“动态问题”求解探究

1、“动态问题”求解探究摘要动态问题变化形式多样，综合性强，教学中教师应抓住数形结合思 想和分类讨论思想，揭示变量与变量，变量与不变量之间的关系，让学牛 学会解决动态问题。关键词动态问题;数形结合;分类讨论动态问题是应用数学屮的一个重耍的部分，其变化形式多样，根据 不同的变化情况可归纳为动点、动线、动形三种类型。它的综合性强，是 对学生的综合能力、思维能力、创新能力的综合考查，在考试中常以压轴 题的形式出现。因为这类问题思维跨度大，而且还需要有动与静的辩证思 考等等，学生觉得难度大。因此要让学生掌握，就应教给学生解决问题的 思想方法，釆用“动静结合，以静制动”等思维方法，揭示变量与变量， 变量与不

2、变量之间的关系，揭示动态问题背后蕴含着核心的数学思想一一 数形结合思想和分类讨论思想，从而达到学握解题思路及探究方法。一、动点问题（一）动点形成函数问题例1如图，点p是dabcd边上一动点，沿a-d-cfb的路径移动, 设p点经过的路径长为x, abap的面积是y,则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（）o分析：分三段来考虑点p沿a->d运动，abap的面积逐渐变大;点p 沿d-c移动，abap的面积不变;点p沿c-b的路径移动，abap的面积 逐渐减小，据此选择即可。本题主要考查了动点问题的函数图象，注意分段考虑。解决问题的 关键在于利用画图，结合分类讨论思想，将问题分解成几个“静

3、态”问题, 由“动”转化为“静”求解。(%1) 动点形成最值问题例2.二次函数y二ax2+bx+c (aho)的图象与x轴的交点为a(-3, 0)、 b (1, 0)两点，与y轴交于点c (0, -3m)(其中m>0),顶点为d。(1) 求该二次函数的解析式(系数用含m的代数式表示)；(2) 如图，当m二2时，点p为第三象限内的抛物线上的一个动点， 设aapc的面积为s,试求出s与点p的横坐标x之间的函数关系式及s 的最大值；(3) 分析：利用交点式求出抛物线的解析式；先求出s的表达式，再根据二次函数的性质求出最值；本题考查了函数的图象与性质、待定系数法、图形面积计算等知识 点。第(2)

4、问重点考查了图形面积的计算方法;运用数形结合、函数及方 程思想是解题的关键。(%1) 动点形成的存在性问题例3.如图，二次函数y二x2+bx+c的图象与x轴交于a (3, 0), b (t, 0),与y轴交于点c。若点p, q同时从a点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿ab, ac边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止 运动。(1) 求该二次函数的解析式及点c的坐标；(2) 当点p运动到b点时，点q停止运动，这时，在x轴上是否存 在点e,使得以a, e, q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出 e点坐标;若不存在，请说明理由。分析：将a, b点坐标代入函数y=x2+bx+c中，

5、求得b、c,进而可 求解析式及c坐标。等腰三角形有三种情况，ae=eq, aq=eq, ae=aqo借助垂直平分线, 画圆易得e大致位置，设边长为x,表示其他边后，利用勾股定理易得e 坐标。本题考查了二次函数性质、利用勾股定理解直角三角形等知识，运 用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键。二、动线问题例 4如图,在ziabc 中,ab二ac, ad丄bc 于点 d, bc二 10cm, ad二8cm。点p从点b出发，在线段bc上以每秒3cm的速度向点c匀速运动，与此 同时，垂直于ad的直线m从底边bc出发，以每秒2cm的速度沿da方向 匀速平移，分别交ab、ac、ad于e、f、h,当点p到

6、达点c时，点p与直 线m同时停止运动，设运动时间为t秒(t>0)o(1) 当t二2时，连接de、df,求证：四边形aedf为菱形；(2) 在整个运动过程屮，所形成的apef的面积存在最大值，当厶pef的面积最大时，求线段bp的长；(3) 是否存在某一时刻t,使apef为直角三角形？若存在，请求 出此时刻t的值;若不存在，请说明理由。分析：如图1所示，可证明ae二ed二df二fa;%1 如图2所示，首先求出apef的面积的表达式，然后利用二次函数 的性质求解；%1 如图3所示，分三种情形，需耍分类讨论，分别求解，其中第一 种情况不存在。本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型。第（1

7、）问考 查了菱形的判别方法;第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数 的极值;第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点 考查了分类讨论的数学思想。三、动形问题抓住变量与不变量，探索平移、旋转和翻折等儿何图形变换的解决 方法。（一）几何图形的平移变换例5如图1所示，一张三角形纸片abc, zacb二90。, ac=6, bc二& 沿斜边ab边上的中线cd把这张纸片剪成aacidi和两个三角形. 将纸片aacidi沿直线d2b （ab）方向平移（点a、di、d2、b始终在同一 直线上），当点d1与点b重合时，停止平移。在平移过程中，c1d1与bc2 交于点e, ac

8、1与c2d2、bc2分别交于点f、p。（1）当aacidi平移到如图2所示的位置时，猜想图屮的die与d2f 的数量关系，并证明你的猜想；（2）设平移距离d2d1为x, aac1d1与bc2d2重叠部分面积为y,请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x的值，使重叠部分面积y等于原三角形 abc的面积的14,若存在，请求出x的值，若不存在，请说明理由。抓住此图形在平移过程中的角的不变量，线段的不变量，用变量x 表示die、bd1、d2f的长，利用相似三角形、方程思想和以静制动的思维 方法是解题的关键。（二）几何图形的旋转变换例 6.将一副三角尺（在

9、 rtaabc 中，zacb=90° , zb=60° ;在 rt def中，zedf=90° , ze二45。）如图摆放，点d为ab的中点，de 交ac于点p, df经过点c。（1）求zade的度数；（2）如图，将adef绕点d顺时针方向旋转角a （0° <a <60° ）, 此时的等腰直角三角尺记为ade' f , de'交ac于点m, df'交bc于点 n,试（下转第33页）（上接第19页）判断pmcn的值是否随着a的变化 而变化？如果不变，请求出pmcn的值;反z,请说明理由。分析：根据直角三角形斜边

10、上的中线等于斜边的一半可得 cd二ad二bd二12ab,根据等边三角形性质求出zbdozb二60。,再求出z adc=120°，再根据zade二zadc-zedf计算即可得解；根据旋转变换的性质可得zpdm-zcdn,再根据然后求出abcd是 等边三角形，根据等边三角形的性质求出zbcd=60° ,再根据三角形的一 个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出zcpd=60° ,从而得到zcpd=zbcd,再根据两组角对应相等，两三角形相似判断出dpm和adcn相似, 再根据相似三角形对应边成比例可得pmcn=pdcd为定值。本题考查了旋转变换的性质，直角三角形的性质，

11、等边三角形的判 定与性质，相似三角形的判定与性质等知识。解题的关键是注意数形结合 思想与以静制动的思维方法的应用。（三）几何图形的翻折变换例7矩形纸片abcd中，已知ad=8, ab=6, e是边bc上的点，以ae 为折痕折叠纸片，使点b落在点f处，连接fc,当aefc为直角三角形时, be的长为o分析：如图1,当zefc二90。时，且点f在对角线ac上，利用勾 股定理列式求出ac,设be二x,表示出ce=8-x,根据翻折变换的性质可得 af=ab=6, ef=be=x,然后在rtacef中，利用勾股定理列出方程求解可得 be二3;如图2,当zcef二90°时，且点f在ad上，判断出四边形abef是 正方形，根据正方形的四条边都相等可得be=ab=6o本题考查了翻折变化的性质，勾股定理，正方形的判定与性质，此 类题冃，利用勾股定理列出方程求解是常用的方法，本题难点在于分情况 讨论，作出图形更形象直观。在数学知识应用中，常常遇到关于图形变换问题的求解，就其变化 方式而言，主要由点、线、面的变换而得出的问题求解。在解决问题的思 维方式，即找出变与不变的关系，由动到静，由静想到动。此类问题的应 用广泛，举不胜举。在学习和教学屮耍善于归纳小结，解决问题的思路， 万变不离其宗，当然因其解题过程渗透数形结合、函数