高考数学(文)一本策略复习教案：第四讲不等式Word含解析

1、第四讲不等式考情分析明确方向V年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018I卷线性规划求最值T141 .选择、填空题中的考查以简单的线 性规划与不等式性质为主，重点求 目标函数的最值，有时也与其他知 识交汇考查.2 .基本不等式求最值及应用在课标 卷考试中是低频点，很少考查.3 .不等式的解法多与集合、 函数、解 析几何、导数交汇考查.n卷线性规划求最值于14出卷线性规划求最值于152017I卷线性规划求最值T7n卷线性规划求最值T7出卷线性规划求范围于52016I卷不等式比较大小、函数的单调性于8线性规划的实际应用T16n卷一兀二次不等式的解法、集合的交集运算T1线性规划求最值于14出卷不等式

2、比较大小、函数的单调性T7线性规划求最值T13X|l： * -i n-不等式性质及解法授课提示：对应学生用书第10页悟通一一方法结论1 . 一元二次不等式 ax2+bx+c>0（或<0）（aw0, A= b2-4ac>0）,如果 a 与 ax2+bx+c 同号，则其解集在两根之外；如果 a与ax2+bx+c异号，则其解集在两根之间.简言之： 同号两根之外，异号两根之间.2 .解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式（一般为一元二次不等式）求解.3 .解含参数不等式要正确分类讨论.全练一一快速解答1. （2018深圳一模）已知a>b>0

3、, c<0,下列不等关系中正确的是 （）A . ac>bcB . ac>bcC. loga(a-c)>logb(b-c)D. a>-ba c b c解析：法一：(性质推理法)A项，因为a>b, c<0,由不等式的性质可知ac<bc,故A不正确；B项，因为c<0,所以一c>0,又a>b>0,由不等式的性质可得a c>b c>0,即 W>0,a b再由反比例函数的性质可得ac<bc,故B不正确；C 项,若 a = 2, b=4, c= 2,则 loga(a c)叶 1 = 0, logb(b c)=*

4、4>logT 1=0,即 loga(a c)<log b(b c),故 C 不正确;D项,a ba c b ca bc b a ca-c >c=cba(a-cib-c)因为 a>b>0, c<0,所以 a- c>b- c>0, b- a<0,所以c(b a) >0, IP->0,(a c jb c ja c b c所以黄/六，故D正确.综上，选D.法二：(特值验证法)由题意，不妨取 a=4, b=2, c= - 2.则 A 项，ac= 8, bc= 4,所以 ac<bc,排除 A;B 项，ac=4 2 = , bc=2 2

5、 = 1,所以 ac<bc,排除 B； 164C 项，loga(a c)= log4(4 + 2)= log46, logb(b c)= log2(2 + 2) = 2,显然 log4 6<2,即 loga(a-c)<log b(b-c),排除 C.综上，选D.答案：D2. (2018湖南四校联考)已知不等式mx2+nx m<0的解集为jx x< ；或x>2则m n=()1 5A.2B. -5C.2D. - 1解析：由题意得，x=一x=2是方程mx2+*m=。的两根，所以一三2一土且2x 2 = m2(m<0),解得 m=1, n= 3,所以 m n=

6、5答案：B43 .不等式Xwx2的解集是()A. ( 8, 0 U (2,4B. 0,2) U 4, +0o)C. 2,4)D . (8, 2 U (4, +oo)解析：当x- 2>0,即x>2时，不等式可化为(x-2)2>4,所以x> 4;当x- 2<0, 即x<2时，不等式可化为(x-2)2<4,所以0Wx<2.综上，不等式的解集是0,2)U4,十川.答案：B4 .已知xC (8, 1,不等式l + 2x+(aa2) 4x>0恒成立，则实数a的取值范围为()A. G2, 4)B(-8, 41C 2, I ；D.(-8, 6解析：根据题意

7、，由于 1 + 2x+ (a-a2) 4x>0对于一切的xC(” 1恒成立，令 2x =2 221+t1+tt(0<tw2),则可知 1 + t+(aa )t >0? aa>故只要求解 h(t)= 丫(04 2)的最大值即可，h(t) = 121= !r+2/ + 4,又1>3，结合二次函数图象知，当 1I I,">产 "TI JI=1,即 t = 2 时,h(x)取得最大值| 即 a-a2>-|,所以 4a2-4a-3<0,解得2<a<1,故实数a的取值范围为(-J, 2；答案：Clgfx+1 x>0, 一

8、一5,设函数f(x)=i ;"则使得f(x)W1成立的x的取值范围是 .L x3, x<0,x> 0,x<0,解析：由;(+ 尸得0WxW9,由，x3< 1得一1 wx<0,故使得f(x)< 1成立的x的取值范围是T,9.答案： 1,9【类题通法】1 .明确解不等式的策略(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax2+bx+c>0(a>0),再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集.(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解.2 .掌握不等式恒成立问题的解题方法(1)f(x)>a

9、 对一切 xC I 恒成立？ f(x)min>a； f(x)<a 对一切 xC I 恒成立？ f(x)max<a.(2)f(x)>g(x)对一切xC I恒成立？ f(x)的图象在g(x)的图象的上方.(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数.一般 地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.利用分离参数法时，常用到函 数单调性、基本不等式等.考点二基本不等式授课提示：对应学生用书第10页悟通一一方法结论求最值时要注意三点：“一正” “二定” “三相等”.所谓“一正”指正数，“二定” 是指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等”

10、是指等号成立.全练一一快速解答1.(2018长春市莫拟)已知x>0, y>0,且4x+ y=xy,则x+ y的最小值为()5A.C.12D. 16解析：由4x+y= xy得4+ 1= 1,则 y xx+ y= (x+y)1 '；= x + +1 + 4>2J4+5 = 9, x y xB. 9,故选B.当且仅当念=",即x=3, y=6时取"= y x答案：B 一.a4+4b4+1sB ,2. (2017局考天津卷)若a, bCR, ab>0 ,则ab的取小值为解析：因为ab>0,所以a4+ 4b4+ 1 2M4a4b4 +1 4a2b

11、2+ 1ababab=4ab+ 2 R2，4ab 4= 4,ab aba2=2b2,当且仅当11ab=2时取等号,a4+4b4+ 1故r-的最小值是4.答案：43. (2017高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为 4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x的值是解析：由题意，一年购买600、次,则总运费与总存储费用之和为6X0X6+4x=4f9X+x> 8y 等 x = 240,当且仅当x= 30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.答案：30【类题通法】掌握基本不等式求最值的 3种解题技巧(1)凑项：

12、通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值.(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值， 从而可利用基本不等式求最值.(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式考点三子分开，即化为y=m + gA"+ Bg(x)(A>0, B>0), g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等 式来求最值.讲练结合简单的线性规划问题授课提示：对应学生用书第11页悟通 方法结论平面区域的确定方法解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但

13、要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.全练一一快速解答1. (2017高考全国卷出)设乂，y满足约束条件f3x+ 2y-6<0,x>0,则z= x-y的取值范围是*0,A. 3,0B.-3,2C. 0,2D.0,3解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线I。： y=x,平移直线 E当直线z=xy过点A(2,0)时，z取得最大值2,当直线z=x- y过点B(0,3)时，z取得最小值3,所以z= x- y的取值范围是3,2.答案：B,兀2.已知平面上的单位向量ei与e2的起点均为坐标原点O,它们的夹角为3.平面区域D,计后1,由所有满足OP=居+阳的点P组成，其中

14、S0W '那么平面区域 D的面积为()l0w的1 A.2B. 3,3C.y,3D7解析:J3x+j= 13建立如图所示的平面直角坐标系，不妨令单位向量e1= (1,0)e2=x=入+= (x, y),因为OP= 21+2,所以y=2'fx= x-冬即 .2.13y1尸3，RV3x+ yw 5，以< V3x- y>0,表示的平面区域 D如图中阴影部分所示，所以平面区域 D的面积为中,故选D. 4答案：D3. （2018福州模拟）某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序.已知生 产一把椅子需要木工 4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工 8个工作时，

15、漆 工1个工作时.生产一把椅子的利润为1 500元，生产一张桌子的利润为2 000元.该厂每个月木工最多完成 8 000个工作时、漆工最多完成 1 300个工作时.根据以上条件，该厂安 排生产每个月所能获得的最大利润是 元.解析：设该厂每个月生产 x把椅子，y张桌子，利润为z元，则得约束条件,x+ 8y<8 000,S2x+ y< 1 300, z= 1 500x+2 000y.vX, yC N,rx+2y<2 000,画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，画出直线3x +x> 0,2x+y<1 300,ly> 0x+2y=2 000, 4y=0,平移

16、该直线，可知当该直线经过点P时，z取得最大值.由得2x+ y=1 300,x= 200,即 P(200,900),所以 Zmax= 1 500 X 200 + 2 000 X 900 = 2 100 000.故每个月所获得ly=900,的最大利润为 2 100 000元.答案：2 100 000【类题通法】解决线性规划问题的3步骤作图平移:前出的束条怦所确定的可行域和目标函数所表示的平面： ;宜圾系中的任意一条直线£“将£平行移动.以确定量优解所对应的点的位置.有时鬲妻： :对目标函数和可行域效界的斜率的大小排行比较；,解有关方程姐求出易优解的坐标，再代入目标函数，求百 求

17、值F目标函教的最值：练通即学即用x+ 2y> 01. (2018湘东五校联考)已知实数x,y 满足 Sx yw。, 0WyWk,且z=x+y的最大值为6,则15(x+ 5)2 + y2的最小值为()B. 3D. 3A. 5C. 5x+ 2y> 0,解析：作出不等式组$x y<0, o< y< k表示的平面区域如图中阴影部分所示,由z=x+y,得y= x+z,平移直线 y= - x,由图形可知当直线 y= - x+ z经过点 Ar时，直线y=-x+ z的纵截距最大，此时 z最大，最大值为6,即x+ 丫=6.由°+y=6,得x- y=0,A(3,3),二,直

18、线y=k过点A,，k= 3.(x+ 5)2+ y2的几何意义是可行域内的点与D(5,0)的距离的平方，数形结合可知，(5,0)到直线x+2y=0的距离最小，可得(x+ 5)2+y2的最小值为答案：Ax- y>0,2.已知变量x,y满足约束条件1x+ y>0,记z = 4x+y的最大值是aUa =2x+ y< 1,解析:4x+ y如图所示，变量 x, y满足的约束条件的可行域如图中阴影部分所示.作出直线2x+y=1,X=1,=0,平移直线，知当直线经过点A时，z取得最大值，由解得所lx+ y=。，ly=- i,以 A(1, - 1),此时 z=4X 1 1 = 3,故 a=3.

19、答案：33. (2018高考全国卷I)若八y满足约束条件x-2y-2<0,$x y+ 1 > 0, ywo,则z= 3x+ 2y的最大值为.解析：作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示.作直线lo： y= -3x.平移直线lo由 z= 3x + 2y 得 y=- |x+.当直线y= 3x+ 2过点(2,0)时，Z取最大值，Zmax=3X2+ 2X0=6.答案：6端技巧：；鼻打法提升能力授课提示：对应学生用书第110页一、选择题1,已知互不相等的正数 a, b, c满足a2+c2=2bc,则下列等式中可能成立的是()B. b>a>cA. a>b>cC. b&

20、gt;c>aD. c>a>b解析：若a>b>0,则a2+c2>b2+c2>2bc,不符合条彳%排除 A, D;又由a2c2=2c（b c）得ac与bc同号，排除 C；当b>a>c时，a2+c2= 2bc有可能成立，例如：取 a = 3, b= 5, c=1.故选B.答案：B2.已知b>a>0, a+b=1,则下列不等式中正确的是 （）A . log 3a>0B. 3a b<13C. log2a + log2b< 2解析：对于A,由10g3a>0可得log3a>log31，所以a>1,这与b&g

21、t;a>0, a+b=1矛盾，所以A不正确；对于B,由3"b<1可得3a b<3 1,所以ab<1,可得a+1<b,这与b>a>0, 31 ba+b=1矛盾，所以B不正确；对于 C,由log2a+log2b< 2可彳导log2（ab）< 2= log24，所以ab<1,又b>a>0, a + b= 1>2>/ab,所以ab<4,两者一致，所以 C正确；对于 D,因为b>a>0,a + b=1,所以 3|b + b >3Xb- = 6，所以D不正确，故选C.答案：C3.在R上定义

22、运算：x y=x(1y).若不等式(xa) (xb)>0的解集是(2,3),则a + b=()A. 1B. 2C. 4D. 8解析：由题知(xa) (xb)= (xa)1 (xb)>0,即(xa)x (b+1) <0,由于该不等式的解集为(2,3),所以方程(x- a)x-(b+1) =0的两根之和等于 5,即a+b+1 = 5,故 a+ b= 4.答案：Cx-34,已知aC R,不等式 >1的解集为P,且一2?P,则a的取值范围为()x+ aA. (-3, +oo )B. (3,2)C.(巴 2)U(3, +8)D. ( 8, 3) U 2 , +8)-2 3解析：-

23、 - 2?P, 1-乙二<1 或一2+a=0,解得 a>2 或 a< 3.-2十a答案：D5.已知xr2x-y<0,x一 3y+ 5 > 0 y满足x> 0,则z= 8 x j的最小值为(A. 1C.116Ly>0,B?1 D.32解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而x；y=2-3x-y,欲使z最小，只需使一3x y最小即可.由图知当y=2 时，3xy 的值最小，且3X12= 5,此时 2一3“y1取小值为石.故选D.32答案：DX24x+6, x>06.设函数f(x) =x+6, x<0则不等式f(x)>f(1)的解集

24、是A. (3,1)U(3, +8)B. (-3,1)U (2, i )C. (-1,1)U (3, i)D. (-oo, 3)U(1,3)解析：由题意得，f(1) = 3,所以 f(x)>f(1),即 f(x)>3.当 x<0 时，x+6>3,解得3Vx<0;当x>0时，x2-4x+6>3,解得x>3或0Wx<1.综上，不等式的解集为 (3,1)U(3,十8).答案：Ay>1,7,已知实数x, y满足yW2x1, 如果目标函数z=3x2y的最小值为0,则实数m y< m,等于()A.C. 6B. 3D. 5解析：作出不等式组所表

25、示的可行域如图中阴影部分所示，由图 可知，当目标函数 z= 3x2y所对应的直线经过点 A时，z取得最小 值0.由广lx+y= m,求得a¥，智.故z的最小值为3X L】m2X2mm = m+5 333 3m 5由题意可知一m+5=0,解得m= 5.3 3答案：D8. 若对任意正实数 x,不等式相"：恒成立，则实数a的最小值为（）B. 2A. 112C.2D.-2-1 ax x 11斛析：因为+ 1 < X，即a>x2+ 1 ,而+ 1 = 12(当且仅当x= 1时取等号),所以XX X xx1 a>2.答案：C3x+ y+3>0,9. （2018太

26、原一模）已知实数x, y满足条件S2x y+2<0,则z=x2+y2的取值范围 为（）A. 1,13B.1,4解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所C.去131D-自 41示，由此得z=x2 + y2的最小值为点 O到直线BC: 2x-y+2 =0的距离的平方，所以 Zmin=&j=4最大值为点O与点A（2,3）的距离的平方，所以 Zmax=|OA|2=13,故选C.答案：C10. （2018衡水二模）若关于x的不等式x24ax+3a2<0（a>0）的解集为（Xi, x2）,则xi +*2+优的最小值是（）B23B. 3C. 3D.236解析：:关于 x的不

27、等式 x24ax+3a2<0(a>0)的解集为(xi,X2), /. A= 16a212a2= 4a2>0,又 x1 + x2= 4a, x1x2= 3a , x1 + x2+急=4a+£ 4a +9231 = 4J3a 3毕口a =，x1 + X2+篇的最小值是曾3答案：C11 .某旅行社租用 A, B两种型号的客车安排 900名客人旅行,A, B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()A. 31 200 元B. 36 000 元C. 36 800

28、 元D . 38 400 元解析：设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z=1 600xr36x+ 60y >900,x+ y< 21,+ 2 400y,则约束条件为 y-x<7,x, ye n,作出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点A(5,12)时，有最小值Zmin= 36800(元).答案：C12. (2018淄博模拟)已知点P(xy>xy)C(x, y)/x+ 2yW2、x> 2M(2, 1),则 OM OP(O为坐标原点)的最小值为()A. - 2B. -4C. 6D. - 8解析：由题意知OM = (2, 1),OP = (x, y),设 z= OMOP=2x y,显然集合(x,y>xy>xy)，x+2yw2 对应不等式组Sx+2yw2 所表示的平面区域.作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z= 2x- y对应的直x= -