等比数列的通项公式及性质

1、2.4 等比数列等比数列 课前小练课前小练数数 列列等等 差差 数数 列列定定 义义同一常数同一常数通项公式通项公式性质性质 an+1-an=dd 叫公差叫公差 an= a1+(n-1)d an=am+(n-m)d课本P48的4个例子：观察：请同学们仔细观察一下，看看以上、四个数列有什么共同特征？ 观察课本P48的4个例子：观察：请同学们仔细观察一下，看看以上、四个数列有什么共同特征？ 观察 一般地，如果一个数列从一般地，如果一个数列从第第2项起项起，每一，每一项与它前一项的项与它前一项的比等于同一个常数比等于同一个常数，这个数列，这个数列就叫做就叫做等比数列等比数列。这个这个常数常数叫做等比

2、数列的叫做等比数列的公公比比，公比通常用，公比通常用字母字母q表示。表示。) 2(1nqaann或)(*1Nnqaann其数学表达式：其数学表达式：( (q0) )思考：思考：一、等比数列的概念一、等比数列的概念能否改写为若数列的项依次满足 na)(*Nn为常数）q(则数列 是等比数列吗？qaann11.已知等比数列已知等比数列 an ：(1) an 能不能是零？能不能是零？(2)公比公比q能不能是能不能是1？2.用下列方法表示的数列中能确定用下列方法表示的数列中能确定 是等比数列的是是等比数列的是 . 1，-1，1，(-1)n+1 ； 1，2，4，6； a，a，a，a； 已知已知a1=2，a

3、n=3an+1 ； 2a，2a，2a，2a.3.什么样的数列既是等差数列又是等比数列？什么样的数列既是等差数列又是等比数列？不能不能能能非零的非零的 常数列常数列 思考：思考：23,2 ,4,8,.mmmm思考：思考：下列表示的数列是等比数列吗？若是，请指出其公比下列表示的数列是等比数列吗？若是，请指出其公比 1，-1，1，(-1)n+1 ； a，a，a，a； 已知已知a1=2，an=3an+1 ；23231,1,2 ,2,2,mmmm mm 思考：思考：下列表示的数列是等比数列吗？若是，请指出其公比下列表示的数列是等比数列吗？若是，请指出其公比 1，-1，1，(-1)n+1 ； a，a，a，

4、a； 已知已知a1=2，an=3an+1 ；23231,1,2 ,2,2,mmmm mm 二.等比数列的通项公式 问题：如何用和表示第项.1aqnna归纳猜想法113134212312,nnqaaqaqaaqaqaaqaa叠乘法,12qaa,23qaa,34qaa,21qaannqaann1这个式子相乘得，所以.1n11nnqaa11nnqaa思考：思考：如果在如果在a与与b的中间插入一个数的中间插入一个数G，使，使a, G, b成等比数列，那么成等比数列，那么G应该满足什么条件？应该满足什么条件？2反之，若反之，若即即a,G,b成等比数列成等比数列.a, G, b成等比数列成等比数列,2ab

5、G 则则,GbaG abG (ab0) 分析：分析： 由由a, G, b成等比数列得：成等比数列得： abGabGGbaG 2(ab0) 如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数G，使，使a, G，b成等比数列，那么称这个数成等比数列，那么称这个数G为为a与与b的的等比中项等比中项. 3.等比中项：等比中项：2(0)(0)GabGababGabab 是 、 的等比中项即：即： 注意：注意：若若a，b异号则无等比中项异号则无等比中项,若若a，b同号则有两个等比中项同号则有两个等比中项. 如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数G，使，使a, G，b成等比数列，那么称这个数成等比数

6、列，那么称这个数G为为a与与b的的等比中项等比中项. 3.等比中项：等比中项：2(0)(0)GabGababGabab 是 、 的等比中项即：即： 如数如数2和和32的等比中项为的等比中项为_例3: 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.把代入 ，得把的两边分别除以的两边，得解：设这个等比数列的第1项是 ，公比是 ，那么1aq1221qa1831qa23q3161a因此82331612 qaa答：这个数列的第1项与第2项分别是 与 .3168作差（等差）作差（等差） 作商（等比）作商（等比） 32415684174, 6,15)4(,32, 2)3(,32, 2,

7、 1)2(, 3,27) 1 (aaaaaqaaanaqaaqaqann求已知和求已知求已知求已知的公比为等比数列例1. 32415684174, 6,15)4(,32, 2)3(,32, 2, 1)2(, 3,27) 1 (aaaaaqaaanaqaaqaqann求已知和求已知求已知求已知的公比为等比数列例1.例：求证以下数列是等比数列，并指出公比和首项例：求证以下数列是等比数列，并指出公比和首项思考思考: :你能判断它们的单调性吗你能判断它们的单调性吗? ?nnnnnnnnnnedcba2)5()2()4(2)3(2)2(2) 1 (例：求证以下数列是等比数列，并指出公比和首项例：求证以下

8、数列是等比数列，并指出公比和首项思考思考: :你能判断它们的单调性吗你能判断它们的单调性吗? ?nnnnnnnnnnedcba2)5()2()4(2)3(2)2(2) 1 (解：由等比数列的解：由等比数列的通项公式的特点可通项公式的特点可得：得：q=10,aq=10,a1 1=-30=-30解：解：n=1 an=1 a1 1=2=21 1=2=2 n=2 a n=2 a2 2=2=22 2=4=4可得：可得：q=2q=2nAn+Ba （等差）（等差）nABna （等比）（等比）例：例：由下列等比数列的通项公式，求首项与公比由下列等比数列的通项公式，求首项与公比（1）an=2n (2) an=

9、310n 思考思考: :你能判断它们的增减性吗你能判断它们的增减性吗? ?公比q对数列的影响q1 0q1 q=1q0递增递增递减递减常数列常数列摆动数列摆动数列a10递减递减递增递增常数列常数列摆动数列摆动数列 的通项公式求数列不是等比数列；求证：数列是等比数列；求证：数列，满足数列例nnnnnnaaaaaaa)3()2(1) 1 (, 232. 211 的通项公式求数列不是等比数列；求证：数列是等比数列；求证：数列，满足数列例nnnnnnaaaaaaa)3()2(1) 1 (, 232. 211课堂小结课堂小结等比数列等比数列名称名称等差数列等差数列概念概念常数常数通项通项公式公式1通项通项

10、公式公式2中项中项()nmaan m d*( ,)n mN从第从第2项起项起,每一项与它每一项与它前前一项的一项的差差等于等于同一个常数同一个常数公差公差(d )d 可正、可负、可零可正、可负、可零从第从第2项起项起,每一项与它每一项与它前前一项的一项的比比等于等于同一个常数同一个常数公比公比(q )q可正、可负、可正、可负、不可零不可零1(1)naand*()nN11nnaaq*(0)qnN，n mnmaa q*(0,)qn mN，A2Aabab是 、 的等差中项2(0)GabGabab是 、 的等比中项小结小结数列数列等差数列等差数列等比数列等比数列定义定义同一常数同一常数通项公式通项公式

11、性质性质 an+1-an=dd 叫公差叫公差 an= a1+(n-1)d an=am+(n-m)d你还知道你还知道等差数列等差数列有什么性质吗有什么性质吗?你能类比写出你能类比写出等比数列等比数列的性质吗的性质吗?) 0, 0(1nnnaqqaaq叫公比叫公比 an=a1qn-1 an=amqn-m 是等比数列；求证数列，且已知是等比数列；求证数列，且已知是等比数列；求证数列，且已知是等比数列；求证数列，且已知满足数列11,21)4(, 121)3(2,230)2(1, 230) 1 (11111111nnnnnnnnnnnnnnnnaaaaananaaaaaaaaaaaa 是等比数列；求证数

12、列，且已知是等比数列；求证数列，且已知是等比数列；求证数列，且已知是等比数列；求证数列，项和为的前数列11,21)4(, 121)3(2,230)2(, 1) 1 (111111nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaananaaaaaaaaSaSna等差数列等差数列等比数列等比数列性质性质1性质性质2性质性质3若若n+m=p+q则则am+an=ap+aq若若n+m=p+q则则aman=apaqam,am+k,am+2k,成等差成等差 数列数列am,am+k,am+2k,成等比数列成等比数列若若2m=p+q则则2am=ap+aq若若2m=p+q则则am2=apaq, .,qpnmnaaaaq

13、pnmNqpnma则若，为等差数列，且设数列.2,2pnmaaapnm则若等比数列中有类似性质吗？等比数列中有类似性质吗？想一想想一想 qaaaaaaaaaaaaaaaaaaqan求已知求已知求已知求已知的公比为等比数列,128,66)4(,10, 5)3(, , 2)2(, 2) 1 (341686276543214624精编练习练习性质等比数列前n项积最值2、在等比数列、在等比数列an中，中，an0, a2a4+2a3a5+a4a6=36, 那么那么a3+a5=_1. 等比数列等比数列an中，中，a4=4,则则a2a6等于等于 （ ） A.4 B.8 C.16 D.32例、例、有三个数成等

14、比数列，若它们的积有三个数成等比数列，若它们的积等于等于64，和等于，和等于14，求此三个数？，求此三个数？注意：注意：等比数列中若三个数成等比数列，可以设为等比数列中若三个数成等比数列，可以设为 2,a aq aq 或, ,a aqaq练习：已知三个数成等比数列，它们的积为练习：已知三个数成等比数列，它们的积为2727， 它们的立方和为它们的立方和为8181，求这三个数。，求这三个数。例、例、有四个数，若其中前三个数成等比数列，有四个数，若其中前三个数成等比数列，它们的积等于它们的积等于216，后三个数成等差数列，它们，后三个数成等差数列，它们的和等于的和等于12，求此四个数？，求此四个数？

15、注意：注意：等比数列中若四个数成等比数列，等比数列中若四个数成等比数列，不能不能设为设为 33,aaaq aqqq因为这种设法表示公比大于零！因为这种设法表示公比大于零！练习：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三练习：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数。，求这四个数。可以设这可以设这四个数为四个数为a,b,c,d15,9,3,1或或0,4,8,16三.等比中项 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成观察如下的两个数之

16、间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列：为一个等比数列：（1）1， ， 9 （2）-1， ，-4（3）-12， ，-3 （4）1， ，13261 在在a与与b中间插入一个数中间插入一个数G，使，使a，G，b成等比数列，那成等比数列，那么么G叫做叫做a与与b的的等比中项。等比中项。abGabG2即(1)6(2)13探究一探究一在等比数列在等比数列an中，中，a2.a6=a3.a5是否成是否成立？立？ a32=a1.a5是否成立是否成立? 你能得到更一般的结论吗？你能得到更一般的结论吗？2211111,nmmnmmnnqaaaqaaqaa从而则221tstsqaaa同理可得.tsnmaa

17、aatsnm所以又因为证明证明要积极要积极思考哦思考哦 qaan公比为首项为设等比数列,1且且 m , n , s , t N+ ,若若m+n=s+t思考am,an,as ,at有什么关系有什么关系.,22snmaaasnm则若若等比数列若等比数列an的首项为的首项为a1 ，公比，公比q，且，且且且 m , n , s , t N+ 若m+n=s+t ,则aman=asat性质：探究二探究二已知等比数列已知等比数列an首项首项a1, 公比公比q，取出数列中的所有，取出数列中的所有奇数项，构成新的数列，是否还是等比数列？奇数项，构成新的数列，是否还是等比数列？取出取出a1 , a4 , a7 , a11 呢？呢？性质：在等比数列中，把序号成等差数列的项按性质：在等比数列中，把序号成等差数列的项按 原序列出，构成新的数列，仍是等比数列原序列出，构成新的数列