高一数学任意角的三角函数

1、高一数学 任意角的三角函数 一、本讲教学进度4.3 任意角的三角函数（P13-21）二、本讲教学内容 1任意角的三角函数.2单位圆和三角函数线.3三角函数在各象限的符号.4终边相同角的三角函数值.三、重点、难点选讲 1任意角的三角函数 （1）任意角的三角函不能再用初中定义锐角三角函数的办法来定义，因此通过平面直角坐标系来定义任意角的三角函数.（2）对于任意角的三角函数，由相似形的性质可知，的三角函数值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关，即角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量的函数.六个三角函数中重点要掌握的是正弦、余弦和正切.（3）引进弧度制以后，角的集合与实数集合建立

2、了一一对应关系，因此三角函数可以看成是以实数为自变量的函数，即实数 角（其弧度数等于该实数） 三角函数值（实数）（4）应注意，对于某些实数，、可能不存在.例1 已知角的终边上有一点，求的各三角函数值.解 由已知，. ，. ， ，.例2 已知角的终边经过点，求的值.分析 因的符号不确定，所以要对字母进行讨论.当，点在第四象限，当，点在第二象限.解 若，点在第四象限. . ,. . 若，点在第二象限. . ，. .2单位圆与三角函数线（1）圆心在原点，半径为单位长的圆叫单位圆.在平面直角坐标系中引进正弦线、余弦线和正切线以后，可以用有向线段的长表示这几个三角函数值，这在以后画三角函数的图象时会用到

3、.正弦线、余弦线和正切线都是三角函数线.（2）由三角函数线的作法可以知道，对任何角，正弦线、余弦线都可以作出，因此正弦函数、余弦函数的定义域是，对终边在轴上的角，正切线不存在，因此正切函数的定义域是.例3 若，利用三角函数线证明：，且.证明 在单位圆中作出角及角的正弦线，余弦线和正切线.在中，即.在中，即.例4 若，利用三角函数线证明：（1）；（2）.证明 （1）如图，在平面直角坐标系中作出角，角的正弦线和余弦线.由，为直角三角形，且，.在中，. （2）如图，分别为角的正弦线和正切线.连结.由，显然有.，. .3三角函数在各个象限的符号必须熟悉每个三角函数在各象限的符号： ， ， ， 还要熟悉

4、每个象限各个三角函数的符号.第象限：全正；第象限：仅，为正，其余为负；第象限：仅，为正，其余为负；第象限：仅，为正，其余为负.例5 已知，判断的符号.分析 首先应判断角所在象限，然后再确定角所在象限及的符号.解 ， 是第二象限角，. . 当， 是第一象限角，. 当， 是第三象限角，. 必为正数.例6 求函数的定义域.解 由已知由，角的终边在轴上，或第一象限，或第四象限，或在轴的非负半轴上.由，角的终边在第二象限，或第四象限，或在轴上.角的终边在第四象限或轴的非负半轴上.函数的定义域为.4终边相同角的三角函数值公式一：， ， . 也称为诱导公式一，利用公式一可以把任意角的三角函数化为到角的三角函

5、数.例7 求值：（1）；（2）.解 （1） . （2） .练习一、选择题1已知角是第四象限角，则下列各式中一定为正的是（ ）A BC D2若点在角的终边上，则下列函数中不存在的是（ ）A BC D3下列四个命题：若，则是第二象限角或第三象限角；且 是为第三象限角的充要条件；若，则角和角的终边相 同；若，则.其中真命题有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个4是的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充分必要条件 D既非充分又非必要条件5若，则下列各不等式中成立的是（ ）A BC D二、填空题6若角的终边与射线重合，则_.7若为的内角，且，则是_三角形（填 “锐角”、“直角”或“钝角”）.8函

6、数的值域是_.9已知，且，则是第_象限角.10用单位圆及正弦线，可以得到满足不等式在上的的集合为_.三、解答题11求值：（1）；（2）.12已知角终边上一点与轴的距离和点与轴的距离之比为，且，求和的值.13用三角函数的定义证明：.14已知，且，判断点在第几象限.答案与提示答案一、1C 2D 3A 4B 5D二、6 7锐角 8 9四 10三、11（1）；（2）12，或，13略14点在第二象限提示一、3是假命题，角的终边可能在轴非正半轴上；是真命题；是假命题，由余弦线可见，与终边不同；是假命题，4如，但；若，则必有（否则若，则，与矛盾）5可由三角函数线判断二、7若中一正二负，不妨设，则均为钝角，与三角形三内角和为矛盾，故必有，即均为锐角.8可以分为在第、第、第、第象限四种情况分别考虑.9由，知是第三象限角，是第象限角或第象限角，又由，知，是第四象限角. 10如图可得所求集合为三、11