第八篇立体几何

1、备课大师：免费备课第一站！第1讲空间几何体及其表面积与体积知 识 梳 理1多面体的结构特征(1)棱柱：一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱；棱柱两个底面是全等多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形(2)棱锥：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥；棱锥底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形(3)棱台：棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台2旋转体的结构特征(1)将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台；这条直线叫做轴，垂直于轴的边旋转而成

2、的圆面叫做底面不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线(2)球：半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球体，简称球3柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧2rhVShr2h圆锥S侧rlVShr2hr2圆台S侧(r1r2)lV(S上S下)h(rrr1r2)h直棱柱S侧ChVSh正棱锥S侧ChVSh续表正棱台S侧(CC)hV(S上S下)h球S球面4R2VR34.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和辨 析

3、感 悟1柱体、锥体、台体与球的面积(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2S.(×)(2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3a2.(×)2柱体、锥体、台体的体积(3)(教材练习改编)若一个球的体积为4，则它的表面积为12.()(4)在ABC中，AB2，BC3，ABC120°，使ABC绕直线BC旋转一周所形成的几何体的体积为9.(×)3柱体、锥体、台体的展开与折叠(5)将圆心角为，面积为3的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于4.()(6)(2014·青州模拟改编

4、)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BDa，则三棱锥DABC的体积为a3.(×)感悟·提升两点注意一是求几何体的体积，要注意分割与补形将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解二是几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系考点一空间几何体的结构特征【例1】 给出下列四个命题：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥侧面都是矩形的直四棱柱是长方体底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱其中不正确的命题为_解析 对于，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故错；对于，对等腰三角形的腰是否为

5、侧棱未作说明(如图)，故错；对于，若底面不是矩形，则错；正确答案规律方法 解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可【训练1】 设有以下四个命题：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是矩形的平行六面体是长方体；直四棱柱是直平行六面体；棱台的相对侧棱延长后必交于一点其中真命题的序号是_解析命题符合平行六面体的定义，故命题是正确的底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题是错误的因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题是错误的命题由棱台的定义知是正确的答案考点二几何体的表面积与

6、体积【例2】 如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，ABD60°，BDC45°，ADP BAD.(1)求线段PD的长；(2)若PCR，求三棱锥PABC的体积解(1)BD是圆的直径，BAD90°，又ADPBAD，PDABAD90°，DP3R.DP的长为3R.(2)在RtBCD中，BCCDBDcos 45°R，PD2CD29R22R211R2PC2，PDCD，又PDA90°，ADCDD，PD底面ABCD，则SABCAB·BCsin(60°45°)R·

7、RR2.所以三棱锥PABC的体积为VPABC·SABC·PD·R2·3RR3.规律方法 求几何体的体积问题，可以多角度、全方位地考虑问题，常采用的方法有“换底法”、“分割法”、“补体法”等，尤其是“等积转化”的数学思想方法应高度重视【训练2】 (2014·苏州模拟)一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm，高是 cm.(1)求三棱台的斜高；(2)求三棱台的侧面积和表面积解(1)设O1、O分别为正三棱台ABCA1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O1O，过O1作O1D1B1C1，ODBC，则D1D为三棱台的斜高；过D1作

8、D1EAD于E，则D1EO1O，因O1D1×3，OD×6，则DEODO1D1.在RtD1DE中，D1D(cm)(2)设c、c分别为上、下底的周长，h为斜高，S侧(cc)h(3×33×6)×(cm2)，S表S侧S上S下×32×62(cm2)故三棱台斜高为 cm，侧面积为 cm2，表面积为 cm2.考点三球与空间几何体的接、切问题【例3】 (1)(2013·新课标全国卷)已知正四棱锥OABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为_(2)(2013·辽宁卷改编)已知直三棱柱ABCA1B1

9、C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为_审题路线(1)根据正四棱锥的体积求高求底面正方形的对角线长由勾股定理求OA由球的表面积公式求解(2)BC为过底面ABC的截面圆的直径取BC中点D，则球心在BC的垂直平分线上，再由对称性求解解析(1)设正四棱锥的高为h，则×()2×h，解得h.又底面正方形的对角线长为×.所以OA.故球的表面积为S球4×()224.(2)因为在直三棱柱中AB3，AC4，AA112，ABAC，所以BC5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径，取BC中点D，则OD底面ABC，则O在侧面BCC1

10、B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球的直径，所以2r13，即r.答案(1)24(2)规律方法 解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的【训练3】 (2012·辽宁卷)已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形若PA2，则OAB的面积为_解析根据球的内接四棱锥的性质求解如图所示，线段PC就是球的直径，设球的半径为R，因为ABBC2，所以AC2.又PA2，所以PC2PA

11、2AC2242448，所以PC4，所以OAOB2，所以AOB是正三角形，所以S×2×2×3.答案3考点四几何体的展开与折叠问题【例4】 (1)如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去AOB，将剩余部分沿OC，OD折叠，使OA，OB重合，则以A，B，C，D，O为顶点的四面体的体积为_(2)如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为直角三角形，ACB90°，AC4，BCCC13.P是BC1上一动点，沿棱柱表面使CPPA1最小，则最小值为_解析(1)折叠后的四面体如图所示OA，OC，OD两两相互垂直，且OAOCOD2，体积V

12、 SOCD·OA××(2)3.(2)由题意知，A1P在几何体内部，把面BB1C1C沿BB1展开与面AA1B1B在一个平面上，如图所示，连接A1C即可则A1、P、C三点共线时，CPPA1最小，ACB90°，AC4，BCC1C3，A1B1AB5，A1C1538，A1C.故CPPA1的最小值为.答案(1)(2)规律方法 (1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题【训练4】 如图为一几

13、何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SDPD6，CRSC，AQAP，点S，D，A，Q共线，点P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则需要_个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体解析由题意知，将该展开图沿虚线折叠起来以后，得到一个四棱锥PABCD(如图所示)，其中PD平面ABCD，因此该四棱锥的体积V×6×6×672，而棱长为6的正方体的体积V6×6×6216，故需要3个这样的几何体，才能拼成一个棱长为6的正方体答案31对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的

14、结构特点与平面几何知识来解决2求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积3与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径 方法优化5特殊点在求解几何体的体积中的应用【典例】 (2012·山东卷)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1

15、，B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为_一般解法 三棱锥D1EDF的体积即为三棱锥FDD1E的体积因为E，F分别为AA1，B1C上的点，所以在正方体ABCDA1B1C1D1中EDD1的面积为定值，F到平面AA1D1D的距离为定值1，所以VFDD1E××1.优美解法 E点移到A点，F点移到C点，则VD1EDFVD1ADC××1×1×1.答案反思感悟 (1)一般解法利用了转化思想，把三棱锥D1EDF的体积转化为三棱锥FDD1E的体积，但这种解法还是难度稍大，不如采用特殊点的解法易理解、也简单易求(2)在求几何体体积时还经常用到等积法、

16、割补法【自主体验】如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1与侧面BCC1B1的距离为2，侧面BCC1B1的面积为4，此三棱柱ABCA1B1C1的体积为_解析补形法将三棱柱补成四棱柱，如图所示记A1到平面BCC1B1的距离为d，则d2.则V三棱柱V四棱柱S四边形BCC1B1·d×4×24.答案4基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1以下命题：以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台其中正确命题的个数是_解析命题错，因为这条边若是

17、直角三角形的斜边，则得不到圆锥命题题，因这条腰必须是垂直于两底的腰命题对命题错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行答案12在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是_(写出所有正确结论的编号)矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体解析显然可能；不可能；取一个顶点处的三条棱，连接各棱端点构成的四面体；取正方体中对面上的两条异面对角线的四个端点构成的几何体；正方体ABCD A1B1C1D1中，三棱锥D1DBC满足条件答案3在三棱锥SABC中，面SAB，SB

18、C，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且ABBCCA2，则三棱锥SABC的表面积是_解析设侧棱长为a，则a2，a，侧面积为3××a23，底面积为×22，表面积为3.答案34若圆锥的侧面积为2，底面面积为，则该圆锥的体积为_解析设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，则h.圆锥的体积V·12·.答案5(2012·新课标全国卷改编)平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为_解析如图，设截面圆的圆心为O，M为截面圆上任一点，则OO，OM1，OM，即球的半径为，V()34.答案46.如图所示，已知一个

19、多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是_解析由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为，所以体积V×1×1×.答案7(2013·天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为_解析设正方体的棱长为a，外接球的半径为R，由题意知R3，R3，而R.由于3a24R2，a2R2×23，a.答案8.如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积

20、为_解析如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，容易求得EGHF，AGGDBHHC，SAGDSBHC××1，VVEADGVFBHCVAGDBHC2VEADGVAGDBHC×××2×1.答案二、解答题9.如图，在三棱锥PABC中，ACBC2，ACB90°，APBPAB，PCAC.(1)求证：PCAB；(2)求点C到平面APB的距离(1)证明取AB中点D，连接PD，CD.因为APBP，所以PDAB，因为ACBC，所以CDAB.因为PDCDD，所以AB平面PCD.因为PC平面PCD，所以PCAB.(2)

21、解设C到平面APB的距离为h，则由题意，得APPBAB2，所以PC2.因为CDAB，PDPB，所以PC2CD2PD2，所以PCCD.由(1)得AB平面PCD，于是由VCAPBVAPDCVBPDC，得·h·SAPBAB·SPDC，所以h.故点C到平面APB的距离为.10有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度解如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r，水面半径BC的长为r，则容器内水的体积为VV圆锥V球(r)2·

22、3rr3r3，将球取出后，设容器中水的深度为h，则水面圆的半径为h，从而容器内水的体积为V2hh3，由VV，得hr.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1已知球的直径SC4，A，B是该球球面上的两点，AB，ASCBSC30°，则棱锥SABC的体积为_解析由题意知，如图所示，在棱锥SABC中，SAC，SBC都是有一个角为30°的直角三角形，其中AB，SC4，所以SASB2，ACBC2，作BDSC于D点，连接AD，易证SC平面ABD，因此VSABC××()2×4.答案2.(2014·南京模拟)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，

23、AB1，BC2，AC，AA13，M为线段B1B上的一动点，则当AMMC1最小时，AMC1的面积为_解析如图，当AMMC1最小时，BM1，所以AM22，C1M28，AC14，于是由余弦定理，得cosAMC1，所以sinAMC1，SAMC1××2×.答案3.如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2 cm、高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为_cm.解析根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为13 cm.答案13二、解答题4如图1，在直角梯形

24、ABCD中，ADC90°，CDAB，AB4，ADCD2，将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体DABC，如图2所示(1)求证：BC平面ACD；(2)求几何体DABC的体积(1)证明在图中，可得ACBC2，从而AC2BC2AB2，故ACBC，又平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABCAC，BC平面ABC，BC平面ACD.(2)解由(1)可知，BC为三棱锥BACD的高，BC2，SACD2，VBACDSACD·BC×2×2，由等体积性可知，几何体DABC的体积为.第2讲平面的基本性质与异面直线知 识 梳 理1平面的基本性质(1)公理1：如果一

25、条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(2)公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线(3)公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(4)公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面2空间中两直线的位置关系(1)空间两直线的位置关系(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：.(3)平行公理和等角

26、定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3空间直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况辨 析 感 悟1对平面基本性质的认识(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分(×)(2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于A点，记作A.(×)(3)(教材练习改编)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面()(4)(教材练习改编)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合(×)2对空间直线关系的认识(5)已

27、知a，b是异面直线、直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线()(6)没有公共点的两条直线是异面直线(×)感悟·提升1一点提醒做有关平面基本性质的判断题时，要抓住关键词，如“有且只有”、“只能”、“最多”等如(1)中两个不重合的平面还可把空间分成三部分2两个防范一是两个不重合的平面只要有一个公共点，那么两个平面一定相交得到的是一条直线，如(2)；二是搞清“三个公共点”是共线还是不共线，如(4)3一个理解异面直线是指不同在任何一个平面内，没有公共点不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线，如(6).考点一平面的基本性质及其应用【例1】 (1)以下四个命题中

28、，正确的命题是_不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接的四条线段必共面(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体的过P，Q，R的截面图形是_边形解析(1)正确，可以用反证法证明；从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；不正确，共面不具有传递性；不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上(2)如图所示，作RGPQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB延长线交于M，连接

29、MR交BB1于E，连接PE，则PE，RE为截面的部分外形同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG.截面为六边形PQFGRE.答案(1)(2)六规律方法 (1)公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理(2)画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置【训练1】 如图所示是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形

30、的序号是_解析可证中的四边形PQRS为梯形；中，如图所示，取A1A和BC的中点分别为M，N，可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形；中，可证四边形PQRS为平行四边形；中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P，Q，R，S四点不共面答案考点二空间两条直线的位置关系【例2】 如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60°角；DE与MN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_解析把正四面体的平面展开图还原如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成

31、60°角，DEMN.答案规律方法 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决【训练2】 在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)解析图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H面GMN，因此GH与MN异面所以在图

32、中GH与MN异面答案考点三异面直线所成的角【例3】 在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60°，对角线AC与BD交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.(1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值审题路线(1)找出PB与平面ABCD所成角计算出PO的长求出四棱锥的体积(2)取AB的中点F作PAB的中位线找到异面直线DE与PA所成的角计算其余弦值解(1)在四棱锥PABCD中，PO面ABCD，PBO是PB与面ABCD所成的角，即PBO60°，BOAB·sin 30°1，POOB

33、，POBO·tan 60°，底面菱形的面积S2××222.四棱锥PABCD的体积VPABCD×2×2.(2)取AB的中点F，连接EF，DF，E为PB中点，EFPA，DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角)在RtAOB中，AOAB·cos 30°OP，在RtPOA中，PA，EF.在正ABD和正PDB中，DFDE，在DEF中，由余弦定理得，cosDEF.即异面直线DE与PA所成角的余弦值为.规律方法 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：平移

34、：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角【训练3】 (2014·成都模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，A1D1的中点，则A1B与EF所成角的大小为_解析如图，连接B1D1，D1C，B1C.由题意知EF是A1B1D1的中位线，所以EFB1D1.又A1BD1C，所以A1B与EF所成的角等于B1D1与D1C所成的角因为D1B1C为正三角形，所以B1D1C.故A1B与EF所成角的

35、大小为.答案1证明线共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上2证明点或线共面问题，一般有以下两种途径：(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合3异面直线的判定方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面思想方法8构造模型判断空间线面的位置关系【典例】 (2012·上海卷改编)已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面

36、，则m与n的位置关系是_m与n异面；m与n相交；m与n平行；m与n异面、相交、平行均有可能解析在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是mn1，所以，错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以错误答案反思感悟 这类试题一般称为空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体(如正方体、正四面体等)为模型进行推理或者反驳【自主体验】1(2013·浙江卷改编)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则：若m，n，则mn；若m，m ，则

37、；若mn，m，则n；若m，则m.四个结论正确的是_解析本题可借助特殊图形求解，画一个正方体作为模型(如图)设底面ABCD为，侧面A1ADD1为.当A1B1m，B1C1n时，显然不正确；当B1C1m时，显然不正确；当B1C1m时，显然不正确答案2对于不同的直线m，n和不同的平面，有如下四个命题：若m，mn，则n；若m，mn，则n；若，则；若m，mn，n，则.其中是真命题的是_解析本题可借助特殊图形求解画一个正方体作为模型(如图)设底面ABCD为.当A1B1m，B1C1n，显然符合的条件，但结论不成立；当A1Am，ACn，显然符合的条件，但结论不成立；与底面ABCD相邻两个面可以两两垂直，但任何两

38、个都不平行；由面面垂直的判定定理可知，是正确的答案基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1(2013·江西七校联考)已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系可以是_解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面答案相交、平行或异面2在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是_解析如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交答案相交3设P表示一个点，a，b表示两条直线，表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是

39、_Pa，PaabP，baab，a，Pb，Pbb，P，PPb解析当aP时，Pa，P，但a，错；aP时，错；如图，ab，Pb，Pa，由直线a与点P确定唯一平面，又ab，由a与b确定唯一平面，但经过直线a与点P，与重合，b，故正确；两个平面的公共点必在其交线上，故正确答案4(2013·山西重点中学联考)已知l，m，n是空间中的三条直线，命题p：若ml，nl，则mn；命题q：若直线l，m，n两两相交，则直线l，m，n共面，则下列命题pq；pq；p(綈q)；(綈p)q为真命题的是_解析命题p中，m，n可能平行、还可能相交或异面，所以命题p为假命题；命题q中，当三条直线交于三个不同的点时，三条直

40、线一定共面，当三条直线交于一点时，三条直线不一定共面，所以命题q也为假命题所以綈p和綈q都为真命题，故p(綈q)为真命题选.答案5(2013·浙江卷改编)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为_条解析有2条：A1B和A1C1.答案26如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线_对解析如图所示，与AB异面的直线有B1C1，CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有不同的位置，且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线24(对)答案247.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1

41、中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论的序号都填上)解析A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B中，但C平面AD1C1B，因此直线AM与CC1是异面直线，同理AM与BN也是异面直线，AM与DD1也是异面直线，错，正确；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N平面MBB1，因此直线BN与MB1是异面直线，正确答案8(2013·江西卷)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，则直线EF与正方体

42、的六个面所在的平面相交的平面个数为_解析取CD的中点为G，由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.答案4二、解答题9.如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，BADFAB90°，BC綉AD，BE綉FA，G，H分别为FA，FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？(1)证明由已知FGGA，FHHD，可得GH綉AD.又BC綉AD，GH綉BC，四边形BC

43、HG为平行四边形(2)解由BE綉AF，G为FA中点知，BE綉FG，四边形BEFG为平行四边形，EFBG.由(1)知BG綉CH，EFCH，EF与CH共面EF，CH确定平面EFHC，且EF和HC均在平面EFHC内又DFH，C，D，F，E四点共面10在正方体ABCDA1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：点C1，O，M共线证明如图所示，A1AC1C，A1A，C1C确定平面A1C.A1C平面A1C，OA1C，O平面A1C，而O平面BDC1线A1C，O平面BDC1，O在平面BDC1与平面A1C的交线上ACBDM，M平面BDC1，且M平面A1C，平面BDC1平面A

44、1CC1M，OC1M，即C1，O，M三点共线能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1(2014·长春一模)一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中，AB与CD的位置关系是_解析如图，把展开图中的各正方形按图1所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图2所示的直观图，可判断AB与CD异面答案异面2在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有_条解析法一图1在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面(如图1)，这个平面与CD有且仅有1个

45、交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点如图所示法二在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面(如图2)，因CD与平面不平行，图2所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交答案无数3.(2013·安徽卷)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)当0CQ时，S为四边形当CQ时，

46、S为等腰梯形当CQ时，S与C1D1的交点R满足C1R当CQ1时，S为六边形当CQ1时，S的面积为解析如图1，当CQ时，平面APQ与平面ADD1A1的交线AD1必平行于PQ，且D1QAP，S为等腰梯形，正确；同理，当0CQ时，S为四边形，正确；图1图2如图2，当CQ时，将正方体ABCDA1B1C1D1补成底面不变，高为1.5的长方体ABCDA2B2C2D2.Q为CC2的中点，连接AD2交A1D1于点E，易知PQAD2，作ERAP，交C1D1于R，连接RQ，则五边形APQRE为截面S.延长RQ，交DC的延长线于F，同时与AP的延长线也交于F，由P为BC的中点，PCAD，知CFDF1，由题意知RC1

47、QFCQ，C1R，正确；由图2知当CQ1时，S为五边形，错误；当CQ1时，点Q与点C1重合，截面S为边长为的菱形，对角线AQ，另一条对角线为，S，正确答案二、解答题4如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小解(1)如图，连接AC，AB1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，知AA1C1C为平行四边形，所以ACA1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角由AB1C中，由AB1ACB1C可知B1CA60°，即A1C1与B1C所成角为60°.(2)如图，连接

48、BD，由(1)知ACA1C1.AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角EF是ABD的中位线，EFBD.又ACBD，ACEF，即所求角为90°.EFA1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.第3讲直线、平面平行的判定与性质知 识 梳 理1直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件aa，b，abaa，a，b结论abaab2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a，b，abP，a，b，a，b，a结论aba辨 析 感 悟1对直线与平面平行的判定与性质的理解(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面(×)(2)若一条直线平行于

49、一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线(×)(3)若直线a与平面内无数条直线平行，则a.(×)(4)若直线a，P，则过点P且平行于a的直线有无数条(×)2对平面与平面平行的判定与性质的理解(5)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行(×)(6)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面()(7)(2013·广东卷改编)设l为直线，是两个不同的平面，若l，l，则.(×)感悟·提升三个防范一是推证线面平行时，一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内，如(1)、(3)二是推证面

50、面平行时，一定要说明一个平面内的两条相交直线平行于另一平面，如(5)三是利用线面平行的性质定理把线面平行转化为线线平行时，必须说明经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行，如(2)、(4).考点一线面平行的判定与性质【例1】 (2012·辽宁卷)如图，直三棱柱ABCABC，BAC90°，ABAC，AA1，点M，N分别为AB和BC的中点(1)证明：MN平面AACC；(2)求三棱锥AMNC的体积(1)证明法一连接AB，AC，如图，由已知BAC90°，ABAC，三棱柱ABCABC为直三棱柱，所以M为AB中点又因为N为BC的中点，所以MNAC.又MN平面AAC

51、C，AC平面AACC，因此MN平面AACC.法二取AB的中点P，连接MP，NP，AB，如图，而M，N分别为AB与BC的中点，所以MPAA，PNAC，所以MP平面AACC，PN平面AACC.又MPNPP，因此平面MPN平面AACC.而MN平面MPN，因此MN平面AACC.(2)解法一连接BN，如图，由题意ANBC，平面ABC平面BBCCBC，所以AN平面NBC.又ANBC1，故VAMNCVNAMCVNABCVANBC.法二VAMNCVANBCVMNBCVANBC.规律方法 判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；(3)利用面面平行的性质定理(，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，