平稳过程的相关函数

1、平稳过程的相关函数定理定理3.1（相关函数的性质）（相关函数的性质）设 Rx()是平稳过程X(t),-t 的相关函数) Rx(0) 0;) Rx(-)= Rx() , 即Rx()是偶函数;) |Rx()| Rx(0);) R() 具有非负定性，即对任意的n,任意的t1,t2.tn，任意的复数l1,l2ln.总有110nnXjiijijRtt l l 证明证明：（）由相关函数的定义知道， Rx(0)=EX2(t)=2x 0即即平稳过程的自相关函数平稳过程的自相关函数在在=0处是非负值处是非负值（）根据相关函数Rx(t1,t2)具有对称性的推论可得：Rx(-)=EX(t)X(t-) =EX(t-)

2、X(t) （令（令s=t-） =EX(s)X(s+) =Rx()即自相关函数是变量即自相关函数是变量的偶函数的偶函数随机变量随机变量X、Y，总有总有(E(XY)2E(X2)E(Y2) （）根据Cauchy-Schwarz不等式可推出： 000)()(R22xxxxRRRtEXtEXtXtEX自相关函数在自相关函数在=0处有最大值处有最大值 思考：思考：是不是只有在是不是只有在0处才取得最大值处才取得最大值？（）这是相关函数Rx(t1,t2)具有非负性（定理3.1（）的直接推论，定理可推广到复平稳过程Z(t)中：只需将（ ）改成证明如下： ZZR)s(s-RtsZEZtZtEZtZtEZ令对对协

3、协方差函数方差函数C CX X（ ），不难得到不难得到类似类似的的性质性质：协方差和相关函数在协方差和相关函数在=0处取得最大值处取得最大值 220,0 xxxxRC）（ZZR)(R复平稳过程的相关函数不是偶函数复平稳过程的相关函数不是偶函数,具有共轭对称性具有共轭对称性 x2R.BDAD0BEAEB,A,sintcostX3 . 3求相关函数，且是不相关的随机变量其中设随机过程例ttBA 2x2x222x0R0cosRtXtcossinsincoscoscoscossincostX,R0sintBEcostAEtEX处取到最大值且在是一个偶函数，易见是一个平稳过程。无关，因此与相关函数是一个

4、常数均值函数解：ttBEttAEtBtAtBtAEtXEtt .2 , 1 , 0,!etNPtN, 0,21tXtX, t.I-I)(X4 . 3kkktNtIPIPttk的泊松过程，即为是强度数内电流正负号的改变次段是随机的。假定在时间即电流正负号的变化对于固定的的电流信号或是只取随机电报信号例 是一个常数的均值函数解：02121tEXIItX 2222xItPIItPItE,R0tXXtXXtXXtt时，相关函数 2xx2n2mnn0R0m,R0NXn0, 00mXEX.2, 0nEXnX2.,1,0,n,nX5 . 3处取得最大值且在。可得：那么称它为正态白噪声，量服从正态分布一个独立

5、过程且随机变如果再假定随机序列是离散白噪声。通常称这个平稳序列为是一个平稳时间序列。无关，因此与，相关函数由于均值函数是常数，量且是两两不相关的随机变其中设随机序列例mRmmRmnDXxx., 2. 1, 0.N, 2. 1, 0 ,Y5 . 3, 2. 1, 0,6 . 3100n是一个平稳过程，证明是常数、是正整数，其中，记。中所给出的离散白噪声是例设例nYXnXnNNkknkn定义3.4 设X(t),tT, Y(t),tT 是两个平稳过程.如果互相关函数对一切t,t+T与t无关，那么,称X(t)与Y(t)是平稳相关的，也称X(t)与Y(t)是联合平稳的.在X(t)与Y(t)是联合平稳的情

6、形下，通常记互相关函数定义3.4也可以推广到复随机过程上去，这里就不再详细叙述了。 tYtEXttRXY,( XYXYRttR,当X(t)与Y(t)联合平稳时，互协方差函数与t无关。两个平稳相关的随机过程的互相关函数不再具有定理3.1中给出的那些性质。 XYR XYYXXYXYCRttC,定定理理3.2（互相关函数的性质）设RXY()是两个平稳相关的平稳过程X(t)和Y(t)的互相关函数。（）R XY(-)=RYX ()（）| RXY() 2|RX(0)RY(0) 证明（）由互相关函数的定义知道，由互相关函数的定义知道， RXY(-)=EX(t)Y(t-)=EY(t-)X(t) (记s=t-

7、) =EY(s)X(s+) =RYX() 证明证明（）由柯西由柯西许瓦兹不等式推得许瓦兹不等式推得 |RXY()|2=|EX(t)Y(t+)|2 E(X2(t)E(Y2(t+) =RX(0)RY(0)对于互协方差函数CXY(),也有类似的两条性质。例3.7 设X(t)是雷达的发射信号，遇目标后返回接收机的微弱信号（即回波信号）时aX(t- 0),其中，a是近于0的正数，0是信号返回所需时间。由于回波信号必然伴有噪声，记噪声为N(t),于是，接收机收到的全信号为Y(t)=aX(t-0)+N(t). 假定雷达发射信号X(t)与噪声N(t)是平稳相关的Y(t)的均值函数为常数aX+N，且相关函数RY

8、(t,t+)=EY(t)Y(t+) =EaX(t-0)+N(t)aX(t+-0)+N(t+) =a2RX()+RN()+aRXN(+0)+aRXN(-0) =RY()与t无关，因此，Y(t)也是一个平稳过程。X(t),Y(t)的互相关函数RXY(t,t+)=EX(t)Y(t+) = EX(t)(aX(t+-0)+N(t+) =aEX(t)X(t+-0)+EX(t)N(t+) =aRX(-0)+RXN() =RXY()与t无关，因此，X(t),Y(t)也平稳相关。如果噪声N(t)的均值N=0，且N(t)与X(t)相互独立，那么，由RXN()=EX(t)N(t+) =EX(t)EN(t+) =XN=0推得，X(t)与Y(t)的相互函数 RXY()=aRX(-0