复合函数的单调性

1、 函数的值域与函数的单调性我们将复习函数的值域与函数的单调性两部分内容通过本专题的学习，同学们应掌握求函数值域的常用方法；掌握函数单调性的定义，能用定义判定函数的单调性；会判断复合函数的单调性；了解利用导数研究函数单调性的一般方法知识要点一函数的值域求函数值域的方法主要有：配方法、判别式法、换元法、基本不等式法、图象法，利用函数的单调性、利用函数的反函数、利用已知函数的值域、利用导数求值域等二函数的单调性1定义如果对于给定区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)，那么就称f(x)在这个区间是增函数；如果对于给定区间上任意两个自变量的值x1、x

2、2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称f(x)在这个区间上是减函数如果y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，就说y=f(x)在这一区间上具有严格的单调性，这一区间叫做f(x)的单调区间注：在定义域内的一点处，这个函数是增函数还是减函数呢？函数的单调性是就区间而言，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题2函数单调性的运算规律在共同的定义域上，设“f型”是增函数，“g型”是减函数，则： （1）f1(x)+f2(x)是增函数； （2）g1(x)+g2(x)是减函数； （3）f(x)-g(x)是增函数； （4）g(x)-

3、f(x)是减函数典型例题 一函数值域的求法 （一）配方法例1解：例2 求函数 y=2x+2-3×4 x(-1x0) 的值域解 y=2x+2-3·4x =4·2x-3·22x 令 2x=t 例3解：函数定义域为3,5 例4若实数x、y满足x2+4y2=4x，求S=x2+y2的值域解：4y2=4x-x20 x2-4x0，即0x4 当x=4时，Smax=16 当x=0时，Smin=0 值域0S16例5已知函数y=f(x)=x2+ax+3在区间x-1,1时的最小值为-3，求实数a的值分析：的位置取决于a，而函数的自变量x限定在-1，1内，因此

4、，有三种可能性，应分别加以讨论解： 综合（1）（2）（3）可得：a=±7 （二）判别式法例6解 由已知得 (2y-1)x2-(2y-1)x+(3y-1)=0 (*) （2）若2y-10，则xR =(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1)0 即 (2y-1)(10y-3)0 例7解 由已知得 (y-1)x2+(y-4)x-(6y+3)=0 (*) 若y=1，代入（*）式-3x-9=0 x=-3，此时原函数分母x2+x-6的值为0 y1 若y1，则xR =(y-4)2+4(y-1)(6y+3)0 化简可得(5y-2)20，则yR 说明：m(y)x2+n(y)x+p(y)=0的形式，再利

5、用xR，由0求出y的取值范围，但需注意两点： （1）要分m(y)=0和m(y)0两种情况讨论，只有m(y)0时，才可利用判别式； （2）在求出y的取值范围后，要注意“=”能否取到 （三）换元法例8解： ymax=1，ymin=-23原函数值域 -23y1例9解： （四）利用函数的单调性例10解： 例11 解： 调递减 说明 在利用函数的单调性求值域时，应注意如下结论：在共同定义域上，设“f型”是增函数，“g型”是减函数，则（1）f1(x)+f2(x)是增函数；（2）g1(x)+g2(x)是减函数；（3）f(x)-g(x)是增函数；（4）g(x)-f(x)是减函数但当两个单调函数之间的

6、运算符号为“x”、“÷”时，则不具有这种规律 （五）基本不等式法这种方法是利用如下的“基本不等式”和与“复数的模”有关的不等式求函数值域 例12解：例13解：y0 例14解：又y是x的连续函数 （六）利用原函数的反函数如果一个函数的反函数存在，那么反函数的定义域就是原函数的值域例15解 y·10x+y·10-x=10x-10-x 即y·102x+y=102x-1 1+y=(1-y)·102x （七）利用已知函数的值域 例16解 利用三角函数的值域来求值域，把函数式去分母变形得：ycosx-sinx=1-3y （八）图象法例17解： 由图象知：值

7、域为y3 （九）利用导数求值域此种方法在本学期学习导数的应用时已作了详尽的阐述，这里就不再多说了二函数的单调性 （一）函数单调性的判定 1利用已知函数的单调性例1 若y=(2k+1)x+b是R上的减函数，则有（ ） 解：选D说明：函数y=kx+b，当k>0时是增函数；k=0时是常函数；k<0时是减函数例2减区间是_解：减区间是（-,-1）和（-1,+）说明：函数的两个单调区间之间可以用“，”或“和”字连接，而不能用符号“”连 例3 函数f(x)=4x2-mx+5，当x(-2,+)时是增函数，则m的取值范围是_；当x(-2,+)时是增函数，当x(-,-2)时是减函数，则f(1)=_.

8、解： m=-16 f(1)=4+16+5=252利用定义判定或证明函数的单调性例4 根据函数单调性的定义证明函数f(x)=-x3+1在R上是减函数证明 在（-,+）上任取x1、x2，且x1<x2，则 f(x2)-f(x1)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22) x1<x2 x1-x2<0 当x1x2<0时，有x12+x1x2+x22=(x1+x2)2-x1x2>0 当x1x20时，有x12+x1x2+x22>0 f(x2)-f(x1)=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)<0 即f(x2)<f(x1) 所以函数f(x)

9、=-x3+1在(-,+)上是减函数说明-f(x1)的符号；同学们也不妨应用导数的知识来解决本题 （2）用定义证明或判断函数的单调性，要注意步骤清晰，讨论严密例5 解 （1）i）设x1，x2（0，1，且x1<x2， x1-x2<0, 0<x1x2<1 f(x1)-f(x2)>0 即f(x1)>f(x2) ii）设x1，x21,+)，且x1<x2 由(1)中讨论可知y当x0时单调递增，当x=0时， 当x=0时，y有最小值说明(2)中函数最值不能用基本不等式求，因为不存在使的x；同理可证：3利用图象讨论函数的单调性例6 作函数f(x)=|x2-1|+x的图象

10、，并根据图象讨论函数的单调性解 由图象， （二）复合函数的单调性例7解 -x2-2x+30 x2+2x-30 (x-1)(x+3)0 -3x1 则当x-3,-1时，u=-x2-2x+3单调递增 当x-1,1时，u=-x2-2x+3单调递减例8解： 例9 已知f(x)=8+2x-x2,g(x)=f(2-x2),讨论g(x)的增减性解：g(x)=8+2(2-x2)-(2-x2)2=8+4-2x2-4+4x2-x4=-x4+2x2+8=-(x2-1)2+9 g(x)=-4x3+4x=-4x(x+1)(x-1) 令 g(x)>0，得 x-1 或 0x1 令 

11、;g(x)<0，得 -1x0或x1 g(x)的单调递增区间是(-,-1和0,1 g(x)的单调递减区间是-1,0和1,+) （三）函数单调性的应用例10的取值范围 解：时，f(x)在R上单调递增，得0<a<1综上，a的取值范围是a(0,1)(2,+)例11区间0,+)是单调函数解：                          

12、;               （1）当a1时， 又x1-x2<0 f(x1)-f(x2)>0 即f(x1)>f(x2) 所以，当a1时，函数f(x)在0，+)上是单调减函数 f(x1)=1，f(x2)=1，即f(x1)=f(x2)，所以函数f(x)在区间0,+ )上不是单 调函数综上，当且仅当a1时，函数f(x)在区间 (0,+ 上是单调函数例12 定义在R+上的函数f(x)满足f(2)=1，f(xy)=f(x)+f(y) 当x>

13、y时，有f(x)>f(y)，如果f(x)+f(x-3)2，求x的取值范围解 f(x)+f(x-3)=f(x2-3x)2=2f(2)=f(2)+f(2)=f(4) 由知 x2-3x4 x2-3x-40 又f(x)定义域为x>0 练习题值域与最值A组一选择题1已知I = R，函数y = lgx的值域为P，y = ax（a0且a1）的值域为M，则下列等式中不正确的是（ ） （A）（ IM）P = （B）MP = P （C）P（ IM）= R（D）PM = M5函数y = f(x)的值域是-2，2，则函数y = f (x + 1)的值域是（ ） （A）-1，3 （B）-3，1 （C）-2，

14、2 （D）-1，1二填空题6若x + 2y = 4，x0，y0，则lgx + lgy的最大值是_范围是_8f (x) = ax2 c（a0），如果-4f (1)-1，-1f (2)5，那么f (3)的取值范围是_三解答题 B组 一选择题1函数y = -x2 2x +3（-5x0）的值域是（ ） （A）（-，4（B）3，12（C）-12，4（D）4，12 （A）（-，+）（B）（-，0）（0，+） （C）（-，0）（D）（0，+） （A）6（B）12（C）16（D）245函数y = x (x 2)的定义域为a，b，值域为-1，3，则点（a，b）的轨迹是右图的 （A）点H（1，3）和F（-1，1）

15、（B）线段EF，GH （C）线段EH，FG（D）线段EF，EH6已知函数f (x) = 2x 1，g (x) = 1 x2，构造函数F (x)，定义如下：当|f (x)|g (x) 时，F (x) = |f (x)|，当|f (x)|g (x)时，F (x) = -g (x)，那么F (x)（ ） （A）有最小值0，无最大值（B）有最小值-1，无最大值 （C）有最大值1，无最小值（D）无最小值，也无最大值二填空题7实数x，y满足xy0且x2y = 2，则xy + x2的最小值是_8设x，yR+，x + y + xy = 2，则x + y的取值范围是_三解答题 （1）求实数b、c的值 （2）判断

16、函数F (x) = lg f (x)在x-1，1上的单调性，并给出证明. 13f (x)是定义在R上的奇函数，且满足如下两个条件：对于任意的x、yR，有f (x + y) = f (x) + f (y)当x0时，f (x)0，且f (1) = -2求函数f (x)在-3，3上的最大值和最小值.函数的单调性A组 一选择题（共20分）1已知函数f (x)在R上是增函数，若a + b0，则（ ） Af (a) + f (b)f (-a) + f(-b)Bf (a) + f(b)f (-a) f(-b) Cf (a) + f (-a)f (b) + f (-b)Df (a) + f (-a)f (b)

17、 f (-b) A(0，2B（1，2C（-1，0D（1，+）3若a1，且a-x + logaya-y + logax，则x、y之间关系为（ ） Axy0Bx = y0 Cyx0D不确定，与a值有关4已知F(x) = f (x) f (-x)，其中lg f (x) + x = 0，则F(x)是（ ） A单调递增的奇函数B单调递增的偶函数 C单调递减的奇函数D单调递减的偶函数二填空题（共20分）6若f (x) = (m 1)x2 + mx + 3（xR）是偶函数，则f (x)的增区间是_7已知f (x)是定义在R上的偶函数，且在0，+)上单调递增，那么使f (-2)f (a)的实数a的取值范围是_

18、减区间为_三解答题（共15分）B组1已知函数f (x) = log2x，且函数g (x)的图象与f (x)的图象关于直线y = x对称，则函数g (x2)是（ ） （A）奇函数，且在（0，+）上单调递减 （B）奇函数，且在（-，0）上单调递减 （C）偶函数，且在（0，+）上单调递增 （D）偶函数，且在（-，0）上单调递增2已知f (x) = x2 + cosx，则（ ） 的解集是（ ） 函数y = f (x)的图象关于y轴对称在区间（-，0）上，f (x)是减函数函数f (x)的最小值是lg2在区间（1，+）上，f (x)是增函数其中正确命题是（ ） （A）（B）（C）（D）仅正确6已知定义域

19、为R的偶函数y = f (x)的一个单调递增区间是（2，6），则函数y = f (2 x)的（ ） （A）对称轴为x = -2且一个单调递减区间是（4，8） （B）对称轴为x = -2且一个单调递减区间是（0，4） （C）对称轴为x = 2，且一个单调递增区间是（4，8） （D）对称轴为x = 2，且一个单调递增区间是（0，4）二填空题 10教师给出一个函数y = f (x)，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：甲：对于xR，都有f (1 + x) = f (1 x)；乙：在（-，0上函数递减；丙：f (0)不是函数的最小值；丁：在（0，+）上函数递增如果其中恰有3人说得正确，请写

20、出这样一个函数：_三解答题 （I）判断函数的单调性，并加以证明单调性.13设函数f (x)是定义在（-，+）上的增函数，如果不等式f (1 ax x2)f (2 a)对于任意x0，1都成立，求实数a的取值范围.14已知f (x) = x2 + c，且f (f (x) = f (x2 + 1) （1）设g (x) = f (f (x)，求g (x)的解析式并在（-1，0）内是增函数？练习题答案及提示值域与最值A组一选择题1A2D3B4D5C二填空题6lg2三解答题11用换元法故当t = 1时y有最大值4即y的值域为（-，4 所求函数值域为（0，1.B组一选择题1C2B3A4C5D6B二填空题73

21、三解答题当y 20时，由xR，有= b2 4 (2 y) ( c y)0，即4y2 4 (2 + c) y + 8c b20当y 2 = 0时，将b = -2，c = 2代入（*）式中，得x = 0 b = -2，c = 2为所求|x1|1，|x2|1，x1x2|x1x2|1 即1 x1x20而x2 x10 u1 u20 即u1u2由于u0 lgu1lgu2即F(x1)F(x2)故F(x)在x-1，1上是减函数.13设0x1x23，则由条件（1）得 f (x2) = f(x2 x1) + x1 = f(x2 x1) + f (x1) 即f (x2 x1) = f (x2) f (x1) x2 x10，由条件（2）得f (x2 x1)0 f (x2) f (x1)0 即f (x1)f (x2) f (x)在0，3上是减函数 又f (x)为奇函数 f (x)在-3，