改进的格林方法用于研究无限域带任意两孔的应力分布问题

1、院 系： 可再生能源学 院专业班级：水电1202学生姓名： 刘宜杰 指导老师：吕爱钟学 号： 1121420210 译文成绩：华北电力大学毕业设计（论文）译文部分原文著作（期刊）名称：Extended Greens Solution for the Stresses in an Infinite Plate With Two Equal or Unequal Circular Holes作 者：Son K. Hoang，Younane N. Abousleiman原文出版单位：Journal of Applied Mechanics原文出版时间：MAY ,2008原文出版地点：改进格林方法应用

2、于无限域中有两个相同或不同圆孔的应力问题摘 要在各向同性的无限大平面上开圆孔产生的应力分布问题很早就引起来了自数学和工程方面的关注。遗憾的是，几乎所有的现有解决方案仅适用于圆孔边界无应力条件，而工程应用中的情况并不总是这样。为了尝试覆盖更宽广的应用范围，本文根据Green提出的方法（1940年，带圆孔平面的广义谐波分析）提出了具体的方法解决无限域中两个相同或不同圆孔受无限远处荷载以及孔内荷载的应力分布问题。新派生的方法不仅通过了已发表的针对特殊情况的方法的验证，也通过了具有可比性的、定性的实验测试。而且，一些数值案例也让我们深刻认识了不同参数相互作用的复杂性。关键词：无限域，无限平面，应力分布

3、，圆孔，弹性，分析方法简介许多研究人员已经通过不同的方法研究了无限大平面上带圆孔的应力分布问题。1921年，Jeffery开创了在双极坐标上的平面应力和平面应变理论，Ling在1948年利用此方法解决了在无限域中两个相同圆洞受远端场荷载的问题。在1980年，Iwaki和Miyao将Ling的方法拓展到解决无限域中两个不同的孔洞受远端场荷载和孔内压力或者孔边受均匀剪切的问题。1939年Howland和Knight利用某些坐标变换的不变性解决了两个以上相同圆孔周期配置的问题。一年以后，Green发现了一个方法，利用坐标变换计算无限大平面内任意形状，任意数目孔洞在无限远处承受荷载的应力分布。尽管Gr

4、een的方法分析透彻，但是由于当时计算能力的限制并没有和一些数值例子和结果相匹配。保角映射技术也被Haddon成功地用于解决两个相同或不同孔洞在单轴拉伸下的问题。逐次逼近的Schwarz交替法也被Ting et al, Ukadgaonker和Patil以及其他许多人成功用于解决各种各样的孔洞配置问题。在1961年savin编译了该问题的完整论文。遗憾的是，除了Iwaki和Miyao的成果，其他的解析解只适用于孔边无应力的情况，而实际工程中往往不是这种情况。为了能覆盖更大的适用范围，本文利用闭合形解解决无限域中有两个相同或者不同圆洞在无限远处及孔内周边受荷载的问题。该方法的应用可以从经典的穿孔

5、面板结构完整性分析，到许多圆柱形管道与大压力容器的连接中多边接口稳定分析。尽管本文只考虑了边界条件是压力的情况，该方法实际上还可以扩展到其他边界条件，只要像解决方法部分讨论的那样，做点细微的改变。问题描述问题的概要展示在图1，圆孔中心O1和O2,半径a1和a2，孔洞的距离为h，孔内压力P1和P2，S1和S2是施加在无限远处的第一和第三主应力，是第一主应力与圆心连线的夹角，每个孔洞都有一个符合右手原则的笛卡尔坐标系，原点和孔中心相重合，X轴方向指向圆孔中心连线，就像图所示。每个孔上也有一个极坐标系。平面极坐标和重要的平面极坐标参数定义如下： 解决方法中的表示方法与Green的类似。如果在平面上没

6、有孔洞，应力可以用艾里应力函数导出来。为了说明两个孔洞的效果，每个孔洞都叠加有另外的艾里应力函数，这些应力函数在无限远处应力为零，并且在平面内处处满足应力位移均单值的情况。在孔洞周围叠加的应力函数是增函数，然后利用边界条件推导应力分布和计算位置系数。给定的原始应力分成三部分，使用压缩正公约，孔1的艾里应力函数用下式表示：叠加的艾里应力函数必须在无限远处应力函数为零，并且应力位移都是单值的，因此函数是这种形式的：孔1的另外一组函数是和之前函数的线性组合。叠加的孔2的应力函数也是类似的：函数的未知系数由边界条件求得。最后的艾里应力函数是各个艾力应力函数的叠加：应力函数在附录A坐标变换公式中用表示。

7、孔1边界条件在函数中是自动满足的，孔边的应力必须等于施加的应力，切应力应该为零。相似的，最终的艾里应力函数可以用表示，孔2的应力可以用类似7-9的等式推导，边界条件如下：联立方程10-13可以求得系数。具体的推导过程在附录B。尽管这个方法只适用于孔边存在内压力的边界条件但是他的解题思路可以应用于其他的边界条件，只要使用适当的应力函数和确定边界方程10-13理论验证两孔相同的情况：无限域平面上存在两个相同孔洞而且受一般面力的问题已经被Ling在1948年推导出来了。Ling的方法可以被认为是两孔相同且压力为零的特殊情况，表1和表2表明了两种方法在孔边产生了相同的切应力。从表2的最后一行也可以证明

8、新衍生的方法符合经典的针对一个圆孔的基尔斯解，只要将两个洞距离设置成很远。Ling也提供了两个圆孔相切时的切向应力集中系数。遗憾的是，这些系数不能被证明是正确的，因为新衍生的一系列方法在两个孔相切时都不收敛。但是这局限性不能限制该方法的应用，因为相切的两个圆孔在实际生活中不现实。Bargui 和 Abousleiman也用Ling的方法研究了非静力情况下的孔边的切向应力分布。图2表明了7个不同各向异性的应力分布。结果与Bargui 和Abousleiman的结果相同。圆孔不相同影响无限域平面存在两个不同的圆孔受单轴应力荷载的问题已经被Haddon利用保角映射技术推导出来。Haddon的方法适用

9、于圆孔内无应力且无限远处有一个主应力为零的情况。表3表明了这两种方法在孔边的44/48地方产生相同的切向应力结果。剩下的4处地方在小数点后第三位细微的差别可能是因为Haddon使用了10-4的精度而新的方法使用的是10-6的精度四舍五入。对于两个不同圆孔在无限远处受单轴应力、孔内应力和均匀剪切应力作用的情况在1980年被Iwaki和Miyao使用双极坐标推导出来了。表3表明了当只有孔2有内压力时，从新衍生的方法中可以得到孔边最大切向应力。结果与Iwaki 和Miyao的一致。Iwaki 和Miyao的方法等效于新衍生的方法但是不能推广到平面上多于两个圆洞的情况。另一个方面，这个方法可以推广到任

10、意孔形和任意尺寸就像Green在1940年展示的那样。试验验证迄今为止，一个多边结的机械稳定性仍然在石油工业中最具挑战性的问题之一。分支井由一个或多个偏离母井的井筒分支组成。这些分支井筒的作用是通过增加流域面积或者从独立岩层里获取以增加产能。由于地质力学效应，分支井筒或甚至主井孔可能在钻井，完井，或者在作业过程中消失，从而导致在生产进度上巨大的损失和延迟。两井之间的小角度的连接问题，已经得到了普遍的模仿，被假设为平面应变条件下一个无限大的平面有两圆孔的问题。所受的应力包括附加应力，远处的水平主应力以及井筒附近的土压力。Papanastasiou et al做了个关于多边结构连接的实验室测试项目

11、。图4展示了他们获取的突起形状，试验2希望得到和实验1相同的结果。实验6只包含一个井筒，所以它与本研究不相关。基于Papanastasiou et al提供的数据，下面的设置是为了确认实验1、3和5的正确性：a1=18.5mma2=15.5mmh=44mm图5-8展示了模拟上述实验的相应的最大主应力的分布，实验结果不足以精确到用来定量比较，但是使用新派生的方法得到的应力分布表明了与突起形状优良的定性一致性。数值结果简单的例子用来阐述新方法。新的参数如下所示：S1=1, S2=0.8, P1=P2=0.2, and a1=1.只有孔边的切向应力分布被呈现，因为这是关键位置最重要的应力。应力场方向

12、的影响假设两孔尺寸一样，即a2=1。研究4个应力场的方向，0度，30度，60度，90度。第一个方向意味着最大主应力方向与孔中心连线一致。最后一个方向意味着最小主应力与两孔连线一致。其他两种情况考虑到中间的方向。由于对称性，两个孔具有相同的应力分布。图9表明了在度的情况下，两孔分离距离为0.2,0.5,1.0和2.0时任一孔边的切向应力。相应的中心连线距离为2.2，2.5，3.0和4.0。单孔的结果也作为基线拿来作对比。有趣的是，对于h=4.0和h=3.0产生的应力集中系数相对于单孔结果更小。换一句话说，孔边最大的切向应力不总是随着两孔之间的距离减少而增大。当净距减少，最大值从一开始的度处朝远离

13、另一个孔的方向移动（沿着180方向）。高应力集中也在处形成。对于净距小于1的情况，0度附近的区域变成了临界区。对于净距等于0.5（h=2.5），孔边最大的切向应力超过了单孔净距为2的应力值的15.9%。对于h=2.2，最大的切向应力值增加了67.2%。图10展示了相同净距下30度时每一孔边的切向应力。最大应力值开始在90度，然后沿着度移动并且幅度增加。与此同时，最大应力值开始在度，然后沿着度移动。在度附近的应力分布变化十分复杂。对于任何假设的净距，30时孔边的最大切向应力值总是比0时的高。比如，最大值比h=2.5单孔情况下的大36.5%。对于h=2.2，最大切向应力增加了93.7%。图11阐述

14、了60度的应力分布，比30度应力更为集中。当h=2.5,孔边的最大切向应力比起单孔情况增加了57.7%，对于净距等于0.2，最大应力值比单孔解大了126.2%。90度的结果展示在图12，对于假设的所有净距，孔边最大切向应力都在度处。对于净距等于0.5的情况，最大切向应力值比起单孔情况的增加了60.0%。对于净距等于0.2的情况，相应的数据为134.7%。总之，应力分布随着施加应力方向改变而变化显著。从之前的插值情况看，平面在最大主应力与孔中心连线一致时最稳定，这些现象Bargui 和 Abousleiman之前就观察到了。外加应力相对大小的影响分析中采用了主应力为S2=0.7 and S2=0

15、.6的假设，基于前面分析得到的结论，角度接近于零以减少应力集中，其他参数都保持不变。图13表明相同净距下对于S2=0.7的孔边的切向应力。对于S2=0.8，相同的的趋势在图9重复，但是净距减少效果不明显。最大切向应力依然低于单孔的情况。对于净距等于0.2，最大值只比单孔情况的高30.1%。图14描绘了s2=0.6的切向应力分布。再一次地，呈现相同的趋势，但是应力集中降低了。对于h=2.2，最大切向应力仍然低于单孔情况，也就是说，两个孔有助于稳定彼此，对于假定的四个净距，两个孔的都比单孔的来得稳定。孔内压力的影响假定第二个孔内两个较小压力值为P2=0.1和P2=0，角度还是选择接近于零，所有其他

16、的参数保持不变。因为两个孔洞应力分布不再相同，我们在分析中分开考虑。图15表示了第一个孔在P2=0.1的孔边切向应力。在图9中P2=0.2情况下相同的趋势也出现，但是效果更明显。对于相同的净距，P2=0.2情况下，最小值相对更小，最大值相对更大。边界的最大应力比起h=2.5,h=2.2的单孔高了28.0%和98.5%。图16阐明了P2=0.1下孔2的切向应力分布。P2=0.2时出现相同的趋势但是效果不太明显，孔边最大的应力只比h=2.5，和h=2.2的单孔下的高了11.5%和50.5%。类似的结论可以在P2=0的情况下得出。图17展示了孔1的应力分布。相比较于单孔h=2.5和h=2.2情况最大

17、应力值增加了40.2%和129.9%。图18描述了孔2的应力分布，除了h=2.2的情况，对于P2=0.1也有相同趋势但是效果更加确定。h=2.2时，在=0度附近应力分布很复杂。存在两个关于=0极大值对称，=0本身又是个局部极小值。孔2尺寸的影响所有的荷载条件都跟第一个分析一样即S1=1，S2=0.8，P1=P2=0.2依然取为零，孔1半径为1。只有孔2的尺寸是变化的，假设两个a2值，a2 =0.5和a2=0.25。图19展示了孔1在a2=0.5时的孔边切向应力。距离依然设为0.2,0.5,1.0,2.0。相应的，新的孔连线距离为1.7,2.0,2.5,3.5，100度到260度之间的切向应力随着距离变化基本没变化，这是因为孔1的尺寸是孔2的两倍。所以，远离孔2的区域不太受到影响。他们有点屏蔽了第二个孔造成的影响。对于h=1.7，有两个彼此接近的极值，并且他们关于=0对称，同时=0本身又是个局部极小值。图20展示了孔1在a2=0.25情况下孔边切向应力。可以发现有相同的趋势，屏蔽效果更好，因为孔1是孔2尺寸的4倍大，大部分区域应力分布不因距离而变化，只有少部分直接面对孔2的区域应力分布强烈的根据h值不同而变化。对于距离为0.2存在两个关于=0对称的极大值，与a2=0.5的情况类似，但是对于a2=0.25的更显