二分法(安徽省2011年优质课比赛)

1、2.1541年，意大利数学家塔尔塔利亚(约1499-1557)给出了三次方程的一般解法:1.阿拉伯数学家(约780约850)花拉子米在代数学中给出了一次方程和二次方程的一般解法.3.1545年,意大利数学家卡尔卡诺(1501-1576)在大术中，把塔尔塔利亚的解法加以发展，并记载了费拉里（1522-1565）的四次方程的一般解法。阿贝尔(18021829)4.1778年，法国数大师拉格朗日（1736-1813）提出了五次方程根式解不存在的猜想。1824年，年轻的挪威数学家阿贝尔成功地证明了五次以及五次以上一元方程没有求根公式。1、函数的零点、函数的零点2 2、零点的存在性定理、零点的存在性定理

2、( ) , ( )( )0,( ), )( , ),( )0.( )0yf xa bf af bf xa bca bf ccf x如果函数在区间上图像是连续不断的一条曲线，并且有那么函数在区间(内有零点,即存在使得这个 也就是方程的根。方程 有实数根 函数 的图像与 轴有交点函数 有零点( ) 0f x ( )yf xx( )yf x例例1 1：已知函数：已知函数 在（在（2,32,3）内有零）内有零 点，求这个零点的近似值（精确度为点，求这个零点的近似值（精确度为0.010.01）。）。( )ln26f xxx对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x)，通过不断地把函数

3、f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection)。二分法的定义二分法的定义: :对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection)。二分法的定义二分法的定义: :用二分法求函数零点近似值的一般步骤：用二分法求函数零点近似值的一般步骤：3.3.计算计算f(cf(c) )： （1 1）若）若f(cf(c)=0)=0，则，则c c就是函数的零点；就是函数的零点； （2 2）若）若

4、f(a)f(cf(a)f(c)0)0 ，此时，此时零点零点x0 (a,c(a,c) )；则令则令b=cb=c，（3 3）若）若f(c)f(bf(c)f(b)0)0 ，此时零点，此时零点x x0 0(c,b)(c,b)；则令；则令a=ca=c，2.2.求区间求区间(a,b(a,b) )的中点的中点c c；1.1.确定区间确定区间a,ba,b ，使，使f(a)f(bf(a)f(b)0 )0 ，给定精确度，给定精确度；4.4.判断是否达到精确度判断是否达到精确度：即若：即若 ，则得到零点，则得到零点近似值近似值a a（或（或b b）；否则重复步骤）；否则重复步骤2 24 4abCCTV2“幸运幸运5

5、2”录制现场录制现场有奖竞猜有奖竞猜生活中的二分法思想生活中的二分法思想例例2 2 借助计算器或计算机用二分法求方程 的近似解(精确度0.1).732 xx解:原方程即 , 令 , 用计算机作出函数 的对应值表与图像图像.732)(xxfx732)(xxfx0732 xx25. 12x87.0)25.1 (f0)5 . 1 ()25. 1 ( ff)5 . 1 ,25. 1 (0 x再取（1，1.5）的中点，用计算器算得.因为,所以 . 观察图像和上表可知，说明这个函数 , 在区间(1,2)内有零点x0. (1)(2)0ff )4375. 1 ,375. 1 (0 x1 . 00625. 04

6、375. 1375. 1由于所以，原方程的近似解可取为1.4375.) 5 . 1 ,375. 1 (0 x同理可得， , .33. 0)5 . 1 (f5 . 11x0)5 . 1 () 1 ( ff取区间（1，2）的中点,用计算器算得 因为，所以 .)5 . 1 , 1 (0 x2.所有方程都能用二分法求方程近似解吗?1.某方程有一根在区间(a,b)之内，若用二分法求此根的近似值，使用“二分法”n次后，区间长度为多少？2、下列函数中能用二分法求零点的是（ ）1、用二分法求函数 在（1,2）内零点的近似值的过程中，得到则函数的零点落在区间（ ）( )yf x(1)0,(1.5)0,(1.25

7、)0,fffBBA AB BC CD DA A、（、（1,1.251,1.25）B B、（、（1.25,1.51.25,1.5）C C、（、（1.25,21.25,2）D D、不能确定、不能确定3、已知函数 求它在区间1,2上的零点，列表如下：32( )22,(1)0,(2)0.f xxxxff且中点坐标中点函数值取区间01.5x 11.25x 21.375x 31.4375x (1.5)0f(1.25)0f(1.375)0f(1.4375)0f1, 1.51.25, 1.51.375, 1.51.375, 1.4375若精确度为0.1，则结果是 。在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障。这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多。每查一个点要爬一次电线杆子，10km长，大约有200多根电线杆子呢。想一想，维修线路的工人师傅至少经过几次查找使故障范围缩小到50100m左右？一、知识：一、知识：1、二分法的定义、二分法的定义2、二分法求方程近似解的步骤、二分法求方程近似解