专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明学生版

1、抽象函数单调性与奇偶性特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx (k0)f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数 f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y) 或指数函数 f(x)=ax (a>0且a1)f(x+y)=f(x)f(y) 对数函数 f(x)=logax (a>0且a1)f(xy)=f(x)+f(y) 1.已知,对一切实数、都成立，且,求证为偶函数。2.奇函数在定义域（-1，1）内递减，求满足的实数的取值范围。3.如果=(a>0)对任意的有,比较的大小4. 已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（xy）f（x）f（y），且当x0时，f（x）0，f（1）2，求f（x）

2、在区间2，1上的值域。5. 已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）f（y）2 + f（xy），且当x0时，f（x）2，f（3）5，求不等式的解。 6.设函数f（x）的定义域是（，），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。求：（1）f（0）； （2）对任意值x，判断f（x）值的正负。7.是否存在函数f（x），使下列三个条件：f（x）0，x N；f（2）4。同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。8.设f（x）是定义在（0，）上的单调增函数，满足，求：（1）f（1）；（2）若f（x）f（x8）2，求x的取值范围。9.设函数yf（x）的反函数是yg（x）。如果f（ab）f（

3、a）f（b），那么g（ab）g（a）·g（b）是否正确，试说明理由。10. 己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：当是定义域中的数时，有；f（a）1（a0，a是定义域中的一个数）；当0x2a时，f（x）0。试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由。（2）在（0，4a）上,f（x）的单调性如何？说明理由。11. 已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）f（x）·f（y），且f（1）1，f（27）9，当时，。（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在0，）上的单调性，并给出证明；（3）若，求a的取值范围。12. 设f(x)定义于实数集上，当时，且

4、对于任意实数x、y，有，求证：在R上为增函数。13.已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f(x)的奇偶性。14.定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有，且当x>0时，0<f(x)<1。判断f(x)的单调性；15. 设函数f(x)对任意实数x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)= -2,求f(x)在-3，3上的最大值和最小值.16.设f(x)定义于实数集上，当x>0时，f(x)>1,且对于任意实数x、y，有f(x+y)=f(x)f(y)， 求证：f(x)在R上为增函数。17. 已知偶函数f(

5、x)的定义域是x0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有，且当时，（1）f(x)在(0,+)上是增函数； （2）解不等式18.已知函数f(x)的定义域为R，且对m、nR,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)1,且f()=0,当x>时，f(x)>0.求证：f(x)是单调递增函数；19.定义在R+上的函数f(x)满足: 对任意实数m,f(xm)=mf(x); f(2)=1.(1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y都成立; (2)证明f(x)是R+上的单调增函数;(3)若f(x)+f(x-3)2,求x 的取值范围.20. 已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数

6、f（x）的奇偶性。21. 已知函数f(x)的定义域关于原点对称且满足，（2）存在正常数a，使f(a)=1.求证：f(x)是奇函数。 22. 定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，yR都有f(x+y)=f(x)+f(y) (1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k·3)+f(3-9-2)0对任意xR恒成立，求实数k的取值范围23. 已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的函数a,b都满足f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求f(0)，f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;24. 定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x0时f(x)0恒成立.(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明f(x)为减函数；25