3控制系统的数学描述与建模

1、ch3、控制系统的数学描述与建模 q 控制系统的数学模型在控制系统的研究中有着相当重要的地位，要对系统进行仿真处理，首先应当知道系统的数学模型，然后才可以对系统进行模拟。同样，如果知道了系统的模型，才可以在此基础上设计一个合适的控制器，使得系统响应达到预期的效果，从而符合工程实际的需要。q在线性系统理论中，一般常用的数学模型形式有：传递函数模型（系统的外部模型）、状态方程模型（系统的内部模型）、零极点增益模型和部分分式模型等。这些模型之间都有着内在的联系，可以相互进行转换。 按系统性能分：线性系统和非线性系统；连续系统和离散系统；定常系统和时变系统；确定系统和不确定系统。1、线性连续系统：用线

2、性微分方程式来描述，如果微分方程的系数为常数，则为定常系统；如果系数随时间而变化，则为时变系统。今后我们所讨论的系统主要以线性定常连续系统为主。2、线性定常离散系统：离散系统指系统的某处或多处的信号为脉冲序列或数码形式。这类系统用差分方程来描述。3、非线性系统：系统中有一个元部件的输入输出特性为非线性的系统。第一节 系统的分类 微分方程是控制系统模型的基础，一般来讲，利用机械学、电学、力学等物理规律，便可以得到控制系统的动态方程，这些方程对于线性定常连续系统而言是一种常系数的线性微分方程。 如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程进行求解，就可以得到系统输出量的表达式，并由此对系统进行性能分

3、析。 通过拉氏变换和反变换，可以得到线性定常系统的解析解，这种方法通常只适用于常系数的线性微分方程，解析解是精确的，然而通常寻找解析解是困难的。matlab提供了ode23、ode45等微分方程的数值解法函数，不仅适用于线性定常系统，也适用于非线性及时变系统。第二节第二节 线性定常连续系统的微分方程模型线性定常连续系统的微分方程模型 ode23( )和ode45( )函数分别采用了二阶三级的rkf方法和四阶五级的rkf方法，并采用自适应变步长的求解方法。 t,x=ode23(方程函数名，tspan，x0，选项，附加参数) t,x=ode45(方程函数名，tspan，x0，选项，附加参数) ts

4、pan仿真范围，例如取t0,tf，其中t0和tf分别为用户指定的起始和终止计算时间。 x0系统的初始状态变量的值，应该使该向量的元素个数等于系统状态变量的个数。 t求解的时间变量，因为采用了变步长的时间算法，所以得出的t向量并不一定是等间隔的。 x状态变量在各个时刻所组成的列向量所构成的矩阵的转置。有了t和x，在求解过程结束后即可以用plot（t,x）来绘制出解的结果曲线。 方程函数名的编写格式是固定的：function xdot=方程函数名(t,x,flag,附加参数) t时间变量。 x方程的状态变量。 xdot状态变量的导数。例：假设lorenz模型的状态方程表示为求取各状态变量的值。)(

5、)(28)()()()(10)(10)()()(3/ )(8)(322133223211txtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtx 令初值为x1(0)= x2(0)= 0, x3(0)=, 为机器上可以识别的小常数，例如取=10-10，则可编写函数lorenzeq.m来描述系统的动态模型：function xdot=lorenzeq(t,x)xdot=-8/3*x(1)+x(2)*x(3); -10*x(2)+10*x(3); -x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3);调用微分方程数值解ode45()函数对lorenzeq()函数描述的系统进行数值求解，并将结果进行图形显示。t_f

6、inal=100;x0=0;0;1e-10; t,x=ode45(lorenzeq,0,t_final,x0); plot(t,x); figure; plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3);axis(10 40 -20 20 -20 20);例exp3_1.m电路图如下，r=1.4欧，l=2亨，c=0.32法，初始状态：电感电流为零，电容电压为0.5v，t=0时刻接入1v的电压，求0t num=1 7 24 24; den=1 10 35 50 24; g=tf(num,den) transfer function: s3 + 7 s2 + 24 s + 24-s4 + 10

7、s3 + 35 s2 + 50 s + 24 零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原系统传递函数的分子、分母进行分解因式处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。).()().()()(2121nmpspspszszszsksgv在matlab中零极点增益模型用z,p,k矢量组表示。即：vz=z1,z2,zmvp=p1,p2,.,pnvk=kv函数tf2zp()可以用来求传递函数的零极点和增益。vsys= zpk（num，den）函数返回的变量函数返回的变量sys为连续系统的零极点增为连续系统的零极点增益模型。益模型。二、零极点增益模型二、零极点增益模型k为系统增益，z

8、i为零点，pj为极点 控制系统常用到并联系统，这时就要对系统函数进行分解，使其表现为一些基本控制单元的和的形式。 函数r,p,k=residue(b,a)对两个多项式的比进行部分展开，以及把传递函数分解为微分单元的形式。 向量b和a是按s的降幂排列的多项式系数。部分分式展开后，余数返回到向量r，极点返回到列向量p，常数项返回到k。 b,a=residue(r,p,k)可以将部分分式转化为多项式比b(s)/a(s)。三、部分分式展开三、部分分式展开举例：传递函数描述 1）num=12,24,0,20;den=2 4 6 2 2;2）22642202412)(23423sssssssg)523()

9、 1()66)(2(4)(23322sssssssssg借助多项式乘法函数conv来处理：num=4*conv(1,2,conv(1,6,6,1,6,6);den=conv(1,0,conv(1,1,conv(1,1,conv(1,1,1,3,2,5);零极点增益模型：50874593011)(23423ssssssssg)43)(43)(2)(1()5)(6()(jsjsssssssg结果表达式：z= 0 -6 -5p= -3.0000+4.0000i -3.0000-4.0000i -2.0000 -1.0000k= 1num=1,11,30,0;den=1,9,45,87,50; z,p

10、,k=tf2zp(num,den)部分分式展开：num=2,0,9,1;den=1,1,4,4; r,p,k=residue(num,den)44192)(233ssssssgp= 0.0000+2.0000i 0.0000-2.0000i -1.0000k= 2r= 0.0000-0.2500i 0.0000+0.2500i -2.000012225. 0225. 02)(sisiisisg结果表达式：q 状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称为动态方程，经典控制理论用传递函数将输入输出关系表达出来，而现代控制理论则用状态方程和输出方程来表达输入输出关系，揭示了系统内部状态对系统性

11、能的影响。ducxybuaxx第四节状态空间描述q在matlab中，系统状态空间用（a,b,c,d)矩阵组表示。a矩阵是n*n方阵，b为n*p矩阵，c为q*n矩阵，d为q*p矩阵qsys= ss（a, b, c, d）函数返回的变量函数返回的变量sys为连续系统的状为连续系统的状态空间模型。态空间模型。举例：xyuxx22081200012242641413125119748612310961 系统为一个两输入两输出系统a=1 6 9 10; 3 12 6 8; 4 7 9 11; 5 12 13 14;b=4 6; 2 4; 2 2; 1 0;c=0 0 2 1; 8 0 2 2; d=ze

12、ros(2,2); 在一些场合下需要用到某种模型，而在另外一些场合下可能需要另外的模型，这就需要进行模型的转换。 模型转换的函数包括：residue：传递函数模型与部分分式模型互换ss2tf： 状态空间模型转换为传递函数模型ss2zp： 状态空间模型转换为零极点增益模型tf2ss： 传递函数模型转换为状态空间模型tf2zp： 传递函数模型转换为零极点增益模型zp2ss： 零极点增益模型转换为状态空间模型zp2tf： 零极点增益模型转换为传递函数模型第五节第五节模型的转换与连接模型的转换与连接一、模型的转换用法举例：1）已知系统状态空间模型为：a=0 1; 1 -2; b=0;1; c=1,3;

13、 d=1;num,den=ss2tf(a,b,c,d,iu)iu用来指定第n个输入，当只有一个输入时可忽略。num=1 5 2; den=1 2 1;z,p,k=ss2zp(a,b,c,d,iu)z= -4.5616 p= -1 k=1 -0.4384 -1uxyuxx311021102）已知一个单输入三输出系统的传递函数模型为：num=0 0 -2;0 -1 -5;1 2 0;den=1 6 11 6;a,b,c,d=tf2ss(num,den)a= -6 -11 -6 b= 1 c= 0 0 -2 d= 0 1 0 0 0 0 -1 -5 0 0 1 0 0 1 2 0 0 61162)(

14、61165)(61162)()()(23231232123111ssssssgsssssgssssusysg3）系统的零极点增益模型：z=-3;p=-1,-2,-5;k=6;num,den=zp2tf(z,p,k)num= 0 0 6 18 den= 1 8 17 10a,b,c,d=zp2ss(z,p,k)a= -1.0000 0 0 b=1 2.0000 -7.0000 -3.1623 1 0 3.1623 0 0 c= 0 0 1.8974 d=0 注意：零极点的输入可以写出行向量，也可以写出列向量。 )5)(2)(1()3(6)(sssssg4）已知部分分式：r=-0.25i,0.25

15、i,-2;p=2i,-2i,-1;k=2;num,den=residue(r,p,k)num= 2 0 9 1den= 1 1 4 4注意余式一定要与极点相对应。 12225. 0225. 02)(sisiisisg1、并联：parallel格式：a,b,c,d=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)并联连接两个状态空间系统。a,b,c,d=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,inp1,inp2,out1,out2) inp1和inp2分别指定两系统中要连接在一起的输入端编号，从u1,u2,un依次编号为1,2,n； out1和out2

16、分别指定要作相加的输出端编号，编号方式与输入类似。inp1和inp2既可以是标量也可以是向量。out1和out2用法与之相同。如inp1=1,inp2=3表示系统1的第一个输入端与系统2的第三个输入端相连接。若inp1=1 3,inp2=2 1则表示系统1的第一个输入与系统2的第二个输入连接，以及系统1的第三个输入与系统2的第一个输入连接。num,den=parallel(num1,den1,num2,den2) 将并联连接的传递函数进行相加。二、模型的连接2、串联：series格式：a,b,c,d=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2) 串联连接两个状态空间系统。a,

17、b,c,d=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,out1,in2) out1和in2分别指定系统1的部分输出和系统2的部分输入进行连接。num,den=series(num1,den1,num2,den2) 将串联连接的传递函数进行相乘。3、反馈：feedback格式：a,b,c,d=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2) 将两个系统按反馈方式连接，一般而言，系统1为对象，系统2为反馈控制器。a,b,c,d=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,sign)系统1的所有输出连接到系统2的输入，系统2的所有输出连接到

18、系统1的输入，sign用来指示系统2输出到系统1输入的连接符号，sign缺省时，默认为负，即sign= -1。总系统的输入/输出数等同于系统1。a,b,c,d=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,inp1,out1) 部分反馈连接，将系统1的指定输出out1连接到系统2的输入，系统2的输出连接到系统1的指定输入inp1，以此构成 闭环系统。num,den=feedback(num1,den1,num2,den2,sign) 可以得到类似的连接，只是子系统和闭环系统均以传递函数的形式表示。sign的含义与前述相同。4、闭环：cloop（单位反馈）格式：ac,bc,c

19、c,dc=cloop(a,b,c,d,sign) 通过将所有的输出反馈到输入，从而产生闭环系统的状态空间模型。当sign=1时采用正反馈；当sign= -1时采用负反馈；sign缺省时，默认为负反馈。ac,bc,cc,dc=cloop(a,b,c,d,outputs,inputs) 表示将指定的输出outputs反馈到指定的输入inputs，以此构成闭环系统的状态空间模型。一般为正反馈，形成负反馈时应在inputs中采用负值。numc,denc=cloop(num,den,sign) 表示由传递函数表示的开环系统构成闭环系统，sign意义与上述相同。 举例应用：1）exp3_2.m 系统1为：

20、 系统2为： 求按串联、并联、正反馈、负反馈连接时的系统状态方程及系统1按单位负反馈连接时的状态方程。11111131102110uxyuxx2222241103110 xyuxxclc %exp3_2clearmore ona1=0 1;-1 -2;b1=0;1;c1=1 3;d1=1;a2=0 1;-1 -3;b2=0;1;c2=1 4;d2=0;%串联连接disp(串联连接)a,b,c,d=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)%并联连接disp(并联连接)a,b,c,d=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)%正反馈disp(正反馈连

21、接)a,b,c,d=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,+1)%负反馈disp(负反馈连接)a,b,c,d=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)%单位负反馈disp(单位负反馈连接)a,b,c,d=cloop(a1,b1,c1,d1)2）exp3_3.m系统1、系统2方程如下所示。1312111312111211131211131211131211101010110100100001010263122441uuuxxxyyuuuxxxxxx2322212322212221232221232221232221101011101010100010001161123011uuuxxxyyuuuxxxxxx求部分并联后的状态空间，要求u11与u22连接，u13与u23连接，y11与y21连接。clc %exp3_3cleara1=1 4 4;2 2 1;3 6 2;b1=0 1 0;1 0 0;0 0 1;c1=0 0 1;0 1 1;d1=0 1 0;1 0 1;a2=1 -1 0;3 -2 1;1 6 -1;b2=1 0 0;0 1 0;0 0 1;c2=0 1 0;1 0 1;d2=1 1 0;1 0 1;% 部分并联后的状态空间，要求u11与u22连接，u13与u23连接，% y11与y21连接disp(部分并联连接后的