第三节三角函数的图象与性质

1、第三节三角函数的图象与性质 备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性2.理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.1.以选择题或填空题的形式考查三角函数的单调性、周期性及对称性如2012年新课标全国T9等2.以选择题或填空题的形式考查三角函数的值域或最值问题如2012年湖南T6等3.与三角恒等变换相结合出现在解答题中如2012年北京T15等.归纳·知识整合正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数ysin xycos xytan x图

2、象定义域RR kZ值域1,11,1R单调性递增区间：(kZ)递减区间：(kZ)递增区间：2k，2k (kZ)递减区间：2k，2k (kZ)递增区间：(kZ)最值x2k(kZ)时，ymax1 x2k(kZ)时，ymin1x2k(kZ)时，ymax1 x2k(kZ) 时，ymin1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(k，0)，kZ对称中心，kZ对称中心(kZ)对称轴l xk，kZ对称轴l xk，kZ无对称轴周期22探究1.正切函数ytan x在定义域内是增函数吗？提示：不是正切函数ytan x在每一个区间(kZ)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数2当函数yAsin(x)

3、分别为奇函数和偶函数时，的取值是什么？对于函数yAcos(x)呢？提示：函数yAsin(x)，当k(kZ)时是奇函数，当k(kZ)时是偶函数；函数yAcos(x)，当k(kZ)时是偶函数，当k(kZ)时是奇函数自测·牛刀小试1(教材习题改编)设函数f(x)sin，xR，则f(x)是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数解析：选Bf(x)sin(2x)cos 2x，f(x)是最小正周期为的偶函数2(教材习题改编)函数y4sin x，x，的单调性是()A在，0上是增函数，在0，上是减函数B在上是增函数，在和上都是减函数C在0，上是增函

4、数，在，0上是减函数D在上是增函数，在上是减函数解析：选B由函数y4sin x，x，的图象可知，该函数在上是增函数，在和上是减函数3函数y 的定义域为()A.B.，kZC.，kZDR解析：选Ccosx0，得cos x，2kx2k，kZ.4(教材习题改编)函数f(x)sin，xR的最小正周期为_解析：函数f(x)sin的最小正周期为T4.答案：45函数y32cos的最大值为_，此时x_.解析：函数y32cos的最大值为325，此时x2k，即x2k(kZ)答案：52k(kZ)三角函数的定义域和值域例1(1)求函数ylg(2sin x1)的定义域；(2)求函数y2cos2x5sin x4的值域自主解

5、答(1)要使函数有意义，必须有即解得(kZ)，即2kx2k(kZ)故所求函数的定义域为(kZ)(2)y2cos2x5sin x42(1sin2x)5sin x42sin2x5sin x22(sin x)2.故当sin x1时，ymax1，当sin x1时，ymin9，故y2cos2x5sin x4的值域为9,11三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解2三角函数值域的求法求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：形如yasin xbcos xc的三角函数化为yAsin(x)k的形式，再求最值(值域)；形如yasin2xbs

6、in xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)；形如yasin xcos xb(sin x±cos x)c的三角函数，可先设tsin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)1(1)求函数y的定义域；(2)设aR，f(x)cos x(asin xcos x)cos2满足ff(0)，求函数f(x)在上的最大值和最小值解：(1)要使函数有意义则即利用数轴可得：所以函数的定义域是.(2)f(x)cos x(asin xcos x)cos2asin xcos xcos2xsin2xsin 2xcos 2x.由于ff(0)，所以·si

7、ncos1，即a1，得a2.于是f(x)sin 2xcos 2x2sin.由于x，所以2x，因此当2x即x时f(x)取得最大值f2，当2x即x时f(x)取得最小值f.三角函数的单调性例2求下列函数的单调递减区间：(1)y2sin；(2)ytan.自主解答(1)由2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ.故函数y2sin的单调减区间为(kZ)(2)把函数ytan变为ytan.由k<2x<k，kZ，得k<2x<k，kZ，即<x<，kZ.故函数ytan的单调减区间为(kZ)若将本例(1)改为“y2”，如何求解？解：画出函数y2的图象，易知其单调递减区间为(kZ) 1三

8、角函数单调区间的求法求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中A0，0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答列不等式的原则是：把“x(0)”视为一个“整体”；A0(A0)时，所列不等式的方向与ysin x(xR)，ycos x(xR)的单调区间对应的不等式方向相同(反)对于yAtan(x)(A、为常数)，其周期T，单调区间利用x，解出x的取值范围，即为其单调区间2复合函数单调区间的求法对于复合函数yf(v)，v(x)，其单调性判定方法是：若yf(v)和v(x)同为增(减)函数时，yf(x)为增函数；若yf(v)和v(x)一增一减时，yf(x)为减函数3含绝对值的三角函数单调区间的

9、求法求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定2若函数f(x)sin x(0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则等于()A3B2C. D.解析：选Cysin x(0)过原点，当0x，即0x时ysin x是增函数；当x，即x时，ysin x是减函数由ysin x(0)在上单调递增，在上单调递减知，故.三角函数的周期性、奇偶性与对称性例3(1)(2012·福建高考)函数f(x)sin的图象的一条对称轴是()AxBxCx Dx(2)(2012·新课标全国卷)已知>0,0<<，直线x和x是函数f(x)sin(x)图象的两条相邻的对称轴

10、，则 ()A. B.C. D.(3)(2012·大纲全国卷)若函数f(x)sin (0,2)是偶函数，则()A.B.C.D.自主解答(1)法一：(图象特征)正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令xk，kZ，xk，kZ.取k1，则x.法二：(验证法)x时，ysin0，不合题意，排除A；x时，ysin，不合题意，排除B；x时，ysin1，符合题意，C项正确；而x时，ysin，不合题意，故D项也不正确(2)由于直线x和x是函数f(x)sin(x)图象的两条相邻的对称轴，所以函数f(x)的最小正周期T2，所以1，所以k(kZ)又0<<，所以.(3)若f(x)为偶函数，则

11、f(0)±1，即sin ±1，k(kZ)3k(kZ)只有C项符合答案(1)C(2)A(3)C本例(1)中函数f(x)的对称中心是什么？提示：令xk，kZ，则xk，kZ.故函数f(x)sin的对称中心为(kZ) 函数f(x)Asin(x)的奇偶性、周期性及对称性(1)若f(x)Asin(x)为偶函数，则当x0时，f(x)取得最大或最小值若f(x)Asin(x)为奇函数，则当x0时，f(x)0.(2)对于函数yAsin(x)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的

12、值进行判断.3(1)函数y2sin(3x)的一条对称轴为x，则_.(2)函数ycos(3x)的图象关于原点成中心对称图形则_.解析：(1)由ysin x的对称轴为xk(kZ)，即3×k(kZ)，得k(kZ)又|，所以k0，故.(2)由题意，得ycos(3x)是奇函数，故k，(kZ)答案：(1)(2)k，kZ2个性质周期性与奇偶性(1)周期性函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x，而偶函数一般可化为yAcos xb的形式3种方法求三角函数值域(或最值)的方法(1)利用sin

13、 x、cos x的有界性；(2)形式复杂的函数应化为yAsin(x)k的形式逐步分析x的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题4个注意点研究三角函数性质应注意的问题(1)三角函数的图象从形上完全反映了三角函数的性质，求三角函数的定义域、值域时应注意利用三角函数的图象(2)闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响(3)利用换元法求复合函数的单调性时，要注意x系数的正负(4)利用换元法求三角函数最值时要注意三角函数的有界性，如：ysin2x4sin x

14、5，令tsin x(|t|1)，则y(t2)211，解法错误. 创新交汇与三角函数性质有关的交汇问题1高考对三角函数的图象与性质的考查不但有客观题，还有主观题，客观题常以选择题的形式出现，往往结合集合、数列、函数与导数等考查三角函数的相关性质；解答题主要与三角恒等变换、不等式等知识点的交汇处命题2解决此类交汇问题的关键有以下两点：(1)熟记三角函数的性质，主要为定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等及有关结论(2)要善于利用函数图象的形象性和直观性分析解决问题典例(2012·上海高考)若Snsinsinsin(nN*)，则在S1，S2，S100中，正数的个数是()A16B72

15、C86 D100解析函数f(x)sin的最小正周期为T14，又sin0，sin0，sin0，sin0，sin0，sin0，sin0，在S1，S2，S3，S13，S14中，只有S13S140，其余均大于0.由周期性可知，在S1，S2，S100中共有14个0，其余都大于0，即共有86个正数答案C1本题具有以下创新点(1)本题表面是考查数列求和问题，其实质考查了三角函数f(x)sin的周期性(2)本题巧妙将三角函数值的符号、三角函数的诱导公式、三角函数的周期性及数列求和融为一体，考查了考生的数据处理能力、推理论证能力及转化与化归能力，难度较大2解决本题的关键有以下两点(1)正确构造函数f(x)sin

16、，并求得其周期；(2)正确利用诱导公式求出一个周期内S1，S2，S14中是0的个数1(2013·郑州模拟)已知曲线y2sincos与直线y相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为P1，P2，P3，则|等于()AB2C3D4解析：选B注意到y2sincos2sin21cos 21sin 2x，又函数y1sin 2x的最小正周期是，结合函数y1sin 2x的图象(如图所示)可知，|2.2若三角函数f(x)的部分图象如图，则函数f(x)的解析式，以及Sf(1)f(2)f(2 012)的值分别为()Af(x)sin1，S2 012Bf(x)cos1，S2 012Cf(x)sin1，S2 01

17、2.5Df(x)cos1，S2 012.5解析：选A根据已知图象，可设f(x)Asin(x)1(0，A0)由T4得4，.A，又f(0)sin 11，sin 0得，0，f(x)sin1.又f(1)f(2)f(3)f(4)1.510.514，Sf(1)f(2)f(2 012)503×f(1)f(2)f(3)f(4)503×42 012.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1函数f(x)sin x在区间a，b上是增函数，且f(a)1，f(b)1，则cos()A0B.C1 D1解析：选D不妨设a，b，则coscos 01.2(2013·银川模拟)已知函数f(

18、x)sin(xR)，下面结论错误的是()A函数f(x)的最小正周期为B函数f(x)是偶函数C函数f(x)的图象关于直线x对称D函数f(x)在区间上是增函数解析：选Cf(x)sincos 2x，故其最小正周期为，故A正确；易知函数f(x)是偶函数，B正确；由函数f(x)cos 2x的图象可知，函数f(x)的图象关于直线x不对称，C错误；由函数f(x)的图象易知，函数f(x)在上是增函数，D正确3(2013·郑州模拟)设函数f(x)cos(x)sin(x)，且其图象相邻的两条对称轴为x0，x，则()Ayf(x)的最小正周期为，且在上为增函数Byf(x)的最小正周期为，且在上为减函数Cyf

19、(x)的最小正周期为，且在(0，)上为增函数Dyf(x)的最小正周期为，且在(0，)上为减函数解析：选B由已知可得f(x)2cos，得T，2.又x0是对称轴，故cos±1，由|得，此时f(x)2cos 2x在上为减函数4已知函数ysin x的定义域为a，b，值域为，则ba的值不可能是()A.B.CD.解析：选A画出函数ysin x的草图分析知ba的取值范围为.5(2013·衡阳联考)给定性质：最小正周期为；图象关于直线x对称，则下列四个函数中，同时具有性质的是()Aysin BysinCysin Dysin|x|解析：选B注意到函数ysin的最小正周期T，当x时，ysin1

20、，因此该函数同时具有性质.6(2012·新课标全国卷)已知0，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是()A. B.C. D(0,2解析：选A取，f(x)sin，其减区间为，kZ，显然，kZ，排除B，C.取2，f(x)sin，其减区间为，kZ，显然，kZ，排除D.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7函数y的定义域为_解析：由已知得即kZ.故所求函数定义域为.答案：8函数y2sin1，x的值域为_，并且取最大值时x的值为_解析：0x，2x，0sin1，12sin11，即值域为1,1，且当sin1，即x时，y取最大值答案：1,19已知函数f(x)cos(0)的图象上

21、的两个相邻的最高点和最低点的横坐标之差为，则函数在0,2上的零点个数为_解析：由已知f(x)cos的周期为，2，f(x)cos.当f(x)0时，2xk(kZ)，x，则当x0,2时f(x)有4个零点答案：4三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10(2012·陕西高考)函数f(x)Asin1(A>0，>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设，f2，求的值解：(1)函数f(x)的最大值为3，A13，即A2.函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，最小正周期T，2，故函数f(x)的解析式为y2sin1.(2)f2s

22、in12，sin.0<<，<<，故.11设a，b(4sin x，cos xsin x)，f(x)a·b.(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知常数>0，若yf(x)在区间上是增函数，求的取值范围；解：(1)f(x)sin2·4sin x(cos xsin x)·(cos xsin x)4sin x·cos 2x2sin x(1sin x)12sin2x2sin x1，故函数解析式为f(x)2sin x1.(2)f(x)2sin x1，>0.由2kx2k，得f(x)的增区间是，kZ.f(x)在上是增函数，.且，.12(2012·湖北高考)已知向量a(cos xsin x，sin x)，b(cos xsin x,2cos x)，设函数f(x)a·b(xR)的图象关于直线x对称，其中，为常数，且.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围解：(1)f(x)sin2xcos2x2sin x·cos xcos 2xsin 2x2sin.由直线x是yf(x)图象的一条对称轴，可得sin±1，所以2k(kZ)，即(kZ)又(，1)，kZ，所以k1，故.所以f(x)的最小正周期是.(2)由yf(x)的