第五章应力张量应变张量与应力应变关系

1、 本章拟进一步讨论应力、应变的性质及线性弹性应力与应变关系的一般规律，它将有助于对问题的深入认识。 5-1 5-1 应力分量的坐标变换应力分量的坐标变换 应力张量应力张量 在给定载荷作用下，物体内过一点的任意斜截面上应力的大小和方向都是确定的，即一点的应力状态是确定的。它不随所取坐标系而变化。但描述一点应力状态的应力分量又是在确定的坐标系下确定的，它随坐标系的不同而不同。 我们通常习惯的右手坐标系， 下面首先考察旋转变换的情形: 考察物体内任一点o。设oxyz为旧坐标系下o点处的局部标架（图5-1（a），单位基矢量为 321eee、，相应的应力分量为: zzyzxyzyyxxzxyxijzyx

2、o设 为新坐标系下o点处的局部标架，单位基矢量为 321eee、，相应的应力分量: zyzxzzyyxyzxyxxj i新、旧坐标系下坐标轴间的方向余弦为x111l211m311ny122l222m322nz133l233m333nxyz 作斜面abc 垂直于 轴，作用于该微面上的应力矢量为 xT21TT 、3T。用旧系下沿坐标轴的三个分量和，及Cauchy公式（2-4）式）可将 T表为 332211eeeTTTTijijiinTee在新系下， 沿坐标轴的三个分量即为新系下该面上的三个应力分量 、 和 。Txyx zx 将 向 、 和xyzT轴方向投影，并注意到这里 jjn1及剪应力互等关系

3、jiij得 11eeeTijijxnijji1122eeeTijijyxnjiijijji1212ijji2133eeeTijijzxnjiijijji1313ijji31三个式子合起来，可简写为： ijj jij11同理，取微斜面abc分别垂直于 、 ，可以得到新系下的其余六个应力分量与旧系下九个应力分量间的类似关系： yzijj jij22ijj jij33（3） （4） （2） （2）（4）式可以统一写为ijj ji ij i （5-1） 这就是应力转轴公式，式中 或 称为转换系数。 i ijj在数学上，将坐标变换符合式（5-1）的一组量称为二阶张量。按此定义，决定一点应力状态的九个应力

4、分量就是一个二阶张量，称为应力张量。 在式（5-1）中作指标置换，并利用 的对称性得 ijjii jj iijj ii ji j jiijjjii 应力张量在经坐标变换后，其对称性仍然保持不变。 在平面问题中，建立二维的新、旧坐标系如图5-2，新、旧坐标轴的方向余弦为 22 1sinl cos 222msin 211mcos 111lyxx y 与前面推导类似 ijj ji ij i 指标的取值为 2 , 1 ,ji2 , 1, ji当取新系为正交曲线坐标系，其中转换系数 i ijj 为点o处坐标曲线切线方向单位基矢量在旧系下的方向余弦。 xyr 方向 方向 取 ijrjriryxrxryxy

5、ryrxyryryxrxrxxyyxcossin2sincos222sinsincos22xyyx同理 ijji2sincossin22xyyxijjrir)sin(coscossin)(22xyxyrr这就是极坐标下的应力分量与直角坐标下应力分量的转换公式。 反过来，取直角坐标系为新坐标系，极坐标系旧坐标系，根据（5-2）式，用极坐标应力分量表示直角坐标应力分量的关系为： rrrrrryrxryxryxryrxrxyrrryyryyryryryrrrxxrxxrxrxrxa)sin(cos)(cossin sin)sin(coscos)sin(sincos cossin2cossin 2co

6、ssin2sincos 222222225-2 5-2 主应力主应力 应力张量不变量应力张量不变量Cauchy公式（2-4）给出了过一点任意斜截面上的应力矢量的计算关系，写成矢量的形式有ijijiinTeeT斜面上的应力矢量不仅与该点的应力状态有关，而且与斜面的方向有关。 T为该截面的正应力 )(，而剪应力为零。 （5-4） 这个问题的数学描述是，求某个法线方向 ),(nml，使满足方程：T（5-5） 将（5-4）式代入（5-5）式得： iiijijnnee故 ijijnn整理合并后得0)(jijijn zyx图5-3T将上式展开0)(0)(0)(nmlnmlnmlzzyzxyzyyxxzxy

7、x我们把只有正应力，而没有剪应力的平面称为主平面；主平面上的正应力称为主应力；主平面的法线方向，即主应力方向称为主方向。 代数上，（5-6）式是关于主方向 （5-6） ),(nml的线性齐次代数方程，它有非零解的条件是，其系数行列式为零，即 0zzyzxyzyyxxzxyx（5-7） 展开后得到关于主应力的三次代数方程（5-7），称为应力张量的特征方程： 032213IIIzyxI12222zxyzxyxzzyyxIzzxxzxzzyyzyyyxxyx22232xyzzxyyzxzxyzxyzyxIzzyzxyzyyxxzxyx可以证明方程（5-7）有3个实根，它们对应该点的3个主应力，分别用

8、 表示。 321、1222nml（5-9） 将（5-9）式与方程组（5-6）中的任意两式联立，即可求出与给定主应力 对应的主方向。 i321、 是方程（5-7）的三个根，所以，也可以将特征方程写成 0)()(321展开后有 0)()(32113322123213与式（5-7）比较，得 321313322123211III对于一个给定的应力状态，其主应力的大小和方向都是确定的，它不随坐标系的变换而变化，故 也不会因坐标系的变换而改变。这种不因坐标系变换而改变的量，称为不变量. 321III、 分别称为应力张量的第一、第二、第三不变量。321III、主应力的几个重要性质： （1）主应力为实数 （2

9、）主方向的正交性 设与主应力 321、对应的主方向为 3)(2)(1)(、 如果 3210(2)(1)0(3)(2)0(1)(3)则 这表明，三个主方向是相互正交的。321如果 则 0(3)(2)0(1)(3)表明 3的方向同时与 和 方向垂直； 12而 (2)(1)可为零，也可以不等于零，即 12 和 的方向可取与 垂直平面上的任意方向。即与 垂直的方向都是主方向。 (3)(3)如果 321，则 、 、 (2)(1)(3)(2)(1)(3) 三者可以是零，也可以不是零，这说明三个主方向可以相互垂直，也可以不垂直，也就是说，任何方向都是主方向。 （3）主应力的极值性 命题1：最大（或最小）主应

10、力是相应点处任意截面上正应力的最大（或最小）值。 5-3 5-3 最大剪应力最大剪应力现在我们来考察物体内一点P的最大剪应力及其作用面。取应力主轴为参考轴（图5-4）。斜面上应力矢量 的分量及斜面上的正应力分别为： TlT11mT22nT33232221nml z12y3x图5-4将（1）、（2）式代入斜面上的剪应力公式（2-7）得222| T)(232221223222221nmlnml利用几何关系：1222nml得 23222221222)1 (nmnm23222122)1(nmnm（3） （4） （5） 2取极值的点也使 ，将（4）式代入方程 0/2m0/2n得 0)()()(2)(0)

11、()()(2)(11321221321231132122122122nmnnnmmm下面分三种情况考虑： （1）三个主应力互不相等，即 321（6） 将（6）式的第一式除以 )(12，第二式除以 )(13，整理后得0)()( 2)(0)()( 2)(1321221313212212nmnnmm方程（7）有三组解： （7） 第一组是 0 , 0nm第二组是 2/1 , 0nm第三组是 0 ,2/1nm有了m、n就可以从（4）中求得相应的l，并运用（5）式得到相应的极值剪应力 ，由（2）式得到极值剪应力面上的正应力 。同理可从（3）和（4）中分别消去m和n，按上述方法又可以得到六组解，但其中三组是

12、重复的，独立的解答一共六组，如表5-1所示。表中前三组解答对应于主平面，其上剪应力为零；而后三组解答对应于经过主轴之一而平分其他两主轴夹角的平面，如图5-5示，其上剪应力为 )3()2()1 (、称为主剪应力。 如果 321，则最大剪应力为 231max即最大剪应力等于最大主应力与最小主应力差的一半，它作用在过oy轴（ 2轴）而平分ox轴（ 1轴）和oz轴（ 3轴）夹角的微分平面上。 （2）两主应力相等 为了确定起见，设 321则（6）式的第一式已满足，第二式有0)(2)(13213nn由此可解得 0n2/1n第一个解 0n表示平面通过oz轴，将 0n及 21代入（5）式得 0即过oz轴的平面

13、都是主平面。 第二个解 2/1n，将其代入（4）式得 2122 ml它表示了任一个与圆锥面（图5-6）相切的微分面。 对应平面上的最大剪应力 231)2(（3）三个主应力相等，即 321过该点的任何微分面上都没有剪应力，即任一平面都是主平面，与5-2的结论也是一致的。 z4545yx图5-65-4 5-4 笛卡尔张量基础笛卡尔张量基础 1. 坐标变换 考察平面内矢量 的坐标变换关系。新、旧坐标系的方向余弦为 a212cos222cos121cos111cosxyx y 将旧系下的矢量分量 21aa 、向新系坐标 x投影可得矢量 a在新坐标系下的分量 2221212111coscos cosco

14、saaaaaa进一步可表为 22211222211111aaaaaa2 , 1, ji令 则式（5-12）可简记为 （5-12） 这就是矢量的坐标变换公式。此式在三维空间中同样成立，这时取 3 , 2 , 1, jijj iiaa（5-12） 2. 笛卡尔张量 上面证明了，同一矢量，当坐标旋转时，其分量之间满足关系式（5-12）。下面我们将证明如果分量间满足关系（5-12），则它们表示同一矢量。 我们注意到新系下的单位基矢量 ，在旧系下的分量即为方向余弦 ，故可用旧系下ieki的基矢量表为kkiiee反过来有 ikikee所以 l iklj iliklj ikj eeeekij i根据Kron

15、eker 的定义： kjjkee 由上式可得 jkkij ikkijj iiiaaeeaaeekkkjjkaa这就是我们所要证明的结论。 定义： 在坐标变换时，满足式（5-12）的一组量 称为一阶张量。 )(ja位移矢量、力矢量都是一阶张量。 在5-1中，已知坐标旋转变换时，新、旧系下应力分量之间的坐标转换公式为ijj ji ij i ijj ji ij iTT 一般地，可写为 （5-16） 凡坐标变换符合（5-16）式的一组量 称为二阶张量。 )(ijT决定一点应力状态的九个应力分量 就是一个二阶张量。 ij可以证明Kroneker 为二阶张量。 类似地，可以定义n阶张量，即坐标变换满足 个

16、指标个指标nnmijmtjqiptqpTT的一组量 mijT称为n阶张量。 这里的阶数是指指标的个数。标量，比如密度、温度等，它不随坐标变换而变化，即 ， TT 其指标个数为零，称为零阶张量。 3. 二阶张量的分解 （1）任何一个二阶张量都可以分解为一个二阶对称张量和一个二阶反对称张量之和。 )(21)(21jiijjiijijTTTTTijijBA 式中 jiijjijiijijATTTTA)(21)(21为对称二阶张量； jiijjijiijijBTTTTB)(21)(21为反对称二阶张量。 （2）任何一个二阶张量都可以分解为一个球张量与一个偏张量之和。 3/)(31332211iimTT

17、TTT则 ijijmijmijijmijSTTTTT)(令 ijmT称为球张量； ijmijijTTS称为偏张量。上式可用矩阵表示为mmmmmmTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT3332312322211312113332312322211312110000004. 张量的运算凡是同阶的两个张量可以相加，并得到一个与原张量同阶的张量，其分量等于原张量中标号相同的诸分量的代数和。 ijaijb设 与 为两个二阶张量，其和为 ，记为 ijcijijijbac根据二阶张量的定义， ijj ji ij iaa ijj ji ij ibb 两式相加，有 )(ijijj ji ij ij i

18、baba ijj ji ij icc 由二阶张量的定义， 为二阶张量。 ijc（2）张量的外积（并乘） 两个张量的外积定义为第一个张量中的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量所组成的集合。张量的外积仍为张量，其阶数为两个张量阶数的和。向量 乘以二阶张量 ，则外积 iajkbjkiijkbac为三阶张量。由张量的定义，有ii iiaajkkkj jkjbbjkikkj ji ikjikj ibabac ijkkkj ji icijkc为三阶张量。 （3）张量的缩并 对n阶张量进行缩并，就是对张量的某两个指标求和。张量缩并以后仍为张量，其阶数为阶。 2n阶。 ijkA为三阶张量，则有 ijkkr

19、jqiprqpAA对1、2个指标求和，即令 qp得 ijkkrjpiprppAAjjkkrijkkrijAA符合一阶张量的坐标变换规律，即三阶张量缩并以后为一个矢量。 （4）张量的内积 内积是两个张量先并乘，然后进行缩并的运算。 ijkT为三阶张量， lmS为二阶张量，其外积为 lmijkijklmSTUjl 缩并，为 jmijkikmSTV用不变性的形式记为 STV （5）张量对坐标的导数 在笛卡尔直角坐标系中，张量对坐标的导数仍然是张量，且为比原张量高一阶的张量。 由坐标变换关系： kjkjxxssssxx（1） ),(321xxxTijk设 为三阶张量，在转轴以后的新坐标系下为 ),(3

20、21 xxxTkj i按普通的链式求导规则，并注意到（1）式有ssskj iskj ixxxTxT ssijkkkj ji isxxTx)(sijksskkj ji ixT符合四阶张量的坐标变换规律，故 sijkxT/为四阶张量。 则 5. 商法则若九个分量 与任何一个向量 按一对指标求和后构成另一向量 ijajbija必为一个二阶张量。 icjijibac 6. 二阶张量的性质 设有一个任意二阶张量 ，它与任一个向量 的线性组合仍为一个向量，用 表示，则 ijaicjbjijibac 这相当于一个变换，它把一个向量变换为另一个向量。若变换后的向量 与 共线， jbicjb即 经 变换后只改变

21、大小，不改变方向，数学上表为 ijaiibc则向量 的方向称为张量 的主方向或主轴，称为张量 的主值，将（6）式代入（5）式得 jbijaija0)(jijijba为张量ij的主值， 为张量 的主方向。jnij求应力张量主应力及其相应的主方向的方法就可以用来求任意二阶张量的主值和主方向 。 5-5 5-5 物体内无限邻近两点位置物体内无限邻近两点位置的变化的变化 转动张量转动张量 在2-4中，我们曾指出，物体的位形应由三部分组成：物体的整体刚体位移，单元的变形以及由相邻单元变形引起的本单元的方位的变化。 下面分两种情况研究单元绕oz轴的转动。 设所考察单元e没有变形。由图5-8的几何关系可知单

22、元e由于相邻单元的变形引起的转角（方位的变化），可用它的角平分线的转动表示为： 1()2yxxy单元e的剪应变: 0 xyyxxy因为这里 xy应为负值。 下面来考察当单元e有变形时，由于相邻单元的变形所引起的单元e的方位的变化。由图5-9可知单元e方位的变化，即转角 1()2 24yxxyyx)(21)(21yuxvxyyx通常令 ，即用两倍转角来表示这一转动，则式（3）可写为2z2zvuxy同理，可以得到单元e绕oy轴及ox轴的转动。xwzuqy 2zvywpx 2（4b、c） （4a） 已知几何方程xwzuzwzvywyvyuxvxuzxzyzyxyx （5） 利用式（4）和（5）反解出

23、三个位移的九个偏导数，写成矩阵的形式，并进行分解得zxzyyzxxyzyzyxyxzzxyxzwywxwzvyvxvzuyuxu)(21)(21)(21)(21)(21)(21021212102121210212121212121xyxzyzzzyzxyzyyxxzxyx简记为 ijijjiu,六个应变分量 和三个转动分量 在纯变形情况下可以完整地描述变形后单元的形位。 ijzyx、注意到（4）和（5）式，则有 )(21)(21,ijjiijijjiijuuuu（5-20） （5-19） jiu,ij在（5-19） 式中 的分解, 为对称部分,称为应变张量，且 ;而 为其反对称部分，称为转动张

24、量。 )(21jiijijij将（5-19）式两边同乘以 ，并注意到相邻两点的位移变化量 ，故得 jxdjjiixxuudjijjijixxudd（5-21） )(zyxP、)d ,d ,d(zzyyxxQ设 和 为物体内无限邻近的两点，在物体发生变形以后，分别移动到 和 ，相应的位移为 和 ，如图5-10示。 PQiuiu 将（5-21）式展开得zyxzyxwvuwvuxyxzyzzzyzxyzyyxxzxyxddd021212102121210ddd 212121212121（5-22） 式（5-22）说明，与P点无限邻近的一点Q的位移由3部分组成：（1）随同P点的平移 （2）绕P点的刚性

25、转动 （3）线元PQ自身变形 )(iu)(ij)(ij5-6 5-6 应变的坐标变换应变的坐标变换 应变张量应变张量 首先，讨论微线元 的相对伸长。 rd设 的方向余弦为 ，变形后线元为 ，相应的方向余弦为 rd)(nml、nrd)(nml、n线元两端点A、B的位移分别为 和 iuiu变形前后线元的位置如图5-11所示。 B(x+dx, y+dy, z+dz) B(xi+dxi+ui)drA(xi+ui)A(x, y, z)图5-11drrd线元 的分量 iirnxddB点的位移: jjiiixxuuud则变形后的线元矢量的分量: (d)()iiiiidxxxuxu)d(iiiuux)dd(j

26、jiixxux（3） （2） （1） 变形后的线元长度 可由下式算出 rd )dd)(d(d)d(2kkiijjiixxuxxxuxddr rr线元 的相对伸长： rddrdrrdr于是，变形后线元的长度又可表为 rrdrd)1 (（5） （4） 将（5）代入（4）式的左边，并将右边展开，得kikijijiiirxxxuxxxuxxrdddddd)1 ()d(22kjkijixxxuxudd在小变形条件下，略去应变及转角的二次项得jijiiirxxxuxxrdd2dd)21 ()d(2（6） 将（1）式两边自乘，并注意到几何关系 1iinn则有 )d()d(dd2rnnrxxiiii代入（6）

27、式，两边同除以 2)d( r得 jijirnnxu2121jijirnnxu所以 （5-23） 将（5-23）式展开，并运用几何方程（2-11），得任一线元的正应变：nlmnlmnmlzxyzxyzyxr222（5-23） 两线元夹角的变化 1dr2dr1rd2rd变形前 变形后 QRdr1dr2PQR dr1dr2P图5-12由关系式（3）可知，变形后两线元矢量分别为 )d()d()2()2(2)1 ()1 (1jjiijjiixxudxdxxudxdrr（7） 由（5）式，变形后两线元的长度分别为 1) 1 (1d)1 (rrdr2)2(2d)1 (rrdr（8） 变形后线元 的方向余弦为

28、 1rd1)1 ()1 ()1 ()1 (d)1/()dd(rxxuxnrjjiii1)1 ()1 (1)1 (1d)1/()dd(rnrxunrrjjii)1/()()1 ()1 ()1 (rjjiinxun)1)(2) 1 () 1 () 1 () 1 (rrjjiinxun) 1 () 1 () 1 ()1 (jjirinxun（9） 展开后得： 1) 1 (11111) 1 (11111) 1 (11111) 1 () 1 (11)1 ()1 ()1 ( )1 ( )1 (nzwmywlxwnnzvmyvlxvmnzumyulxunzumyulxulnxullrrrrjjr同理可得变形

29、后线元 的方向余弦 2rd)2()2()2()2()1 (jjiriinxunn（11） 展开后 2)2(22222)2(22222)2(2)1 ()1 ()1 (nzwmywlxwnnzvmyvlxvmnzumyulxulrrr（12） 由矢量代数，变形前、后线元夹角余弦： 212121)2() 1 ()2() 1 (cosnnmmllnnnn212121)2()1 ()2()1 (cosnnmmllnnnn（13） （14） 将（10）及（12）式代入（14）式，并利用（13）式，得)(2coscos212121nnmmllzyx)()(12211221nlnlnmnmxzyzcos)()

30、()2()1 (1221rrxymlml（5-24） 由此可见,只要知道了某点的6个应变分量就可以求出过该点任意两个微线元间夹角的变化。 2令 , 在小变形条件下可得: )(21sin)(21sin2coscos于是,（5-24）式可以化为 )()(21221212121nmnmnnmmllyzzyx)()(12211221mlmlnlnlxyxz（5-25） 表示两正交线元直角的变化，按定义就是剪应变。 下面研究三维空间中任意三个正交线元的相对伸长和剪应变。 取线元 方向为 方向，利用（5-23）式，并注意到 ，可得线元 xd dr)(2jiijijxd 的正应变分量与旧系下应变分量间的关系

31、： zyxx313121211111yzyxxy312111212111xzzxzy311111312131ijji11同理，可得 ijjiy22ijjiz33利用（5-25）式，可得新系下的6个剪应变与旧系下应变分量间的关系： zyxyx3131222112112yzyxxy322112212211xzzxzy321111312231)(21xyijji（5-26a）)(32xyijjizy)(13zxijjixz（5-26b）显见，（5-26a）和（5-26b）式可以统一写为ijjqipqp（5-27） 符合二阶张量的定义。因此，一点的应变状态是一个二阶张量。 5-7 5-7 主应变主应变

32、 应变张量不变量应变张量不变量 （5-27）式表明，在给定了一点的应变状态ij以后，该点的应变分量将随坐标系的变换而变化。 当在某坐标系下，只有正应变，而无剪应变，即沿新系坐标轴方向的三个正交线元只有相对伸长，而无直角的变化。这三个方向称为应变主方向，其相对伸长称为主应变。 由5-6式（9）可知，具有方向为 )(nml、n的线元 rd，变形后为 ，相应的方向余弦 rd)(nml、n满足： jjiiinxunn)1 (（1） 式中，为线元 的相对伸长。式（1）可以改写为 rdjijjijijjiiinuunuunn)(21)(21)1 (,jijjijinnn)1 (我们知道，纯变形时单元的运动

33、由单元本身的变形和单元方位的变化两部分组成。 rd1rd设 与 为两个沿应变主方向的正交线元，则按主方向的定义，该两线元变形后仍然正交，只是方位发生了转动，如图5-13示。显然，如果限制方位的转动，即令 0ij，有 iinn 于是，（2）式就成为 jijiinnn)1 (（3） 式中，为主应变。将（3）式整理后得 0)(jijijn（5-28） jn这是关于应变主方向 的齐次代数方程，有非零解的条件是其系数矩阵行列式为零，即 0ijij（5-29） 展开后得032213JJJ（5-30） 212121212121)(41 322221zzyzxyzyyxxzxyxxyzxyzyxxzzyzyx

34、JJJ（5-31） 称为应变张量的第一、第二、第三不变量。 运用（5-28）式中的两个方程，及几何关系 1iinn 可以确定与任一主应变 相伴的应变主方向。 i5-8 5-8 广义广义HookeHooke定律的一般形式定律的一般形式 前面我们讨论了各向同性体的广义Hooke定律，其中还强制性地给出了一些附加假设。从这一节起，我们将对广义Hooke定律作一般性的讨论。 应力作为应变的函数，一般地可以写为 )(klijijf（1） 将分量 在自然状态附近展开，在小变形条件下， xklklxxxff00)(（2） 式中，右下角0表示在自然状态取值。根据基本假设，在自然状态下有 和 。 0ij0ij0

35、)(0 xf（2）式中， 0klxf 由材料性质决定，一般来讲，它是坐标的函数；如果材料是均匀的，则它与坐标无关而成为材料常数。于是（2）式就可写为 xyzxyzzyxxyxyzxyzzyxzxxyzxyzzyxyzxyzxyzzyxzxyzxyzzyxyxyzxyzzyxxcccccccccccccccccccccccccccccccccccc666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211（5-32） 同理 )6 , , 2 , 1 ,(nmcmn式中系数 称为弹性常数，一共有36个。（5-32

36、）式对材料弹性性质未加任何限制，称为完全各向异性。 根据能量守恒定律和应变能的存在（5-11），可以证明，弹性常数之间存在关系 ，这就是说（5-32）式的系数是对称的。因此，即使是对于完全各向异性体，独立的弹性常数也只有21个。对（5-32）式也可写成用应力表示应变的形式，即)(klijijgnmmncc能量守恒定律指出：封闭系统中总能量的增加（包括动能增加和内能增加 ）等于外力对系统所做的功和系统从外界吸收的热量之和，即 ： 5-9 5-9 弹性体变形过程中的能量弹性体变形过程中的能量UKQW两端除以 ，并令 t0tQUKW这就是热力学第一定律的速率形式。 区域的动能： d21iivvK（1

37、） 上式对时间求导，得 diivvK（2） 1U设 为单位体积的内能，则区域的内能 1dUU将上式两边对时间微分得 1dUU（3） 外力功率： ddsvTvFWiiii（4） 式中Ti为区域的边界 上的作用面力，由Cauchy公式 及高斯（Gauss）积分公式，并注意到应力的对称性得jijinT ddsvnsvTijijii ,d)(jiijv , ,ddjiijijijvv , ,)d(21djijiijijijvvv , ,d21d21dijjijiijijijvvv , ,)d(21dijjiijijijvvv ,ddijijijijv（5） 将（5）代入（4）式，得 ,dd)(ijij

38、iijijvFW（6） 对于一个绝热过程，即物体在变形过程中既无热量损失，也不从外界吸入能量，则 。此时，热力学第一定律成为 0QUKW（7） 将（2）、（3）、（6）式代入式（7）得 ,dd)(ijijiiijijvvF 1dU（8） 22tuvii式中 ，运用运动微分方程，（8）式左边第一个积分为零，故有 1 ddUijij（9） 由区域的任意性，我们有 ijijU1（10） 两边同乘以dt，得 ijijUdd1（5-33） 由于内能U1是状态的单值函数，即与过程无关， 故 必须是全微分，即有 1dUijijUdUd11（11） 与（5-33）式比较可得ijklijU)(1（5-34） 当

39、一个过程进行得异常迅速，以致来不及和外界发生显著热交换，则可近似地按绝热过程处理。 热力学第二定律涉及到两个重要的状态量：温度T和熵H。温度是表示物体冷热程度的物理量。熵是热力学系统的一个状态函数，与系统热量的增加和绝对温度的比值有关。 在变形过程中，熵的改变量 由两部分组成，输入热量引起的熵增量 ，称为供熵，及变形和热流阻力引起的熵变化量 )( H)(eH，称为产熵，即 )(iHieHHHTQHe/（12） （13） 式（12）两边除以 tieHHH（14） 表示熵的增大率等于熵的输入速率与熵的生成速率之和，其中，熵的输入速率TQHe/（15） 热力学第二定律告诉我们：自然界中发生的一切热力

40、学过程都不会使产熵减少，或者是熵的生成率总是非负的，即0iH0iH（16） 对于不可逆过程，比如塑性变形 0iH对于可逆过程，比如弹性变形， 0iH因此，在弹性变形情况下，（14）式化为TQH/HTQ（18） 将（18）代入（1）式得 HTUKWHTTHUK)(（19） 对于等温过程， 0T)(ddddddTHUttKtW（20） 设 为单位体积的熵，定义 TU 1F（21） F称为单位体积的自由能，则区域的自由能： 1 )(dTHUdTUF从而，有 d)(ddtFTHUt（22） 将（6），（2）和（22）式代入（20）得 ,dddd)(tvvvFiiijijiijijF运用运动微分方程，立

41、即可得 ddijijtF由的任意性，ijijtF两边同乘以dt得 ijijddF（23） 在等温条件下， 仅与应变分量有关，也是状态的单值函数，故 亦为全微分，即 FFdijijddFF（24） 比较（23）、（24）式，得ijijF（5-35） 将（5-34）和（5-35）式统一写为ijklijA)()(klA（5-36） 称应变能函数，式（5-36）称为格林（Green）公式，它是一种能量形式的应力-应变关系。如果应变能函数用6个工程应变分量表示，即 )(xyzxyzzyxAA、zzyyxxAddddxyxyzxzxyzyzddd（5-36）式就展开为（5-37） xxAyyAyzyzAz

42、xzxAxyxyAzzA如果变形过程进行得非常缓慢，由变形产生的热量有足够时间散发掉，从而使物体温度保持不变，则这一过程可近似地按等温过程处理。而弹性变形没有能量的耗散，因此将弹性变形视为等温过程是合乎逻辑的。（5-38） 5-10 5-10 应变能和应变余能应变能和应变余能 当弹性体受到外力作用而变形时，外力将对物体作功，并将全部转化为物体的动能和储存于物体内的应变能。如果外力变化得足够慢，则动能的变化可以忽略，这时外力的功将全部转化为应变能。 zyxzzxzyyzxzyxxydzdxdyxy图5-14ijdxyyxx从物体中取出一个如图5-14所示的微元体。对微元体而言，作用其表面上的应力

43、即为微元体的外力。设在加载过程中ijxijd下一时刻的应变增量某一时刻各微分面上的应力微元体沿x方向的伸长 应力分量 xxxdd在相应位移上的功 x 0 0 dd)dd()dd(dVxzyWxxxxxx同样，可以得到其他应力分量在相应变形上的功，把这些功叠加起来，并除以微元体积dV后得单位体积内的应变能：ijijijVW 0 ddd又由Green公式（5-36），有AAijijijijddd积分上式ijijijA 0 d（5-39） 比较（2）和（5-39）式可知，应变能函数等于单位体积内的应变能，又称应变能密度。 定义:单位体积的应变余能（应变余能密度）为 )(ABijij注意到 ijiji

44、jijijijdd)(dijijAdd两边积分后得 ijijijijijA 0 d代入（5-40）式，有ijijijB 0 d显然，B为应力分量的函数，与过程无关。因此，当应力发生微小变化时，应变余能密度的变化为ijijBBdd又由式（5-41）：ijijBdd（4） （3） （5-41） 比较（3）、（4）式，有ijijB)(（5-42） 上式称为卡斯蒂利亚诺（Castigliano）公式，它是以能量表示的应力-应变关系的另一种形式。在单向拉伸的情况下，式（5-39）和（5-41）分别退化为 0 d A 0 d B一般非线性情况:应变能密度A为曲线下与轴所围面积;而B为曲线与 轴所围面积，如

45、图5-15(a)所示。 材料为线性弹性时，见图5-15(b)。 d B0AAB图5-15图5-15在复杂应力状态下，线性弹性体的应力-应变关系，如式（5-32）所示。要保证用（5-36）式导出（5-32）式，则应变能密度（A）必须是应变分量的二次齐次函数。 根据齐次函数的Euler定理，二次齐次函数对各变量的偏导数并乘以对应的变量之和，等于此函数的两倍。注意到（5-38）式，有xyxyzxzxyzyzzzyyxxAAAAAAA2xyxyzxzxyzyzzzyyxxxyxyzxzxyzyzzzyyxxA21（5-43） 缩写为 ijijA21应变余能密度 ijijijijAB21可见，在线弹性条

46、件下，应变能密度（A）与应变余能密度（B）的值相等，但应变能密度函数的自变量是 ，而应变余能密度函数的自变量是 . ijij5-11 各向异性弹性体的应力-应变关系 1. 完全各向异性弹性体完全各向异性弹性体 考察（5-32）式的第二式和第五式，并注意到（5-38）式，有 xyzxyzzyxyccccccA262524232221xyzxyzzyxzxccccccA565554535251（1） （2） 将（1）和（2）式分别对 和 求偏导数，得 zxy252cAzxy522cAyzx（3） 由于A具有二阶连续偏导数，故与求导次序无关，于是由（3）式得到5225cc对于其他任何两个常数也可同样

47、证明它们是相等的，即 nmmncc（5-45） 因此，式（5-32）中对于对角线成对称的弹性常数均相等。故在36个弹性常数中，独立的弹性常数有 个。 21263662. 具有一个弹性对称面的各向异性弹性体具有一个弹性对称面的各向异性弹性体 如果物体内的每一点都存在这样一个平面，与该平面对称的两个方向具有相同的弹性，则该平面称为物体的弹性对称面，而垂直于弹性对称面的方向，称为物体的弹性主方向。如果取弹性主方向为坐标轴方向，由弹性对称面的定义可知，当该坐标轴反向以后，由（5-32）式所确定的应力-应变关系保持不变。 设yz平面为弹性对称面，x轴沿弹性主方向（图5-16）。作坐标变换： 根据二阶张量

48、的坐标变换公式（5-16），新系下的应力分量 xxyy zz zyxxx2311121211xx211yyzzyzzyzxxzxyyx（4） 弹 性 主 方 向x0 y ( y )z(z)弹 性 对 称 面x图5-16新系下的应变分量：xyyxzxxzyzzyzzyyxx, , ,（5） 将（5）代入（5-32）式得：yxxzzyzyxxyyxxzzyzyxzxyxxzzyzyxyzyxxzzyzyxzyxxzzyzyxyyxxzzyzyxxcccccccccccccccccccccccccccccccccccc66656463626156555453525146454443424136353

49、4333231262524232221161514131211 （6） 由于弹性对称性，在新系下，应力-应变关系仍具有（5-32）式的形式，即 yxxzzyzyxyxyxxzzyzyxxzyxxzzyzyxzyyxxzzyzyxzyxxzzyzyxyyxxzzyzyxxcccccccccccccccccccccccccccccccccccc666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211 （7） 将（6）和（7）代入（4）式，并比较两边对应项系数，可得：04645363526251615cccccc

50、cc这样，独立的弹性常数为 个。于是，（5-32）式简化为13821 6665565544434241343332312423222114131211xyzxxyxyzxzxyzzyxyzyzzyxzyzzyxyyzzyxxcccccccccccccccccccc(5-46)单斜晶体的晶体（如正长石）便具有这类弹性对称。3. 正交各向异性弹性体正交各向异性弹性体如果存在两个弹性对称面，比如yz面和zx面，由于以yz面为弹性对称面时的应力-应变关系已由（5-46）式给出，只需要在此基础上讨论以zx面为弹性对称，y轴为弹性主方向的情况就可以了。作图5-17所示的坐标变换。同样，按二阶张量的坐标变换

51、公式可得： y0 x ( x )弹 性 对 称 面弹 性 对 称 面z(z) y图5-17xyyxzxxzyzzyzzyyxx, , , , ,（8） xyyxzxxzyzzyzzyyxx, ,（9） 将（9）式代入（5-46）式，得zyzyxxcccc14131211 66655655444342413433323124232221yxzxxyyxzxzxzyzyxyzzyzyxzzyzyxycccccccccccccccc（10） 由于弹性对称性，在新系下，应力-应变关系仍具有（5-46）的形式，即 6665565544434241343332312423222114131211yxxzy

52、xyxxzxzzyzyxzyzyzyxzzyzyxyzyzyxxcccccccccccccccccccc（11） 将（10）和（11）式代入（8）式两边，并比较对应项系数得：056342414cccc于是，（5-46）式简化为xyxyzyxzzxzxzyxyyzyzzyxxcccccccccccc663332315523222144131211 （5-47） 如果再设xy平面为弹性对称面，而z轴为弹性主方向，在（5-47）式的基础上，进行与前面相同方法的推演，发现没有新的结果。这表明，相互正交的3个平面中，如果有两个是弹性对称面，则第三个平面必然也是弹性对称面。这种具有三个弹性对称面的弹性体称

53、为正交各向异性弹性体。 式（5-47）表明：（1）正交各向异性弹性体只有9个独立的弹性常数；（2）当坐标轴方向取为弹性主方向时，正应力只与正应变有关，剪应力只与对应的剪应变有关，即拉压与剪切，及不同平面内的剪切之间不耦合。 各种增强纤维复合材料、木材等为正交各向异性弹性体。 4. 横观各向异性弹性体 假定物体内每一点都具有一个弹性对称轴，也就是说，每一点都有一个各向同性平面，在这个平面的所有方向上弹性都相同。 这种弹性体称为横观各向同性弹性体。 取xy面为各向同性面，即z轴为弹性对称轴。根据上述定义，任何一个过z轴平面都是弹性对称面，由以上推论可知，各向同性面也必然是一个弹性对称面，从而z轴为

54、弹性主方向，符合正交各向异性的定义，因此，应力-应变关系（5-47）成立。由于xy平面内的任一个方向都为弹性主方向，因此，将坐标系绕z轴旋90（图5-18），应力-应变关系仍然满足式（5-47）。 yz(z)y(x)x图5-18xx 根据二阶张量的坐标变换可得：xyyxyzxzzxzyzzxyyx, ,xyyxyzxzzxzyzzxyyx , , , ,（12） （13） 将（13）代入（5-47）式，得 yxxyzxyzzyzxzxyyxzyzzxyxcccccccccccc663332315523222144131211 , , ,（14） 在新系下的应力-应变关系：yxyxzxyzxzx

55、zzxyyzyzyzxyxcccccccccccc663331325523212244131112 , , ,（15） 将（14）、（15）代入（12）式，比较两边系数，得如下关系：2211cc2313cc5544cc至此，独立弹性常数的个数减少到6个，而（5-47）式简化为xyxyzyxzzxzxzyxyyzyzzyxxcccccccccccc663313134413111244131211 , , ,(16)现在，再将坐标系绕z轴旋转任意角 ，如图5-19示。 图5-19 yxxz(z)y由二阶张量坐标变换公式得 xyyyxxxxyxxyx2cos2sin)(21xyxyxyyyxxxxy

56、xxyx2cos2sin)(21xyxy（17） （18） 式（18）写为工程应变形式：2cos2sin)(xyxyyx（18） 由弹性对称性，在新系下，仍有yxyxc66将（17）、（18）式代入（19）式，得2cos2sin)(21xyxy2cos2sin)(66xyxycxyxyc66将代入上式，化简后，有 )(266xyxyc（20） 将（16b）减去（16a）得)(1211xyxycc（21） 比较（20）、（21）式，可得可见，横观各向同性体只有5个独立弹性常数，将（22）代入（16）式，有 1211662ccc（22） xyxyzyxzzxzxzyxyyzyzzyxxccccccccccccc)(21 , , ,12113313134413111244131211（5-48） 5-12 5-12 各向同性弹性体应力各向同性弹性体应力- -应变关系应变关系 如果物体内所有方向的弹性都相同，就称该物体为各向同性弹性体。此时，物体内任一平面都是弹性对称面。 它可以视为一种特殊的横观各向同性体：各向同性面的弹性性质与弹性对称轴方向的弹性性质相同。于是，（5-48）式成立。 设xy平面为各向同性面，z轴为面外方向（图5-20（a）。将坐标系绕x轴旋转90，如图5-20（b）示 如果在新系下的应力-应变关系与旧系下的应力-应变关系相