多属性决策分析

1、第三讲 多属性决策分析 多属性多指标综合评价特点 指标间的不可公度性，指标之间没有统一量纲，难以用同一标准进行评价； 指标之间可能存在一定的矛盾性，某一方案提高了这个指标，却可能损害另一指标。上述问题即为多属性决策方法研究的问题。基本概念 由多个相互联系、相互依存的评价指标，按照一定层次结构组合而成，具有特定评价功能的有机整体，称为多属性决策的指标体系。准备工作和方法 决策指标的标准化 决策指标权重的确定 加权和法 加权积法 Topsis法第一节 多属性决策的准备工作多属性决策的准备工作包括：决策问题的描述、相关信息的采集（即形成决策矩阵）、决策数据的预处理和方案的初选（或称为筛选）。一、决策

2、矩阵 经过对决策问题的描述（包括设立多属性指标体系）、各指标的数据采集，形成可以规范化分析的多属性决策矩阵。(困难，列方程和解方程的关系，理论和实践之间的关系) 设有n个决策指标fi（1jn），m个备选方案ai 1im），m个方案n个指标构成的矩阵X=(xij)mn称为决策矩阵。决策矩阵是规范性分析的基础。 决策指标分两类：效益型（正向）指标，数值越大越优；成本型指标（逆向指标），数值越小越优。决策矩阵决策矩阵(属性矩阵、属性值表属性矩阵、属性值表)例: 学校扩建例: 学校扩建研究生院试评估的部分原始数据 指标Xj替 代 方 案Ai期望利润(万元)产 品 成品率（%）市 场 占有率（%）（万元

3、）投资费用产 品 外观自 行 设 计（A1）6509530110美 观国 外 引 进（A2）7309735180比 较 美观改 建（A3）520922550美 观投资决策数据预处理数据预处理 （1）属性值有多种类型。有些指标的属性值越大越好，如科研成果数、科研经费等是效益型；有些指标的值越小越好，称作成本型。另有一些指标的属性值既非效益型又非成本型。 例如研究生院的生师比，一个指导教师指导4至6名研究生既可保证教师满工作量， 也能使导师有充分的科研时间和对研究生的指导时间，生师比值过高，学生的培养质量难以保证；比值过低；教师的工作量不饱满。（2）非量纲化 多目标评估的困难之一是指标间不可公度，

4、即在属性值表中的每一列数具有不同的单位(量纲)。即使对同一属性，采用不同的计量单位，表中的数值也就不同。 在用各种多目标评估方法进行评价时，需要排除量纲的选用对评估结果的影响，这就是非量纲化，亦即设法消去(而不是简单删去)量纲，仅用数值的大小来反映属性值的优劣。 （3）归一化 原属性值表中不同指标的属性值的数值大小差别很大，如总经费即使以万元为单位，其数量级往往在千、万间，而生均在学期间发表的论文、专著的数量、生均获奖成果的数量级在个位或小数之间。 为了直观，更为了便于采用各种多目标评估方法进行比较，需要把属性值表中的数值归一化，即把表中数均变换到0，1区间上。103二、决策指标的标准化指标体

5、系中各指标均有不同的量纲，有定量和定性，指标之间无法进行比较。将不同量纲的指标，通过适当的变化，化为无量纲的标准化指标，称为决策指标的标准化，又叫数据预处理。有三个作用：1）变为正向指标2）非量纲化，消除量纲影响，仅用数值表示优劣3）归一化，把数值均转变为0,1区间上，消除指标值标度差别过大的影响。下面介绍几个常用的预处理方法。在决策中可以根据情况选择一种或几种对指标值进行处理。指标的标准化可以部分解决目标属性的不可公度性。1、向量归一化）的欧式距离的场合。（如理想点和负理想点与某种虚拟方案向，常用于计算各方案本方法不改变属性的方。，即列向量的模为并且每列的平方和等于阵。显然称为向量归一标准化

6、矩则矩阵中，令设决策矩阵11, 10)()1 ,1 (,)(12ijnmijmiijijijnmijyyYnjmixxyxX2、线性比例变化法。一定为为最优值，但最劣值不正向指标，化为，并且正、逆向指标均经过变换之后，均有阵。称为线性比例标准化矩矩阵则，取对于逆向指标则，取中，对于正向指标设决策矩阵0110)()1 ,1 (,min)1 ,1 (, 0max)(*1*1*ijnmijijjijijmijjjijijijmijjnmijyyYnjmixxyxxfnjmixxyxxfxX3、极差变换法变换。称标准这是一个线性变换，又为最劣值。为最优值，正向指标，化为，并且正、逆向指标均经过变换之后

7、，均有阵。称为极差变换标准化矩矩阵则，取对于逆向指标则，取中，对于正向指标设决策矩阵100110)()1 ,1 (,max,min)1 ,1 (,min,max)(*11*11*ijnmijjojijojijijmiojijmijjojjojijijijmiojijmijjnmijyyYnjmixxxxyxxxxfnjmixxxxyxxxxfxX（3）最优值为给定区间时的变换4、标准样本变换法。，方差为矩阵每列的均值为经过变化之后，标准化。称为标准样本变换矩阵矩阵样本均方差其中，样本均值中，令设决策矩阵10)()(11,1)1 ,1 (,)(121nmijmijijjmiijjjjijijnm

8、ijyYxxmsxmxnjmisxxyxX5、定性指标的量化处理如一些可靠性、满意度等指标往往具有模糊性，可以将指标依问题性质划分为若干级别，赋以适当的分值。一般可以分为5级、7级、9级等。6、原始数据的统计处理三、决策指标权的确定多属性决策问题的特点，也是求解的难点在于目标间的矛盾性和各目标的属性的不可公度。不可公度性通过决策矩阵的标准化处理得到部分解决；解决目标间的矛盾性靠的是引入权(weight)这一概念。权，又叫权重，是目标重要性的度量。权的概念包含并反映下列几重因素：决策人对目标的重视程度；各目标属性的差异程度；各目标属性的可靠程度确定权重是非常困难的，因为主观的因素，权重很难准确。

9、确定权的方法有两大类：主观赋权法：根据主观经验和判断，用某种方法测定属性指标的权重；客观赋权法：根据决策矩阵提供的评价指标的客观信息，用某种方法测定属性指标的权重。两类方法各有利弊，实际应用时可以结合使用。下面介绍几种常用的确定权的方法1、相对比较法相对比较法是一种主观赋权法。将所有指标分别按行和列，构成一个正方形的表，根据三级比例标度，指标两两比较进行评分，并记入表中相应位置，再将评分按行求和，最后进行归一化处理，得到各指标的权重。), 2 , 1(, 1, 5 . 0,)(, 0, 5 . 0, 1,11121niaafaaaaAffffffaafffnninjijnjijiijiijii

10、nmijjijijiijijn的权重系数：指标显然评分值构成矩阵不重要时；比当同样重要时；比当重要时；比当：三级比例标度的含义是设为对比较评分，其分值按三级比例标度两两相个决策指标设有例43使用本方法时要注意：1、指标之间要有可比性；2、应满足比较的传递性（一致性）。2、连环比较法（古林法）连环比较法也是一种主观赋权法。以任意顺序排列指标，按顺序从前到后，相邻两指标比较其相对重要性，依次赋以比率值，并赋以最后一个指标的得分值为1；从后往前，按比率依次求出各指标的修正评分值；最后进行归一化处理，得到各指标的权重。), 2 , 1(,)4() 1, 2 , 1(, 1) 3(; 1) 1, 2 ,

11、 1(, 1)(),21 (2)(),31 ( 3) 1, 2 , 1()2(,) 1 (,111112121nikknikrkrkfrniffffffrnirfffnfffnniiiiiiiinnniiiiiiiinn标的权重，即归一化处理，求出各指值：计算各指标的修正评分根据修正值赋以计算各指标的修正值。同样重要。和当；或相反较重要比当；或相反重要比当的比率值，比率值邻两指标相对重要程度从前到后，依次赋以相；，不妨设为个指标以任意顺序排列将个决策指标设有例题（例题（P44）用连环比率法计算例）用连环比率法计算例21中决策指标的权重。中决策指标的权重。本方法容易满足传递性，但也容易产生误差的

12、传递。3、特征向量法应用前两种方法时，如果目标属性比较多，一旦主观赋值一致性不好时也无法进行评估。为了能够对一致性可以进行评价，Saaty引入了一种使用正数的成对比较矩阵的特征向量原理测量权的方法，叫做特征向量法。这种方法在层次分析法(AHP)采用，也可以用在其他多属性决策。下面我们讲解一下原理。nnnnnnnaaaaaaaaaAAnfffn21222211121121)( :,是判断矩阵注意，不是决策矩阵，得矩阵两比较，个指标的重要性进行两决策者对个决策指标设有3.1 权重的求解思路假设各属性真实的权重是nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaAA212221212111212222111

13、211:有下面的关系是完全准确的话，一定如果矩阵1),(121niiTnWjkikijjiijaaaaankji,1, 2 , 1,都有性质：并且对于任意是正的，反矩阵，即所有元素都这就是所谓一致性正互的特征向量。对应正是最大特征值的最大特征值，而是矩阵这里有下面的关系是完全准确的话，一定如果矩阵得乘以nWAnnWnAWAWAnnnnnnnnTn212121222121211121:),(因此权重向量 的求解方法：W用幂法原理求矩阵A的最大特征值及其对应的特征向量。算术平均法。对于一个一致的判断矩阵，它每一列归一化后，就是相应的权重向量；当判断矩阵不太一致时，每一列归一化后就是近似的权重向量，

14、可以按行相加后再归一化（相当算术平均值）。1）将判断矩阵按列归一化（即使列和为1）：2）按行求和得一向量：3）再向量归一化：所得 即为A的特征向量的近似值，也就是权重。ijijijaabjijibWniWiiii,2 , 10),2 , 1(0niWiniiiiinjjijinjjijiTnjjnjnjjjnjjjAWnAAWiAWaAWniaaaaAWWAW1maxmaxmax11max11211max)(1)(,)(), 2 , 1(,),(,可以取算术平均值，即可能值并不完全相同，得到的不一定是完全一致的，由于，个分量，于是的第表示向量记故有而4）求A的最大特征值max几何平均法。对于一

15、个一致的判断矩阵，按行求几何平均值得到的向量是和权重向量成固定比例的，归一化后就是近似的权重向量。1）将矩阵A按行求几何平均值：2）对向量 归一化，令所得 即为A的特征向量的近似值，也就是权重。3）按 求最大特征值。nnjijia1Tn),(211),(21nWniiiii,2 , 1 niiiAWn1max)(1为正矩阵。，则称如果：设矩阵定义AnjiaaAijnnij), 2 , 1,( , 0,)(13.2 一致性检验为互反正矩阵。则称如果：对于正矩阵定义AnjiaanjiaaAjiijiinnij)., 2 , 1,( ,1)2();, 2 , 1,( , 1) 1 (,)(2为一致性

16、矩阵。则称如果：对于正矩阵定义AnkjiaaaaAjkikijnnij)., 2 , 1,( ,)(3的一致性。判断矩阵因此可以用最大特征值；并且其他特征值为征值而一致性矩阵的最大特，值互反正矩阵的最大特征Annn)(0,maxmaxmax则修改判断矩阵。时，接受判断矩阵，否当的比值，记作与同阶的是一致性指标一致性比率的平均一致性。因此，表示随机矩阵一致性指标为了可比性，引入随机越大一致性越差。令一致性指标1 . 0.)(),(.1.)(maxRCIRICRCIRICratioyconsistencindexrandomIRICnnICindexyconsistenc3.3 判断矩阵的构造 1

17、9标度法则标度方法。教授建议用的发明者个属性的重要程度。个属性相对第代表第一个判断矩阵：个属性，两两比较形成设决策问题有91)(SaatyAHPjiaaAnijnnij得到判断矩阵后的第一步是要进行一致性检验，只有通过检验，计算的权向量才有价值。详细内容参考教材p166p180案例4、最小加权法 又称最小二乘法，是Chu等人提出的，它涉及线性代数方程组解集，而且从概念上比Saaty的特征向量法更容易理解。是拉格朗日乘数。其中，维的无约束极值。求极值，变成这样就可以对，拉格朗日函数为：为了求多元极值下列优化问题得到：解的特征，权重可以通过中元素具有的矩阵考虑到1) 1(2)(, 0, 1. .)

18、(minSaaty11121112nLaLzNitsazaAninjniiijijiniininjijijjiij的值。和方程组可以求出给定参数元非齐次线性方程组：得令的一阶偏导数为零，和对分别令，一阶偏导数为的极值，令求iijniinjljljilniililllninjniiijijaNlaaanLNlLLaL,01, 0)()(1, 0)(0) 1(2)(1111112注意：本方法同样要求判断矩阵的一致性。5、信息熵法 信息熵法是一个客观的赋权法，根据决策矩阵所具有的信息量来赋权。熵是信息论中测定一个系统不确定性的量。信息量越大，不确定性就越少，熵就越少。反之，信息量越小，不确定性越大，

19、熵也越大。 如果某一个属性（准则）的值对所有的方案都差不多，那么这个属性对于决策来讲作用就不大，即便是这个属性很重要。如何测定这种效应呢？ 在信息学中，熵是不确定性的一个指标，用概率分布来表示，它认为一个广泛的分布比具有明显峰值的分布表示更不确定。Shannon给出的表达方法如下：njjnjjjnPPPkPPPE11211log),(其中其中k是正的常数。当所有的Pi都相等时，即Pi=1/n，熵值最大。指标值的差异越小，对方案的评价作用越低，权重应该减小。nmijijxXnjmixnm)(), 2 , 1;, 2 , 1(决策矩阵个属性，属性值为个方案，设决策问题有按列可以计算熵。所以对于每个

20、属性，每列由于理，得并按列进行归一化处化矩阵标准化处理，得到标准作或极差变换法用线性比例变换法对决策矩阵, 1, 10), 2 , 1;, 2 , 1(,)()()() 1 (11miijijmiijijijnmijnmijppnjmiyypyYxX), 2 , 1(,log)2(1njppkejmiijmijj个属性的熵按列计算第，权重相对就要大。较大，对决策作用就大差别越大说明指标值之间的差异系数和熵相反，值个属性的差异系数计算第), 2 , 1(,1)3(njeggjjjj。实际权重进行决策分析为观的权，本权重可以作如果决策者事先没有主个属性的权重为确定权重。第), 2 , 1(,)4(

21、1njggjnjjjj。得到的新权应该更有效进行修正：可以根据得到的客观权观的权如果决策者已经有了主), 2 , 1(,)5(10njnjjjjjjj6543214321550 . 5200018002 . 2775 . 4210020008 . 1535 . 6180027005 . 2955 . 5200015000 . 2)(XXXXXXAAAAD如下：假设都是正向指标例：设某决策矩阵6543214321411923. 025. 02326. 02530. 02250. 02588. 02692. 035. 02093. 02658. 02500. 02118. 01923. 015.

22、03023. 02278. 03375. 02941. 03462. 025. 02558. 02530. 01875. 02353. 0,XXXXXXAAAAPxxpiijijij进行变换得：使用X1X2X3X4X5X6EjDjj0.94460.00540.06490.98290.01710.20550.99890.00110.01330.99310.00690.08290.97030.02970.35700.97700.02300.2764分别计算每个属性的熵、差异系数和标准化权重：可见，X5的权重最大，X3的权重最小。观察其变化。修正以后得：通过的主观权重如果决策者已经有预先)4199.

23、 0 ,3616. 0 ,0420. 0 ,0067. 0 ,1041. 0 ,0657. 0()3 . 0 , 2 . 0 , 1 . 0 , 1 . 0 , 1 . 0 , 2 . 0(010njjjjjj第二节 多属性决策方法1、标准水平法由于多属性决策时，属性间具有不可替代性，决策人对部分或全部属性可能设定标准水平要求。有两种方式：1）联合法决策者设立了必须接受的最小属性值（标准等级），任何不满足最小属性值的方案都被否定，这种方法叫联合法。关键点在于标准等级（也叫阈值）的设定，要适当。如：考研单科设限、招收新员工、评定职称2）分离法分离法评价方案是建立在最大的一个属性值上，达到标准的方

24、案就接受。如：高考特招生、选拔足球运动员（在防守、速度特长）特点：属性间不可补偿在实践中被大量应用可以保证任何在某方面特别差的个体或方案不被选入只需分出接受或不接受特点：在实践中被大量应用可以保证所有个体或方案在某方面有特长2、字典法本方法类似查字典。对于一些决策情形下，单个的属性在决策中的作用很显著，甚至在最重要的属性上就可以进行决策。在最重要属性上，如果某个方案对于其他方案有较高的属性值，该方案就被选择，决策结束；如果在最重要的属性上不能区分优劣，就以第二重要的属性来进行比较；这个过程可以进行进行，直到一个方案被选中或所有的属性都被考虑过。如：高校招生，按高考成绩排序，同样成绩者，优秀三好

25、生优先。特点：本方法需要对属性的重要性排序有可能漏掉更好的方案，如对高考的批评。可能的改进是不会因为属性值略高一点就被认为更好。3、简单线性加权法是一种最常用的多属性决策方法。方法是先确定各决策指标的权重，再对决策矩阵进行标准化处理，求出各方案的线性加权均值，以次作为各方案排序的判据。注意：标准化时，要把所有指标属性正向化。步骤：1）用适当的方法确定各属性的权重，设权重向量为1,),(121njjTnW其中3）求出各方案线性加权指标值), 2 , 1(,1miyunjijji4）选择线性加权指标值最大者为最满意方案njijjmiimiyuau111*maxmax)(且指标都是正向指标。阵为作标

26、准化处理，标准矩对决策矩阵,)()()2nmijnmijyYxX注意：1）简单线性加权法潜在的假设是各属性在偏好上独立，即单个属性值对于整体评价的影响与其他属性值相互独立。如篮球运动员身高和体重不是相互独立的。2）权重设定的不可靠。如一个权重是0.1，另一个是0.4，多达4倍的关系，是否真正合理？3）假设多个属性的效用可以分解成单个属性的效用。如篮球运动员身高和体重需要相匹配。4）但是理论推导、仿真计算和经验判断都表明，简单加权法与复杂的非线性形式产生的结果很相似，而前者有简单多的理解和使用特点，因此得到普遍的应用。4、理想解法（TOPSIS法）由Yoon和Hwang开发，又称逼近理想解排序法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）这种方法通过构造多属性问题的理想解和负理想解，以方案靠近理想解和远离负理想解两个基准作为方案排序的准则，来选择最满意方案。理想解：就是设想各指标属性都达到最满意值的解；负理想解：就是设想各指标属性都达到最不满意值的解。理想解和负理想解一般都是虚拟的方案可以将m各方案n个属性的多属性决策问题视作在n维空间中的m个点