固体物理习题解答

1、固体物理学习题解答（ 仅供参考）参加编辑学生柯宏伟（第一章），李琴（第二章），王雯（第三章），陈志心（第四章），朱燕（第五章），肖骁（第六章），秦丽丽（第七章）指导教师黄新堂华中师范大学物理科学与技术学院2003 级2006 年 6 月精品文档第一章晶体结构1.氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子， 各自的基元为何？写出 这两种结构的原胞与晶胞基矢，设品格常数为 a。解：氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。氯化钠的基元为一个NS和一个Cl组成的正负离子对。金刚石的基元是一个面心立方上的C原子和一个体对角线上 的C原子组成的C原子对。由于NaCl和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元

2、胞基矢都为：aai =2( j +k)< a2 = a (k +i)a3 =2(i + j)相应的晶胞基矢都为：a =ai, < b = a j, c = a k.2 .六角密集结构可取四个原胞基矢 ai, a2, a3与a4，如图所示。试写出 O A1A3、 AA3B3B1 、 A2B2B5A5 、 AA2A3A4AA6这四个晶面所属晶面族的 晶面指数(h k l m )。解：(1) .对于O A A3面，其在四个原胞基矢 上的截矩分别为：1,1,-1，1。所以，2 其晶面指数为(1121)。1(2) .对于AA3B3B1面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：1,1,-1 ,29。

3、所以，其晶面指数为(1120)0(3) .对于A2B2B5A5面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：1 , 1,8,8 所以，其晶面指数为(1100卜(4) .对于AlA2A3A4A5A6面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：笛，吧，笛，1。所以，其晶面指数为(0001卜3 .如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最大体积与总体积的 比为：简立方：体心立方： 叵;面心立方： ;六角密集： ;金刚石:6866.3 二 016证明：由于品格常数为a,所以:(1) .构成简立方时，最大球半径为aRm =万，每个原胞中占有一个原子,10欢立下载Vm 二a3 一64Rm=V3a,(2) .构成体心

4、立方时，体对角线等于4倍的最大球半径，即: 每个晶胞中占有两个原子,2Vm3二-3 一 a 8.构成面心立方时，面对角线等于4倍的最大球半径，即：4Rm=J2a,每个晶胞占有4个原子,4Vm3 a(4) .构成六角密集结构时，中间层的三个原子与底面中心的那个原子恰构成一个正四面体，其高则正好是其原胞基矢c的长度的一半，由几何知识易知厂4- Rmo原胞底面边长为2Rm。每个晶胞占有两个原子, 32Vm =2 4 二 & =8 二 Rm,33原胞的体积为：V = (2Rm jsin60cL4y-Rm =8亚Rm2Vm二2z =312=-6-(5) .构成金刚石结构时，. 1-arccos(

5、 ) =109,28 5.试求面心立方结构(110)和(111)晶面族的原子数面密度，设晶格常数为 a。解：如图所示，面ABC曲(110)面，面CDEW为(111)面。设该面心立方的品格 常数为a,则的体对角线长度等于两个最大球半径，即:42Rm=Y3a,每个晶胞包含8个原子,48Vm16，- 48 Vm =8 -3二 3 3a164.金刚石结构原子间的键间角与立方体的体对角线间的夹角相同，试用矢量分析的方法证明这一夹角为109c28'。证明:如图所示，沿晶胞基矢的方向建立坐标系，并设晶格常数为1 o选择体对角线AB和CD ,用坐标表示为 1,1-1和T,1,1。所以，其夹角的余弦为:

6、abLcd1cos & = j =一二AB CD 3在（110）面内选取只包含一个原子的面AFGD其面积为a史a=22a2,所以其原子 22数面密度为：1 22 a2 一7"2"在（111）面内选取只包含一个原子的面 DHIG其面积为：（-a）2sin = -a2, 234所以其原子数面密度为：14,3 2 a3 23a46.若在面心立方结构的立方体心位置上也有一原子，试确定此结构的原胞，每 个原胞内包含几个原子，设立方边长为 a。解：这种体心立方结构中有五种不同的原子。顶角、体心上的原子是两种不同的 原子，另外，面心上的原子前后、上下、左右的原子两两一组，是互不相

7、同的原 子。故此种结构共有五种不同的原子， 整个面心立方就是一个原胞。每个原胞中 的原子数为：11一8父十1+3父2M =5 （个）827.底心立方（立方顶角与上、下底心处有原子）、侧心立方（立方顶角与四个 侧面的中心处有原子）与边心立方（立方顶角与十二条棱的中点有原子） 各 属何种布拉维格子？每个原胞包含几个原子？解：这三种结构都属于简立方结构，原胞包含的原子数分别为:、-1底心乂万：-8=18 1 侧心乂方：- 84=3 82一、411边心立方：- 8 - 12=4848.试证六角密集结构中c=J8=1.63 a 3解:如图所示，ABC分别表示六角密集结构中中间层的三个原子，D表示底面中心

8、的原子。 DABC勾 成一个正四面体，为长为 a。DO_L面ABC ,则D,: DE =-3a,OE2=3_冬=冬，且DO,则由勾股定理得，OD =使（叵2代12al 6 a 一a,2.6 : c =2OD =a ,3c 2.68 1.63DO第二章晶体中的衍射1.试证明面心立方与体心立方互为正倒格子。方法1:面心立方:a1三a( j k)2aa2 =万(k i)aa3 =-( i j)2(1)由正格子和倒格子的转换关系a3)/(2)(3)(4)其中：Q = a,(a2 M a3)得:"2二才n =(-1 j k) aT2二b2 二(i - j k) aT 2二.b3 =(i j -

9、 k)在体心立方中aai =2(T j k)T a a2 =2(i - j k)Ta-* b3 -(i j -k)T 2二一.bi = (j k) aT 2二a2 二(k i) aT 2二a3 )(i j)由(2)式可得(5)a比较(1)与(5), (3)与(4)便可得面心立方与体心立方互为正，倒格子。方法2:由方法一中的(1)可知正格子与倒格子之间存在如下关系:T Tj2 bj = 2二、j、0 = 0 i：j,T 2二b 二(-1 j k) aT4 2二，"士由此可得面心立方的倒格子基矢：b2 = (I - j k) a 2二4b3 =(i j -k) a 2二bi =(j k)

10、 a-2 二 j t同理可得体心立方的倒格子基矢：a2 =(k ' D aT 2二a3 =(i j) a比较可得面心立方和体心立方互为正倒格子。2. a,b,c为简单正交格子的基矢，试证明晶面族(h k I )的晶 面间距为222 _1/2dhki =(h/a)(k/b)(l/c)"T WWW解：a = ai,b = bj,c = ck, =a*(b c) = abc由 Pi9(2.2.7)知可得:kh = ha kb 1c再由p22中kh和dhki的关系:dhkl得证。= 2：(b c)/-*“= 2：(c a)/-=2二(a b)/-2 /ia, 2二 . b = jr

11、2;. k2-hi2-1kTkh =2兀/dhki 可得:2 (b)2 <)2田2(斤 cc)23 .六角密集结构如取如下原胞基矢ai 二a-a 3a j,a2 = - -i aj,c=ck22试写出其倒格子基矢。、一T T 4 a 方法一：=a ,(a2 c) = (i 、'3j)，(-2bl =2二 c)/J =3a(3i <3j)解得。2-b2 =2 二(c d)少=(-3i <3j) 3ac 二 2二(a a2)/,二方法二：由正格子和倒格子之间的关系:可得:-12a3a3=02 二2、3二b21 - -, b21 -, b23 - 0a3a2_C31 = 0

12、, c 32 = 0,C33 = c T T 2 二 ,一bi = 2二 c)/1=(3i '3j) 3a-* t2二 Yb2 =2：(c ai)/1=(-3i 3j) 3a-T .2二.c = 2%- (a1 a2)/11 = k c2c4.如X射线沿简立万原胞的 Oz负万向入射，求证当 九/a = 2l/(k +l2)和 cosP =(|2 k2)/(|2 +k2)时,衍射光线在yz平面上，P为衍射线和Oz轴的 夹角。证明：简立方的原胞的正格子基矢为：，*=ai*二 aja3二 ak其倒格矢为：精品文档由图可知:sn将一=aTm kh 二khP=cos 2 22 2-hi kj l

13、k1 cosl2l2 k22l2, sin Ik2 l2l2 一，代入l2 k2r-2sin0 W：m竺(h2 k2 l2)1/2 a222、1/2m(h k l ),上式可以成立当 m=1, h2二 (k2l(l2k2)1/2/严当h=0时，kh只有k,j分量，即k0只有k分量，而k z分量，即衍射光线在yz平面上。T .k0 = kh, k亦只有y,5.设在氯化钠晶体中,0 1/2 )与(0 1/2 1/2(0 1/2 0 )与(1/2 0位于立方晶胞的（0 0 0）, ）诸点；而Cl-位于（1/2 1/2(1/2 1/2 0) , (1/21/2),(0 0 1/2 ),0 ）诸点。试讨

14、论衍射面指数和衍射强度的关系。解：P25中的（2.4.11 ）可知:I ,二 工mh,mk,ml ,一, j2fj cos2n (mhuj + mkvj + mlwj)-1|Z fj sin 2n (mhuj + mkvj + mlwj)j-Imh,mk,ml对于氯化钠晶胞：f f cos二(mk mh) f cos二(mk ml) f cos二(mh ml) Na 'Na 'Na 'Na 'fl_cos二(mk mh ml) fl_cos二 ml fl_cos二 mk fl_cos二 mhClClClClio敢迎下载精品文档(1)当衍射面指数全为偶数时，S16

15、(fNa+fclJ2衍射强度最大， c.一，.十一.(2)当衍射面指数全为奇数时，lgl6(fNa+-fcl)2由于cl与Na具有不同的散 射本领，使衍射指数全为奇数的衍射具有不为零但较低的强度。6.试求金刚石型结构的几何结构因子，设原子散射因子为 f。解：几何结构因子F(k)八 fjeik%1 其中 rj = uja+ vjb+ wjct r 弓 弓 .r r rK = k - k0 = K hkl = mK hkl = m(ha kb lc )a =2：(b c)/ ,b =2二9 a)/ ,c = 2二(a b)/ ,r : a ,(bx: c)为晶胞的体积。rj = uja+ vjb+

16、 wjc0金刚石型结构的晶胞内八个原子的位矢为(0 0 0 ),(1/2 1/2 1/2), (1/20 1/2 ), (0 1/2 1/2), (1/4 1/4 1/4), (3/4 3/4 1/4), (3/4 1/43/4), (1/4 3/4 3/4)且八个原子为同种原子，金刚石型结构的几何结构因子为:i (1h +k + 11)F(K)= ffei-m(h k)fei m(h l)fem(l k)feiF,3, 3, 1,、.,3,1 ,3,、.,1,3,3,、i m( h k l)im( hkl)i m( h kl)fe 2 2 2 fe 2 2 2 fe 2 2 27.设一二维格

17、子的基矢ai =025nm , a2 =。250nm, al与a2夹角a=120 ,试画出第二与第二布里渊区。二维倒格子基矢 bl，b2 与正格子基矢间有如下关系:=2兀,0激解:a1 = 0.125nm; a2=0.250nm=a,贝g=aiTa2 =ai J3aj2-3a5Ott令2h = b。则U3ab1 = b（，3i +j）b2 = bj中间矩形为第一布里渊区，阴影部分为第二布里渊区。8.铜靶发射 =0.154nm的X射线入射铝单晶，如铝（1 1反射角0 =19.2 ,试据此计算铝（1 1 1 ）面族的间距1 ）面一级布拉格 d与铝的品格常数。解:=1, m = 12 kh 二.k,

18、 khdhkl2sin19.200.234nmkhd hkld hkla = 3dh幻=0.405 nm51求迎下载第三章晶体的结合1.试证明以等间距排列的一维离子晶体的马德隆常数等于21n2。证明：设相邻原子间的距离为 r, 一个原子的最近邻、次近邻原子均有2个，该晶体的马德隆常数为：2 2 2M=2 一一 , 一 一 +2 3 41 112(1 -2 3二221n 2得证2.由实验测得 NaCl晶体的密度为2.16g/cm3,它的弹性模量为 2.14 X1010 2U-N/m，试求NaCl晶体的每对离子内聚能 "。（已知马德隆常数M=1.7476, NaN和Cl的原子量分别为23

19、和35.45） 解：NaCl晶体中Na'和Cl-的最近距离为r0晶胞基矢长为2 ro ,一个晶胞中含有四对正负离子对二 一个原胞（一个NaCl分子）的体积为：3_m _ （23 +35.45）父 10“vr0 - ：N 2.16 6.02 1023二NaCl晶体中的正负离子的平衡间距为：”2.82 10%m=0.282nm由晶体体积弹性模量的公式:2Bm(n _1)Me236二；0 ： r04并且由于NaCl晶体为面心立方结构，参数=2,故由上式可得:n =136 二；r0Me24-Bm1 36 3.14 8.85 1012 2 (0.282 10.)41.7476 (1.6 109)

20、22.41 1010=7.82由平衡时离子晶体的内聚能公式:一 NMe" 1Uc = (1 )，4二；0r°n将n=7.82代入得NaCl晶体的每对离子的内聚能为：UcNMe24二;0r019 21.7476 (1.6 10 )2_ _ 12 194 3.14 8.85 100.282 10(1-7.823. LiF晶体具有1.24 1018JNaCl结构，已由实验测得正负离子间的最近距离r0=0.2014nm(1 摩尔的内聚能 Uc = 1012.8kJ/mol, 为能量的零点)。试计算该晶体的体积弹性模量 6.71 M1010N/m2 进行比较。以孤立离子系统的内能Bm

21、 ,并与它的实验植解： 由平衡时离子晶体的内聚能公式：UNMe24二；0%1 ，一(1-),其中 M=1.784 n计算1mol的内聚能时，N=Na=6.02X 1023 ,且r0=0.2014,计算得:4二；00Uc .1n=(10)NMe24 3.14 8.85 100.2014 10 (-1012.8 103)17：6.02 1023 1.748 (1.6 10 )2=6.332 (n-1)Me2 36二；0 ： r04LiF晶体具有NaCl结构，将 P =2, n =6.33, r0 =0.2014代入上式得：晶体的弹性模量为:B(n)Me2m 一36 二小 r。42,=7.242 X

22、10 (N/m)相对误差为：7-242 -6-71 100% =7.9%6.714.试说明为什么当正负离子半径比r_/r+>1.37时不能形成氯化葩结构，当r_/r+>2.41时不能形成氯化钠结构，当r_/十2.41时，将形成什么结构? 已知：RbCl, AgBr, BeS的正负离子半径分别为：r + (nm)r_(nm)RbCl,0.1490.181AgBr,0.1130.196BeS0.0340.174若把它们看成典型的离子晶体，试问它们具有什么晶体结构？若近似把正负 离子都看成是硬小球，试计算这些晶体的点阵常数。解：(1)要形成氯化葩的体心立方结构，正负离子的直径必须小于立方

23、体的边 长，考虑密堆积，体对角线上的离子相切。d 2即：2r ：二 a = (r. r )一 :3.31可得：r_/r : 1.37一 3 -1故，r_/r + >1.37时，不能形成氯化葩结构。要形成氯化钠的面心立方结构，考虑密堆积，取面上的离子观察。即：2r_ ： d _ 2(rr J，1八 -r / r .：二-二2.41一 、2-1故，r_/r+a2.41时，不能形成氯化钠结构，将形成配位数更低的闪锌矿结构(2) RbCl,匚=0184 =1.215 <1.37 为氯化葩结构 r. 0.149品格常数为：2a，3(r)2.3(0.181 - 0.149) =0.381nmA

24、gBr, L = 0196 =1.73 >1.37 为氯化钠结构 r. 0.113品格常数为：a =2(r, Q =2 (0.196 0.113) =0.618nm_ r 0.174BeS:= =5.118 > 2.41 为闪锌矿结构r. 0.034品格常数为：8,、8 znno 、c。a = , 3(r. r J x (0.034 0.174) = 0.34nm5. 由气体分子的实验测得惰性气体Xe的伦纳德琼斯势参数 w=0.02eV,。=0.398nm在低温下Xe元素形成面心立方的晶体，试求 Xe晶 体的品格常数a,每个原子的内聚能Us及体积弹性模量Bm若对Xe晶体施N加压力P

25、=6M108N/m2。试在近似假定体积弹性模量不变的情况下，计算 这些晶体的晶格常数a将变为多少？并求这时的内聚能 幺将变为多少？ N解：原子间的平衡间距为 ：r0定1.09。=1.09M0.398nm = 0.434nm因结构为立方晶体，则晶格常数为:=0.614nm每个原子的内聚能为：区:-8.6，8 -8.6 0.02 = -0.172eVN体积弹性模量：Bm ：75；=3=75 0.02 (0.398 10力,1.6 10,9=3.81X109 N/m2由体积弹性模量的定义式可知：Bm = -V()1Vp P =-Bm fdV =-BmlnV因为：V = NPr3Vo VVor故 P

26、- -3BmlnroP6 108r = r0e右=0.434 e 3 3.81109 = 0.412nm二晶格常数 a = >/2r =0.583nm仃 / =1.092/内聚能 U2(I) =_£ ,，一8.6 Bm- o -0.149N 2A2756.原子轨道波函数2s,2Px,2Py,2Pz相互正交、归一，请证明由sp3杂化后的 未配对电子轨道%* = -(1-1-1 1)*二0*其余同理可证，波函数%,%,%中4相互正交。也相互正交归一：jd. =、j(i,j =1,2,3,4)如已知在球面极坐标中，轨道波函数 2s,2Px,2Py,2Pz可写成:,12s = R2(r

27、 )_2 .:二 sin 日 cos中 ji.1 2Py =R2(r)L2 sin s sin 中31,1 13.2 Pz =R2(r)L cos2 七 二华中tp tp请求出杂化轨道1, 2, 3, 4在球面坐标中的表达式并由此求出杂化轨道具有 最大值的方向。解：(1) Y原子轨道波函数2s,2Px,2Py,2Pz相互正交、归一1且 1 =2(2s 2px 2py 2pz)12 =2(2s-2Px-2py 2pz)13 =2(2s-2Px 2py-2pz)14 =2(2s 2Px-2py -2pz)*1*I 2d (2s 2Px 2py 2pz) (2s-2Px-2py 2pz)d 41*2

28、s 2sd - 2px 2pxd - 2py 2pyd2Pz 2pzd 4*1*1 1d . = (2s 2 Px 2py 2pz) (2s 2Px 2 Py 2pz)d.41*=4 (2s 2px 2py 2pz) (2s 2px 2 Py 2pz)d.1，*.=-2s 2sd”，12 Px 2 Pxd"，i 2py 2 Pyd - 12 Pz 2pzd 1 (1111)4二1其余同理可证，波函数邛1*2*3*4归一。 、 一_二 亦可以证明州用jdt =5j(i, j =1,2,3,4)(2)甲1%中3中4在球面坐标中的表达式为：中1 = R2(r) 1 (1 + BsinH c

29、os邛 + V3sin9 sin 5 +73cos8)4 :二1 . 一2 =R(r)(1-、，3sin icos : -、，3sin isin ； ' + /3cos )4 j 二3 =R2(r)L 1-(1 - 3sincos.3sinF sin：；：iQcos)4 .二1.-4 = R(r)(1 、. 3sincos - 3sinsin -、3cos)4 ；二石邛 KPsin = 2 2tan- - ,2(3)甲1,具有最大值时T =。，一"二0，(sin , cos , )cos 二-sin 二sin = cos1中2,具有最大值时之 =0,二 =0,sin = 22

30、tan1 二 + 2sin = 2 2tan1=, 2洲 已中-(sin : cos :)cos【-sin sin?” cos：1q,具有最大值时 三(=0,=0,CO。甲(cos : - sin ) =tan1sin , cos = 01一 厂4 厂4Q具有最大值时二彳=0,= =0,CO(sin ：P -cos ) = tan1 sin cosf = 0，二二 21 二0 cQ理二。轨道具有最大值时，概率最大，即波函数的模的平方有最大值:=54.73°i = 45°同理可得:7.= 54.73°2 =225°sp2杂化轨道可写成Q%=144.73&#

31、176;33 =135°-4 = 144.73°4 =315°$(2s +麻Px),中,3(2s-PxPy)，2一(2s-专馋Px -於力在球面系中写出轨道表达式，并求杂化轨道最大值的方向。解:在球坐标系中:由 2s=R2(r2Px =R2(rsin f cos :2Py uR2(r)l_2一 sin s sin :冗cos a ji可得:=Rf) (1、6 sin cos )2 3一 sin - cos:' sin - sin )"(1 -2、3二3 sin C cos中 一 3j= sin日 sin 中)中1,具有最大值时厂1 =0,1讲=0

32、,cosu cosq：= 0cosi -0cos :-二1sin 1 sin：f =0平2,具有最大值时叠=0,=0,一不3 cosH cos中3 一 一_ cosi sin= 0,23 sine sin 平23r sin 1 cos =02sin( 一，具有最大值时316) = -1二cQ=0,3 sin 8 sin 中一 3= sin c cos 中=0223 cos cos中 一3cossin=02=0,sin( 一)二 16cos(-)-二 16不 冗cos(一)二 16二：:2禾IJ用=0,c6二；2言=。）可得:4=90°4=90°日3 = 90°1=

33、0°'2 =1200 '，=2400第四章 晶格振动和晶体的热学性质1. 一维单原子晶格，在简谐近似下，考虑每一原子与其余所有原子都有作用, 求格波的色散关系。解：设第n个原子的势能函数为1 J 12U :' m xn - xn -m2 m = J： (m-0)其中，Pm为与第n个原子的相距ma的原子间的恢复力常数，a为晶格常数。则, 第n个原子的受力为卫乂oO-' m(xn m - xn )m(m-0)cO:' m(xn：；m _ xn )- -m(xn -m - xn ) 'm 1QO“- ' m(xn mxn -m - 2

34、xn)m 1其中，利用了 F田。第n个原子的运动方程为M%n = FnQ0='- m ( xn -mxn _m _ 2xn )m 1令其试解为x _AeiqnaJJXne代入运动方程得-M 2 = J -：m eiqma J .2 m=1QO= '、. 2 -m l.cos(qma) -11 m z!co-、4 -mSln2 m 1故,212,qma、4 mSin ()M m422.聚乙烯链|-CH = CH -CH = CH -山的伸张振动，可以采用一维双原子链 模型来描述，原胞两原子质量均为M，但每个原子与左右的力常数分别为Pi 和用，原子链的周期为a。证明振动频率为M14

35、眼sin2更克 12(if)解：单键及双键的长分别为bi和而a = D b22；：2IHI -CH = CH -CH =CH - CH =川(n2,2) bi (n,1) b2 (n,2) (n 1,1)原子(n,1)与(n, 2)的运动方程分别为MU(n,1)f；1 |u n-1,2 -u(n,1) -|_u n,1 -u n,2MU(n,2) =22 |u n,1 -u(n,2) - 1 u n,2 -u n 1,1令这两个方程的试解为u(n,1)=Aei(qna-t)u(n,2) =Beiq(na /"把试解代入运动方程得-M，2A=J Be,。a-A - '-2 A

36、- Beiqb2Ms2B=B2 Ae,*2 -B-P1 B -Aeiqb1 有非零解的条件为Bi+Ms2邛e即1 一,莽21212=0一院即2 一月卸1Pi+A-Mi 解得(Meo2)2 -2( P1 + P2 )(Mcc2) +(P1 +P2 j 一 B12 + P22 +2Plp2 cosq(b1 +b2)= 0利用b1 +b2 = a ,方程的解为2-1 - -2 + =一 M4 1 2sin2 qa1-冬J -413.求一维单原子链的振动模式密度gg ),若格波的色散可以忽略，其gg)具 有什么形式，比较这两者的g(co)曲线。解：(1)一维单原子链的晶格振动的色散关系为0=6mSin

37、 詈 其中，0m =2M此函数为偶函数，只考虑q，0的情况，下式右边乘2。切|_8+d6区间振动模式 数目为,、， cl 1.g ()d 1 - 2d2 二 grad，其中,. d a qa grad 二二一 m cos - dq 22故色散关系为)=2l二 a22N2 m2其中，l为单链总长，a为晶格常数，因此，N为原子个数。(2 )若格波没有色散，既只有一个切e (爱因斯坦模型)。而且振动模式密度函g(s)数满足下面关系g,； ；: d = N故，g(s)为5函数g )： N”.E(1 2 2)色散关系的曲线图如下:4.金刚石(碳原子量为 的杨氏模量为1012N m2,密度P=3.5g c

38、m二。试 估算它的德拜温度Gd =?解:德拜温度为将-D6 二2NOd6二2NkBkB1.0546 10 21.3807 10 43101216 3.142 3.5 103 33.5父103、12父1.6605M10“7 i:2817K5.试用德拜模型求晶体中各声频支格波的零点振动能。解：在德拜模型中，纵波与横波的最大振动频率均为6二2NVs ,其中V3s-12V 2V 2gl= -TyrSt= 2 r32 二 Vi2 二 Vt纵波的零点振动能为D力.U 01=I 工二d2二2 Vl302D =0 fhv一 16 二2Vl3同理，两支横波的零点振动能均为 D力.U 0t = 0 _2 gt &

39、#39; ' d '一 -22 2 二 Vt23d _ hv一 16 二 2Vt3故，总的零点振动能为Uo =Uoi 2U和一16二 2Vl30tD4 2-16二2Vt3_ 3/jV 1/工4_2 '-16n2 3IV3 M39N6二2NVs3D6. 一根直径为3mm的人造蓝宝石晶体的热导率，在30K的温度达到一个锐的极大值，试估计此极大值。（蓝宝石在t|_ ®D =1000K时，/ -3.Cv =10 T J m3K-)解：在低温情况下，热导率的表达式为11 =3cl其中，Cv =10T3JmJ K，而且由于直径很小，自由程l电d=3mm,所以=27而声速n

40、由德拜模型求取，在德拜模型中，（N为原胞个数）-230 二 N30n2N Mai2o3 邙V M ai2o31MAl2O3故,G，DkB 30 二M 1MAl2O3 ,片6.84M 103m s，(其中 P=4g-3 cm"=Vs %6.84M103m s，代入父=2.7v 中，得_4* =1.85 10 W m K7. Na和Cl的原子量分别为23和37。氯化钠立方晶胞边长为0.56nm ,在100 方向可以看作是一组平行的离子链。离子间距d=0.28nm。NaCl晶体的杨氏模量为5X1010N m，如果全放射的光频率与q=0的光频模频率相等， 求对应的光波波长（实验值为6Wm）0

41、解：在一维双原子链模型中，q = 0时，光频模频率为- 0 = 2杨氏模量为2JM1 M故， = dY光波波长为2 二二 cT 二 c 111+<Mi M2/12dYC 1开 +、M1M2 ,：54.6m8. 立方晶体有三个弹性模量C11,C12和C44。铝的C11=10.82M1010Nm",C44 =2.85X1010N m-,铝沿100方向传播的弹性纵波的速度 玲=忖,横 波速度Yt=JC1，Al的密度P = 2.70m103kg m' 求德拜模型中铝的振动 模式密度g(s )。解：德拜模型中，振动模式密度为3V 12 3 Vl3 V3tg二力K2 二 Vs其中,

42、 'D16 二2N 3、,11s, V7=3w-123 V、C44代入上式_二1 4 3所以,：2.075 10 m s3 1Vs =3.64 10 m s代入6d中,16n2N '3'/= Vv s< V J 1='6n2N Mai :v一 V Mai J s16 兀 2P 1V VsMai .，= 5.56 1013rad s故,23V 2 g ' KV7=32 2.075 102 . 2V 2 30142：3.157 102 2V其中， _ d =5.56 1013rad s'第六章金属电子论1.导出一维和二维自由电子气的能态密度。解

43、：一维情形由电子的Schr?dinger方程：-匕史二E2m dx2得自由电子波函数解：dz=2 -dk=-dk=LmE2冗 冗 冗A 2 J E日"匚柱2且有.E = ,2m由周期性边界条件：中(x + L)=<P(x)得:,2冗k =nL在k = ,2mE/力至ijk+dk区间:dZ -2 dk-Ldk-2兀 冗L 2m dE那么:1dZ =Lg1(E)dE ,其中：g1(E)=2mE2堵维情形同上,由电子的Schr?dinger方程：力2 22;: = E;:得自由电子波函数解:且：E(k)=力2k22m2m中(r) =Sei=4(k2 k2)2m,S=L2由周期性边界条

44、件:(x L,y) = (x, y)(x, y L) = (x, y)得：kx2兀nx ，Lky2兀 rny在k = j2mE /力到k +dk区间:SdZ =2 2dk 二(2月2那么:dZ =Sg2(E)dEL22 22 TT2 jkdk =mL2由2dE其中：g2(E) =-m2.若二维电子气的面密度为ns,证明它的化学势为:(T)=kBTln expmkBT 解：由前一题已经求得能态密度：g(E)电子气体的化学势N由下式决定:令(E Nj/keT 三x,0 g(E)L2dE =并注意到：nsL2m 二 dE4 0 ejkBT1NL2kBTmoO1kBTe'1 dxkBTm 二d

45、ex由2kBTmIn e"kBT1kBTm-J/kBT那么可以求出R：L(T)=kBTIn expmkBT ).l证毕。3. He3是费米子，液体米能Ef和费米温度He3在绝对零度附近的密度为0.081 g/cm0计算它的费Tfo解：He3的数密度:N N M 、N ：n =:=V M V其中m是单个He3粒子的质量。kF= 3 712 n可得:EFk22m=6.8577 X 10 23 J = 4.28 X 10 4 eV.代入数据，可以算得：E则：TF =EF=4.97 K.k4.金属钾在低温下的摩尔电子比热的实验值为：Ce=2.08 T mJ/mol K,试用自由电子气模型求它

46、的费米能 已及状态密度g(E)。考虑费米球模型，在费米面以内的粒子吸收能量跃出费米面的数目期望是:1/29 kTN =c 3 E dE = N -.EFkT4 Ef这些粒子共吸收能量:3N -kTE N-2_ 227 kBT4 Ef则相应的热容量为:CveFE27.:T 4Ef其中：274Ef由题设数据，代入上式,可求出 EF及g(E)：Ef27kBNA =2.235 x 10 3 eV43 nV n 3 Na45g(EF 尸N=-A =2.425X 102Ef 2Ef5.银是一价金属，在 T= 295 K时，银的电阻率P =1.61 X 10 6Q c现在T =20 K时，电阻率p =0.0

47、38 X 108。- cnr求在低温和室温时电子的自由 程。银的原子量为107.87,密度为10.5 g /cnL1 = 1 mVF一 一 2.ne l可得:mVFl才又:Na-0 NaM Ms其中Na为阿伏加德罗常数，Ms为Ag的原子量，n为Ag的密度。将上式代入l的表达式，并代入数据可得：当 T= 295 K 时，l = 3.7 X 10 4 m,当 T= 20 K 时，l = 1.6 m.在计算过程中，已取Vf =106 m.6 . Hunter S.C.和F.R.N.Nabarro曾计算铜中每厘米位错线引起的电阻率如下：刃型位错 偿=0.59 X 10-20Q - cm螺型位错 APS

48、 =0.18 X 10 2°Q - cm假定刃型位错和螺型位错有相同的密度（位错密度为1cm2有多少条位错线）已知位错产生的电阻率AP =2X108。- cm,问铜中的位错密度是多少？ 解：设密度为x,由题意可以列出方程：:二 E ,二：' X = P:啜飞_122.6 X 107 .在室温下金属钺的霍尔系数为2.44 X 10Tom3 C 1,求镀中空穴密度。解：由霍尔系数定义Rh =工得：pep =2.56 x 1028 m 3e Rh8 .试计算Cs在T= 1000 K时热电子发射的电流密度。解：电子热发射的电流密度函数为：2 _Jj =4m （kT，/力3 ）e kT

49、由教材表6-3可查得Cs的功函数为1.81eV。代入数据到上式中可以算 得：j =9.2 x 102 A - m29. Al等离子体能量力6P的实验值为15.3 eV,按照自由电子气模型的电子密度为n= 18.06 X 1022 m 3,求力3的理论值。解：由等离子体振荡频率关系式:故:2 ne80mqm力 p =加=15.7 eV.第七章周期场中的电子态a,电1. 一维周期场中电子的波函数中k(x)应满足布洛赫定理。若晶体常数是解:子的波函数为.,xi k x)= sina 二；3xii k x = i cos一 二; a(iii严k(x)=£ f (xla / f是某个确定的函数卜i -：试求电子在这些状态的波矢。T =eik' w 中a- JIiE山di kx a