向量分析与场论

1、Ch6 向量分析与场论向量分析与场论-2-工程数学-向量分析场论1 向量分析向量分析1. 向量值函数向量值函数2. 矢端曲线矢端曲线3. 向量值函数的导数向量值函数的导数4. 向量值函数的积分向量值函数的积分-3-工程数学-向量分析场论1.向量值函数向量值函数:设设 X是一个非空数集是一个非空数集, 若存在一个对应规则，若存在一个对应规则， 使得使得,tX 有唯一确定的有唯一确定的AY与之对应与之对应 ,记作记作( ).AA t Y 是一个非空向量集是一个非空向量集,则称则称 为为 t 的向量值函数，的向量值函数，A( )A t的坐标形式为：的坐标形式为：( )( )( )xyzAA t iA

2、 t jA t k( )A t( )xA t( )yA t( )zA t-4-工程数学-向量分析场论( )A t称为此曲线的称为此曲线的向量方程向量方程. 当当 t 变化时，变化时，将将 的起点取在原点，的起点取在原点，( )A t的终点所形成的的终点所形成的( )A t称为称为 的的矢端曲线矢端曲线；( )A t曲线，曲线，zxyo( )A t( , , )x y z矢端曲线的矢端曲线的参数方程参数方程：( ),xxA t( ),yyA t( )zzA tzxyocos ,xasin ,yazb如如 圆柱螺旋线圆柱螺旋线cossinraiajb k参数方程为参数方程为向量方程为向量方程为2.

3、矢端曲线：矢端曲线：-5-工程数学-向量分析场论3. 向量值函数的导数向量值函数的导数zxyoM( )A t()A ttA若若点点 的某邻域内有定义的某邻域内有定义 ,t00()( )limlimttAA ttA ttt 则称此极限为则称此极限为 在点在点( )A tt(1) 导数导数:存在，存在，处的处的导数导数（导矢导矢），），记作记作ddAt( )A t或或N( )A t设向量值函数设向量值函数( )A t在在( )( )( )xyzAt iAt jAt k-6-工程数学-向量分析场论设设( )cossin,eij 证明证明1( )( ),ee 且且1( )( ).ee( )(cos )

4、(sin)eij证：证：1( )sincoseij 1( )(sin )(cos )eij cossinij ( ),e 1( )( )eecossinsincos01( )( ).ee例例1.1( )( ),eesincosij 1( )e -7-工程数学-向量分析场论(2) 微分：微分： 设向量值函数设向量值函数( ),AA t称称d( )dAA tt为为 在在 处的处的微分微分.t( )A td( )dAA tt( )( )( ) )dxyzA t iA t jA t ktd( )d( )d( )xyzA t iA t jA t kd A( )A t与与同向，同向，0t 0t 与与反向，

5、反向，d A( )A t( )A tt-8-工程数学-向量分析场论(3) 导数公式导数公式1)( )0C 2)()AB AB3)()uA u AuA4)()A B A BA B5)()AB ABABd6)( ( )dA u ttddddAuut-9-工程数学-向量分析场论例例2. 证明证明AConstd0dAAt证：证：AConst22AAConst2ddAtd2dAAt0-10-工程数学-向量分析与场论(4) 导数的几何意义导数的几何意义zxyo( )A tM()A ttANAtA与与同向，同向，0t AtA与与反向，反向，0t At始终指向始终指向 t 增大的方向增大的方向,( )A t0

6、limtAt 始终始终指向指向 t 增大的方向增大的方向.为为切向量切向量，AtA-11-工程数学-向量分析场论rxiy jzk向径函数向径函数ddddrxiy jzk222d(d )(d )(d )rxyz弧微分弧微分222d(d )(d )(d )sxyz zxyorMrN从而从而dd1,ddrrss为为单位切向量单位切向量，ddrs始终指向参数始终指向参数 s 增大的方向增大的方向.取参数为弧长取参数为弧长 s（自然参数）（自然参数）-12-工程数学-向量分析场论(5) 导数的物理意义导数的物理意义zxyo( )r tM0M设质点 M 的运动方程为:( )rr tsddrtddddrss

7、tvv 速度ddvtw 加速度22ddrt-13-工程数学-向量分析场论例例3. 求曲线求曲线( )2cos2sin4rijk4在在 处的切线和法平面方程处的切线和法平面方程.解：解：( )2sin2cos4rijk 4当当 时，时，()224rijk()2244rijk 切线方程为：切线方程为：22422xyz法平面方程为：法平面方程为：2(2)2(2)4()0 xyz-14-工程数学-向量分析场论4. 向量值函数的积分向量值函数的积分若在区间若在区间 I 上，有上，有( )( ),B tA t(1) 不定积分不定积分:记作记作( )dA tt( )B tC则称则称( )B t为为在区间在区

8、间 I 上的一个上的一个原函数原函数；( )A t原函数全体，原函数全体， 称作称作( )A t在区间在区间 I 上的上的不定积分不定积分，( )dA tt ( )d( )d( )dxyziA ttj A ttkA tt( )B t为为的一个的一个原函数原函数，( )A t若若则则( )dA tt在区间在区间 I 上上( )A t的的-15-工程数学-向量分析场论不定积分公式不定积分公式1)( )d( )dkA ttk A tt2) ( )( )d( )d( )dA tB ttA ttB tt3)( )d( )du ttu tt4)( )d( )dA ttA tt5)( )d( )dA ttA

9、 tt6)( ) ( )dA u u tt7)( )( )dA tB tt( )( )( )( )dA uB tA tB tt( )dA uu-16-工程数学-向量分析场论(2) 定积分：定积分：10lim( )niiniAt21( )dTTA tt则称极限则称极限设向量值函数设向量值函数( )A t在区间在区间 上连续，上连续，12 ,T T为为 在在 上的定上的定积分积分.( )A t12 ,T T21()( )B TB T222111( )d( )d( )dTTTxyzTTTiA ttjA ttkA tt21( )dTTA tt21( )dTTA tt 牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式

10、-17-工程数学-向量分析场论例例4.323( )(2)3(2) ,A tttit jttk解：解：已知已知计算计算11)lim( )tA td2)( )dA tt3)( )dA tt104)( )dA tt11)lim( )tA t323111lim(2)lim3lim(2) ,tttttit jttk33 ,ijkd2)( )dA tt323ddd(2)3(2) ,dddtt it jttkttt22(23 )6(23 ) ,tit jtk-18-工程数学-向量分析场论3)( )dA tt323(2)d3d(2)d,tttittjttt k 2432411()()44ttit jttkC1

11、04)( )dA tt102432411()() 44ttit jttk3544ijk-19-工程数学-向量分析场论例例5.解：解：计算计算22(1)dte tt22(1)dte tt22(1)d(1)e tt21(1)e tC例例6.解：解：计算计算( )( )dA tA tt( )( )dA tA tt( ) d( )A tA t( )( )( )( )dA tA tA tA tt( )( )A tA tC-20-工程数学-向量分析场论2 数量场的方向导数与梯度数量场的方向导数与梯度1. 场论概述场论概述2. 数量场的等值线数量场的等值线3. 方向导数方向导数4. 梯度梯度-21-工程数学

12、-向量分析场论1. 场：场： 与时间无关的场称为与时间无关的场称为稳定场稳定场，否则为，否则为不稳定场不稳定场.如果在空间或其部分空间的每一点，都对应着如果在空间或其部分空间的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，某个物理量的一个确定的值，该物理量的一个该物理量的一个场场. 如果该物理量是数量，称它为如果该物理量是数量，称它为数量数量场场；如果该物理量是向量，称它为如果该物理量是向量，称它为向量场向量场或或矢量场矢量场.分别用分别用( , , )uu x y z( , , )AA x y z表示表示.及及则称在该空间定义了关于则称在该空间定义了关于-22-工程数学-向量分析场论2.数量场的

13、等值面数量场的等值面在数量场在数量场 中，中，( , , )uu x y z称曲面称曲面 为该为该( , , )u x y zc数量场的数量场的等值面等值面. 在平面场在平面场 中，称曲线中，称曲线( , )uu x y为它的为它的等值线等值线,如等温线、等高线等如等温线、等高线等.( , )u x yc一个等值面通过；一个等值面通过；等值面族充满了数量场所在的空间，等值面族充满了数量场所在的空间，而且而且互不相交互不相交.由于数量场是单值的，所以场中的每一点有且仅有由于数量场是单值的，所以场中的每一点有且仅有等值面等值面等值线等值线-23-工程数学-向量分析场论3. 方向导数方向导数定义：定

14、义： 设设0M是数量场是数量场()uu M中的一点，中的一点，0000()()limlimMMMMu Mu MuM M存在，存在， 则称此极限为则称此极限为 在点在点()u M0M处处沿沿 l 方向方向的的方向导数方向导数， 记作记作0MullM0M若若沿方向沿方向 l-24-工程数学-向量分析场论定理定理:则函数在该点则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在的方向导数存在 ,coscoscosuuuulxyz.,的方向角为其中l证证:且有且有得得若函数若函数( , , )uu x y z在点在点0000(,)Mxyz处可微，处可微，( )uuuuxyzoxyz (coscosco

15、s )( )uuuoxyz故故0limcoscoscosuuuuulxyz在点在点 可微可微 ,( , , )u x y z0M由函数由函数-25-工程数学-向量分析场论定义：定义： 设设0M是数量场是数量场()uu M中的一点，中的一点，0000()()limlimMMMMu Mu MusM M存在，存在， 则称此极限为则称此极限为 在点在点()u M0M处沿处沿曲线曲线C(正向正向)的的记作记作0Musl若若沿曲线沿曲线C 之正向之正向C方向导数方向导数，定理定理:曲线曲线C光滑，光滑，uusl( , , )uu x y z若在点若在点( , , )M x y z处函数处函数 可微、可微、

16、l为为C 在在M 处的切线方向处的切线方向(正向正向)， 则则0MM-26-工程数学-向量分析场论例例1.(2,3,3)M20zxy在点在点是曲面是曲面n设设处指向下侧处指向下侧的法向量，的法向量， 求函数求函数uxyz在点在点M处沿处沿 的方向导数的方向导数 .n解解: 方向余弦为方向余弦为3cos,172cos,172cos17而而( 3 , 2 , 2) (,2)Myx法向量为法向量为(3 ,2 ,2)n 所以所以9,MMuyzx6,Muy6Muz所以所以(coscoscos )MMuuuunxyz2717-27-工程数学-向量分析场论例例2. 朝朝 x 增大方向的方向导数增大方向的方向

17、导数.解解:它在点它在点 P 的的切向量切向量为为,171cos1760 xoy2Prxiy j1716xy174)23(2yx)3,2(4ij174cos1在点在点P(2, 3)沿曲线沿曲线223yyxz12 xy求函数求函数MMuusl(2)PPrix j2(1)xixj将已知曲线用将已知曲线用向量形式向量形式表示为表示为-28-工程数学-向量分析场论2. 梯度梯度记作记作 grad u, 即即定义：定义： 称向量称向量uuuGijkxyz为数量场为数量场 u(M) 在在( , , ),uu x y z设有数量场设有数量场在点在点( , , )M x y z处处,点点 M 处的处的梯度梯度

18、,uuuijkxyzgradu 引入引入哈密顿算子哈密顿算子：ijkxyz graduu 有有-29-工程数学-向量分析场论性质：性质：方向：方向：u 变化率最大的方向变化率最大的方向 模模 : u 的最大变化率之值的最大变化率之值grad:u1)0gradgradluu lul2)3)gradMu为等值面为等值面( , , )u x y zC在点在点 M 处的法向量，处的法向量，u(M) 增大的一方增大的一方.gradnuuCM指向数量场指向数量场注：注：称为由数量场称为由数量场u产生的梯度场产生的梯度场.gradu向量场向量场-30-工程数学-向量分析场论(1)0C(2)()CuC u(3

19、)()uvuv (4)()uvu vv u (6)( )( )f ufuu运算公式运算公式2(5)( )uv uu vvv -31-工程数学-向量分析场论例例3.,)(可导设rf),(222zyxPzyxr为点其中证证:xrf)()(rf yrf)()( gradrf)(1)(kzjyixrrfrrrf1)( rzrfzrf)()(0)(rrfjyrf)(kzrf)(xrrf)(222zyxxPxozy,)(ryrf ixrf)(试证试证rxrf)( .)()(radg0rrfrf处矢径处矢径 r 的模的模 ,r-32-工程数学-向量分析场论例例4. 一建筑物的屋顶是光滑曲面一建筑物的屋顶是光

20、滑曲面1:222222czbyax),0( z在屋顶上点在屋顶上点)3,3,3(cbaP有一小冰块，试求有一小冰块，试求小冰块融化时水下流的轨迹小冰块融化时水下流的轨迹.解：解：设水流下的轨迹在设水流下的轨迹在xoy面上的投影为面上的投影为),(:xyyL则则L在点在点 (x,y) 处的切向量与等高线处的切向量与等高线mbyaxc22221)( 为常数m在该点的法向量平行，即在该点的法向量平行，即,/d,d222222222211byaxbcybyaxacxyx-33-工程数学-向量分析场论因此因此,dd22xbyaxy.33byax时，且解得解得,332222babaxaby故所求轨迹为故所

21、求轨迹为22221byaxcz,332222babaxaby-34-工程数学-向量分析场论3 向量场的通量与散度向量场的通量与散度1. 向量场的向量线向量场的向量线2. 通量通量3. 散度散度d rA因为因为 ,-35-工程数学-向量分析场论1. 向量场的向量线向量场的向量线设设 C 为向量场为向量场 中的曲线，中的曲线，( , , )AA x y z向量线向量线:上每一点对应的向量上每一点对应的向量 都与都与 C 相切相切,则称之为则称之为向量线向量线.Azxyo( , , )M x y zrMAA设设 为曲线上一点，为曲线上一点，( , , )M x y zArOMxiyjzk ddddr

22、xiyjzk所以向量线满足所以向量线满足dddxyzxyzAAA如果如果C工程数学-向量分析场论解：解：向量线所满足的微分方程为向量线所满足的微分方程为 2ddd()xyzzyzyddyzzy122czy由由得得又由合比定理又由合比定理 2dd()()xyzzyzy例例1.求向量场求向量场2()Azyizjyk的向量线方程的向量线方程.(1,2,1)过点过点-36-37-工程数学-向量分析场论d()d()xyzyz22)(2czyx22122)(2czyxczy可得可得有有(1,2,1)将点将点 代入代入得得123cc所以所求向量线方程为：所以所求向量线方程为：22232()3yzxyz-38

23、-工程数学-向量分析场论S2. 通量通量定义：定义： 简单曲线简单曲线:没有重点的连续曲线；没有重点的连续曲线；简单曲面简单曲面:没有重点的连续曲面；没有重点的连续曲面；设有向量场设有向量场 ，()A M中有向曲面中有向曲面S某一侧的曲面积分某一侧的曲面积分dSAS 向向积分所沿一侧积分所沿一侧叫做向量场叫做向量场A穿过曲面穿过曲面S的的通量通量.沿其沿其-39-工程数学-向量分析场论S设设( , , )( , , )( , , )AP x y z iQ x y z jR x y z k又又dd dd dd dSSASPyzQ zxR xy dddddd dSyzizxjR xyk所以通所以通

24、量为量为 当当 0 时时,当当 0 时时,当当 = 0 时时, 不能判定不能判定S内有无源内有无源.表明表明S 内有正源内有正源; 表明表明S 内有负源内有负源 ;通量的物理意义通量的物理意义通量的表示通量的表示-40-工程数学-向量分析场论例例2. 解解:设由向径设由向径rxiy jzk构成的向量场中，构成的向量场中， 有一由圆锥面有一由圆锥面222xyz及平面及平面(0)zHH所围成的封闭曲面所围成的封闭曲面S,试求试求 从从S内内r穿出穿出S的通量的通量.zoyxHrdSrS 3d ddxyz3Hddd dd dSxyzyxzzxy 由高斯公式由高斯公式-41-工程数学-向量分析场论3.

25、 散度散度定义：定义：dlimlimSMMASVV存在，存在， 则称此极限为则称此极限为 在点在点()A MM处的处的散度，散度， 记作记作div .A若若设有向量场设有向量场 ，()A MM0divA表明该点处有正源表明该点处有正源, 0divA表明该点处有负源表明该点处有负源, 0divA表明该点处无源表明该点处无源, 散度绝对值的大小散度绝对值的大小反映了反映了源的强度源的强度.0divA若向量场若向量场 A 处处处处有有 , 则称则称 A 为为无源场无源场. 说明说明: 散度是通量对体积的变化率散度是通量对体积的变化率, 且且-42-工程数学-向量分析场论定理定理:在任一点在任一点M(

26、x, y, z)的散度为的散度为在直角坐标系中，向量场在直角坐标系中，向量场( , , )( , , )( , , )AP x y z iQ x y z jR x y z kdivPQRAxyzA 证：证：由高斯公式由高斯公式dddd dd dSSASPyzQzxR xy -43-工程数学-向量分析场论又由中值定理得又由中值定理得()dPQRVxyz*MPQRVxyz所以所以*limMMPQRxyzdivlimMAVPQRxyz其中其中 为为 中的某一点中的某一点,*M-44-工程数学-向量分析场论推论推论1.高斯公式的向量形式高斯公式的向量形式ddivdSASA v推论推论2.d0SAS若在

27、封闭曲面若在封闭曲面 S 内处处有内处处有 ，div0A 则则推论推论3.或或这些点的任一封闭曲面的通量都相等这些点的任一封闭曲面的通量都相等.div0A 若在向量场若在向量场 内某些点上有内某些点上有Adiv A不存在，不存在， 而在其他点上而在其他点上 ，div0A 则穿出包围则穿出包围-45-工程数学-向量分析场论例例3.解解: 求向量场求向量场kxzxyzjyzyiyzxA)3()()23(2232所产生的散度场所产生的散度场 , 并求此散度场通过点并求此散度场通过点 M (2,-1,1)的梯度的梯度. AdivzRyQxP x6 223zy xzxy6 令令Audiv grad u

28、kxzjxyizy)62()6()66(zukyujxui grad 414Muijk -46-工程数学-向量分析场论(1)0C(2)()CACA(3)()ABAB (4)()uAuAu A 散度的运算公式散度的运算公式-47-工程数学-向量分析场论例例4.解解: 已知已知,xyzerxiy jzk 求求divr 3graddiv. r由基本公式得由基本公式得divdivgradrrr由于由于div()xiy jzkgradxyze()xyzeyzixz jxyk故故div33xyzxyzreexyz3(1)xyzxyz e-48-工程数学-向量分析场论第四节第四节 向量场的环量及旋度向量场的

29、环量及旋度定义：定义： 1.环量环量设有向量场设有向量场 ，()A M封闭有向曲线封闭有向曲线 ldlAl 按积分所取方向沿曲线按积分所取方向沿曲线 l 的的环量环量.叫做向量场叫做向量场A沿其中沿其中( , , )( , , )( , , )AP x y z iQ x y z jR x y z kddddllAlPxQyRz ddddlxiy jzk环环量量Al表示表示l的曲线积分的曲线积分-49-工程数学-向量分析场论例例1. 解解:设有平面向量场设有平面向量场,Ayix j l 为场中的星形线为场中的星形线3cos,xR3sin,yR求求A沿沿l正向的环量正向的环量.dlAl ddlyx

30、xy 233330sind(cos)cosd( sin)RRRRoyxR2242420(3sincos3 cossin)dRR222203sincosdR234R-50-工程数学-向量分析场论2.环量面密度环量面密度定义：定义：存在，存在，中的中的设设 M 为向量场为向量场 ()A MdlimlimlSMSMAlSS 记作记作 ,n一点，一点， 若若沿方向沿方向 n则称此极限为则称此极限为 在点在点AM处沿方向处沿方向 的的环量面密度环量面密度，n即即dlimlnSMAlS SnMl-51-工程数学-向量分析场论定理定理: 在直角坐标系中，向量场在直角坐标系中，向量场( , , )( , ,

31、)( , , )AP x y z iQ x y z jR x y z k证：证：由斯托克斯公式由斯托克斯公式ddddllAlPxQyRz 在任一点在任一点M(x, y, z)的处沿方向的处沿方向 的环量面密度为的环量面密度为n()cos()cos()cosnyzzxxyRQPRQP其中其中 为为,n的方向角的方向角.()dd()d d()d dyzzxxySRQyzPRzxQPxy()cos()cos()cos dyzzxxySRQPRQPS-52-工程数学-向量分析场论又由中值定理得又由中值定理得所以所以limnSMS 其中其中 为为 中的某一点中的某一点,*M ()cos()cosyzzx

32、RQPR()cos()cos()cosyzzxxyRQPRQP*()cos xyMQPScoscoscosxyzPQR-53-工程数学-向量分析场论例例2.解解: 求向量场求向量场32422Axz ix yz jyz k在点在点 M (2,-1,1)沿方向沿方向623nijk环量面密度环量面密度.n的方向余弦为的方向余弦为623cos,cos,cos,777所以在点所以在点 M沿沿n环量面密度为环量面密度为coscoscosnMxyzPQR623182387777 -54-工程数学-向量分析场论3.旋度旋度定义：定义： 称向量称向量设向量场设向量场在点在点( , , )M x y z处处,()

33、()()xzzxxyRRQ iPRjQP k( , , )( , , )( , , )AP x y z iQ x y z jR x y z k为向量场为向量场在点在点 M 处的处的旋度旋度,A记作记作 ，rot A即即rotijkAxyzPQRA -55-工程数学-向量分析场论性质：性质：方向：方向： 模模 :rot:A1)rotrotnnA nA2)A的最大环量面密度的方向的最大环量面密度的方向A的最大环量面密度之值的最大环量面密度之值斯托克斯公式的向量形式斯托克斯公式的向量形式drotdlSAlAS-56-工程数学-向量分析场论ozxyl设某刚体绕定轴设某刚体绕定轴 l 转动转动,M为刚体

34、上任一为刚体上任一点点, 建立坐标系如图建立坐标系如图,M则则),(zyxr 角速度为角速度为 ,r), 0, 0(点点 M 的线速度为的线速度为rvvrotzyxkji00)0,(xy0 xykjizyx)2, 0, 0(2(此即此即“旋度旋度”一词的来源一词的来源)旋度的力学意义旋度的力学意义:-57-工程数学-向量分析场论(1)()cAcA (5)()0u (2)()ABAB (3)()uAuAuA 旋度的运算公式旋度的运算公式(4)()ABBAAB(6)0A-58-工程数学-向量分析场论A的雅可比矩阵的雅可比矩阵PPzPxyzQQQD AxyzRRRxyz()yzRQ idiv A (

35、)zxPRj()xyQP kPQRxyzrot A -59-工程数学-向量分析场论例例3.解解: 已知已知233,3,ux yAx yz jxyk 求求rot A由于由于2grad63uxyix j又又及及rot.uA23320003360D Ax yzx zx yyxy所以所以322rot(6)33Axyx y iy jx yzk故故rotrotgraduAuAuA22323(9)95x yxx iy jx zk-60-工程数学-向量分析场论第五节第五节 几种重要的向量场几种重要的向量场线单连域线单连域:如果空间区域如果空间区域G内的任何一条简单闭曲线内的任何一条简单闭曲线 l，都存在一个以

36、都存在一个以l为边界且全部位于为边界且全部位于 G的曲面的曲面S，否则称否则称G为为线复连域线复连域.则称区域则称区域G为为线单连域线单连域，面单连域面单连域: 如果空间区域如果空间区域G内的任何一个简单闭曲面内的任何一个简单闭曲面S所所包围的点皆在包围的点皆在G内内(即即S 没有洞没有洞), 否则称否则称G为为面复连域面复连域.则称区域则称区域G为为面单连域面单连域，-61-工程数学-向量分析场论1.有势场有势场定义定义:若存在单值函数若存在单值函数Muu 使得使得gradAu则称则称A为为有势场有势场.uv称为该向量场的称为该向量场的势函数势函数, 即即gradAv (),A M设向量场设

37、向量场势函数的全体可表示为势函数的全体可表示为()v MC定理定理: 在线单连域内，在线单连域内，A为有势场为有势场rot0A -62-工程数学-向量分析场论证：证：设设( , , )( , , )( , , )AP x y z iQ x y z jR x y z k为有势场为有势场,则存在单值函数则存在单值函数Muu 使得使得grad ,Au那么那么rotrot(grad )0.Au由于场所在区域为线单连域，由于场所在区域为线单连域，lA dl0M MA dl所以所以rot0,A l 为区域内任一闭曲线；为区域内任一闭曲线；与路径无关与路径无关( )；“ ”“ ”Slrot0,SA dSxz

38、yo( , , )M x y z0000(,)Mxyz场保守场保守-63-工程数学-向量分析场论000( , , )(,)( , , )x y zxyzu x y zPdxQdyRdzduPdxQdyRdz存在函数存在函数 u,uuuPQRxyzgrad,uA( , , )M x y zxzyo0000(,)Mxyz即即A为有势场为有势场.注：注：1) 场有势场有势场保守场保守场无旋场无旋2) 势函数势函数v 000( ,)xxP x yzdx00( , ,)yyQ x y zdy0( , , )zzR x y z dzC-64-工程数学-向量分析场论例例1. 解解:则存在函数则存在函数 u(

39、M), 使使因因 是保守场，是保守场，Ad()( )( )BAABAlu Mu Bu AdABAl则曲线积分则曲线积分 与路径无关，与路径无关，于是于是ddBABAAlAl00ddBAMMAlAl其中其中 为场中任一点为场中任一点.0M00ddMBAMAlAl若若 是保守场，是保守场，A令令0()d ,MMu MAl则则d()( )( ).BAABAlu Mu Bu A注：注：()u M称为称为ddddAlPxQyRz 的原函数的原函数.-65-工程数学-向量分析场论例例2. 解解:3232223Axyz ix z jx yz k证明向量场证明向量场为保守场为保守场,并计算曲线积分并计算曲线积

40、分d ,lAl其中其中l 是从是从 A(1,4,1)32322rot23ijkzAxyzxyzx zx yz0A为保守场为保守场.故故22220000d0d3dxyzuxyx yzzx yz000(,)(0,0,0),xyz取取于是于是dlAl22(2,3,1)(1,4,1)1248BAx yz到到 B(2,3,1)的任一路径的任一路径.22(66)xyzxyzj2222(33)x zx zi33(22)xzxzk-66-工程数学-向量分析场论例例3. 解解:是有势场，并求其势函数是有势场，并求其势函数 v.kyzxjyzxixyzA22222cos2证明向量场证明向量场由由 的雅可比矩阵的雅

41、可比矩阵A得得2222rot(22)(44)(22)Axzxzixyzxyz jxzxzk0A为有势场为有势场,故故2222222242sin2422yzxzxyzD Axzyx zxyzx zx y那么存在函数那么存在函数u使得使得grad ,Au-67-工程数学-向量分析场论000(,)(0,0,0),xyz取取20000dcosd2dxyzuxyyx yzz22sin yx yz于是得势函数于是得势函数22sinvuyx yz 势函数的全体为势函数的全体为22sinvyx yzC -68-工程数学-向量分析场论22222,cos ,2xyzuxyzux zy ux yz那么有那么有第一个方程对第一个方程对x积分，得积分，得22( , )ux yzy z上式对上式对y 求导，得求导，得22( , )yyux zy z所以有所以有( , )cos ,yy zy于是于是( , )sin( ),y zyz也就有也就有22sin( )ux yzyz22cosx z