离散型随机变量的均值与方差教案

1、2.5 离散型随机变量的均值与方差教案教学目标（1）通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；（2）能计算简单离散型随机变量均值（数学期望），并能解决一些实际问题教学重点，难点： 取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义教学过程一问题情境1情景：前面所讨论的随机变量的取值都是离散的， 我们把这样的随机变量称为离散型随机变量 这样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100 件产品所出的不合格品数分别用 X1, X 2 表示， X1 , X 2 的概率分布如下X10123pk0.70.10.10.

2、1X20123pk0.50.30.202问题：如何比较甲、乙两个工人的技术？二学生活动1 直接比较两个人生产 100 件产品时所出的废品数从分布列来看，甲出 0 件废品的概率比乙大，似乎甲的技术比乙好；但甲出 3 件废品的概率也比乙大，似乎甲的技术又不如乙好 这样比较，很难得出合理的结论2 学生联想到“平均数” ，如何计算甲和乙出的废品的“平 均数”？3 引导学生回顾数学3（必修）中样本的平均值的计算方法三建构数学1定义在数学 3（必修）“统计” 一章中，我们曾用公式 x1 p1x2 p2 . xn pn计算样本的平均值，其中pi 为取值为 xi 的频率值类似地，若离散型随机变量 X 的分布列

3、或 概率分布如下：Xx1xnx2Pp1p2pn其中， pi0, i1,2,., n, p1p2 .pn 1 ，则称 x1 p1 x2 p2 .xn pn 为随机变量 X 的均值或 X 的数学期望，记为 E( X ) 或 2性质（1） E(c)c ；（2） E(aX b)aE( X )b （ a, b, c 为常数）四数学运用1例题：例 1高三（ 1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10 个红球， 20 个白球，这些球除颜色外完全相同某学生一次从中摸出 5 个球，其中红球的个数为 X ，求 X 的数学期望分析：从口袋中摸出5 个球相当于抽取 n5 个产品，随机变量X 为 5个球中的

4、红球的个数，则 X 服从超几何分布 H (5,10,30) 解：由 22 节例 1 可知，随机变量 X 的概率分布如表所示：X012345P258480758550380070042237512375123751237512375123751从而E(X) 0258480758550380070042523751123451.666723751237512375123751237513答： X 的数学期望约为 1.6667说明：一般地，根据超几何分布的定义，可以得到E(X)n r CMr CNn rMn M r 0CNnN例 2从批量较大的成品中随机取出 10件产 品进行质量检查，若这批产品的不

5、合格品率为 0.05，随机变量 X 表示这 10 件产品中不合格品数， 求随机变量 X 的数学期望 E(X)解：由于批量较大，可以认为随机变量 X B(10,0.05) ，P( X k) pkC10k pk (1 p)10k , k 0,1,2,.,10随机变量 X 的概率分布如表所示：X012345pkC100 p0 (1 p)10C101 p1 (1 p)9C102 p2 (1 p)8C103 p3 (1 p)7C104 p4 (1 p)6C105 p5 (1 p)5X678910pkC106 p6 (1p) 4C107 p7 (1p)3C108 p8 (1p)2C109 p9 (1p)1

6、C1010 p10 (1p)010故 E( X )kpk0.5k0即抽 10件产品出现不合格品的平均件数为0.5件说明：例 2 中随机变量 X 服从二项分布，根据二项分布的定义，可以得到：当 X B(n, p)时， E( X )np 例 3设篮球队 A 与 B 进行比赛，每场比赛均有一队胜， 若有一队胜 4 场则比赛宣告结束，假定 A, B 在每场比赛中获胜的概率都是 1 ，试求需要比赛2场数的期望分析：先由题意求出分布列，然后求期望解：（1）事件“ X4”表示， A胜4场或 B胜4场（即 B负4场或 A负4 场），且两两互斥P(X 4) C44 ( 1)4(1)0C40 (1)0 ( 1)4

7、2 ；222216（ 2）事件“ X 5 ”表示， A 在第 5 场中取胜且前 4 场中胜 3 场，或 B 在第 5 场中取胜且前 4 场中胜 3 场（即第 5 场 A 负且 4 场中 A 负了 3 场），且这两者又是互斥的，所以P(X 5)1 C43( 1)3(1)4 31 C41(1)1(1)4 1422222216（3）类似地，事件“ X6 ”、 “ X 7 ”的概率分别为P(X 6)1 C53( 1)3(1)5 31 C52( 1)2(1)5 25 ，22222216P(X 7)1 C63(1)3(1)6 31 C63( 1)3 (1)6 3522222216比赛场数的分布列为X 45672455P16161616故比赛的期望为2455（场）E(X) 45675.812516161616这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说， 进行 6 场才能分出胜负2练习：据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25 ，有大洪水的概率为0.01现工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案：方案 1：运走设备，此时需花费3800 元；方案 2：建一保护围墙，需花费 2000 元但围墙无法防止大洪灾，若大洪灾来临，设备受损，损失费为 60000 元；方案：不采取措施，希望不发生洪水，此时大洪水来临损失