-麦克斯韦速率分布定律

1、16.5 6.5 麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律 - - 185918592 引引 言言 对于一个处于平衡态的系统，若在某个时刻去观对于一个处于平衡态的系统，若在某个时刻去观察某个分子，其速度的大小和方向均不可预料，是偶察某个分子，其速度的大小和方向均不可预料，是偶然的。然而，在一定的条件下，从大量分子的整体看，然的。然而，在一定的条件下，从大量分子的整体看，它们的速率分布遵循着一定统计规律性。它们的速率分布遵循着一定统计规律性。一一 统计规律性的演示统计规律性的演示伽伽耳耳顿顿板板3二二 麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律研究气体分子的速率分布研究气体分子的速率分布(1) 把

2、速率分成若干相等区间把速率分成若干相等区间;(2) 求气体在平衡态下分布在各区间内的分子数求气体在平衡态下分布在各区间内的分子数;(3) 各区间的分子数占气体分子总数的百分比。各区间的分子数占气体分子总数的百分比。分布表分布表 分布曲线分布曲线 分布函数分布函数1 速率分布的几种表示形式速率分布的几种表示形式4Hg分分子子在在某某温温度度时时V(m/s)(N/N)*100%90以下以下6.290 14010.32140 19018.93190 24022.7240 29018.3290 34012.8340 3906.2390以上以上4.0(1) 速率速率分布表分布表速率分布速率分布：各不同速

3、率范围内的分子数占总分子数的百分比。：各不同速率范围内的分子数占总分子数的百分比。5(2) 速率分布速率分布矩方图：矩方图：1) 每个小长方形每个小长方形面积面积代表某速率区间的分子数代表某速率区间的分子数 占总分子数的百分比占总分子数的百分比 N/N2) 所有小面积的和恒等于一；所有小面积的和恒等于一；3)0v 时，小矩形面积的端点时，小矩形面积的端点连成一函数曲线连成一函数曲线速率分布函数曲线速率分布函数曲线vvf)(6.2%10.32%18.93%22.7%18.3%12.8%6.2%4.0%0 90 140 190 240 290 340 390 vNNv 6(3) 速率分布函数、曲线

4、速率分布函数、曲线1) 每个小长方形每个小长方形面积面积代表某代表某速率区间速率区间的分子的分子数占总分子数的数占总分子数的百分比百分比dN/N1)(0 dvvf2)(vf3)极大值处对应的速率极大值处对应的速率)(vf最概然速率最概然速率pv附近单位速率区间的分子数占总分子数的百分比附近单位速率区间的分子数占总分子数的百分比最大最大pvpv)(vfvdvvv NdvdNvf )(7dvvekTmNdNkTmv222/3224 在平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，这个在平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，这个规律叫规律叫麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度的方向

5、，。若不考虑分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。则叫麦克斯韦速率分布律。1895，麦克斯韦应用，麦克斯韦应用统计方法统计方法推导出速率分布定律。推导出速率分布定律。(1) 分布分布定律定律2 麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律物理意义物理意义：对于一定量的气体，在温度为：对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下，的平衡态下，气体分子速率气体分子速率vv+dv区间内的分子数区间内的分子数dN占总分子数占总分子数N的百分比的百分比 (概率概率)。8在平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，这个在平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度的方向

6、，规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。则叫麦克斯韦速率分布律。1895，麦克斯韦应用统计方法推导出速率分布定律。，麦克斯韦应用统计方法推导出速率分布定律。(2) 麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数2 麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律物理意义物理意义：对于一定量的气体，在温度为：对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下，的平衡态下，气体分子速率出现在气体分子速率出现在v附近、附近、单位速率区间单位速率区间内的分子数内的分子数dN占总分子数占总分子数N的百分比的百分比 (概率概率)。222/3224)(vekTmNdvdNvfkTmv 9麦克斯韦速

7、率分布函数麦克斯韦速率分布函数1）分子速率在分子速率在0内各种可能内各种可能值，但所占比率不同，具有中等值，但所占比率不同，具有中等速率的分子数所占比率较大，两速率的分子数所占比率较大，两边的分子数所占百分比较小。边的分子数所占百分比较小。归一化条件：归一化条件：1)(0 dvvf2）曲线下所包围的面积为曲线下所包围的面积为1 - 分布函数归一化。分布函数归一化。3）最概然速率最概然速率（最可几速率）（最可几速率） 分布曲线的峰值所对应的速率。分布曲线的峰值所对应的速率。气体中分子速率与最概然速率相近的分子数最多气体中分子速率与最概然速率相近的分子数最多(单位区间单位区间)vOdvvfNdN)

8、( NdvdNvf )(dvvv pv101 最概然速率最概然速率 (最可几速率最可几速率)物理意义：物理意义：vp与分布函数与分布函数f(v)的极大值相对应的速率。的极大值相对应的速率。极值条件极值条件0)( pvvdvvdf三三 分子速率的三个统计值分子速率的三个统计值222/3224)(vekTmNdvdNvfkTmv RTRTmkTvp41. 122 0)22(2242222/322 pvvkTmvkTmvvekTmvvekTm 0)22224222/32 pvvkTmvkTmvvvekTm 112 平均速率平均速率v大量大量分子速率的统计平均值分子速率的统计平均值NNvviiii 0

9、对于连续分布对于连续分布 0)(dvvvfNdNvNvdNv RTRTmkTv60.188 0222/3224dvvekTmvkTmv 0232/3224dvevkTmkTmv )(22422/3mkTkTm mkT 8 123 方均根速率方均根速率2v大量分子速率的平方平均值的平方根大量分子速率的平方平均值的平方根 02022)(dvvfvNdNvv RTRTmkTv73. 1332 mkT3 0222/32224dvvekTmvkTmv 0242/3224dvevkTmkTmv kTvmEt2321_2 mkTv3_2 ANRk 13三种不同速率的公式三种不同速率的公式 RTRTmkTv7

10、3. 1332 RTRTmkTv60.188 RTRTmkTvp41. 122 1 最概然速率最概然速率2 平均速率平均速率3 方均根速率方均根速率vp与分布函数与分布函数f(v)的极大值相对应的速率，的极大值相对应的速率，即即气体中分气体中分子速率与最概然速率相近的分子数最多子速率与最概然速率相近的分子数最多(单位区间单位区间)。v大量大量分子速率的统计平均值分子速率的统计平均值2v大量大量分子速率的平方平均值的平方根分子速率的平方平均值的平方根14测定分子速率分布的实验装置测定分子速率分布的实验装置圆筒不转，分子束的分子圆筒不转，分子束的分子都射在都射在P P处处圆筒转动，分子束的速率不同

11、的分子将射在不同位置圆筒转动，分子束的速率不同的分子将射在不同位置vDt vDt vDDl222 G为一弯曲玻璃板，可沉为一弯曲玻璃板，可沉积入射到上面的各种速率积入射到上面的各种速率的的Hg分子分子lDv22 ABSP P G 分分子子源源真空室真空室狭缝狭缝圆圆筒筒15速率分布速率分布f(v)与与T、m的关系的关系10 不同温度下的同种气体不同温度下的同种气体?or,2121TTTT 112RTvp 222RTvp 21ppvv 2T1T)(vfv1pv2pvT1 T2 随着温度的升高，曲线变得平坦，以随着温度的升高，曲线变得平坦，以保证曲线下包围的面积不变。保证曲线下包围的面积不变。16

12、20 同温度下的不同种气体同温度下的不同种气体 RTvp2 21ppvv 21 O2, H2对应哪条曲线？对应哪条曲线？v)(vf1pv2pv12曲线曲线1对应的是对应的是O2曲线曲线2对应的是对应的是H217说出下列各式的物理意义说出下列各式的物理意义)(1)vfdvvf)()2(Nvf)()3(对于一定量的气体，在温度为对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下，气体分子速率的平衡态下，气体分子速率vv+dv区间内的分子数区间内的分子数N占总分子数占总分子数N的百分比的百分比 (概率概率)。对于一定量的气体，在温度为对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下，气体分子速率的平衡态下，气体分子速率出

13、现在出现在v附近、单位速率区间内的分子数附近、单位速率区间内的分子数N占总分子数占总分子数N的的百分比百分比 (概率概率)。对于一定量的气体，在温度为对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下，气体分子速率的平衡态下，气体分子速率出现在出现在v附近、单位速率区间内的分子数附近、单位速率区间内的分子数NNdvdN NdN dvdNNNdvdN 18对于一定量的气体，在温度为对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下，气体分子速率的平衡态下，气体分子速率v1v2区间内的分子数区间内的分子数N占总分子数占总分子数N的百分比的百分比 (概率概率)。对于一定量的气体，在温度为对于一定量的气体，在温度为T的平衡态

14、下，气体分子速率的平衡态下，气体分子速率v1v2区间内的分子数区间内的分子数N。 21)()4(vvdvvf 21)()6(vvdvvNfNNdvNdvdNvvvv2121 21vvNNdNN 说出下列各式的物理意义说出下列各式的物理意义气体分子速率气体分子速率0vp区间内的概率区间内的概率或或气体分子速率气体分子速率0vp区间区间内分子数内分子数dN占总分子数占总分子数N的百分比的百分比 (概率概率)。 pvdvvf0)()5(NNpv 019对于一定量的气体，在温度为对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下，气体分子速率的平衡态下，气体分子速率平方的平均值。平方的平均值。对于一定量的气体，在

15、温度为对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下，气体分子速率的平衡态下，气体分子速率的平均值。的平均值。 0)()7(dvvvf 02)()8(dvvfv说出下列各式的物理意义说出下列各式的物理意义对于一定量的气体，在温度为对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下，气体分子速率的平衡态下，气体分子速率在在v1v2区间内的平均值和在该区间概率的乘积。区间内的平均值和在该区间概率的乘积。 21)()9(vvdvvvfdvNdvdNvvv 21 21vvNdNvNNNvdNvvvvvv212121 v 2v 20速率速率介于介于v1v2之间的气体分子的平均速率的计算之间的气体分子的平均速率的计算 212

16、121)()(vvvvvvdvvfdvvvfv 2121)(vvvvdvvvfv一般地，对于变量一般地，对于变量v的某个函数的某个函数g(v) 的平均值可以表示为：的平均值可以表示为： 00)()()()(dvvfdvvfvgvg思考题：思考题：某物理量平均值的计算某物理量平均值的计算 2121)(vvvvdvNdvdNvdvvvf 21vvNdNvNNNNvvvvvvvii212121 NNvvvii 21NNvvvvv2121 21例例1 设想有设想有N个气体分子，其速率分布函数为个气体分子，其速率分布函数为 00000)()(vvvvvvAvvf试求试求: (1)常数常数A；(2)最可几

17、速率最可几速率、平均速率和方均根速率；平均速率和方均根速率；(3)速率介于速率介于0v0/3之间的分子数；之间的分子数；(4)速率介于速率介于0v0/3之间的气之间的气体分子的平均速率。体分子的平均速率。)(vfov0v解：解： (1) 气体分子的分布曲线如图气体分子的分布曲线如图由归一化条件由归一化条件1)(0 dvvf16)(30000 vAdvvvAvv306vA 22(2) 最可几速率由最可几速率由0)( pvdvvdf决定决定20vvp 平均速率平均速率 0)( dvvvfv方均速率方均速率 022)( dvvfvv方均根速率为方均根速率为02103vv 0003000)(6)(vv

18、vvvvvvvf0)2()(0 ppvvvvAdvvdf即即2)(60002300vdvvvvvv 2000330103)(60vdvvvvvv 23(3) 速率速率介于介于0v0/3之间的分子数之间的分子数 dNN(4) 速率速率介于介于0v0/3之间的气体分子平均速率为之间的气体分子平均速率为143277)(603002300vNdvvvvvNv 0003000)(6)(vvvvvvvvvf 300)(vdvvNf277)(6300300NdvvvvvNv 303030000vvvdNvdNv24作业：作业： 练习十五、十六练习十五、十六25例例2 设想有设想有N个气体分子，其速率分布曲线如图所示。设个气体分子，其速率分布曲线如图所示。设v0, N为已知，分子的质量为为已知，分子的质量为m。试求。试求: (1)用用v0, N表示表示a；(2)速率速率在在0.5v01.5v0之间的分子数之间的分子数；(3)分子的平均速率；分子的平均速率；(4)分子的分子的平均平动动能。平均平动动能。解：解： (1) 气体分子的速率分布曲线知气体分子的速率分布曲线知由归一化