第八章-5隐函数的求导法则

1、2(, ),.zf xy yfzx y 设而 具有二阶连续偏导数，求222,( )()11.yzf uf xyzzzx xy yy设其中为可导函数，证明arctan(),.xdzzxyyedx设其中求设),(),(),(),(),(ryyrxxyxvvyxuuvufw均满足复合函数求偏导数的条件，计算wrw,两重复合问题两重复合问题解：解：有链式法则vxyruw)()(ryyvrxxvvwryyurxxuuwrw同理可得)()(yyvxxvvwyyuxxuuww ( , )uf x y函数的二阶偏导数连续，22()() (0,0)uuxyxy求其中在极坐标下的表达式。（P28. 例5）2222

2、21()()()()uuuuxy22cos ,sin=+,arctanxyyxyx极坐标系，设函数),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分为yyzxxzzddd则复合函数) (fz ),(, ),(yxyxxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz)dd(yyuxxu)dd(yyvxxvudvzvd都可微, 可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性. .yyzxxzzddduzudvzvd利用全微分形式不变性再解例3：,sinyxvyxuvezu.,yzxz求第八章第五节 隐函数的求导法

3、则开普勒方程 这里 是常数, 0sinyxy这个方程不能将 y用 x的明显公式表示出来。但事实上 y确实是 x的函数。一般来说，凡是能够由方程0),(yxF确定的函数关系，称为隐函数。但需要注意的是，但需要注意的是，并不是随便写一个方程就能确定一个隐函数。并不是随便写一个方程就能确定一个隐函数。. 101) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .例如,方程02Cyx当 C 0 时, 能确定隐函数;当 C 0 时, 不能确定隐函数;2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .定理定理1.1.设函数),(00yxP),(yxF;0),(00yxF则方程00),(xyxF在点单

4、值连续函数单值连续函数 y = f (x) , )(00 xfy 并有yxFFxydd( (隐函数求导公式隐函数求导公式) )定理证明从略，仅就求导公式推导如下： 具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可唯一唯一确定一个在点的某一邻域内满足0),(00yxFy满足条件连续导数连续导数我们有如下的隐函数存在定理隐函数存在定理1,21,20)(,(xfxF两边对 x 求导0ddxyyFxFyxFFxydd则所确定的隐函为方程设,0),()(yxFxfy0yF在),(00yx的某邻域内若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,则还有22ddxy2yxxyyxxFFFFF3222yxyyyxyxyx

5、xFFFFFFFFyxFF)(yxFFy)(2yxyxyyyyxFFFFFFF二阶导数 :)(yxFFxxyxxydd 验证方程01sinyxeyx在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数, )(xfy 0dd,0dd22xxyxxy并求解解: 令, 1sin),(yxeyyxFx由 定理1 可知, )(xfy 导的隐函数 则, yeFxx连续 ,xyFy cos,0)0 , 0(F1)0 , 0(yF0在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可且0ddxxy0 xFFyx 1xycosyex0, 0yx0dd22xxy)cos(ddxyyexx2)cos( xy3100yyx)(yex)(

6、cosxy)(yex) 1sin(yy1, 0, 0yyx( , )( , , )F x yF x y z问题:二元函数确定了一个一元的隐函数。那么三元函数能否确定一个二元隐函数？),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某邻域内具有连续偏导数 ,则方程0),(zyxF在点),(00yx并有连续偏导数, ),(000yxfz 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足0),(000zyxF0),(000zyxFz 在点满足:某一邻域内可唯一确若函数0),(,(yxfyxF两边对 x 求偏导zxFFxzzyFFyz同样可得,0),(),(所确定的隐函数是方程设zyxFyxfzxFzFxz00),(000zFzyx的某邻域