考研数学模拟试卷(数学二)(附答案详解)

考研数学模拟试卷〔数学二〕〔附答案，详解〕一、选择题〔此题共8小题，每题4分，总分值32分，每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内〕1.设在内是可导的奇函数，则以下函数中是奇函数的是〔〕.〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2.设则是的〔〕.〔A〕可去间断点〔B〕跳跃间断点〔C〕第二类间断点〔D〕连续点3.假设函数与在内可导，且，则必有〔〕.〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕4.设是奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则是〔〕.〔A〕连续的奇函数〔B〕连续的偶函数〔C〕在间断的奇函数〔D〕在间断的偶函数.5.函数不可导点有〔〕.〔A〕3个〔B〕2个〔C〕1个〔D〕0个.6.假设，在内，，则在内有〔〕.〔A〕，〔B〕，〔C〕，〔D〕，7.设为4阶实对称矩阵，且.假设的秩为3，则相似于〔〕.(A)(B)(C)(D)8.设3阶方阵的特征值是，它们所对应的特征向量依次为，令，则〔〕.〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕二、填空题〔此题共6小题，每题4分，总分值24分，把答案填在题中横线上〕9.设二阶可导，，则.10.微分方程的通解为.11.曲线的水平渐近线为.12.设是连续函数，且，则.13.假设，则，.14.设为阶矩阵，其伴随矩阵的元素全为1，则齐次方程组的通解为.三、解答题〔此题共9小题，总分值94分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〕15.〔此题总分值10分〕求极限.16.〔此题总分值10分〕设在上连续，且.求.17.〔此题总分值10分〕设，证明：.18.〔此题总分值10分〕求微分方程的通解.19.〔此题总分值10分〕设区域，计算二重积分.20.〔此题总分值11分〕设，计算.21.〔此题总分值11分〕求由曲线和直线所围成平面图形绕轴旋转一周所得旋转体体积.22.〔此题总分值11分〕非齐次线性方程组有3个线性无关的解.〔1〕证明：方程组系数矩阵的秩；〔2〕求的值以及方程组的通解.23.〔此题总分值11分〕设为三阶实对称矩阵，的秩为2，即，且．(I)求的特征值与特征向量；(II)求矩阵．数学根底阶段测试答案解析〔数学二〕一、选择题〔此题共8小题，每题4分，总分值32分，每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内〕1.设在内是可导的奇函数，则以下函数中是奇函数的是〔〕.〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕解析：选择〔B〕.与都为奇函数，则为偶函数，由积分的性质可得为奇函数.举例可得〔A〕为偶函数，〔C〕为偶函数，〔D〕为偶函数.故〔A〕〔C〕〔D〕错误.2.设则是的〔〕.〔A〕可去间断点〔B〕跳跃间断点〔C〕第二类间断点〔D〕连续点解析：选择〔B〕.，.因此是的跳跃间断点.3.假设函数与在内可导，且，则必有〔〕.〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕解析：选择〔C〕.函数与在内可导，则函数与在内连续，因此，，而，故.4.设是奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则是〔〕.〔A〕连续的奇函数〔B〕连续的偶函数〔C〕在间断的奇函数〔D〕在间断的偶函数解析：选择〔B〕.只有有限个第一类间断点，因此可积，由变上限积分函数的性质可知，假设可积，则连续.是奇函数可得是偶函数.因此是连续的偶函数.5.函数不可导点有〔〕.〔A〕3个〔B〕2个〔C〕1个〔D〕0个.解析：选择〔B〕.由按照定义求导法则可知，在不可导，在一阶可导.因此，的不可导点，关键在于因子分解并考察的点，.于是可知，在处不可导，而在处是可导的.故不可导点的个数是2.应选〔B〕.6.假设〔〕，在内，，则在内有〔〕.〔A〕，〔B〕，〔C〕，〔D〕，解析：选择〔C〕.由得在上为偶函数，则为奇函数，为偶函数.根据奇偶函数的性质可得〔C〕正确.7.设为4阶实对称矩阵，且.假设的秩为3，则相似于〔〕.(A)(B)(C)(D)解析：选择〔D〕.由可得矩阵的特征值满足，从而或.由为4阶实对称矩阵，得可以相似对角化，的秩为3得有三个非零特征值，即的特征值为,,,.8.设3阶方阵的特征值是，它们所对应的特征向量依次为，令，则〔〕.〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕解析：选择〔B〕.由题意可得.于是.二、填空题〔此题共6小题，每题4分，总分值24分，把答案填在题中横线上〕9.设二阶可导，，则.解析：应填1..解析：应填.此方程为一阶线性非齐次微分方程.于是得.11.曲线的水平渐近线为.解析：应填.，故曲线的水平渐近线为.12.设是连续函数，且，则.解析：应填.设.在两边积分得，即，得.于是.13.假设，则，.解析：应填1，-4.，分子趋于零得分母也趋于零，于是可知.，得.14.设为阶矩阵，其伴随矩阵的元素全为1，则齐次方程组的通解为.解析：应填.由的伴随矩阵的元素全为1得，的秩为1，可得的秩为，于是的根底解系中只有一个向量.由的秩为可得，，于是.可得的每一列即为方程组的解，因此方程组有非零解，故的通解为.三、解答题〔此题共9小题，总分值94分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〕15.〔此题总分值10分〕求极限.解：原式.令，则原式.16.〔此题总分值10分〕设在上连续，且.求.解：设，则.于是.等式两边对求导可得，.即为.17.〔此题总分值10分〕设，证明：.证明：设，.，即在上为偶函数，因此只需要证明在时，..当时，，，因此有，得.得当时，单调递增.因此当时，，即.18.〔此题总分值10分〕求微分方程的通解.解：对应齐次方程的特征方程为,解得特征根,所以对应齐次方程的通解为．设原方程的一个特解为,则,,代入原方程,解得,故特解为．故方程的通解为．19.〔此题总分值10分〕设区域，计算二重积分.解：积分区域对称于轴，为的奇函数，从而知所以.20.〔此题总分值11分〕设，计算.解：累次积分交换积分次序.21.〔此题总分值11分〕求由曲线和直线所围成平面图形绕轴旋转一周所得旋转体体积.解：22.〔此题总分值11分〕非齐次线性方程组有3个线性无关的解.〔1〕证明：方程组系数矩阵的秩；〔2〕求的值以及方程组的通解.解：〔1〕系数矩阵未知量的个数为，且又有三个线性无关解，设是方程组的3个线性无关的解,则是的两个线性无关的解.因为线性无关又是齐次方程的解，于是的根底解系中解的个数不少于2,得,从而.又因为的行向量是两两线性无关的,所以.所以.〔2〕由〔1〕得，因此中所有三阶子式全为零，可得，，分别计算出，.所以作初等行变换后化为，它的同解方程组令求出的一个特解；的同解方程组是，取代入得；取代入得.所以的根底解系为，.所以方程组的通解为：，为任意常数.23.〔此题总分值11分〕设为三阶实对称矩阵，的秩为2，即，且．(I)求的