正余弦定理的综合运用

1、正余弦定理的综合运用 正弦定理、余弦定理综合运用正弦定理、余弦定理综合运用正余弦定理的综合运用CcBbAasinsinsin2aAbccbcos2222bBaccacos2222cCabbacos222复习：复习：（R是三角形外接圆半径是三角形外接圆半径）R2正余弦定理的综合运用.2sin,2sin,2sinRcCRbBRaA.2cos,2cos,2cos222222222abcbaCacbcaBbcacbA,sin2,sin2,sin2CRcBRbARa正余弦定理的综合运用在在 中，以下的三角关系式，在中，以下的三角关系式，在解答有关三角形问题时，经常用到，解答有关三角形问题时，经常用到，要

2、记熟并灵活地加以运用：要记熟并灵活地加以运用：ABC;CBACBACBAcos)cos(,sin)sin(2sin2cos,2cos2sinCBACBABacAbcCabSsin21sin21sin21正余弦定理的综合运用例例1： 在在 中，中， ，试判，试判断三角形的形状断三角形的形状ABCBaAbcoscosABCacb练习：练习：1 .在在 中，已中，已知知 ，判断三角形的形状，判断三角形的形状Cbacos2ABC题型一题型一:判断三角形形状判断三角形形状正余弦定理的综合运用2.,coscos ,.ABCabcBcAABC在中判断的形状小结一：小结一：判断三角形形状时，一般考虑两个方向进

3、行变形：判断三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使另一个方向是角，走三角变形之路，通常是运用正弦定理另一个方向是角，走三角变形之路，通常是运用正弦定理正余弦定理的综合运用ABC 3.在在 中，若中，若 ，则，则 是是( )A等腰三角形等腰三角形 B等腰直角三角形等腰直角三角形C直角三角形直角三角形 D等边三角形等边三角形2cos2cos2cosCcBbAaABC D 2cossin22cossin22cossin2CCRBBRAAR略解：由正弦定理得：2cos2cos2sin22cos

4、2cos2sin22cos2cos2sin2CCCBBBAAA2sin2sin2sinCBA222222CBACBA是锐角，又正余弦定理的综合运用题型二：三角形中的化简求值题题型二：三角形中的化简求值题例例2：ABC中，已知中，已知a=2，求，求bcosCccosB的值。的值。解解:（化（化角角为为边边）由由余弦定理余弦定理得：得：abcba2222bcosCccosBcacbca2222abcaacba22222222b2 a正余弦定理的综合运用解法二解法二:（化（化边边为为角角） 由由正弦定理正弦定理得：得：bcosCccosBBCRCBRcossin2cossin22sinsinaAAa

5、例例2：ABC中，已知中，已知a=2，求，求bcosCccosB的值。的值。)sin(2CBR)sin(2AR正余弦定理的综合运用解法一：解法一：,sin2,sin2,sin2CRcBRbARa代入代入 得：得：,sinsin2sincoscosCABCBcabCB2coscos0cossin2BA即, 0cossin2BA,sin)sin(ACBCBA又0sincossin2ABA21cos0sinBA32BB为三角形的内角，故, cbaCBAABC、所对的边分别为、中，的大小。求且BcabCB,2coscos 由由正弦定理正弦定理得：得：（化（化边边为为角角）例例3：BCBCsincosc

6、ossin)sin(CB正余弦定理的综合运用 ,2cos222acbcaB解法二：解法二：由由余弦定理得余弦定理得abcbaC2cos222cabCB2coscos代入代入 得：得：acbca2222cabcbaab22222整理得整理得,222acbca2122cos222acacacbcaB32BB为三角形的内角，故, cbaCBAABC、所对的边分别为、中，的大小。求且BcabCB,2coscos（化（化角角为为边边）例例3：正余弦定理的综合运用解：由余弦定理知：解：由余弦定理知：，212cos222bcacbA,60,1800AA,120)(180BBAC又,sinsinBCbc且由正

7、弦定理知, 321sin)120sin(BBBBBsinsin120coscos120sin321bc, cbaCBAABC、所对的边分别为、中，的大小。和求且若BAbcabccbtan, 321,22221tanB解得（化（化边边为为角角）32121tan23BBCsinsin321正余弦定理的综合运用题型三题型三:证明恒等式证明恒等式coscosc bAb cA例3：在三角形ABC中，三个内角为A、B、C，对应边 为a、b、ccosB 求证：cosC方法一方法一:边化角边化角;方法二方法二:角化边角化边;正余弦定理的综合运用小结三：由边向角转化后，要熟练运用三小结三：由边向角转化后，要熟练

8、运用三角函数公式，有时又要由角转化为边；三角函数公式，有时又要由角转化为边；三角形中的有关证明问题，主要围绕边与角角形中的有关证明问题，主要围绕边与角的三角函数展开，从某种意义上来看，这的三角函数展开，从某种意义上来看，这类证明问题就是有了目标的含边与角的式类证明问题就是有了目标的含边与角的式子的化简问题。子的化简问题。正余弦定理的综合运用1如果如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则（的三个内角的正弦值，则（ ）（A）A1B1C1和和A2B2C2都是锐角三角形都是锐角三角形 （B）A1B1C1和和A2B2C2都是钝角三角形都是钝角

9、三角形 （C）A1B1C1是钝角三角形，是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形是锐角三角形 （D）A1B1C1是锐角三角形，是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形是钝角三角形思考题思考题 判断三角形形状判断三角形形状正余弦定理的综合运用解：解：A1B1C1的三个内角的余弦值都大于的三个内角的余弦值都大于0，所以所以A1B1C1是锐角三角形，是锐角三角形，若若A2B2C2也是锐角三角形，则也是锐角三角形，则sinA2=cosA1=sin( A1)，则，则A2= A1， 22同理同理 B2= B1，C2= C1， 22矛盾矛盾 所以所以A2B2C2不是锐角三角形，不是锐角三角形， 选选D。则则 A

10、2+B2+C2= (A1+B1+C1)= ， 232正余弦定理的综合运用练习练习：在：在ABC中，求证：中，求证：a2sin2B+b2sin2A=2absinC正余弦定理的综合运用题型四题型四、面积问题面积问题正余弦定理的综合运用变式变式4、已知、已知ABC的三边长的三边长 求求ABC的面积3,5,6abc变式变式3、已知、已知ABC的面积 求求C角的大小？角的大小？2224abcS变式变式1.ABC的面积为的面积为 求求A32,32bc, 且变式变式2、在、在ABC中，中，求求ABC的面积及外接圆半径的面积及外接圆半径12,3,cos3abC,?sinsinsinabcABC 正余弦定理的综

11、合运用例例5、a ,a+1,a+2 构成钝角三角形，求构成钝角三角形，求a 的取值范围。的取值范围。变式：锐角三角形的三边长为变式：锐角三角形的三边长为2,x,3，求求x的取值范围。的取值范围。练习：练习：三条线段长度为三条线段长度为2,x,6(1)求构成直角三角形时，求构成直角三角形时，x的取值范围的取值范围(2)求构成锐角三角形时，求构成锐角三角形时，x的取值范围的取值范围(3)求构成钝角三角形时，求构成钝角三角形时，x的取值范围的取值范围题型五题型五、范围问题范围问题正余弦定理的综合运用1、（、（07年全国卷）年全国卷）(3,4), (0,0), ( ,0)(1)5,;(2)0,ABC

12、cc 若三角形中顶点坐标为若求sinA的值若AB AC求c的值;(3)若A为钝角,求c的取值范围.方法一：正弦定理方法一：正弦定理（1）方法二：余弦定理方法二：余弦定理（2）方法一：向量数量积定义方法一：向量数量积定义方法二：勾股定理方法二：勾股定理（3）余弦定理余弦定理253c 253c 25sin5A 练习：正余弦定理的综合运用小结：小结： 1 1、学会利用正弦、余弦定理解决两类题型：、学会利用正弦、余弦定理解决两类题型： （1 1） 判断三角形的形状；判断三角形的形状； （2 2） 三角形中的求值题。三角形中的求值题。2、两种题型、两种题型思路的共同点思路的共同点就是就是从从“统一统一”着眼着眼， 或统一转化为三角函数或统一转化为三角函数，作三角变换；，作三角变换；或统一转化为边或统一转化为边，作代数变换。，作代数变换。3