大学物理课件第3章动量与角动量

1、第三章第三章 动量与角动量动量与角动量 3.1 冲量与动量定理冲量与动量定理3.2 质点系的动量质点系的动量3.3 动量守恒定理动量守恒定理3.4 火箭飞行原理（介绍）火箭飞行原理（介绍）3.6 质心运动定理（介绍）质心运动定理（介绍）3.8 角动量守恒定律角动量守恒定律3.7 质点的角动量质点的角动量3.5 质心（介绍）质心（介绍）车辆超载容易车辆超载容易引发交通事故引发交通事故车辆超速容易车辆超速容易引发交通事故引发交通事故3-1 3-1 动量动量运动质点的质量与速度的乘积运动质点的质量与速度的乘积.vmp 单位：单位：kgms-1由由n个质点所构成的质点系的动量：个质点所构成的质点系的动

2、量： in1iin1iivmpp一、动量一、动量 瞬时性瞬时性（状态量）、（状态量）、相对性相对性（与参照系有关）、（与参照系有关）、矢量性矢量性（与速度方向一致）（与速度方向一致）结论：结论： 物体的运动状态不仅取决于速度，而且与物体的运动状态不仅取决于速度，而且与物体的质量有关。物体的质量有关。 1. 常力的冲量常力的冲量= FtI 2. 变力的冲量变力的冲量=Ftii+FFFttt12n12n=IFtiiFtnnFt22Ft11I注意：冲量注意：冲量 FI的方向不同的方向不同!的方向和瞬时力的方向和瞬时力 二、冲量二、冲量 当力连续变化时当力连续变化时tF0 xtFx：冲量：冲量图线与坐

3、标轴所围的面积。图线与坐标轴所围的面积。在数值上等于在数值上等于xIIF=dttt12xxIF=dttt12yyIF=dttt12tt12+平均冲力平均冲力 ：用平均冲力表示的动量定理为：用平均冲力表示的动量定理为：tt()21Fx=mvmv12xx=mvmv12yytt()21FyFxttt12F0 xtt()21FxxF dttt12= (中学知识）中学知识）Fmmvdtd=dvdt() 三、动量定理动量定理F=dtd mv()=dPmvmv12=PP2-1=PP2x-1x-=PP2y1yF=dtd mv()vvtt1212= txF dtt12= mvmv12xxyF dttt12= m

4、vmv12yy例：逆风行舟例：逆风行舟龙骨龙骨Vvv mvu pfpi pf|f f好船家会使八面风好船家会使八面风解：对碰撞过程应用动量定理解：对碰撞过程应用动量定理 例例1 质量为一吨的蒸汽锤自质量为一吨的蒸汽锤自1.5m高的地方高的地方落下，且不反弹。它与工件的碰撞时间落下，且不反弹。它与工件的碰撞时间=0.01s,求：打击的平均冲力。求：打击的平均冲力。=61.66101+ 1 1030 ()N=02ghvh0mmv工件工件Nmgm=2ghNmgm+)(0m0v=Nmg )(解：解：1. m为对象为对象2.分析受力。分析受力。3.初末态初末态例例2、m=1kg静止在水平桌面上，现受一力

5、静止在水平桌面上，现受一力F=1.12t作用，作用， 求求t=3s时物体的速度。时物体的速度。 372 . 0mFFNmgfvmdvdtF030合?30021vtvt先求开始运动时刻先求开始运动时刻0cos fF0sinmgFNNfst9 . 11 3秒时物是否被拉起？秒时物是否被拉起？NF26 . 0312. 1sin 所以所以3秒时物未被拉起。秒时物未被拉起。mgFFmgFFxsincos)sin(cosdtmgtdtFIttxx 39 .1)sin(cos12.121sKgmIx/62. 0 sKgmmvIxx/62. 00smvx/62. 0 Nx=0NNNxymg= 2.0 + 0.

6、02 ( N )Nmgcosty=+2mvmv()cosy=Nmgt()mvcosvvYXmvmvsinsin =Ntx 略略 例例3 一小球与地面碰撞一小球与地面碰撞 3-1m=2 10kgvv=600,=5.0m s.碰撞时碰撞时求求:平均冲力。平均冲力。0.05st =间间， FFF123外力外力， FFF ，122113.内力内力应用动量定理的微分形式：应用动量定理的微分形式：)+vv331122mm v+)(d=FFFmtd3+21(m )iiv=F(dtdiFF22FFF32332313FFFF13112121F1 22对对1的作用的作用)=11m vF1)(ddtF12+F133

7、2=33)m vF3()(dtdF+F31+222=2321v )mF)(dtdF+F+3.2 质点系的动量质点系的动量m v=Fiiid()dt此式的意义是：作用在系统上外力的矢量和等于此式的意义是：作用在系统上外力的矢量和等于系统的总动量随时间的变化率。称为质点系的动系统的总动量随时间的变化率。称为质点系的动量定理。量定理。 系统的合外力iF个质点的动量第ivmii 系统的动量iPdtPdim )iiv=F(dtdi例例1：煤车以：煤车以 v =3m/s从煤斗下通过，每秒落入车厢煤从煤斗下通过，每秒落入车厢煤 m=5000kg ，若使车速不变若使车速不变，牵引力牵引力F为多大？为多大？F解

8、：设煤车质量为解：设煤车质量为M，t 时刻落入时刻落入煤车内煤的质量为煤车内煤的质量为 m(t)FdtMm tdt v tdtMm t v t() ()( ) ( ) ()( ) ( )m tdtm t v t dmv t ( )Fdmdtv tN( ). 15 104问题：若问题：若 V(t) 常常如何求如何求 F ？3.3 动量守恒定律动量守恒定律质点系所受合外力为零，质点系所受合外力为零，总动量不随总动量不随Fi= 0时间改变，即时间改变，即常常矢矢量量 NiipP11. 合外力为零，或外力与内力相比小很多；合外力为零，或外力与内力相比小很多； 2. 合外力沿某一方向为零合外力沿某一方向

9、为零； .constpii 3. 只适用于惯性系；只适用于惯性系； 4. 比牛顿定律更普遍的最基本的定律。比牛顿定律更普遍的最基本的定律。 解：水平方向系统不受力，解：水平方向系统不受力，该方向动量守恒。该方向动量守恒。021 vMvmdtvx 11LmMMx 1LmMmx 2XY人对地人对地1v例例1：光滑轨道上有一长为：光滑轨道上有一长为 L，质量为，质量为 M的板车，车上的板车，车上有一质量为有一质量为 m的人，若人从车的一端走到另一端，则的人，若人从车的一端走到另一端，则人和车对地各走多远人和车对地各走多远 ？12车对地车对地2v2人对地人对地1v车对地车对地2v1x2xdtvx 22

10、Lxx 21解：解：mhMmgTm=02ghv问题：问题：由由M m、统动量是否守恒？统动量是否守恒？所组成的系所组成的系M=0vTMt()g=Tmt()gmvmv()0MMMmmmtmv+=g0vMMgTvv0v 例例2 已知已知 M，m，ht。求：绳子拉紧后，求：绳子拉紧后，M 与与 m 的共同速度。的共同速度。子与子与m ,M 之间的相互作用时间为之间的相互作用时间为绳子拉紧瞬间绳绳子拉紧瞬间绳 例例3炮车以仰角炮车以仰角 q 发射一炮弹，炮车和炮弹的发射一炮弹，炮车和炮弹的质量分别为质量分别为M和和m，炮弹的出口速度的大小为，炮弹的出口速度的大小为v，不计炮车与地面之间的摩擦。不计炮车

11、与地面之间的摩擦。 炮车的反冲炮车的反冲速度速度V及炮弹出口后其速度与水平面的夹角。及炮弹出口后其速度与水平面的夹角。qv解：设车相对地面的反冲速度为解：设车相对地面的反冲速度为V，方向水平向左方向水平向左炮弹相对地面的速度水平分量为炮弹相对地面的速度水平分量为Vv q qcos水平方向动量守恒水平方向动量守恒0 MVVvm)cos(q qMmmvV q qcos解得解得Vv q qcos炮弹相对地面的速度竖直分量为炮弹相对地面的速度竖直分量为q qsinvVq qsinvVvvtg q qq q cossinmMarctgtgMq3.4 火箭飞行原理（略火箭飞行原理（略）3.5 质心质心 (

12、物体的质量中心物体的质量中心 center of mass)N个粒子系统，可定义质量中心个粒子系统，可定义质量中心mrmmrmrNiiiNiiNiiic 111mxmxNiiic 1同理对同理对 y 和和 z 分量分量rcrixyzmiomymyNiiic 1mzmzNiiic 1对连续分布的物质，可以将其分为对连续分布的物质，可以将其分为N个小质元个小质元mxdmmmxxNiiic 1332121xxmmxmxxc 3311ymmyyc 质心坐标质心坐标:),(ccyx例例1：任意三角形的每个顶点有一质量：任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。，求质心。xyo（x1，y1）x2例例2：半径

13、为：半径为 R的均匀半圆形铁丝的质心的均匀半圆形铁丝的质心dq qdL=Rdq q0 cxRq qyxymydmyc mRdR q q q q0sin 22Rm/)/(Rm 2 单单位位长长度度质质量量为为2 R解：取质量元解：取质量元dmdLdm 3.6 质心运动定理质心运动定理cccamdtvdmdtvmddtPdF总总总总总总合合 )(camF rizxyrcrixyzmiO总mrmmrmrNiiiNiiNiiic111将此式求导将此式求导:总总mvmmdtrdmdtrdviiiNiiicc1 iiicvmvmP总总即质点系的总动量等于它的总质即质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的运

14、动速度的乘积量与它的质心的运动速度的乘积左式表明左式表明:一个质点系的质心的运动一个质点系的质心的运动,就如同这样一个质就如同这样一个质点的运动了点的运动了,该质点质量等于整个质点系的质量集中在质该质点质量等于整个质点系的质量集中在质心心,而此质点所受的力是质点系所受的所有外力之和而此质点所受的力是质点系所受的所有外力之和 . 3.7 质点的角动量质点的角动量角动量方向：角动量方向：右手螺旋法则确定（见下图）右手螺旋法则确定（见下图）一、角动量（描述质点定点转动状态）一、角动量（描述质点定点转动状态） vrm定义：定义：prL 角动量大小角动量大小 sin mvrL mvdLrp od特点：瞬

15、时性、矢特点：瞬时性、矢量性、相对性。量性、相对性。单位单位:sKgm /2三、角动量定理三、角动量定理rF oM L rp rp v p r F r FM(力矩力矩)角动量定理：角动量定理：dtLdLM 1221LLLddtMtt终始合二、力对质点的力矩二、力对质点的力矩sinrFdFM提问提问:力矩为力矩为0的情况的情况?定义定义:FrM单位单位:矢量性矢量性:mN Fr 力矩力矩力力prL 动量矩动量矩动量动量作用在质点上的合力矩等于质点角动作用在质点上的合力矩等于质点角动量对时间的变化率量对时间的变化率.当当Fr/M 0由上式可知由上式可知常常矢矢量量 L质点在合外力矩为质点在合外力矩

16、为0或或有心力作用下角动量守恒有心力作用下角动量守恒 m Lvrr 例如：开普勒第二定律行星对例如：开普勒第二定律行星对太阳的矢径在相等时间内扫过太阳的矢径在相等时间内扫过相同的面积相同的面积 sinrmvL sinrtrm trrm sin212tSm 21221LLLddtMtt 终终始始合合002即即合合外外力力矩矩为为时时设设过过程程合合,t1 Mtmv1r1mv2r2=2.931041.5210111.4710113.03104 mv2=1.9310-7 1/s1v1r12.931041.521011=2.0610-7 1/s=2v2r2=3.031041.471011解：由角动量守

17、恒解：由角动量守恒v1r1v2r2=例例1 当地球处于远日点时，到太阳的距离为当地球处于远日点时，到太阳的距离为1.521011m，轨道速度为，轨道速度为2.93104m/s，半，半年后，地球处于近日点，到太阳的距离为年后，地球处于近日点，到太阳的距离为1.471011m。求：。求： （1）地球在近日点时的轨）地球在近日点时的轨道速度；道速度； （2）两种情况下，地球的角速度。）两种情况下，地球的角速度。 例例2 在光滑的水平铁轨上在光滑的水平铁轨上,一辆质量为一辆质量为 的无动力的无动力检修车正以检修车正以 的速度前进的速度前进,车上站立一质量为车上站立一质量为 50 的人的人,此人向着与一

18、铁轨成此人向着与一铁轨成 角的侧前方以相对于车角的侧前方以相对于车的速度的速度 跳下跳下,求跳下车后求跳下车后,检修车的速度和跳车过检修车的速度和跳车过程中铁轨受到的侧向冲量程中铁轨受到的侧向冲量.Kgm20012msmv/3060smu/5Kg解解画示意图画示意图:设检修车的速度设检修车的速度,方向方向人对地的速度人对地的速度在在y轴上动量守恒轴上动量守恒解之解之,得得铁轨对人和车的冲量铁轨对人和车的冲量铁轨受到的冲量铁轨受到的冲量60 xy车vjvuiuv)60cos(60sin车车 )60cos(车车vuvy )60cos()(21021车车车车vumvmvmm smv/5 . 2 车车

19、23050 5216.52xIm v iii 侧sKgmiI/5 .216 铁铁侧侧u车vaM例例3：各面间光滑，求：各面间光滑，求am和和:m)cos(sin:qqMMaamTx对对地)sin(cos:qqMmammgTy对:M对地MaMTxqsin:0cos:MgTNyq四个未知数四个方程式联立可解四个未知数四个方程式联立可解.mMqMqMgNTxy对地MaMma对对q对地mammgTq解：设相对解：设相对M的加速度为的加速度为 方向如图方向如图Mma对对又设又设M相对地相对地的加速度为的加速度为 方向如图方向如图对对地地Ma则则m相对地相对地的加速度为的加速度为 方向如图方向如图对对地地

20、majaiaajaiaaMmMmMmymxm)sin()cos(q q q q 对对对对对对地地对对地地对地MaMma对 3-1 一小船质量为一小船质量为100kg，船头到船尾共长，船头到船尾共长3.6m。现有。现有一质量为一质量为50kg的人从船尾走到船头时，船头将移动多少的人从船尾走到船头时，船头将移动多少距离？假定水的阻力不计。距离？假定水的阻力不计。 =MVmvtdVtdvMm=v0=tdst0=tdVsttdvMm0tMm=ssMm=ss+=lMm=s+ssms+=lMmms+=s sl=501003.650+=1.2m=0MVmv解：由动量守恒解：由动量守恒vVl 3-2 如图，一

21、浮吊，质量如图，一浮吊，质量M =20t，由岸，由岸上吊起上吊起m =2t的重物后，再将吊杆的重物后，再将吊杆0A与竖直与竖直方向间的夹角方向间的夹角由由600转到转到300。设杆长。设杆长l =OA =8m，水的阻力与杆重忽略不汁，求浮，水的阻力与杆重忽略不汁，求浮吊在水平方向移动的吊在水平方向移动的距离，并指明朝那边距离，并指明朝那边移动。移动。解：由动量守恒解：由动量守恒=()u0MVmvM m+=Vmu=3060 xl20sin=0sin()2.93mt=x2ux1=Vt=M m+mux2u=M m+mx2=2.93220 2+= 0.267mx2300600 3-3 一炮弹，竖直向上

22、发射，初速度为一炮弹，竖直向上发射，初速度为v0，在发射后经，在发射后经 t s在空中自动爆炸，假定在空中自动爆炸，假定分成质量相同的分成质量相同的 A、B、C 三块碎片。其中三块碎片。其中 A块的速度为零；块的速度为零；B、C 二块的速度大小相二块的速度大小相同，且同，且B 块速度方向与水平成块速度方向与水平成角，求角，求B、C两碎块的速度（大小和方向）。两碎块的速度（大小和方向）。ABCvvBvC=0qcosmv=cosmv3sin=mvtyqmvmvsin+qcoscos=q=v3vty2sin=gtv0vty=v32sin()gtv0解：设碎片解：设碎片C与水平方向成与水平方向成角角爆

23、炸前后系统的动量守恒，得：爆炸前后系统的动量守恒，得：代入上式，得：代入上式，得：解得：解得：ABCqxyvv10m v212=11m v21212m v2122+=10v21v222v2()v2= 4.69107m/s2m1=m2解解：(1)由机械能守恒：由机械能守恒： 3-4 质量为质量为 7.2010-23 kg、速度为速度为6.0107m/s的粒子的粒子A，与另一个质量为其，与另一个质量为其一半而静止的粒子一半而静止的粒子B相碰，假定这碰撞是弹相碰，假定这碰撞是弹性碰憧，碰撞后粒子性碰憧，碰撞后粒子A的速率为的速率为5107m/s，求：求： （1）粒于）粒于B的速率及偏转角；的速率及偏

24、转角； （2）粒子）粒子A的偏转角）。的偏转角）。()cosm v10m v12111cosmv221=+2=1cos1sin12=2cos2sin1+10v44210v1v22v21v8=1cos(2)系统动量守恒系统动量守恒sin()m v2111mv221=sin0m v11m v2210m v112yxo2=+v112v22coscos10v得：得：(1)v11sinv2sin2=(2)代入代入(1)(2)得：得：21v2v=2sin1sin0.925=4(6.0107)2+4(5107)2-22101486.01075107=22020=15404=2=251074.691070.8

25、094=+10v44210v1v22v21v8=1cos 3-6 地面上竖直安放着一个劲度系数为地面上竖直安放着一个劲度系数为k 的弹簧，其顶端连接一静止的质量的弹簧，其顶端连接一静止的质量 M。有。有个质量为个质量为m 的物体，从距离顶端为的物体，从距离顶端为A 处自由处自由落下，与落下，与M 作完全非弹性碰撞。求证弹簧对作完全非弹性碰撞。求证弹簧对地面的最大压为：地面的最大压为：Mmh2ghv10=Mgk=x 0Mgk=x 0212221=+()Mmv0kx 0+()Mmgx 0221kx+()Mmgx解：选解：选O点为零势能点点为零势能点v0=m+Mm2gh在完全非弹性碰撞后在完全非弹性

26、碰撞后x 0设平衡位置时的位移为：设平衡位置时的位移为：ABMmox 0 x h 从平衡位置从平衡位置A 到最大位移到最大位移B 过程中机械能守恒，得：过程中机械能守恒，得：m21+()Mm+()Mm222ghk21+kM g22+()MmMg2=221kx+()Mmgx2+()Mm2kx+()Mmgx+m22gh+k+m222ghm2gMk= 0=k+()Mmkxmg+()Mmg2+gh1解得：解得：弹簧对地面的最大正压力弹簧对地面的最大正压力N 为：为：fmax=k+()Mmkxmg+()Mmg2+gh1N = 3-7 一个球从一个球从h高处自由落下，掉在地高处自由落下，掉在地板上。设球与

27、地板碰撞的恢复系数为板上。设球与地板碰撞的恢复系数为e 。试证：试证： （1）该球停止回跳需经过的时间为）该球停止回跳需经过的时间为: （2）在上述时间内，球经过的路程是）在上述时间内，球经过的路程是:+=1gte2h1 esh2+=1 e1 e2()ev2=v1v10v20v102gh=g2ht0v20=()0v2=2v1=gh1e 2gh2=gh12e h=h1设第一次反弹的高度为设第一次反弹的高度为h1设来回一次的时间为设来回一次的时间为:=g2ht1221=e2ghv10v1h 1hv10v2=ev20v1解解: (1)4e h=h2=g2ht2222=2e2g2h设第二次反弹的高度为

28、设第二次反弹的高度为h2 ,同理有同理有:e 2gh2=gh21依次类推依次类推=tt2t1t022+.=teg2he21+.2e()+g2h=teg2he21+.2e()+g2h+=()1aq2aqa+.n-1aqn=1=qa=teg2he21()+g2h1+=teg2he21()1+=1ge2h1 e=h2+.2eh24eh.=h2+2eh6e2e+()12e=h2+2eh(11)2e= h+(11)22eh2+=1 e1 e2s0=2h, s1=h 12s2=h 2,.,(2)=s0s1s2+.hh 1h 222+.=shgt212=xtv0=6.4mx h+=+tv0gt212=6.4

29、m+1.5t9.821t26.4=hgt212=9.82114.9m=解解:当球与底版碰撞时当球与底版碰撞时t =1s6.4xhv0 3-8 一电梯以一电梯以1.5ms匀速上升，一静止于地匀速上升，一静止于地上的观察者自某点将球自由释放。释放处比电梯上的观察者自某点将球自由释放。释放处比电梯的底板高的底板高 6.4m。球和地板间的恢复系数为。球和地板间的恢复系数为 0.5。问球第一次回跳的最高点离释放处有多少距离？问球第一次回跳的最高点离释放处有多少距离？0.52gh1=2gh1.5()+1.5+9.8 4.920.5=(1.5)+1.5+7.15=h1=(7.15)229.8= 2.6mh1

30、=sh= 4.9-2.6 = 2.3m()e1.52gh1=2gh1.5v10v2=v20v1()ev2=v20=1.5m/s2gh=v10=2gh2v1()e1.52gh1=2gh1.5 3-9 如图是一种测定子弹速度的方法。如图是一种测定子弹速度的方法。子弹说平地射入一端固定在弹簧上的木快内，子弹说平地射入一端固定在弹簧上的木快内，由弹簧压缩的距离求出子弹的速度。已知子由弹簧压缩的距离求出子弹的速度。已知子弹质量是弹质量是0.02kg木块质量是木块质量是8.98kg。弹簧。弹簧的劲度系数是的劲度系数是100N/m，子弹射人木块后，子弹射人木块后，弹簧被压缩弹簧被压缩10cm。设木块与平面间

31、的动摩。设木块与平面间的动摩擦系数为擦系数为0.2，求子弹的速度。，求子弹的速度。Mmkmvv0M m+()=Mmk已知：已知：m =0.02kg M =8.98kgk = 100N/m= 0.2x =10cm解解:由系统动量守恒得：由系统动量守恒得：mvv0M m+=xk212弹簧压缩后的弹性势能弹簧压缩后的弹性势能:v212M m+()碰撞后系统的动能碰撞后系统的动能:g=xM m+()Af压缩过程摩擦力的功压缩过程摩擦力的功:=2gxM m+()x21M m+()k212mv0M m+()v0=2gxM m+()x21+k212mM m+()22=10.18104v0= 319m/s由功

32、能原理由功能原理: 3-10 一质量为一质量为 m的铁块静止在质量为的铁块静止在质量为M的劈尖上的劈尖上 ，劈尖本身又静止在水平桌面上，劈尖本身又静止在水平桌面上 。设所有接触都是光滑的。当铁块位于高出桌设所有接触都是光滑的。当铁块位于高出桌面面h 处时，这个铁块处时，这个铁块-劈尖系统由静止开始运劈尖系统由静止开始运动。当铁块落到桌面上时，劈尖的速度有多动。当铁块落到桌面上时，劈尖的速度有多大？劈尖与地面的夹角为大？劈尖与地面的夹角为。 hM(=)h2singmmv212cosvv+2Mv2120M=mvcosvv()hmMvvv解：设铁块相对劈尖的解：设铁块相对劈尖的 滑行速度为滑行速度为

33、 v由动量守恒得：由动量守恒得：mvcosM m+()v=(1)由机械能守恒得：由机械能守恒得：(=)h2singmmv212cosvv+2Mv212=22+h2gmm2cosvMM m+()sin2()=+hgmm2cosvMM m+()sin2()+=h2gmm v22cosv+Mv2vv2(2)mvcosM m+()v=(1)将将(1)代入代入(2)经整理后得：经整理后得： 3-11 在图示系统中，两个摆球并列悬在图示系统中，两个摆球并列悬挂，其中摆球挂，其中摆球 A质量为质量为 m1= 0.4kg，摆球，摆球B 的质量为的质量为 m2 = 0.5kg。摆线竖直时人和摆线竖直时人和B 刚

34、好相接触。现将刚好相接触。现将 A拉过拉过1= 400 后释后释放，当它和放，当它和 B 碰撞后恰好静止。求：碰撞后恰好静止。求： （1）当）当B再次与再次与A相碰后，相碰后，A能摆升的能摆升的最高位置最高位置2； （2）碰憧的恢复系数。）碰憧的恢复系数。hm1m2q1AB()1qhl1cos1=gmv10m212=h1112gh=v101()1qlcos1=2g= 0v1=v10m1v10=m v22m1=mv22()1qlcos12g解：解：(1)设摆长为设摆长为 l由机械能守恒：由机械能守恒：碰撞过程动量守恒。由题意：碰撞过程动量守恒。由题意：m1v10=mv22hm1m2q1v10v2

35、0v1=v2e=v2v10m1=m2()1qlcos12g()1qlcos12g1m1m2=0.40.150.8=v10=v20=v20m1m2=v2v20m1m2m2+1e+()+()1qlcos12g(2)B再次与再次与A发生碰撞，发生碰撞，B球的初速为：球的初速为：v10m1=m1m2+1e+()()1qlcos12ggmv2m212=11l ()1qcos2m1=m1m2+1e+()()1qlcos12g22()221()1qlcos2gm1=m1m2+1e+()()1qcos122()2()1qcos2=0.853qcos2q2=31 460由机械能守恒：由机械能守恒： 3-12 质

36、量为质量为 m1与与 m2的两个物体的两个物体 1和和 2可可沿光滑表面沿光滑表面 PQR 滑动（如图）。开始，将物体滑动（如图）。开始，将物体1压紧弹簧（它与弹簧未联接），然后放手，让压紧弹簧（它与弹簧未联接），然后放手，让物体物体1与静止放在与静止放在 Q处的物体处的物体 2作弹性碰撞，作弹性碰撞，假假定弹簧的劲度系数为定弹簧的劲度系数为 k,开始压缩的距离为开始压缩的距离为x0。 (1) 如如m1m2，问碰擅后物体，问碰擅后物体1能再将弹簧能再将弹簧压缩多大距离压缩多大距离 x ? (2)如如m1=m2，x又为多少？又为多少？ (3)如仍为如仍为m1m2，而物体，而物体2到达到达R时恰好

37、时恰好停止，问原来压缩弹簧的距离停止，问原来压缩弹簧的距离x0为多少？为多少？ PQmk1m2PQmk1m2x 0m10v10kx212212=()2=v20v10v1m1m2m1m2+m2 解：运动过程中，解：运动过程中，动量守恒，机械能守恒动量守恒，机械能守恒取取O点为平衡位置，点为平衡位置，当弹簧被压缩当弹簧被压缩 x0时：时：=v2()2v10v20m2m1m1m2+m1设碰撞后两物体速度分别为设碰撞后两物体速度分别为v1,v2 。由完全弹性碰撞公式：由完全弹性碰撞公式：=v1()v10m2m1m1m2+0v20=m10v10kx=m1v1212kx212=m1v1kx=v10m1m2

38、m1m2+m1kx=x 0m1m2m1m2+(1)m2m1设设m1返回后将弹簧压缩返回后将弹簧压缩 x , 由机械能守恒由机械能守恒0=v1x= 0=m1m2(2)代入弹性碰撞公式，得：代入弹性碰撞公式，得：m2v2212=m gh2v22=2ghm1m2m2(3)到达到达R 刚好静止刚好静止2x 0m1m1m2+=2422gh()k2m1m1+km2ghx 0=0，=v20v2=2gh将将代入弹性碰撞公式，得：代入弹性碰撞公式，得： 3-13 如图所示，如图所示，A、B两木块，质量各为两木块，质量各为mA与与 mB，由弹簧联接，开始静止于水平光滑的桌面上，由弹簧联接，开始静止于水平光滑的桌面

39、上，现将两木块拉开现将两木块拉开(弹簧被拉长弹簧被拉长)，然后由静止释放，然后由静止释放，求两木块的动能之比。求两木块的动能之比。 AmBmAB+=0Am vABm vB=AmvABmvB()Em v212AAm v2AAmA2=Ak()Em v212BBm v2BBmB2=Bk解：系统的动量守恒解：系统的动量守恒=EBkEAkmAmB 3-14 一质量为一质量为m的球，从质量为的球，从质量为M的圆弧形的圆弧形槽中自静止滑下，设圆弧形槽的半径为槽中自静止滑下，设圆弧形槽的半径为R（如图）。（如图）。若所有摩擦都可忽略，求小球刚离开圆弧形槽时，若所有摩擦都可忽略，求小球刚离开圆弧形槽时，小球和木

40、块的速度各是多少？小球和木块的速度各是多少？MRMmRgmmv212=MV212+0=+mvMV=mvMV2M m+=RgM()m解：设解：设m 刚离开圆弧轨道时的速度为刚离开圆弧轨道时的速度为 v M 的速度为的速度为V整个过程机械能守恒整个过程机械能守恒动量守恒动量守恒2M m+=v2RgM解得：解得： 3-15 图中所示是大型蒸气打桩机示意图，图中所示是大型蒸气打桩机示意图，铁塔高铁塔高40m，锤的质量，锤的质量10 t，现将长达，现将长达38.5m的钢筋混凝土桩打入地层。已知桩的质量的钢筋混凝土桩打入地层。已知桩的质量为为24 t其横截面为其横截面为0.25m2的正方形，桩的侧的正方形

41、，桩的侧面单位面积所受的泥土阻力为面单位面积所受的泥土阻力为k =2.65104Nm2。（1）桩依靠自重能下沉多深？）桩依靠自重能下沉多深？（2）桩稳定后把锤提高）桩稳定后把锤提高1m，然后让锤自由，然后让锤自由下落而击桩。假定锤与桩发生完全非弹性碰下落而击桩。假定锤与桩发生完全非弹性碰撞，一锤能打下多深？撞，一锤能打下多深？ （3）当桩已下沉）当桩已下沉35m时，一锤又能打下多时，一锤又能打下多深？假定此时锤与桩的碰撞不是完全非弹性深？假定此时锤与桩的碰撞不是完全非弹性碰撞，而是锤在击桩后要反跳碰撞，而是锤在击桩后要反跳5cm。 s = 40.5 = 2msfyk=Ad =f dyl0A=f

42、 dy0sykl0=dy0=AEk l212=0s=gm l0k l2120s=gml0k2s2241039.82.6510428.88m=解：解：(1)设桩周长为设桩周长为s当桩下沉当桩下沉 y 时，阻力为：时，阻力为：由功能原理：由功能原理：yfl0mgyo2ghv0=Afy=ksdl0l0+yd()2=21ks dl0+dmv0= M m+()v1m=M m+v12gh(2)设锤击桩后再下沉深度为设锤击桩后再下沉深度为 d , 由机械能守恒：由机械能守恒：l0dl0+桩从桩从下沉到下沉到深度，阻力的功为：深度，阻力的功为：打击瞬间动量守恒打击瞬间动量守恒得到：得到：+=E121M m+(

43、)v12M m+()gd+=2M m+()gdmM m+gh2.65d2+13.74d-2.88=0 对于下沉过程应用功能原理对于下沉过程应用功能原理(当桩下沉当桩下沉 d时作为零势能点时作为零势能点,即即 E2 =0 )。=E1E2EAf()2=21ks dl0+d由上两式并代入数字化简后得：由上两式并代入数字化简后得：d = 20cm+()h=hvvMmv1Mmg+()2=102.42 9.80.0514104+()2.257=h(3)假定锤的反跳高度为：假定锤的反跳高度为：v2gh=反跳速度为：反跳速度为：v2gh=锤与桩碰撞前速度为：锤与桩碰撞前速度为：Mmv1=vMv由动量守恒：由动量守恒：设碰撞后桩向下运动动速度为：设碰撞后桩向下运动动速度为： v1A=k21s()d1+l2d1=E1E2设桩碰撞后下沉的距离为设桩碰撞后下沉的距离为d1,由功能原理：