数模选修——灰色预测与灰色关联分析详解PPT课件

1、1灰色系统理论简介 著名学者邓聚龙教授于20世纪70年代末、80年代初提出； 诞生标志：邓教授第一篇灰色系统论文 “ The Control Problems of Grey Systems”，发表于北荷兰出版公司期刊 System & Control Letter, 1982, No.5。第1页/共105页2 灰色系统理论的研究对象 “部分信息已知, 部分信息未知”的“小样本、贫信息”不确定性系统。 灰色系统理论的研究内容 灰哲学、灰生成、灰分析、灰建模、灰预测、灰决策、灰控制、灰评估、灰数学等。 灰色系统理论的应用领域 农业科学、经济管理、环境科学、医药卫生、矿业工程、教育科学、水

2、利水电、图像信息、生命科学、控制科学等。第2页/共105页3项目项目灰色系统灰色系统概率统计概率统计模糊数学模糊数学研究对象研究对象贫信息不确定贫信息不确定随机不确定随机不确定认知不确定认知不确定基础集合基础集合灰色朦胧集灰色朦胧集康托集康托集模糊集模糊集方法依据方法依据信息覆盖信息覆盖映射映射映射映射途径手段途径手段灰序列算子灰序列算子频率统计频率统计截集截集数据要求数据要求任意分布任意分布典型分布典型分布隶属度可知隶属度可知侧重点侧重点内涵内涵内涵内涵外延外延目标目标现实规律现实规律历史统计规律历史统计规律认知表达认知表达特色特色小样本小样本大样本大样本凭经验凭经验三种不确定性系统研究方法

3、的比较分析 (灰色系统理论、概率统计、模糊数学)第3页/共105页4 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能通过它与外界的联系来加以观测研究。 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知的，系统内各因素间有不确定的关系。灰色系统、白色系统和黑色系统 白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全充分的。第4页/共105页5灰色系统基本原理1、差异信息原理： 差异即信息，凡信息必有差异。2、解的非唯一性原理：信息不完全、不确定的解是非唯一的。该原理是灰色系统理论解决实际问题所遵循的基本法则。3、最少信息原理：灰色系统理论的特点是充分利用已占有的“最少

4、信息”。4、认知根据原理：信息是认知的根据。5、新信息优先原理：新信息对认知的作用大于老信息。6、灰性不灭原理： “信息不完全”是绝对的。第5页/共105页6灰色系统理论的主要内容n灰色系统理论经过20多年的发展，已基本建立起了一门新兴学科的结构体系，其主要内容包括以“灰色朦胧集”为基础的理论体系、以灰色关联空间为依托的分析体系、以灰色序列生成为基础的方法体系，以灰色模型（GM）为核心的模型体系。以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。第6页/共105页7灰色系统的应用范畴灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面：n（1）灰色关联分析。n（2）灰色预测：人口预测；初霜预测；

5、灾变预测.等等。n（3）灰色决策。n（4）灰色预测控制。灰色系统理论是人们认识客观系统改造客观系统的一个新型的理论工具。第7页/共105页8灰色关联分析 第8页/共105页9一、关联分析的背景n客观世界中的事物往往现象复杂，因素繁多。我们往往需要对系统进行因素分析，这些因素中哪些对系统来讲是主要的，哪些是次要的，哪些需要发展，哪些需要抑制，哪些是潜在的，哪些是明显的。一般来讲，这些都是我们极为关心的问题。事实上，因素间关联性如何、关联程度如何量化等问题是系统分析的关键和起点。第9页/共105页10n因素分析的基本方法过去主要采取回归分析、方差分析，主成分分析等办法，但是这种方法需要大量数据作为

6、基础，计算量大。 而灰色系统理论采用的关联分析方法可以克服这个弊端。n灰色系统理论进行系统分析的方法：关联度分析法第10页/共105页112. 灰色关联分析法 灰色关联分析是灰色系统理论的一个分支应用灰色关联分析方法对受多种因素影响的事物和现象从整体观念出发进行综合评价是一个被广为接受的方法 基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接近，相应序列之间关联度就越大，反之就越小。 第11页/共105页12应用举例问题：对该地区总收入影响较直接的是养猪业还是养兔业？第12页/共105页13第13页/共105页14灰色关联分析法的步骤 利用灰色关联分析进行综合评价的步骤是：

7、 1 1根据评价目的确定评价指标体系，收集评价数据。设n个数据序列形成如下矩阵： mxmxmxxxxxxxXXXnnnn21212121222111,其中 为指标的个数,m nimxxxXTiiii,2,1,2,1第14页/共105页15 2 2确定参考数据列 参考数据列应该是一个理想的比较标准，可以以各指标的最优值 （或最劣值）构成参考数据列，也可根据评价目的选择其它参照值记作 T mxxxX0000,2,)1(第15页/共105页16 3 3对指标数据进行无量纲化 无量纲化后的数据序列形成如下矩阵： 01010101111222,nnnnxxxxxxXXXxmxmxm 第16页/共105页

8、17 常用的无量纲化方法有均值化法（见（12123 3）式）、初值化法（见（12124 4）式）和 标准化变换等sxx 1(123)1(124)10 ,1,1, 2 ,.iimikiiixkxkxkmxkxkxinkm ；第17页/共105页18 或采用内插法使各指标数据取值范围（或数量级）相同 例如，某地县级医院病床使用率最高为90%90%，最低为60%60%，我们可以将90%90%转化1010，60%60%转化为1 1，其它可以通过内插法确定其转化值如80%80%转化为多少？可进行如下计算： 解之得，即80%80%转化为7 7608060901110 x第18页/共105页19 4 4逐个

9、计算每个被评价对象指标序列（比较序列）与参考序列对应元素的绝对差值 即 （ ） 为被评价对象的个数） 5 5确定 与)()(0kxkximk, 1ni, 1n)()(minmin011kxkximkni)()(maxmax011kxkximkni两级最小差 n4逐个计算每个被评价对象指标序列（比较序列）与参考序列对应元素的绝对差值 即 （ ） 为被评价对象的个数）n5确定 与两级最小差 两级最大差 第19页/共105页20 6 6计算关联系数 由（12125 5）式，分别计算每个比较序列与参考序列对应元素的关联系数0000minmin( )( )maxmax( )( )( )125)( )(

10、)maxmax( )( )iiikikiiiikxkx kxkx kkxkx kxkx k （mk, 10.5式中 为分辨系数，在（0，1）内取值，若 越小，关联系数间差异越大，区分能力越强。通常 取第20页/共105页21 7 7计算关联度 对各评价对象（比较序列）分别计算其个指标与参考序列对应元素的关联系数的均值，以反映各评价对象与参考序列的关联关系，并称其为关联度，记为：00( )( )( )( )x kkx kk i ii i如如果果为为最最优优值值数数据据列列，越越大大，越越好好；如如果果为为最最劣劣值值数数据据列列，越越大大，越越不不好好。011( )miikrkm 第21页/共1

11、05页22 8 8如果各指标在综合评价中所起的作用不同，可对关联系数求加权平均值即 9 9依据各观察对象的关联度，进行排序，得出综合评价结果011( ),mikikkrWkmmW （k=1,）式中为各指标权重。第22页/共105页233.3.灰色关联分析的应用举例 例1 1：利用灰色关联分析对6 6位教师工作状况进行综合评价 1 1评价指标包括：专业素质、外语水平、教学工作量、科研成果、论文、著作与出勤n2对原始数据经处理后得到以下数值，见下表 编号编号专业专业外语外语教学量教学量科研科研论文论文著作著作出勤出勤18987529278757383979664746888436586698386

12、8957648第23页/共105页24 3 3确定参考数据列： 4 4计算 ， 见下表09,9,9,9,8,9,9x 0( )( )ix kx k 编号编号专业专业外语外语教学教学量量科研科研论文论文著作著作出勤出勤110123702212416130203252431114635133006161042251第24页/共105页25 5 5求最值 6 6依据（12125 5）式， 取计算，得 011minmin( )( )min(0,1,0,1,0,0)0nmiikxkx k011maxmax( )( )max(7,6,5,6,6,5)7nmiikxkx k 111111100.5700.5

13、7(1)0.778(2)1.00010.5700.57(3)0.778(4)0.636(5)0.467(6)0.333(7) ， ，1. 000，1. 000，0.5第25页/共105页26同理得出其它各值，见下表编号编号10.7780.7781.0001.0000.7780.7780.6360.6360.4670.4670.3330.3331.0001.00020.6360.636 0.7780.778 0.6360.636 0.4670.467 0.6360.636 0.3680.368 0.7780.778 31.0001.000 0.6360.636 1.0001.000 0.5380

14、.538 0.5380.538 0.4120.412 0.6360.636 40.5380.538 0.7780.778 0.7780.778 0.7780.778 0.4120.412 0.3680.368 0.5380.538 50.7780.778 0.5380.538 0.5380.538 1.0001.000 0.7780.778 0.3680.368 0.7780.778 60.7780.778 1.0001.000 0.4670.467 0.6360.636 0.5380.538 0.4120.412 0.7780.778 (1)i(2)i(3)i(4)i(5)i(6)i(7)i

15、第26页/共105页27 7 7分别计算每个人各指标关联系数的均值（关联序）： 8 8如果不考虑各指标权重（认为各指标同等重要），六个被评价对象由好到劣依次为1 1号，5 5号，3 3号，6 6号，2 2号，4 4号 即 010.7781.0000.7780.6360.4670.3331.0000.7137r 02030405060.6140.6800.5990.6830.658rrrrr，010503060204rrrrrr第27页/共105页28存在的问题及解决方法第28页/共105页29灰色预测与决策模型研究党耀国 刘思峰等著科学出版社本书中提及了一些其它的灰色关联度，如绝对关联度，相对

16、关联度等 等，并且针对各自的适用范围进行了讨论。所以如果是在数学建模的过程中，我们可以根据实际的需要，确定我们的关联度的计算公式。第29页/共105页30生成数第30页/共105页31 将原始数据列中的数据,按某种要求作数据处理称为生成. 客观世界尽管复杂,表述其行为的数据可能是杂乱无章的,然而它必然是有序的,都存在着某种内在规律,不过这些规律被纷繁复杂的现象所掩盖,人们很难直接从原始数据中找到某种内在的规律.对原始数据的生成就是企图从杂乱无章的现象中去发现内在规律. 常用的灰色系统生成方式有: 累加生成,累减生成,均值生成,级比生成等.第31页/共105页321. 累加生成 累加生成,即通过

17、数列间各时刻数据的依个累加以得到新的数据与数列.累加前的数列称原始数列,累加后的数列称为生成数列. 累加生成是使灰色过程由灰变白的一种方法,它在灰色系统理论中占有极其重要地位,通过累加生成可以看出灰量积累过程的发展态势,使离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律加以显化.累加生成是对原始数据列中各时刻的数据依次累加,从而生成新的序列的一种手段.第32页/共105页33(0)(0)(0)(0)(0)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(0)(1),(2),( ),(1),(2),( ),:xxxxxnxxxxxnxx 令令为为原原始始序序列列, ,记记生生成成数数为为如如果果与与之之间间满满足足如如

18、下下关关系系(1)(0)1( )( );1,2,(21)kixkxikn ,1()AGO AccumulatingGeneration Operator 一一次次累累加加生生成成则则称称为为记记为为:r次次累累加加生生成成有有下下述述关关系系( )(1)1( )( )(22)krrixkxi 第33页/共105页342. 一次累加生成算例例：x (0) =(3.2，3.3，3.4，3.6，3.8) 求 x(1)(k)解：21) 0() 0() 0() 1 () 0() 1 (5 . 63 . 32 . 3) 2 () 1 ()() 2 (, 22 . 3) 1 () 1 (, 1ixxixxk

19、xxk51)0() 1 ()0() 1 ()0() 1 (41)0() 1 ()0() 1 (31)0() 1 (3 .178 . 35 .13) 5 () 4()() 5 (, 55 .136 . 39 . 9) 4() 3 ()() 4(, 49 . 94 . 35 . 6) 3 () 2()() 3 (, 3iiixxixxkxxixxkxxixxk第34页/共105页35累累加加生生成成在在灰灰色色系系统统理理论论中中有有着着非非常常重重要要的的地地位位, ,它它能能使使任任意意非非负负数数列列, ,摆摆动动的的或或非非摆摆动动的的, ,转转化化为为非非减减的的的的, ,递递增增的的数

20、数列列. .第35页/共105页36对非负数据，累加次数越多则随机性弱化越多，累加次数足够大后，可认为时间序列已由随机序列变为非随机序列。一般随机序列的多次累加序列，大多可用指数曲线逼近。第36页/共105页37存在的问题第37页/共105页38解决的方法第38页/共105页393. 累减生成 累减生成,即对数列求相邻两数据的差,累减生成是累加生成的逆运算,常简记为IAGO(Inverse Accumulated Generating Operation), 累减生成可将累加生成还原为非生成数列,在建模过程中用来获得增量信息, 其运算符号为. ( )( )( ),:rrixrxi 令令为为 次

21、次生生成成数数列列 对对作作 次次累累减减生生成成记记为为其其基基本本关关系系式式为为第39页/共105页40(0)( )( )(1)( )(0)( )(0)( )(2)( )(1)( )(1)( )( )( )(1)( )(1)( )( )( )( )( )(1)( )( )(1)(25)( )( )(1)rrrrrrrriririrxkxkxkxkxkxkxkxkxkxkxk (0)(1)( ),0,;111.ikkikki 式式中中为为 次次累累减减 即即无无累累减减为为1 1次次累累减减, ,即即与与 时时刻刻两两个个零零次次累累减减量量求求差差, ,为为 次次累累减减, ,即即与与

22、时时刻刻两两个个次次累累减减量量求求差差第40页/共105页41(25): 从从式式还还可可得得到到以以下下关关系系(1)( )(0)( )(0)( )( )( )1(1)(1)11(1)( )( )(1)( )(1)(26)( )( )( )rrrrrkkrriirxkxkxkxkxkxixixk (2)( )(1)( )(1)( )(1)(1)1(2)(2)11(2)( )( )(1)( )(1)(27)( )( )( )rrrrrkkrriirxkxkxkxkxkxixixk 第41页/共105页42:同同理理可可得得( )( )()( )( )(28)irr ixkxk ( )( )(

23、0)( )( )(29)rrxkxk(29),.,.:1,rrr 从从式式可可以以看看出出 对对 次次生生成成数数列列作作 次次累累减减即即还还原原为为非非生生成成数数列列事事实实上上 累累加加中中包包含含着着累累减减 累累减减中中包包含含着着累累加加比比如如时时 有有1(1)(0)(0)(0)11(1)(0)( )( )( )( )(1)( )(210)kkiixkxixixkxkxk 第42页/共105页43(0)(1)(1)( )( )(1)xkxkxk进进一一步步有有(1)( )( )( )( )(1)(211)rrrxkxkxk .上上述述关关系系式式经经常常被被用用在在从从生生成成

24、数数列列求求还还原原数数列列中中第43页/共105页44例10.65,29.53,24.40,39.28,75.19,89.12,65. 8 ,26. 5 ,28. 2)(0KX令K0，X1(0)=081.1129.5310.65)9()9()9(905.1324.4039.52)7()8()8(885.1139.2824.40)6()7()7(764. 875.1939.28)5()6()6(686. 689.1275.19)4()5()5(524. 465. 889.12)3()4()4(439. 326. 565. 8)2()3()3(398. 228. 226. 5)1()2()2(2

25、28. 2028. 2)0()1()1(1011011011011011011011011011 XXXKXXXKXXXKXXXKXXXKXXXKXXXKXXXKXXXK累减生成序列 81.11,05.13,85.11,64. 8 ,86. 6 ,24. 4 ,39. 3 ,98. 2 ,28. 2)(1 KX第44页/共105页45图 8-7第45页/共105页46第46页/共105页47第47页/共105页48第48页/共105页49没有累加生成时的误差为21.26%第49页/共105页504. 均值生成 , (1), (2), ( ),( ),( )0.5 ( )0.5 (1),( )X

26、xxx nkz kz kx kx kz k 所所谓谓就就是是对对于于等等时时距距的的数数列列, ,用用相相邻邻数数据据的的平平均均值值构构造造新新的的数数据据. .即即若若有有原原始始数数列列记记 点点的的生生成成值值为为且且则则称称为为邻邻均均值值生生成成数数, ,显显然然, ,这这种种生生成成是是相相邻邻值值的的等等邻邻均均值值生生成成权权生生成成. .第50页/共105页51, (1), (2), ( ), (1), ( ),( ),( ),( )0.5 (1)0.5 (1),( )Xxxkx kx nkkz kz kx kx kz k 所所谓谓就就是是对对于于非非等等时时距距的的数数列

27、列, ,或或虽虽为为等等时时距距数数列列, ,但但剔剔除除异异常常值值之之后后出出现现空空穴穴的的数数列列, ,用用空空穴穴两两边边的的数数据据求求平平均均值值构构造造新新的的数数据据以以填填补补空空穴穴, ,即即若若有有原原始始数数据据这这里里为为空空穴穴 记记 点点的的生生成成值值为为且且则则称称为为非非邻邻均均值值生生成成数数, ,显显然然, ,这这种种生生成成是是空空穴穴前前后后信信息息的的非非邻邻均均值值生生成成等等权权生生成成. .第51页/共105页52 级级比比生生成成是是一一种种常常用用的的填填补补序序列列端端点点空空穴穴的的方方法法. .对对数数列列端端点点值值的的生生成成

28、, ,我我们们无无法法采采用用均均值值生生成成填填补补空空缺缺, ,只只能能采采用用级级比比生生级级比比生生成成. .成成是是级级比比级级比比生生(k(k成成在在建建模模中中可可以以获获得得较较好好的的灰灰) )与与光光滑滑比比 (k)(k)生生成成指指数数律律. .的的总总称称. .5. 级比生成 第52页/共105页53第53页/共105页54第54页/共105页55第四节：GM 模型第55页/共105页56 灰色理论的GM模型的机理和特点，可归纳为： 一般系统理论只能建立差分模型，不能建立微分模型。而灰色系统理论建立的是微分方程型模型。差分模型是一种递推模型，只能按阶段分析系统的发展，只

29、能用于短期分析，只能了解系统显漏的变化。而灰色理论，基于关联度收敛原理、生成数、灰导数、灰微分方程等观点和方法建立了微分方程型模型。第56页/共105页57系统行为数据列往往是没有规律的，是随机变化的。灰色理论用数据处理的方法（灰色理论称为数据生成），将杂乱无章的原始数据整理成规律较强的生成数列再作研究。灰色理论认为系统的行为现象尽管是朦胧的，数据是复杂的，但它毕竟是有序的，是有整体功能的，因此杂乱无章的数据后面，必然潜藏着某种规律，而灰数的生成，就是从杂乱无章的原始数据中去开拓、发现，寻找这种内在规律，这是一种现实规律，不是先验规律。灰色理论通过多个GM（1，N）模型来解决高阶系统的建模问题

30、。第57页/共105页58灰色理论通过模型计算值与实际值之差（残差）建立GM（1，1）模型，作为提高模型精度的主要途径。残差的GM（1，1）模型，一般只注重现实规律，最新数据的修正，因此残差GM（1，1）与主模型之间在时间上一般是不同步的。所以灰色预测模型经常是差分微分模型。用灰色理论建模，一般都采用三种检验方式：a.残差大小（或平均值、或最近一个数据的残差值）的检验，按点检验。b.关联度检验，建立模型与指定函数之间近似性的检验。c.后验差检验，是残差分布统计特性的检验。GM模型所得数据必须经过逆生成作还原后才能用。第58页/共105页59 nXXXX0000,.,2,1 nXXXX1111,

31、.,2,1 11ddaXtX设时间序列 有n个观察值，通过累加生成新序列 则GM(1,1)模型相应的白化形式微分方程为：其中：称为发展灰数；称为内生控制灰数。 1. GM(1,1)模型 第59页/共105页60记 1 ),()1(1 ),3()2(1 ),2()1()1()1(21)2()1(21)1()1(21nXnXXXXXB )()3()2()()0()0(nXXXYnn第60页/共105页61 1Z称 为 的紧邻均值生成序列 1X 1(1)(1)(1)(2),(3),.,( )ZZZZn(1)(1)(1)1()(1)()2ZkXkXk(1)(1)(1)(2)1(3)1( )1ZZBZn

32、 则 第61页/共105页62 anTTYBBB1设为待估参数向量，可利用最小二乘法求解。解得：则微分方程可表示为BY 第62页/共105页63 对其做累减还原，即可得到原始数列 的灰色预测模型为:)() 1()()1()1()0(kXkXkX aeaXkXak1101nk.,2 , 1 , 0求解微分方程，即可得预测模型： 第63页/共105页64 由灰色预测方法原理, a 主要控制系统发展态势的 大小,即反映预测的发展态势,被称为发展系数; u 的大小反映了数据变化的关系,被称为灰色作用量,其中:当 a 0.3 时, GM(1 ,1) 模型可用于中长期预测;当 0.3 a 0.5 时, G

33、M(1 ,1) 模型可用于短期预测,中长期预测慎用;当 0.5 a 1 时,不宜采用GM(1 ,1) 模型,可考虑其他预测方法。第64页/共105页65一般有残差检验、关联度检验和后验差检验。二、模型检验 （1）残差检验 按预测模型计算 ,1iX并将 iX1累减生成 ,0iX然后计算原始序列 iX0与 iX0的绝对误差序列及相对误差序列。 iXiXi000 %10000 iXiini,.,2 , 1 ni,.,2 , 1 给定a,当, a 成立,称模型为残差合格模型.a 取0.01、0.05、0.1 分别为：优、合格、勉强合格第65页/共105页66 iX0 iX0（2）关联度检验 根据前面所

34、述关联度的计算方法算出与原始序列的关联系数，然后计算出关联度，根据经验，当=0.5时，关联度大于0.6便满意了。第66页/共105页67 (0)(0)(0)(0)0000(0)(0)(0)(0)(1),(2),( ),(1),(2),( ) ,1,2,.(1(,2,),.1,2,),iiiiXxxxnmXxxxnimmimmii i ii i设设原原始始数数据据序序列列为为参参考考序序列列 用用 种种灰灰色色如如果果r r在在所所有有关关联联度度中中建建模模方方法法所所得得模模型型值值分分别别为为求求出出该该个个序序列列与与参参考考序序列列的的邓邓最最大大 则则第第 种种灰灰色色建建模模方方法

35、法为为所所建建模模型型中中最最好好关关联联度度的的模模型型氏氏第67页/共105页68（3）后验差检验 a.计算原始序列标准差: NXiXS2001b. 计算绝对误差序列的标准差： NiS2002c. 计算方差比：12SSC d. 计算小误差概率： 1006745.0SiPP 第68页/共105页69 精度检验等级参照表相对误差相对误差 关联度关联度均方差比均方差比值值小误差概小误差概率率一级一级二级二级三级三级四级四级0.010.010.050.050.100.100.200.200.900.900.800.800.700.700.600.600.350.350.500.500.650.65

36、0.800.800.950.950.800.800.700.700.600.60若相关误差，关联度、后验差检验在允许范围之内，则可用所建模型进行预测，否则应进行残差修正。第69页/共105页70例：某县皮棉产量如表，试建立GN(1.1)预测模型，并预测第8期皮棉产量。序序 号号123456产量产量( (百万担百万担) )2.673.133.253.363.563.72解：令X0(1)、 X0(2)、 X0(3)、 X0(4)、 X0(5)、 X0(6)对立于原始序列数据第一步，构造累加生成序列：生成序列X1=2.67，5.80，9.05，12.41，15.97，19.69第二步，构造数据矩阵B

37、和数据向量Yn：183.17119.14173.101425. 71235. 41)69.1997.15(211)97.1541.12(211)41.1205. 9(211)05. 980. 5(211)80. 567. 2(211)6()5(21)5()4(21)4()3(211)3()2(211)2() 1 (211111111111XXXXXXXXXXBTTnXXY72. 356. 326. 325. 313. 3)6()2(00，第70页/共105页71第三步，计算BTB，(BTB)-1Yn：541.5441.5446375.707183.17119.14173.101425. 712

38、35. 41111183.1719.1473.10425. 7235. 4BBT226382. 1094319. 0094319. 0008667. 0541.5441.5446375.707)(11BBT02.172836.19072. 356. 336. 325. 313. 31111183.1719.1473.10425. 7235. 4nTYB925663. 2043879. 002.172836.190226382. 1094319. 0094319. 0008667. 0)(1nTTYBBB即a = 0.043879 u = 2.925663第71页/共105页72第四步，得出预测

39、模型：第五步：残差检验：（1）计算：6757663457691345796au66.5656942.67(1)925663. 2043879. 00438801(1)0011.e.)(iX.XauXXdtdxi.69.196757.663457.69)6(668.196757.663457.69)6(597.156757.663457.69)5(443.126757.663457.69)4(303. 96757.663457.69)3(278. 56757.663457.69)2(167. 26757.663457.69) 1 (0504388. 01504388. 01404388. 013

40、04388. 01204388. 01104388. 0101eXieXieXieXieXieXieXi第72页/共105页73（2）累减生成序列：)(0iX01(1)0110110110110110(1)2.67(2)(2)(1)5.782.673.11(3)(3)(2)9.035.783.25(4)(4)(3)12.439.033.40(5)(5)(4)15.97 12.433.54(6)(6)(5)19.68 15.973.71(1)2.67,3.10,XXXXXXXXXXXXXXXXXX3.25,3.40,3.54,3.71原始序列72. 3,56. 3,36. 3,25. 3,13.

41、 3,67. 20X（3）计算绝对误差及相对误差序列：绝对误差序列00，0.02，0.04，0.02，0.01相对误差序列0/2.67100%，0.02/3.13 100%，0/3.25 100%，0.04/ 3.36100%，0.02/3.56 100%，0.01/3.72 100%=0.064%,0,1.19%,0.56%,0.27%相对误差小于1.19%，模型精确度高。第73页/共105页74第六步，进行关联度检验：（1）计算序列X0与X0的绝对误差(i)：000000000000(1)(1)(1)2.672.670(2)(2)(2)3.133.110.02(3)(3)(3)3.253.

42、250(4)(4)(4)3.363.400.04(5)(5)(5)3.563.540.02(6)(6)(6)3.723.710.01min( )min 0,0XXXXXXXXXXXXi.02,0,0.04,0.02,0.010max( )max 0,0.02,0,0.04,0.02,0.010.04i第74页/共105页75（2）计算关联系数：由于只有两个序列，故不再寻第二级最小及最大：（3）计算关联度：r=0.67 是满足 p=0.5 时的检验准则 r0.6 的。niinr167. 0)67. 05 . 033. 015 . 01 (61)(115 . 004. 0004. 05 . 0)3

43、(50. 04 . 005. 002. 004. 05 . 0)2(104. 05 . 0004. 05 . 00) 1 ()5 . 0, 2 , 1()(max)()(max)(min)(piiPiiPii67. 05 . 004. 001. 004. 05 . 0)6(50. 05 . 004. 002. 004. 05 . 0)5(33. 05 . 004. 004. 004. 05 . 0)4(第75页/共105页7682. 372. 356. 336. 325. 313. 367. 2610X3671. 016)28. 372. 3()28. 313. 3()28. 367. 2(1

44、)(2222001nXiXS015. 001. 002. 004. 0002. 00)(61i0252. 016)015. 001. 0()015. 002. 0()015. 00(1)(22222niS第六步，后验差检验：（1）计算（2）计算X0序列均方差：（3）计算残差的均值：（4）计算残差的均方差：第76页/共105页77（5）计算C：0414. 03671. 00152. 012SSC（6）计算小误差概率：S00.67450.36710.247635. 01005. 0 ,005. 0 ,025. 0 ,015. 0 ,005. 0 ,15. 0)(01，CPSeie故故都小于都小于所

45、有所有有较好的预测精度。有较好的预测精度。故模型故模型6757.663457.691)(04388. 01ieiX第八步，模型经检验合格后可用于预测，预测公式为：本例中i =7即该县第八期皮棉产量为4.23百万担。)() 1() 1(1)1(0iXiXiX 23. 46757.66e3457.696757.663457.69)7()8()8(74388. 084388. 01)1(0eXXX第77页/共105页78GM(1,1)模型应用实例的MATLAB实现第78页/共105页79解 (1)累加生成数列为： 年份1999 2000 2001 2002 2003 2004销售额2.673.133

46、.253.363.563.72建立GM（1，1）预测模型，并预测2005，2006年产品销售额 原始数据列为： 2.67,3.13,3.25,3.36,3.56,3.72 (1)X2.6700 5.8000 9.0500 12.4100 15.9700 9.6900X0=2.67,3.13,3.25,3.36,3.56,3.72;X1(1)=X0(1)for k=2:6 X1(k)=X1(k-1)+X0(k)end(0)X第79页/共105页80(2)构造数据矩阵B和数据向量Y： (1)(1)(1)1( )( )(1)2ZkXkXkz = 0 4.2350 7.4250 10.7300 14.

47、1900 17.8300load hslitifor k=2:6 z(k)=(1/2)*(X1(k)+X1(k-1)endB = -4.2350 1.0000 -7.4250 1.0000 -10.7300 1.0000 -14.1900 1.0000 -17.8300 1.0000Y = 3.1300 3.2500 3.3600 3.5600 3.7200B=(-z(2:6) ones(5,1)Y=(X0(2:6)第80页/共105页81(3)计算系数 1()TTB BB Y alfa = -0.0440 2.9256alpha=inv(B*B)*B*Y(4)得出预测模型 11d0.0442

48、.9256dXXt 1011atXkXeaa0.04469.345766.6757teu=alpha(2)/alpha(1)v=X0(1)-uu = -66.5503v = 69.2203第81页/共105页82(5)进行参差检验 (1)X得 1011akXkXeaa0.04469.345766.6757keu=alpha(2)/alpha(1)v=X0(1)-ufor n=0:6 X2(n+1)=v*exp(-alpha(1)*n)+uendX2u = -66.5503v = 69.22031）根据预测公式，计算 X2 = 2.6700 5.7809 9.0315 12.4283 15.97

49、77 19.6867 23.5623第82页/共105页83(0)X得X3(1)=X2(1)for m=1:6 X3(m+1)=X2(m+1)-X2(m)end2）累减生成序列 X3 = 2.6700 3.1109 3.2507 3.3968 3.5494 3.7089 3.8756而原始数据为(0)X2.67,3.13,3.25,3.36,3.56,3.72 3）计算绝对参差和相对参差序列 绝对残差序列 daita0 =0.0000 0.0191 0.0007 0.0368 0.0106 0.0111daita0=abs(X0-X3(1:6)(0)0,0.0191,0.0007,0.0368

50、,0.0106,0.0111第83页/共105页84相对参差序列 kesi = 0.0000 0.0061 0.0002 0.0109 0.0030 0.0030kesi=daita0./X0平均相对参差 meankesi=mean(kesi)meankesi = 0.00390.60.5的检验准则meanaita=mean(aita)= 0.6745第85页/共105页86（7）进行后验差检验 1）计算X0均值、均方差X0mean=mean(X0) =0.2817X0std=std(X0) =0.3671daita0mean=mean(daita0)= 0.0130daita0std=std

51、(daita0)= 0.0137C = 0.03724）计算小参差概率010.6745SS2）计算参差均值、均方差3）计算C=daita0std/X0stdS0=0.6745*X0stdS0 = 0.2476|( )|kk e = 0.0130 0.0061 0.0124 0.0237 0.0025 0.0020e=abs(daita0-daita0mean)对所有的e都小于S0，故小参差概率0()10.95kPS P=length(find(eS0)/length(e)C = 0.03720.35,故预测模型是合格的。而同时第86页/共105页87(8)预测 (1)X得 1011akXkXe

52、aa0.04469.345766.6757ke即2005年的产品销售额预测值为4.0498亿元。u = -66.5503v = 69.2203X2006= 4.0498X2005=X3(7)X2(8)=v*exp(-alpha(1)*7)+uX3(8)=X2(8)-X2(7)X2006=X3(8)即2005年的产品销售额预测值为3.8756亿元。即2006年的产品销售额预测值为4.0498亿元。第87页/共105页88GM(1,1)残差模型若用原始经济时间序列 0X模型检验不合格或精度不理想时，要对建立的GM(1,1)模型进行残差修正或提高模型的预测精度。修正的方法是建立GM(1,1)的残差模型。建立的GM(1,1)第88页/共105页89(1)X可获得生成序列的预测值 1011akXkXeaa若用原始序列建立的GM(1,1)模型 对于残差序列 (0)(1)(1)( )( )( )jXjXj(1,2, )jn若存在 ，使得当 时， 的符号一致，且 0k0kk(0)( )k04nk则称残差序列 (0)(0)(0)(0)00(),(1),( )Ekkn为可建模残差尾部。第89页/共105页90的累加生成序列 010()01ak kkkeaa，并建立相应的GM(1,1)模型 计算残差序列 (0)(0)(0)(0)00(),(1),(