《正弦稳态分析》ppt课件

1、第四章 正弦稳态分析 正弦波在电力、通讯、控制三大系统中的运用极为广泛。电路在以正弦规律变化的鼓励的作用下的各线性元件的呼应的变化规律的分析是电路分析的又一重点。第一节 正弦量及其描画一正弦量的时域表示 正弦电流 )cos( mitIi正弦电压 )cos( mutUuIm 、Um 振幅(最大值)； 角频率； i 、u 初相角。 三要素1周期T 、频率f和角频率正弦波变化快慢要素T正弦量变化一个循环所需的时间，常用单位：s，ms，sf正弦量单位时间内的循环周数，常用单位：Hz，kHz，MHzfT22相角随时间变化的速率， 。正弦量变化一周时其相位变化了 2弧度, T=2 )( itdtd 2tu

2、(t)Umu0(=T )正弦量及其描画低频(音频) 20kHz，如工频 f =50Hz(=314rad/s T = 0.02s)； 中频 几百kHz，如我国电台中波：5351605kHz； 高频 几MHz以上，如电视信号：几十几百MHzf 2相(位)角、初相(角)与相位差正弦波变化的进程要素 相角：如(t+i )，反映正弦量的变化进程。 初相:i =(t+i )|t=0, 即t = 0时辰的相角,与计时起点有关，其SI单位为rad且rad =180；1=(/180)rad .=0的正弦量可视为参考正弦量； i为纵轴左边正向最大值的点与原点间的最短间隔。(纵轴右边正向最大值的点与原点间的最短间隔

3、计为负值)。ti(t)Imi0i 图中，i 0，(t+i )=0，即t = -i时，i达正向Im ；同理，i 0(u i )：称u相位超前于i或称i相位滞后于u ui0(u i )：称u相位滞后于i 或称i相位超前于u ui =0 (u =i )称u与i同相 ui = 称u与i反相 ui =(2) 称u与i正交 3振幅(幅值、最大值)与有效值的关系有效值(effective value)的定义：假设一周期性电流i在一个周期T内流过某电阻R所作的功等于大小为I的直流电流在这段时间T内流过上述R所作的功，那么I就定义为的i有效值。正弦量及其描画TTTdtiTIRTIRdtIRdti02202021

4、 有效值即方均根值 符号规定：瞬时值：i， u， u1 ， 小写字母；最大值：Im, Um，U1m ，相应的大写字母上加足标m；有效值：I， U， U1 ， 相应的大写字母。正弦量有效值与最大值的关系：)cos( umtUu若有：mm02m02m022m707. 024)22sin(2 2)22cos(1)(cos1 UUttTUdttTUdttUTUTuTuTu则：UUUm414. 12IIIII414. 12 , 2mm同理： 交流表指示值、铭牌交流额定值通常指有效值(如220V，380V)；而耐压值往往指最大值。 其Um =311V . Um =537V 二正弦量的频域表示 1、正弦量的

5、运算： V)60cos(10 ,V)30cos(5 21tutu已知：?21uuu求：解：直接用三角函数进展： )60cos(10)30cos(5 21ttuuutt sin16.11cos33. 9(分别“积化和差并合并整理) V)1 .50cos(55.1433. 916.11g cos16.1133. 922ttarct 上述运算过程较复杂。假设遇乘、除法，那么更复杂。我们察看到u的仍与u1 、u2一样，变化的只是振幅与初相这两个要素，这使我们想到将复数与正弦量建立某种联络，使之运算得到简化2复数及其运算 复数A的四种表示方式： A=a+jb 代数方式代数方式 A =|A|(cos+js

6、in) 三角方式三角方式 A =|A|e j 指数方式指数方式 A =|A| 极坐标方式极坐标方式 +j+iAba 0sincosAbAa正弦量的频域表示+j=-arctg|b/a|, a0 =arctg(b/a), a0, b0 =arctg(b/a), a0, b0=arctg|b/a|-, a0, b0)( )0(,22反之为负逆时针角度为正abtgArcbaA 在主值范围内(-/2 +/2)的取值，所在象限的正负与a、b正负的关系如图 )( )( abtgArcabtgarc为 复数代数方式与极坐标方式的计算器互换例例1：将：将-3-j4 r . 3 +/- a 4 +/- b 2nd

7、F r 显示“5 b 显示“-126.8698)26.871(5)1803.135(5)180 (5 4343 343422tgarctgArcj留意到此例分子分母均负，因此为第三象限角。例例2：将：将10-60 x, y1.2.3.1. 10 a 60 +/- b 2ndF xy 显示“5 b 显示“-8.662.10 -60 =10cos(-60 )+j10sin(-60 )=5-j8.66 3.复数的四那么运算 设A1 =a1+jb1 = |A1|1 , A2 =a2+jb2 =|A2|2,复数加、减 宜用代数方式进展或在复平面上用平行四边形法那么或多边形法那么进展 A1A2 =(a1a

8、2) + j(b1b2) 复数乘、除 宜用极坐标方式进展： A1A2 =|A1|1|A2|2 =|A1|A2|(1 +2) 2121221121 AAAAAA复数的四那么运算可器具复数计算功能的计算器直接计算例：(5+j4) (6+j3)=18+j393、正弦量与复数的关系：由欧拉公式，复指数函数：) sin(2) cos(22) (iiijtIjtIIet222)cos(2 ) (ReReRe tttjjijijieIeIeIetIiA1A2 = |A1|ej1|A2| ej2 =|A1|A2| ej(1 +2 )正弦量：复数的四那么运算大写字母I上加小圆点是为了使之与有效值I相区别，相量不

9、同于普通的复数，是针对正弦电流i或正弦电压u而言的复常数。ijIIeIi 此复数称为正弦量i的(有效值)相量(phasor)。tjeI 2 为一旋转矢量，ejt为按角速度逆时针旋转的旋转因子 2 tjeIRe 为此旋转矢量在实轴上的投影+i+j(t=0)i(t=t1)t1it12 tjeIiRet几何意义： 相量 与正弦量i一一对应。即：给定了正弦量，就可以写出其相量；反之， 给定了相量及，就可写出其正弦量。相量反映了正弦量中振幅及初相这两个要素，暂时撇开了及t。I3213321251,A 20,V)15sin(100 A,)cos(2100 iUIeItutij及求已知/.A)60cos(2

10、20 ;V 75 )9051 ( ;A 100 32100210021251tiUI例：解：4正弦量运算与相量运算的对应正弦量运算与相量运算的对应 同频率正弦量相加(减)的结果仍为同频率的正弦量，且对应为相量的加(减)。1两同频率正弦量相加(减)：; ),cos(211111 IIti; ),cos(222222 IIti)(222 212121ReReRetttjjjeIIeIeIiii21III; ,2)cos(2 ReIIe Ititj,V)30cos(5 1tuV)60cos(10 2tu例 知用相量方式求u1+u2)V( 1 .50 55算器直接算mmmUU

11、UV)1 .50cos(55.14 tu可见相量计算比三角函数法计算简便。 U U2 60o U1 30o解：2正弦量的微分与积分 ;2)cos(2 tjie ItiRe)2()2()2( tttjjje Ije Idtde IdtddtdiReReRe90 : IIjdtdi的相量为求导相量j. 90;初相增加倍振幅为原来的. 90 : IjIidtt的相量为 正弦稳态下R、L、C等元件的VAR涉及建立正弦量微分方程，由以上可知正弦稳态电路微分方程可对应为复数系数的相量代数方程。因此正弦稳态分析可用比较简便的相量法进展。由电路直接建立相量方程，首先要确定电路元件的相量模型及VAR的相量方式。

12、. 90;1初相减小倍振幅为原来的积分相量j第二节 正弦电路中的电阻、电感和电容从而其相量模型和波形分别为：一、一、R元件：元件：)cos(2 :)cos(2: iRRRiRRtRIiRutIi则设RRiuRRIRURIU : 即R+ uR - iR+ -RRIRU i RURIuRiR当UL 一定时，L越大，IL 就越小，XL =L 称为感抗,量纲L=VA= 越大，XL 越大，高频信号就越难以经过L；LLLLiLLILjUdtdiLutIi: , )cos(2: 则设90iuLLLIULLLIjXU二、二、L元件：元件：相量模型和波形LILUiL iL+ uL - uLiL=0，即XL =0

13、,直流情况下L可等效为短路.jLLULI+ 三、三、C元件：元件：ccccucCUCjIdtduCitUu:)cos(2: 则设90uiccCUI 901 : 1iuCCCCICUICjU即UC 一定时，1C越大，IC 就越小，XC = -1C称为容抗。CCCIjXCjU1量纲1C=VA=, 越大，即XC 越小时，高频信号就越容易经过C；=0，即XC 时，直流情况下C可等效为开路。C iC+ uC -iCuCCICU1( jC)+ CICUu 相量模型和波形 第三节电路定律的相量方式 复阻抗与复导纳 00 0:KVL0:KCLUIui正弦稳态时一、KCL、KVL的相量方式：二、复阻抗、欧姆定律

14、的相量方式：在正弦稳态下，线性无源一端口网络端口电压相量与电流相量之比称为其等效复阻抗Z (complex impedance)(iuIUIUZIZU 欧姆定律的相量方式。线性无源网络NOUIUI Z 对R、L、C元件，有：CCLLRjXCjZjXLjZRZ1 , ,. , , 等效串联电抗的虚部等效串联电阻的实部ZXZRZ是普通的复数，不是相量，Z上方不打圆点Z的两种坐标方式：极坐标方式：Z=|Z|Z阻抗角的模 ;|iuzZIUZ 代数方式：Z=R + jX. | , sin|cos|22RXtgarcXRZZXZRzzz换算 |Z| RXzZ、|Z|、R、X的量纲皆为，且满足“阻抗三角形

15、UIRjXRU + +XUN个复阻抗串联：NzkzNkNkNkNkkkkkkZZXXRRZZ11111| 但串复数方式的分压公式。 串串UZZUKK阻抗“性质：UIRjXX=0(Z = u-i =0)： ， 同相，N0呈电阻性(谐振形状)；UIX0(Z =u-i 0(Z =u-i 0)： 超前于 ，N0呈(电)感性；UI 例例1图示电路知：图示电路知： ，试求正弦稳态下的，试求正弦稳态下的i 、uR 、uL 与与uC ，并作相量图。，并作相量图。V)805000cos(2100tu i 1512mH5F+ uR -+ uL -+ u -+ uC -解：此题如直接在时域求解,那么据KVL及元件的

16、VAR列写i的方程为一二阶微分方程,解方程较烦.我们用欧姆定律的相量方式即相量法分析:例1建立电路的相量模型如图,其中: ; 40005. 0511CXC60125LXLVU801001 .53252015406015jjjjXjXRZZZZCLCLR)( ;A 6.924 3.1552 80100计算器直接计算ZUI15j60 j40+ -U+ -LU+ -CU+ -SUI9 .26609 .26415IRUR;A )9 .265000cos(24ti;V)9 .265000cos(260tuR;V)1 .635000cos(2160V)9 .1165000cos(2240tutuCL9 .

17、1162409 .26460jIjXULL1 .631609 .26440jIjXUcc讨论：（有效值）但相量形式）（时域; ; )( ; CLRCLRCLRUUUUKVLUUUUKVLuuuu, |2 2RXzRXUUarctgUUU, |sin|coszXzRUUUU作相量图时：串联电路以电流相量为根底作出电压相量比较方便；并联电路以电压相量为根底作出电流相量比较方便26.9IRULUCUXUUi)对RLC串联正弦稳态电路有：的电压相量与电容上的电压相量反相，彼此抵消之故；iii) Z代数方式所对应的“串联模型的阻抗与其电压类似：|Z| X zRUUXURzii)UL =240V，UC =

18、160V，都大于电源电压U =100V(DC 电路不会如此)，这是由于电感上XIURIUIZUXR三、复导纳三、复导纳Y在正弦稳态下，线性无源一端口网络端口电流相量与电压相量之比称为等效复导纳Y(complex admittance)，即：)(uiUIUIYjBGYYY |线性无源网络NOUIUI YUYIGjBGIBIIU|Y|BGYIIGIBY. | , sin|cos|22GBtgarcBGYYBYGYYy. | , sincos22GBYBGYByGIItgarcIIIIIIIY代数方式所对应的“并联模型的导纳与其电流类似：. , ; , 等效并联电纳的虚部等效并联电导的实部YBYGB

19、UIGUIUYIBG其中Y、|Y|、G、B的SI量纲皆为西门子(S).Y与Z的关系 ：, ,Z Z1 1Y Y ; , |1|ZYZY1显然有：得：2222)(j1XRXXRRjXRjBG. )( , 2222XRXBXRRG. )( , 2222BGBXBGGR2且由：留意：当Z 0时，上式中的G1/R，|B|1/| X |且B与X异号。反映了Y并联模型参数与Z串联模型参数之间的关系 对应得：Y的“性质：IUB=0(Y=i-u=0)， 、 同相，N0呈电阻性(谐振形状)；IUB0(Y =i-u 0)， 滞后于 ，N0呈(电)容性；IUB0(Y =i-u 0为例，电路的u,i,p的波形如图:

20、其物理意义为：p的恒定分量算术平均值) P = UI cos 反映了N耗费的平均功率；p0时，外电路能量一部分被N内R所耗费，另一部分L、C储能； p0，Q C = -UC IC 0 。为了区分起见，给定(即cos)值时，常在后面附加“滞后或“超前字样。由于通常是电压源供电，“滞后指i滞后于u(感性)；“超前指i超前于u(容性)；IUQIUPUISXR,例：三表法测线圈交流参数例：三表法测线圈交流参数R和和L： WLVA30WR50V1A*电感线圈220V50HZ解：方法一解：方法一 ;127. 031440408 . 050sin:,306 . 050cos1 .536 . 015030co

21、s;50150H /同理滞后LLXLZXZRUIPIUZ)( 方法二 .127. 031440403050,50150;30130222222H /LLXLRZXIUZIPR五、功率因数(=cos)的提高. 输电线路损耗就越大 越大, I 越小则 P, 输送一定的 通常为恒压供电,用率; 直接影响电源设备的利 S, 远低于 低的使P缘由 由于电力系统的负载多为感性负载如日光灯、电机、电扇等，故提高的方法：在感性负载的“附近如某单位的变电所并联适当的电容。不会影响原负载的任务电压电流不变!经过例子阐明： LR+-UI1IC2I例：原电路例：原电路P =10kW，cos1 =0.6(感性感性)。如

22、何使电。如何使电路的路的cos提高到提高到0.9？ 解：解：i)并联电容后相量图定性分析如图：并联电容后相量图定性分析如图：小小于于1，可见功率因数提高了；原负载电路的电压、，可见功率因数提高了；原负载电路的电压、电流的大小和相位不变负载任务情况不变；电流的大小和相位不变负载任务情况不变；而总电流输电线路而总电流输电线路I明显小于明显小于I1 。1U1II2Iii ) 由cos1提高到cos所需C的公式推导：PQS并联电容不改动整个电路的P，只改动其无功无功补偿而Q由P tg1= QL变为P tg=QL + QC = P tg1 CU 2 ，21)(UPCtgtgF877F220314)8 .

23、28tg1 .53tg(10000)tgtg(; 8 .289 . 0cos ; 1 .536 . 0cos22111UPCiii ) 此例题正常求解的计算过程： 要使cos提高到接近于1，所需的C将要大大添加，但I的减小已非常有限了 效益差 故普通将cos提高到0.9左右即可。六、复功率六、复功率 ，功率平衡，功率平衡S六、复功率 (complex power)，功率平衡1复功率S SjQjQP PS S;cos ; 2222 QP P SPQPSS/IUIeUeUIeUIejUISijujiujj)()sin(cos2222)(ZIIjXRXjIRIjQPS2对于无源网络的串联等效模型Z

24、= R + j X ，有：3对于无源网络的并联等效模型Y = G + j B ，有 异号) B 与 X 且注意到 XUQUUjBGjBUGUjQPSX,()(22222/* *Y Y于是有12复功率平衡：设网络共有b条支路，电压电流取关联方向那么： 0, 000KKKKKQPSIU电路中复功率具有守恒性，即某些元件支路发出的复功率恒等于另一些元件支路的复功率。也可以说成电路中总的有功功率是各部分有功功率只和，总的无功功率是各部分无功功率只和，但是总的视在功率并不是各部分视在功率之和。第五节 正弦稳态电路的普通相量分析法一、分析方法概述： 对于电阻电路：由i = 0，u = 0及u = R i

25、等效变换、独立变量法、网络定理 正弦稳态下变为： 相量方式的上述各方法。IZUIUKK及0, 04一切的方程均为相量与复数的关系式，不但有大小关系，还有相位关系。且一个复数方程可对应为两个实数方程(实部方程与虚部方程或模方程与辐角方程)。相量法在DC分析法的根底上，还具有以下特点：1涉及复数运算，计算量大。2同一电路的阻抗串联模型的阻抗、电压及功率类似；或导纳并联模型的导纳、电流及功率类似。因此可借助这些Rt的关系使计算简化。3可借助其它一些几何关系及相位关系(如等腰、等边、同相、反相、正交等)使分析简化。5功率花样多(P、Q、S、 S例1：求右图电路各节点的电压：2+-2j1j2AIS05

26、. 1SUV03解：电路的相量模型建立如图：节点1不写；节点2、3的方程为： 021)211121(032132nn UUj3)1 (3)1 (23232nnnnUjUUUj05 . 1)2121(2132 nnUjU 3111)1 (2jj V. V, nn7 .336 . 323313)1 (216 .2624. 221313132jjUjjU据原电路的写出电气量的瞬时值正弦量的表达式+ -j810j10A02UI例2：求图示二端网络的戴维南等效相量模型。+U -I +1045o V-5j3第六节第六节 最大功率传输最大功率传输一、问题的引出与结论一、问题的引出与结论有源正弦稳态网络N+ -ZL=RL+jXLUIZL= ? 时可使PL=Pmax=？ZL=RL+jXL+-Zi=Ri+jXi+- UIOCU2222)()(LiLi LLLXXRRURIRPOC00LLLL XPRP及由iLdiLdXXRR可求得P L 达极大值时 i 2Ld4maxRUPPOC即Z L d = Z i*= Ri - jXi 共轭匹配 讨论：共轭匹配时，电路的效率为50%，实践电路的效率能够更低，电力系统希望尽量大不运转在匹配形状。在弱电系统，为使负载获得最大功率，可忽略其无关紧要的效率问题。戴维南等效电路如图： 当ZL=RL(纯电