高考理科数学二轮专题复习讲义：专题五第一讲直线与圆Word含答案

1、17第一讲直线与圆考情分析明确方向V年份卷别考查角度及命题位置命题分析及学科素养2018n卷直线与抛物线位置关系及圆的方程求法T19命题分析(1)近两年圆的方程成为高考全国课标 卷命题的热点，需重点关注.此类试 题难度中等偏下，多以选择题或填空 题形式考查.(2)直线与圆的方程偶尔单独命题，单 独命题时有一定的深度，有时也会出 现在压轴题的位置，难度较大，对直 线与圆白方程(特别是直线)的考查主 要体现在圆锥曲线的综合问题上.学科素养通过考查直线与圆的位置关系，着重 考查学生数学建模、逻辑推理及数学 运算的核心素养.出卷直线与圆的位置关系及面积问题于62017I卷圆的性质、点到直线的距离、双曲

2、线的几何性质T15n卷圆的弦长问题、双曲线的几何性质 T9出卷直线与圆的位置关系、点到直线的距离、椭圆的离心率 T10直线与圆的方程、直线与抛物线的位置关系T202016n卷圆的方程、点到直线的距离应用T4出卷直线与圆的位置关系T16讲练结合考点一直线方程与应用授课提示：对应学生用书第46页悟通方法结论1 .两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线 J I2的斜率ki, k2存在，则li / I2? ki=k2, IJI2? kik2=1.若 给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.2 .求直线方程要注意几种直线方程的局限性.点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直.而截距式

3、方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.3 .两个距离公式(1)两平行直线11: Ax+ By+C1 = 0,12： Ax+By+C2=0 间的距离 dC1 C2Ia2+b(2)点(xo, yo)到直线1: Ax+By+C=0的距离公式Axo+ Byo+ C|d=B11，12.当 11，12时，右 m=0, 11： x- 1= 0,则 n=0,此时 m+n=0;右 mw0,则一m (n) = 1,即n=m,有 m+n=0.故选 C.答案：C 2.已知直线11： x+2ay-1 = 0, %: (a+1)x ay=0,若11/吼 则实数a的值为()A. -2B. 0 C. 3或

4、0D. 2 解析：若aw0,则由11/12,得?=齐，所以2a+2=-1,即a=-|; 12a2 若 a = 0,则 11: x 1 = 0, 12: x= 0,互相平行. 答案：C 3,若直线11： x+ay+6=0与12： (a-2)x+ 3y+2a = 0平行，则11与12间的距离为() ,，2B. 3 .4 .与已知直线1: Ax+ By+C=0(Aw 0, Bw0)平行的直线可改为 Ax +By+m= 0(mw C), 垂直的直线可设为BxAy+m=0.5 .直线 11： A1x+ B1y+C1 = 0, 直线 6 A»+B2y+C2= 0, 当 1山2时,有 A1A2+B

5、1B2=0,当 11 / 12 时，A1B2 A2B1 = 0 且 A1C2 A2C1 w 0.全练一一快速解答1. (2018 洛阳一模)已知直线 11： x+my1= 0, 6 nx+yp=0,则“m + n=0” 是“11U” 的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：若m+ n=0,当m = n=0时，直线11: x1 = 0与直线 上：y p=0互相垂直；当m = nw。时，直线11的斜率为一。直线12的斜率为n,1(n) = .m=1mm / m ，C. 3D.833解析：由 11 / 12,得(a 2)a=1x3,且 aX2aw3X6,解

6、得 a=- 1,所以 11: x y+662=0, 12： x- y+2=0,所以li与12间的距离为d= / 23 平3 ，12+(Tf3答案：B4 .过直线1i： x-2y+3=0与直线12： 2x+3y8=0的交点，且到点 P(0,4)距离为2的 直线方程为.x2y+3 = 0,x= 1 ,解析：由f得( 11与12的交点为(1,2) .当所求直线斜率不存在，2x+3y8= 0,y=2.即直线方程为x=1时，显然不满足题意.当所求直线斜率存在时，设所求直线方程为v 2=k(x-1),即kxy+2k= 0,点P(0,4)到直线的距离为2,2=号-k=0或k=3.,.直线方程为y=2或4x-

7、3y+2=0.答案：y=2 或 4x 3y+2=01 .求直线方程时易忽视斜率 k不存在情形.2 .利用斜率与截距判断两线平行或垂直关系时易忽视斜率不存在情形.3 .有关截距问题易忽视截距为零这一情形.圆的方程及应用授课提示：对应学生用书第47页悟通一一方法结论1 .圆的标准方程当圆心为(a, b),半径为r时，其标准方程为(x a)2+(y b)2= r2,特别地，当圆心在原点时，方程为x2+y2=r2.2 .圆的一般方程x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0,其中 D2+ E2 4F>0,表示以2, 2 为圆心、"十： 一 为半径的圆.全练一一快速解答1.已知圆C的

8、圆心是直线 xy+1 = 0与x轴的交点，且圆C与直线x+ y+3=0相切， 则圆C的方程是()A. (x+ 1)2 + y2=2B. (x+1)2+y2=8C. (x-1)2+y2=2D. (x-1)2+y2=8解析：直线xy+1 = 0与x轴的交点坐标为(1,0),因为圆C与直线x+ y+3=0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r=d =匕害学皿，则圆C的方程为(x+1)2+y2=2,.,1+1故选A.答案：A2. (2018长沙*II拟)与圆(x2)2+y2=4关于直线y=乎x对称的圆白方程是()3A. (x-书)2+(y1)2=4 B. (x-?/2)2+(y-A/2)2=4C. x

9、2+(y-2)2=4D. (x-1)2+(y-V3)2=4解析：圆与圆关于直线对称，则圆的半径相同，只需圆心关于直线对称即可.由题意知 已知圆的圆心坐标为(2,0),半径为2 ,设所求圆的圆心坐标为(a , b),则 fbzLO 仙a= 1 ，a-2X 3 -T， =b + 0 _ V3x a + 2L 2 32所以所求圆的圆心坐标为(1, 回 半径为2.从而所求圆的方程为(x-1)2+ (y-V3)2 = 4.答案：D3. (2018广州模拟)若一个圆的圆心是抛物线x2=4y的焦点，且该圆与直线 y = x+3相切，则该圆的标准方程是 .解析：抛物线x2=4y的焦点为(0,1),即圆心为(0

10、,1),设该圆的标准方程是 x2+ (y-1)2= r2(r> 0),因为该圆与直线y=x+ 3相切，所以r=1T31 =/，2,故该圆的标准方程是x2+ (y-1)2=2.答案：x2+(y1)2=2jT类题通法/用待定系数法求圆的方程的一般步骤(1)选用圆的方程两种形式中的一种，若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若 给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标轴间的关系，通常选用标准方程；(2)根据所给条件，列出关于 D, E, F或a, b, r的方程组；(3)解方程组，求出 D, E, F或a, b, r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求 圆的方程.谢练结合直线与圆的位置关系授课提

11、示：对应学生用书第 47页悟通一一方法结论1.直线和圆的位置关系的判断方法直线 l: Ax+By+C=0(A2+B2w0)与圆：(xa)2+(yb)2= r2(r >0)的位置关系如表不去 关系几何法：根据d =|Aa+Bb+C| 匚J-, 2 c2与r的大“A2+ B2小关系Ax + By + C = 0代数法：x-a)2+(y-bi(r>0)消元得一元二次方程，根据判别式A的符号判断相交dvr50相切d= r= 0相离d > r区02.弦长与切线长的计算方法(1)弦长的计算：直线l与圆C相交于A, B两点，则|AB|=2/r2d2(其中d为弦心距).(2)切线长的计算：过

12、点 P向圆引切线PA,则|PA|=4|PC|2r2(其中C为圆心).典例(2017 高考全国卷出)(12分)已知抛物线C: y2=2x, 过点(2内)的直线，交。于AI两点同 M是以线段AB为直径的圆.证明：坐标原点 O在圆M上;求直线】与圆M的方程.(2)设圆M过点P(4, 2),学审题条件信息想到方法注意什么信息？中过定点的直线l直线l的方程的设法数形结合分析，灵活设 l: x=my + 2.注思斜举是否存在信息？中AB为直径抓住圆的几何性质坐标化条件OAXOB? x1x2+y1y2=0信息？中求圆的方程确定圆心与半径是求圆方程关键设出圆心坐标，注意多解.规范解答(1)证明：设 A(xi,

13、 yi), B(x2, y2), l： x= my+ 2.(1分)x=my+2,0由 i 2 2 可得 y 一 2my 4= 0,则 y1y2= - 4. 222又 xy1, x2=y2, 故 x1x2= -(yiy-)-= 4. (3分)4因此OA的斜率与OB的斜率之积为x1 y2 = -=- 1, 所以OAOB.故坐标原点O在圆M上.(5分)(2)由(1)可得 y+y2=2m,x1+ x2= m(y + y2) + 4= 2m2 + 4,故圆心M的坐标为(m2+2, m), 圆 M 的半径 r= M(m2+ 2 j + m2 (8分)由于圆M过点P(4, 2),因此APBP=0,故(x1-

14、 4)( x2-4) + (y1+ 2)(y2+ 2)=0, 即 x1x 4(x1 + x2) + y1y2+ 2(y + y2) + 20 = 0. 由(1)知 y1y2=一 4, x1x2=4,所以 2m2 m 1 = 0,1 解得 m=1 或 m= 2. (10分)当m=1时，直线l的方程为xy2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为 回, 圆 M 的方程为(x3)2+(y1)2=10.当m=2时，直线l的方程为2x+ y4=0,圆心M的坐标为；'；,圆M的半径圆 M 的方程为x 4 2+ y+ 2 2=15.(12分)T类题通法/ r1 .圆上的点到直线的距离的化归思想(

15、1)转化为两平行线间的距离以及直线与圆的交点个数求解.(2)转化为圆心到直线的距离与半径之间的关系求解.(3)直接设点，利用方程思想解决.2 .数形结合思想在求解与圆有关的最值问题中是关键点练通一一即学即用1. (2018 银川九中五模)直线 l: kx+ y+4=0(kCR)是圆 C： x2+y2+4x 4y+6=0 的一条对称轴，过点 A(0, k)作斜率为1的直线m,则直线m被圆C所截得的弦长为()A.B. 2C.V6D. 2蛭解析：圆 C: x2 + y2 + 4x-4y+6= 0,即(x+2)2+(y 2)2= 2,表示以 C(2,2)为圆心， 也为半径的圆.由题意可得，直线l: k

16、x+y + 4=0经过圆心C(-2,2),所以一2k+2 + 4=0, 解得k=3,所以点A(0,3),故直线m的方程为y=x+3,即x-y + 3=0,则圆心C到直线m 的距离d = L2君 3| =左，所以直线m被圆C所截得的弦长为2X、卜胃.故选C.答案：C2. (2018高考全国卷出)直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A, B两点，点P在圆(x- 2)2+y2=2上，则ABP面积的取值范围是()A. 2,6B. 4,8C.亚 372D. 272, 3我解析：设圆(x2)2+y2=2的圆心为C,半径为r,点P到直线x+ y+2=0的距离为d, 则圆心C(2,0), r = 2,所以圆

17、心 C到直线x+y+2=0的距离为2业 可得dmaX=2T2+r =3蜕，dmin=2，2r = 2.由已知条件可得 AB=2j2,所以 ABP面积的最大值为：AB dmax1=6, ABP面积的取小值为2ABdmin=2.综上， ABP面积的取值范围是2,6.故选A答案：A3.已知圆 C: x2+y2 2x 4y+m=0.(1)若圆C与坐标轴有3个交点，求m的值；(2)若圆C与直线x+2y-4=0的两个交点为 M, N,且满足OM ON= 0(其中O为坐标 原点),求此时m的值.解析： 由 x2 + y2 2x4y+m=0 配方得(x- 1)2+ (y-2)2= 5-m.由题意，可得圆 C与

18、x轴相切或过原点时，圆 C与坐标轴有三个交点，所以 5 m = 4,或 1+4=5 m,解得 m=1 或 m= 0.(2)设 M(xi, y)，N(x2, y2)则OM = (x，y)，ON = (x2, y2).由OM ON = 0,得 x1x2+y1y2=0.x+2y-4=0, |x2+ y2 2x 4y+ m= 0消 x,得(4 2y)2+y22(4 2y)4y+m=0.整理得 5y216y+8+m = 0.根据根与系数的关系得，y1 + y2=§, y1y2= 84m 55由 x1=4 2y1, x2 = 4 2y2,x1x2= 16 8(y1 + y2)+ 4y1y2= Z

19、)55, c /曰 48 , 4(8 + m , 8+m 八由 x1x2+y1y2=0,得一-5- + -5-5-=0,解得m=8.由知A= 162-20(8+ m)>0,即m<24,故m=5满足题意，因此 m=g为所求.提升能力端技巧：；鼻打法授课提示：对应学生用书第141页一、选择题1. “ab=4” 是“直线 2x+ ay1 = 0 与直线 bx+ 2y2=0 平行”的()A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解析：因为两直线平行，所以斜率相等，即 2=-b,可得ab=4,又当a=1, b=4a 2时，满足ab= 4,但是两直线重合，

20、故选 C.答案：C2.已知圆(xl)2+y2=l被直线xq3y = 0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之 比为()A. 1 ： 2B. 1 ： 3C. 1 ： 4D . 1 ： 5解析：(x-1)2+y2= 1的圆心为(1,0),半径为1.圆心到直线的距离 d = -=,所以5 + 3 2较短弧所对的圆心角为 金，较长弧所对的圆心角为 竽，故两弧长之比为1 ： 2,故选A.答案：A3. (2018临沂模拟)已知直线3x+ay=0(a>0)被圆(x2)2+y2=4所截得的弦长为2,则 a的值为()A. . 2B. 3C. 2V2D. 2m解析：由已知条件可知，圆的半径为2,又直线被圆所截

21、得的弦长为2,故圆心到直线的距离为.3,即小,得a =m.答案：B4. (2018济宁模拟)已知圆C过点A(2,4), B(4,2),且圆心C在直线x+y=4上，若直线x+2y1=0与圆C相切，则t的值为()A . 6野/5B . 6及泌C. 2朋将D. 6苗，5解析：因为圆C过点A(2,4), B(4,2),所以圆心C在线段AB的垂直平分线y=x上，又圆心C在直线x+ y=4上，联立/ ,解得x= y=2,即圆心C(2,2),圆C的半径rx+ y= 4=M(2-2 2+(2-4 2 = 2.又直线x+2y1=0与圆C相切，所以|2+4 t|15=2,解得t=6±2企.答案：B5 .

22、 (2018南昌第一次模拟)如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线y=2x+ 1与圆x2+y2=4相交于A, B两点，则cos/ AOB = ()A.,510解析：因为圆x2+y2 = 4的圆心为0(0,0),半径为2,所以圆心O到直线y=2x+1的距离d=12f号7F所以弦长AB尸|OA|2+|OB|2 |AB在 A0B中，由余弦定理得 cos/ AOB =2|0A| |0B|19|2 4+4-4X 2X2X2910.答案：D6 .(2018合肥第一次教学质量检测)设圆x2+y2 2x2y2=0的圆心为C,直线l过(0,3)与圆C交于A, B两点，若|AB|=243,则直线l的方程为()A.

23、 3x+4y12=0 或 4x 3y+9 = 0B. 3x+4y12=0 或 x= 0C. 4x3y+9=0 或 x=0D. 3x4y+12=0 或 4x+ 3y+9 = 0解析：当直线l的斜率不存在时，计算出弦长为273,符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+ 3,由弦长为 2/3可知，圆心到该 |k+2|-3直线的距离为1,从而有力=1,解得k=-J ,综上，直线l的方程为x=0或3x+ 4y .k + 14 12 = 0,故选 B.答案：B7.已知圆O：x2+y2=1,点P为直线4+2=1上一动点，过点P向圆。引两条切线PA,PB, A, B为切点，则直线 AB经过

24、定点()A.（2，4）C.（f0）1 1B. （4，2）3D-（。，学）解析：因为点P是直线x+y= 1上的一动点，所以设 P(4-2m, m).因为PA, PB是圆x2+y2=1的两条切线，切点分别为 A, B,所以OAPA, OBXPB,所以点A, B在以OP为直径的圆C上，即弦AB是圆。和圆C的公共弦.222+因为圆心C的坐标是(2-m, 2),且半径的平方r2J ，所以圆C的方程为(x- 2 + m)2 + (ym)2=又 x2 + y2=1,所以得，(2m-4)x-my+ 1 = 0,即公共弦 AB所在的直线万程为(2x y)m+(4x _ 11 1所以直线AB过定点(4, 2),故

25、选B.-4x+ 1 = 0,x= 4,+ 1) = 0,所以由得2)=2答案：B8.若过点A(1,0)的直线l与圆C: x2+y26x8y+21 = 0相交于P, Q两点，线段PQ 的中点为 M, l与直线x+ 2y+2=0的交点为 N,则|AM| |AN|的值为()A. 5B. 6C. 7D. 8解析：圆C的方程化成标准方程可得(x-3)2+(y4)2=4,故圆心为C(3,4),半径为2,x+ 2y+2=0,f2k 2 3k 、则可设直线l的方程为kxyk=0(kw 0),由， y得N患千，一I,又kx-y-k=0,曲+12k+ V直线CM与l垂直，得直线 CM的方程为y-4= -，(x3)

26、.kx y k=0,ik2+4k+3 4k2+25 付 M、 k2+1 '诏7 J；则 |AM | |AN |/，2+ 4k+ 3-21k2 + 2k "2y1 k2+1 J +、k2+ 1 J .212k+ 1| j22JX 1+k2X1 + k答案：B341 +k2|2k+ 1|6.故选B.二、填空题9 . (2018高考全国卷I )直线y=x+1与圆x2+y2+2y3=0交于A, B两点，则|AB|解析：由 x2+y2+2y3=0,得 x2+(y+1)2=4.圆心 C(0, 1),半径 r= 2.圆心C(0, 1)到直线x y+1=0的距离d =|1+1|：12=Q .

27、-.|AB|=2r2-d2 =2/42 =2 2.答案：2 210 . (2018江苏三市三模)在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A(0, 2),点B(1, 1),.一 2P为圆x+ y2=2上一动点，则 盟的最大值是22解析：设动点 P(x, V),令 PT=t(t>0),则整理得，(1t2)x2 |PA|(一 x)十(一2-y)/+ (1 -t2)y2- 2x+ (2 - 4t2)y+ 2 - 4t2= 0, (*)易知当1t2W0时，(*)式表示一个圆，且动点 P在该圆上，又点P在圆x2+y2=2上，所以点P为两圆的公共点，两圆方程相减得两圆公共弦所在 直线 l 的方程为 x-(

28、1-2t2)y-2+3t2=0,所以圆心(0,0)到直线l的距离d=2+3t L解得0<t<2,所以1PB|的最大值/1 + (1-2t2)|PA|为2.答案：2三、解答题11 .已知圆 C 过点 P(1,1),且圆 C 与圆 M: (x+2)2+(y+2)2=r2(r >0)关于直线 x+ y+2 =0对称.(1)求圆C的方程;(2)设Q为圆C上的一个动点，求PQ MQ的最小值.解析：(1)设圆心C(a, b),则ay2 +T-2 +2=0, 221祟=1，解得a= 0,b= 0,则圆C的方程为x2+y2=r2,将点P的坐标代入得r2=2,故圆C的方程为x2+y2=2.(2

29、)设 Q(x, y),则 x2+y2=2,PQ MQ = (x1, y1)(x+ 2, y+ 2) = x2+y2+x+ y-4=x+ y-2,令 x="72cos 0, y= >/2sin 0,则4 fMQ = x+y2=/(sin 0+ cos ()2= 2sin所以PQ M/lQ的最小值为一4.12 .已知圆 C: x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(xi,y1)向该圆引一条切线，切点为M,O为坐标原点，且有|PM|=|PO|, 求使|PM |取得最小值时点 P的坐标.解析：(1)圆C的标准方程

30、为(x+1)2+(y2)2=2.当此切线在两坐标轴上的截距为零时，设此切线方程为y=kx,由措 = 值得2烟，此切线方程为y= (2知6)x.当此切线在两坐标轴上的截距不为零时，设此切线方程为x+y-a=0,由匕耳二回2=也，得 |a1|=2,即 a=-1 或 a=3.，此切线方程为 x+ y+1=0或x+y3=0.综上，此切线方程为 y=(2 +46)x 或 y=(2 46)x 或 x+ y+1 = 0 或 x+y3 = 0.(2)由 |PO|=|PM|,得 |PO|2=|PM|2=|PC|2|CM|2,即 x2+y2= (x+1)2+(y1一 2)22,整理得 2x一4y+3 = 0,即点

31、 P 在直线 l： 2x+4y+3= 0 上，当|PM |取最小值时，PO |取最小值，2x + y= 0解方程组此时直线PO,l,，直线PO的方程为2x+ y=0.l2x-4y+3=0,3Ly=5'故使|PM|取得最小值时，点 P的坐标为需，3：13 .已知过抛物线 C: y2=2px(p>0)的焦点，斜率为 2g2的直线交抛物线于 A(x1，y1)9和 B(x2, y2)(xvx2)两点，且 |AB|=2.(1)求抛物线C的方程；(2)若抛物线C的准线为l,焦点为F,点P为直线m： x+y2=0上的动点，且点 P 的横坐标为a,试讨论当a取不同的值时，圆心在抛物线 C上，与直线l相切，且过点P的 圆的个数.解析：(1)直线AB的方程是y=242(x 2),代入y2=2px,得4x25px+ p2= 0,所以x1,_5p+ x2；,由抛物线的定义得|AB|=X1 + x2+p=?修抛物线C的方程是y2=4