分的线性化有什么应用?答：可进行近似计算等。四、计算题0 4x 111 71 (1)斛：y - 二，dy二dx4x xx(2)解：y4x x4xln442x1 xln 44xdyxln 44xdx(3)解：y3.解：设f(x) 次，取Xo 1,x 0.03则 f(X°X)f(Xo) f(Xo)3 1.03 f (1)f (1) X 311 -X30.03 1 10.01 1.01五、证明题证明：令f(X)eX,取 X0则 eXf (x) f

24、 ( x) f (0X)f(0)f (0) Xx,eX 1 x,证毕。高等数学(B) (1)作业3不定积分一、名词解释原函数如果函数 f (x)与F(x)定义在同一区间(a, b),并且处处有：F (x) f(x)或dF(x) f(x)dx,则称 F (x)是 f (x)的一个原函数。不定积分一一若F(x)是f(x)的一个原函数，则称F(x) C为f(x)的不定积分。记作 f(x)dx F(x) C .不定积分几何意义一一表示形状完全一样只是位置不同的一族曲线。二、填空题1 .在数学中必须考虑的运算有两类：正运算与逆运算。2 .对应于加法运算的逆运算是减法，对应于乘法运算的逆运算是除法，对 应

25、于正整数次乘方运算的逆运算是开立对应于微分运算的逆运算是积分?3 .关于逆运算我们至少有两条经验：一是逆运算一般说比正运算困难，二 是逆运算常常引出新结果。如减法引出负数，除法弓I出有理数，正数开方引出工理数,负数开方引出虚数。三、回答题1 .什么叫函数f(x)在区间(a,b)的原函数？有多少个？它们彼此之间有 什么关系？答：若F(x) f(x),则称F(x)是f (x)的一个原函数，有无穷多个，彼此之 间相差一个常数。2 .什么叫函数f(x)在区间(a,b)的不定积分？答：函数f(x)的原函数的全体，称为函数f(x)的不定积分。3 .两个函数的不定积分相等是什么意思？答：这两个函数相等。4

26、.说明数学运算中存在的正运算与逆运算。答：减法是加法的逆运算；除法是乘法的逆运算；开方是乘方的逆运算；不 定积分是微分的逆运算；等等。5 .说明原函数和不定积分的关系。答：原函数的全体就是不定积分。四、计算题1.求下列函数的原函数(1)解：因为5dx 5x C, 所以该函数白原函数为f (x) 5x C(2)解:2xdxx2C,该函数的原函数为f(x)(3)解:4e2xdx 4 122xd(2x) 2e2x C,该函数的原函数为f (x) 2e2x C(4)解:1631xdx 6 x'dx1T31 i-x31该函数的原函数为f (x)(5)解:c 515 16x dx 6 x C6该函

27、数的原函数为f (x)(6)解:72dx 瓜 C,该函数的原函数为f(x)2x解:1 1dxx C2 - x该函数的原函数为f(x)(8)解:sin xdx cosxC,该函数的原函数为f(x)cosx C(9)解:x 6dxC,该函数的原函数为f (x)(10)解:3dC,该函数的原函数为f()2.求下列各不定积分(1)解:x4dx k 5(2)解:3x.xdxx2dx2 1-x212x±5(3)解:J 4x)dx xln x4xC ln 4(4)解:tan2 xdx/2(sec x 1)dx tanx(5)解：exdx exC-1(6)斛： dxx 1d(x 1) In x 1

28、C，一 ii一一 1 - 2 一(7) 解： sinxcosxdx sin xd sin x sin x C2Tdj2)1(8) 解 arctan xdx x arctan x x2 dx xarctan x1 x12、xarctanx ln(1 x ) C定积分(P26)一、名词解释定积分一一设函数 y f(x)在区间a, b上连续，在区间a, b内插入n 1 个分点：a Xo X1 X2Xn 1 Xn b ,把区间a, b分成n个小区间X, Xi 1,其长度为Xi Xi 1 x其中i 0, 1, 2, 3,，n-1,在每个小区 问Xi, Xi 1上任取一点i ： Xi i Xi 1 ,并作

29、乘积f ( i) Xi ,再求出部分和n 1Sn f( i) Xi ,令 maX Xi,若lim SnS ( S为常数)，则称S为函数0 i n 10i 0bn 1y f(x)在区间a, b上的定积分，记作 f(x)dx lim f( i) Xi a0 i 0b定积分几何意义若函数 y f (x) 0 ,则定积分 f(x)dx表示由曲线ay f(x)、直线x a、x b以及x轴所围的曲边梯形的面积。定积分中值定理设函数y f (x)在区间a, b上连续，则在ba, b上至少存在一点，使得 f(x)dx f ( )(b a),其中 a, b。 ab微积分基本定理一一设函数 y f(x)在区间a,

30、 b上连续，则f(x)dxab= F(x) F(b) F(a),这里 F(x) f(x) a牛顿莱布尼兹公式一一即微积分基本定理中的公式。二、填空题1 .定积分是对连续变化过程总效果的度量、求曲边形区域的面积是定积分2 .积分学的基本问题是非均匀变化量的求积问题。它的数学模型是n 1lim f( i) xi ,它的物理原形是求变速运动的路程，它的几何原形是求曲边 0i 0梯形的面积。3 .微分学的基本问题是求非均匀变化量的变化率间题，它的数学模型是lim ) ,宜的物理原形是求瞬时谏度，宜的几何原形是求切线斜率，它的基本 x 0 x运算是求导运算和求微分的运算。4 .微分学研究的是函数的局部性

31、态，无论是微分概念,还是微商概念，都是逐点给出的。数学家研究函数的局部性质，其目的在于以局部定整体。5 .积分学包括不定积分和定积分两大部分.不定积分的目的是提供积分方法。1 .定积分有哪些应用？答：物理学应用，几何学应用等。例如，路程问题，曲边梯形面积问题等。2 .定积分的性质有哪些？答：由以下9条：(1)bf (x) g(x)dxabf (x)dx abag(x心;(2)ba kf (x)dxbk a f(x)dx ；(3)ba f(x)dxab f(x)dx；(4)af(x)dx a0;(5)bf(x)dx acf(x)dx abf (x)dx ；c(6)bdx ba若在a, b上,f(

32、x)bg(x),则 f (x)dxabg(x)dx ；a(8)设M, m分别是函数yf(x)在a, b上的最大值和最小值,b则：m(b a)f (x) dxaM(b a)；(9)设函数yf(x)在区间ab上连续，则在a, b上至少存在一点a, b。b使得 f(x)dx f( )(b a),其中 a3 .简述积分区间上限为变量时定积分定理。x答：设函数y f在闭区间a, b上有定义且连续，则 f(t)dt在a, b上可 ax导，且a "。明 f(x)o a4 .建立定积分步骤有哪些?答：分为4步：n 1n 1(1)分割；(2)作积 f( i) xi ; (3)作和 f ( i) xi

33、; (4)取极限 lim f ( i)为，i 00i 0其中 max xj。0 i n 1四、计算题1.利用定积分性质，比较下列积分值大小。(1)解:0,1时，x21x2dx01x3dx0(2)解:1,2时，x32x3dx12x2dx1(3)解:1,2时，lnx2ln xdx12ln2 xdx12.求函数y 2x2 3x立£区间1,4上的平均值。.一 1解：平均值A=4 114(2x23x3)dx1(2x3 3x23 323x)49万3.设yx0 sintdt，求dydx解：dydxx(0sintdt)dydxsin x4.设y解：dx=(x2 1.dx, 1 1 AX21dx)1

34、1 A求dy。dx2xo1 A5.计算下列定积分(1)解:3x3dx120(2)解:2x2 3?431万)143(3)解:2sin xdx(4)解:xdxcosx1 (1)(5)解:tdx01exd( x)0(ee1)23dx1 x 321(1)dx(6)解:2x 31n x11 4t2 9dt1 41(6 1 2t 31.4 11n2t 3 In 2t12 F 121 3(1n1 1n2) 31n 2 111 4 11 4 1)dt出dt2t 36 1 2t 36 1 2t 31 1n512111In 1251 -1n561 1n11124241246.解：如下图，体积 V= f (x)dx

35、 4axdx 4 ax 32 a002 07.解：如上图，2体积V(1022dx(12x x .)dx4(x1 3、x )128.解：如上图,2x2 xx1x2y23面积S J(2x3)x2dx(x23x3)3239.解：如上图，面积xdx高等数学(B) (1)作业4微积分简史注意：以下六题自己从书中相应位置的内容去概括，要抓住重点，言简意赅,写满所留的空地。1 .论述微分学的早期史。答：见书P2162172 .简述费马对微分学的贡献。答：见书P2172183 .简述巴罗对微分学的贡献。答：见书P2182204 .论述积分学的早期史。答：见书P2062105 .论述微积分对人类历史的贡献。答：

36、见书“一、前言” 一开始的部分(前两段)。6 .牛顿和莱布尼兹对微积分的发现做出了什么贡献？答：见书P222225。微分方程(P33)一、回答题1 .微分方程的定义。答：含有未知函数的导数或微分的方程。2 .何为微分方程的通解、特解、初始条件？答：满足微分方程的所有函数，叫做微分方程的通解；满足微分方程的一个 解或者部分解，称为微分方程的特解。 微分方程最初所满足的条件，叫做初始条 件。3 .何为变量可分离的微分方程？答：把形如 如 f(x)g(y)的微分方程，称为微分方程。 dx4 .微分方程与建模有和关系。答：抛弃具体意义，只关心微分方程的形状，研究如何解方程，等这些工作 做熟练了，反过来

37、又可以用它解决实际问题。5 .建模思想和步骤是什么？答：建模思想就是将各种各样的实际问题化为数学问题， 通过建立数学模型， 最终使实际问题得到解决。步骤：(1)明确实际问题，并熟悉问题的背景;(2)形成数学模型；(3)求解数学问题；(4)研究算法，并尽量使用计算机；(5)回到实际中去，解释结果。二、计算题1.求下列微分方程的解。(1)解：y (2x 3)dxx2 3x C ,代入初始条件得C1,满足初始条件的特解为x2 3x(2)解：y4vxdx1x2dx1-1x2112-x3代入初始条件得C满足初始条件的特解为38 2x3(3)解：y6e3xdxe3xd(3x) 2e3x C ,代入初始条件

38、得2,满足初始条件的特解为y2e3x 2y2.解：由题意：y3x2,c 21、，(3x2 )dxx代入初始条件得f(x)y3 .解:由题意：y2000.2x1000100000 '(200 0.2x)dx200x0.1x2 C代入初始条件得C0,所求的函数关系是y 200x4 .解：由题意:dR dtkR0R0,分离变量：dR kdtR1600两边积分：空RkdtInRkt InC RCekt,代入初始条件Ro 得：C0Ro,这时：RktRoe代入初始条件1600R01600 k万R0e1600k1e21600k ln2ln 2 /jx、R,代入、1600ktR0e得t1600R Ro

39、e 1600 ,化简得：RRo2In 2tR1600 R0 2高等数学(B) (1)综合练习一、名词解释1 .函数一一设x与y是两个变量，若当x在可以取值的范围D内任意取一 个数值时，变量y通过某一法则f,总有唯一确定的值与之对应，则称变量 y是 变量x的函数。其中D叫做函数的定义域，f称为对应法则，集合 G=y|y=f(x),x D叫做函数的值域。2 .奇函数一一若函数y f(x)的定义域关于原点对称，若对于任意的 x , 恒有f ( x)f(x),则称函数y f(x)为奇函数。3 .连续一一设函数y "*)在* xo及其一个邻域内有定义，且等式lim f (x) f(xo)成立，

40、则称函数y f(x)在x x0连续。y f(x)在(a,b )内 x xo连续是指函数y f(x)在(a,b)内的每个点处均连续。4 .定积分设函数 y f(x)在区间a, b上连续，在区间a, b内插入n1个分点：axoXix2xn ixnb ,把区间a,b分成n个小区问X, Xi 1,其长度为Xi Xi 1 Xi,其中i 0, 1, 2, 3,，n-1,在每个小区 问Xi,Xi1上任取一点i :XiiXi1 ,并作乘积f ( i)Xi,再求出部分和n 1Snf( i) Xi ,令 max xj ,若lim Sn S ( S为常数)，则称S为函数0 i n 10i 0bn 1y f(x)在区间a, b上的定积分，记作 f(x)dx lim f( i) xi a0i 05.微分方程一一含有未知函数的导数或微分的方程。二、填