第十六章碰撞

1、Northeastern UniversityPAG 1锤敲击物体：打网球：第十六章第十六章 碰撞碰撞碰撞：两个或两个以上相对运动的物体在瞬间接 触,速度发生突然改变的力学现象碰撞:运动着的物体在突然受到冲击(包括突然受到约束或解除约束)时,其运动速度发生急剧变化的现象Northeastern UniversityPAG 24123碰撞的分类 碰撞问题的简化普遍定理在碰撞过程的应用碰撞问题举例质点对固定面的碰撞 恢复因数第十六章第十六章 碰撞碰撞5碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用 撞击中心Northeastern UniversityPAG 316-1 16-1 碰撞的分类碰撞的分类 碰撞问题的

2、简化碰撞问题的简化1、按碰撞力作用线一、一、碰撞的分类碰撞的分类对心碰撞:碰撞力的作用线通过两物体的质心偏心碰撞:碰撞力的作用线不过两物体的质心正碰撞:碰撞两物体质心速度均沿接触处的公法线斜碰撞:碰撞两物体质心速度未沿接触处的公法线碰撞力:碰撞时两物体间的相互作用力在碰撞过程中出现的数值很大的力,由于其作用时间非常短促,也称瞬时力2、按碰撞速度Northeastern UniversityPAG 416-1 16-1 碰撞的分类碰撞的分类 碰撞问题的简化碰撞问题的简化3、按接触处有无摩擦一、一、碰撞的分类碰撞的分类光滑碰撞、非光滑碰撞完全弹性碰撞、弹性碰撞、塑性碰撞4、按碰撞后变形恢复程度No

3、rtheastern UniversityPAG 5碰撞现象的特点： 在极短的时间内,物体运动状态发生有限的变化; 速度有突变,加速度很大,出现巨大的碰撞力; 碰撞力是短时间内产生一种瞬时力; 碰撞力在极短时间内发生急剧变化,很难确定其 变化规律。二、二、碰撞问题的简化碰撞问题的简化16-1 16-1 碰撞的分类碰撞的分类 碰撞问题的简化碰撞问题的简化在碰撞过程中:物体的运动速度或动量在极短的时间内发生有限的改变,碰撞时间之短往往以千分之一秒甚至万分之一秒来度量,因此加速度非常大,作用力的数值也非常大Northeastern UniversityPAG 6两点简化： 在碰撞过程中,由于碰撞力非

4、常大,重力、弹性力等 普通力的冲量可以忽略不计,但在碰撞前和碰撞后, 普通力对物体运动状态的改变作用不可忽略。 碰撞过程非常短促,而速度又是有限量,所以物体在 碰撞开始和碰撞结束时的位置基本不改变,物体的 位移可忽略不计,即认为物体在碰撞开始时和碰撞 结束时的位置相同。二、二、碰撞问题的简化碰撞问题的简化16-1 16-1 碰撞的分类碰撞的分类 碰撞问题的简化碰撞问题的简化Northeastern UniversityPAG 716-2 16-2 普遍定理在碰撞过程的应用普遍定理在碰撞过程的应用 碰撞过程时间短且碰撞力的变化规律很复杂,不能直接用力来度量碰撞的作用(一般用冲量描述),也不宜用运

5、动微分方程描述每一瞬时力与运动变化的关系,常用的分析方法是分析研究碰撞前、后运动的变化。 同时,碰撞将使物体变形、发声、发热,甚至发光,因此碰撞过程中几乎都有机械能的损失,机械能损失的程度决定于碰撞物体的材料性质以及其他复杂的因素,难以用力的功来计算,因此,碰撞过程一般不便应用动能定理,因此,一般采用动量定理和动量矩定理的积分形式,来确定力的作用与运动变化的关系。Northeastern UniversityPAG 8= 0一、一、碰撞过程动量定理的应用碰撞过程动量定理的应用由质点动量定理16-2 16-2 普遍定理在碰撞过程的应用普遍定理在碰撞过程的应用 质量为m的质点,碰撞过程开始时速度为

6、 ,碰撞结束时速度为vvIvmvm)()(iieiiiiiIIvmvm)()(iieiiiiiIIvmvm)(eiiiiiIvmvm 碰撞冲量内碰撞冲量总是大小相等,方向相反,成对出现 对于质点系碰撞,若作用在第i个质点上的外碰撞冲量为 ,内碰撞冲量为(e)iI)(iiINortheastern UniversityPAG 9冲量定理:质点系在碰撞开始和结束时动量的变化,等 于作用于质点系的外碰撞冲量的主矢。碰撞过程动量守恒16-2 16-2 普遍定理在碰撞过程的应用普遍定理在碰撞过程的应用一、一、碰撞过程动量定理的应用碰撞过程动量定理的应用)(eiiiiiIvmvm)(eiCCIvmvm当满

7、足 时0)(eiIiiiivmvm碰撞过程的质点系动量定理,形式上与非碰撞过程的动量定理一样,但式中不计普通力的冲量,又称为冲量定理Northeastern UniversityPAG 1016-2 16-2 普遍定理在碰撞过程的应用普遍定理在碰撞过程的应用二、二、碰撞过程动量矩定理的应用碰撞过程动量矩定理的应用质点系动量矩定理的微分形式)()(eiOOFMLdtd)()(eiiOFrLdtddtFrLdeiiO)(积分teiiLLOIdrLdOO0)(21)(eiiIdrteiiIdr0)(12OOLLtoeiiIdr)()(eiiIr)()(eiOIM作用于质点系的外力对点O的主矩 质点系

8、对定点O的动量矩矢OL由两点假设,碰撞过程中各质点的位置不变Northeastern UniversityPAG 1116-2 16-2 普遍定理在碰撞过程的应用普遍定理在碰撞过程的应用二、二、碰撞过程动量矩定理的应用碰撞过程动量矩定理的应用)()()(12eiOeiiOOIMIrLL碰撞过程动量矩守恒12OOLL冲量矩定理:质点系在碰撞开始和结束时对点O的动量 矩的变化,等于作用于质点系的外碰撞冲 量对同一点的主矩。0)()(eiOIM当满足 时Northeastern UniversityPAG 12质点系相对质心的动量矩定理 碰撞前、后质点系对于质心C的动量矩;16-2 16-2 普遍定

9、理在碰撞过程的应用普遍定理在碰撞过程的应用三、三、平面运动刚体的碰撞方程平面运动刚体的碰撞方程)()(12eiCCCIMLLCCJL )()(12eiCCCIMJJ21 CCLL、 外碰撞冲量对质心之矩的主矩(几何和).)()(eiCIM与对固定点的动量矩定理形式相同平行于刚体对称面作平面运动对质心C的动量矩在其平行平面内可看作代数量,JC为刚体对过质心C且与其对称面垂直之轴的转动惯量Northeastern UniversityPAG 13刚体平面运动的“碰撞方程”16-2 16-2 普遍定理在碰撞过程的应用普遍定理在碰撞过程的应用)(eiCCIvmvm)()(12eiCCCIMJJ三、三、

10、碰撞对平面运动刚体的作用碰撞对平面运动刚体的作用 碰撞过程中的动量定理和冲量矩定理共同应用，可获得刚体平面运动的碰撞问题求解，称刚体平面运动的“碰撞方程”。Northeastern UniversityPAG 14y设在此阶段的碰撞冲量为I116-3 16-3 质点对固定面的碰撞质点对固定面的碰撞 恢复因数恢复因数一、一、碰撞过程的两个阶段碰撞过程的两个阶段第一阶段：物体动能减小到零，变形增加1)(0Imv 1I2Ivv第二阶段：弹性变形逐渐恢复，动能逐渐增大设在此阶段的碰撞冲量为I220Imv列冲量定理在y轴的投影式列冲量定理在y轴的投影式Northeastern UniversityPAG

11、 15y二、二、恢复因数恢复因数210)(0ImvImv1I2Ivv12IIvv令 恢复因数物体能量有损失vv kvv 恢复因数表示物体在碰撞后速度和变形恢复程度,反映碰撞过程中机械能损失程度,由物体材料确定。16-3 16-3 质点对固定面的碰撞质点对固定面的碰撞 恢复因数恢复因数Northeastern UniversityPAG 1616-3 16-3 质点对固定面的碰撞质点对固定面的碰撞 恢复因数恢复因数弹性碰撞: 由恢复因数0 k 1的材料制成的物体发生的碰撞,碰撞结束时,变形不能完全恢复, 动能有损失。完全弹性碰撞: 由恢复因数k =1的材料制成的物体发生的碰撞,碰撞结束时物体变形

12、完全恢复,动能无损失。非弹性碰撞(塑性碰撞): 由恢复因数k =0的材料制成的物体发生的碰撞,碰撞结束时物体的变形毫无恢复,动能无损失。二、二、恢复因数恢复因数Northeastern UniversityPAG 17两物体在不考虑摩擦的一般情况下碰撞nrnrvvk16-3 16-3 质点对固定面的碰撞质点对固定面的碰撞 恢复因数恢复因数恢复因数 碰撞前、后两物体接触点沿接触面法线 方向的相对速度nrnrvv 、二、二、恢复因数恢复因数Northeastern UniversityPAG 18方向方向: :不计摩擦不计摩擦n n方向方向: :例例16-1 已知碰撞开始已知碰撞开始时时, ,速速

13、度度v与接触点法线夹角为与接触点法线夹角为, ,碰撞结碰撞结束时速度束时速度v 与法线夹角为与法线夹角为( (斜碰撞斜碰撞),),不不计摩擦计摩擦, ,确定恢复因数确定恢复因数. .解解: :速度分解速度分解vv sinsinvvsinsinvv;cosvvncosvvn恢复因数恢复因数nnvvkcoscosvvtantannnvvvnvvv16-3 16-3 质点对固定面的碰撞质点对固定面的碰撞 恢复因数恢复因数Northeastern UniversityPAG 19 应用动量定理和动量矩定理的积分形式,并用恢复系数建立补充方程,可以分析碰撞前后物体运动变化与其受力之间的关系16-4 16

14、-4 碰撞问题举例碰撞问题举例碰撞问题求解步骤： 选取研究对象； 碰撞前后运动分析； 应用碰撞动量和动量矩定理； 计算结果。Northeastern UniversityPAG 20设碰撞结束时设碰撞结束时, ,两球的速度分别为两球的速度分别为v 1和和v 2( (v 1 v2例例16-2 已知两球质量分别为已知两球质量分别为m1和和m2, ,碰撞开始时两质心速度分碰撞开始时两质心速度分别为别为v1和和v2, ,且沿同一直线且沿同一直线, ,如如恢复系数为恢复系数为k , ,试求碰撞后两者的试求碰撞后两者的速度和碰撞过程中损失的动能。速度和碰撞过程中损失的动能。恢复系数恢复系数nrnrvvk)

15、()(2112vvvvk)()1 ();()1 (21211222121211vvmmkmvvvvmmkmvvNortheastern UniversityPAG 21 动能损失动能损失16-4 16-4 碰撞问题举例碰撞问题举例)()1 ();()1 (21211222121211vvmmkmvvvvmmkmvv;21212222111vmvmT22221122121vmvmT)(21)(21222221111121vvvvmvvvvmTTT22122121)(1 ()(2vvkmmmm例例16-2 已知两球质量分别为已知两球质量分别为m1和和m2, ,碰撞开始时两质心速度分碰撞开始时两质心

16、速度分别为别为v1和和v2, ,且沿同一直线且沿同一直线, ,如如恢复系数为恢复系数为k , ,试求碰撞后两者的试求碰撞后两者的速度和碰撞过程中损失的动能。速度和碰撞过程中损失的动能。C1C21v2v1v2vNortheastern UniversityPAG 2216-4 16-4 碰撞问题举例碰撞问题举例例例16-2 已知两球质量分别为已知两球质量分别为m1和和m2, ,碰撞开始时两质心速度分碰撞开始时两质心速度分别为别为v1和和v2, ,且沿同一直线且沿同一直线, ,如如恢复系数为恢复系数为k , ,试求碰撞后两者的试求碰撞后两者的速度和碰撞过程中损失的动能。速度和碰撞过程中损失的动能。

17、C1C21v2v1v2v2212212121)(1 ()(2vvkmmmmTTT完全弹性碰撞完全弹性碰撞1k021TTT221212121)()(2vvmmmmTTT21212221)(2vmmmmTTT系统无动能损失系统无动能损失, ,即碰撞开始和结束时的动能守恒。即碰撞开始和结束时的动能守恒。塑性碰撞塑性碰撞0k0; 02vkNortheastern UniversityPAG 2316-4 16-4 碰撞问题举例碰撞问题举例例例16-2 已知两球质量分别为已知两球质量分别为m1和和m2, ,碰撞开始时两质心速度分碰撞开始时两质心速度分别为别为v1和和v2, ,且沿同一直线且沿同一直线,

18、,如如恢复系数为恢复系数为k , ,试求碰撞后两者的试求碰撞后两者的速度和碰撞过程中损失的动能。速度和碰撞过程中损失的动能。C1C21v2v1v2v211121vmT 1211211221mmTmmTmTTT塑性碰撞过程中塑性碰撞过程中, ,动能损失与两物体的质量比有关动能损失与两物体的质量比有关 当当m2m1时时, ,TT1, ,即质点系在碰撞开始时的动能几即质点系在碰撞开始时的动能几乎完全损失于碰撞过程中乎完全损失于碰撞过程中, ,此情况对锻压金属是最理想的。此情况对锻压金属是最理想的。 在锻压金属时在锻压金属时, ,锻件变形尽量大锻件变形尽量大, ,而砧座尽可能不运动而砧座尽可能不运动,

19、 ,因此工程中采用比锻锤重很多倍的砧座。因此工程中采用比锻锤重很多倍的砧座。Northeastern UniversityPAG 2416-4 16-4 碰撞问题举例碰撞问题举例例例16-2 已知两球质量分别为已知两球质量分别为m1和和m2, ,碰撞开始时两质心速度分碰撞开始时两质心速度分别为别为v1和和v2, ,且沿同一直线且沿同一直线, ,如如恢复系数为恢复系数为k , ,试求碰撞后两者的试求碰撞后两者的速度和碰撞过程中损失的动能。速度和碰撞过程中损失的动能。C1C21v2v1v2v211121vmT 1211211221mmTmmTmTTT塑性碰撞过程中塑性碰撞过程中, ,动能损失与两物

20、体的质量比有关动能损失与两物体的质量比有关 在碰撞结束时在碰撞结束时, ,应使桩获得较大的动能去克服阻力前进应使桩获得较大的动能去克服阻力前进, ,因此在工程中应取比桩柱重得多的锤打桩。因此在工程中应取比桩柱重得多的锤打桩。 当当m2 m1时时, ,T0, ,这种情况对打桩是最理想的。这种情况对打桩是最理想的。Northeastern UniversityPAG 25列冲量矩定理在 z 轴上的投影式角速度变化16-5 16-5 碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用 撞击中心撞击中心一、定轴转动刚体受碰撞时角速度的变化一、定轴转动刚体受碰撞时角速度的变化设绕定轴转动刚体受

21、到外碰撞冲量的作用iziI)()(12eizzzIMLL 刚体在碰撞开始和结束时对 z轴的动量矩21,zzLL)()(12eizzzIMJJzeizJIM)()(12 刚体在碰撞开始和结束瞬时的角速度21,Northeastern UniversityPAG 26OI 设定轴刚体有质量对称面,且刚体绕垂直于此对称面的轴转动 外碰撞冲量I 作用在对称面内,求轴承O 的反碰撞冲量Iox和Ioy取图示坐标系,应用冲量定理16-5 16-5 碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用 撞击中心撞击中心二、支座的反碰撞冲量二、支座的反碰撞冲量 撞击中心撞击中心定轴转动刚体受外碰撞冲量I

22、作用,轴承与轴间将发生碰撞yxOxIOyICOyyCyCyOxxCxCxIImvmvIImvmv质心C必在对称面内y轴过质心x轴y轴设图示位置是发生碰撞的位置0CyCyvvNortheastern UniversityPAG 2716-5 16-5 碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用 撞击中心撞击中心OyyCyCyOxxCxCxIImvmvIImvmv0CyCyvvyOyxCxCxOxIIIvvmI)(因此,通常在轴承处将引起碰撞冲量。 工程中,有些机器是利用碰撞工作的,如材料撞击试验机为减少对轴承和轴的损坏,工作时应尽量减小轴承处的碰撞冲量。二、支座的反碰撞冲量二、

23、支座的反碰撞冲量 撞击中心撞击中心OIyxOxIOyICNortheastern UniversityPAG 28 即外碰撞冲量I 作用在物体质量对称平面内,且满足以上两个条件,则轴承反碰撞冲量等于零,即轴承处不发生碰撞。由Iy=0,即要求外碰撞冲量与y轴垂直,也即是外碰撞冲量I 必垂直于支点O与质心C的连线16-5 16-5 碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用 撞击中心撞击中心yOyxCxCxOxIIIvvmI)(0)(yCxCxxIvvmI0K 外碰撞冲量I 的作用线与OC的交点二、支座的反碰撞冲量二、支座的反碰撞冲量 撞击中心撞击中心OyxOxIOyICIalK

24、0INortheastern UniversityPAG 2916-5 16-5 碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用 撞击中心撞击中心)(CxCxxvvmI)(12 mazeizJIM)()(12IJlImazmaJlz,此时K点为撞击中心 当外碰撞冲量作用于物体质量对称平面内的撞击中心,且垂直于轴承中心与质心的连线,在轴承处不引起碰撞冲量。应用:设计材料撞击试验机的摆锤时,应该把撞击试件的刃口设在摆的撞击中心,可使轴承避免承受撞击载荷二、支座的反碰撞冲量二、支座的反碰撞冲量 撞击中心撞击中心OyxOxIOyICIalKNortheastern UniversityP

25、AG 3016-5 16-5 碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用 撞击中心撞击中心由动能定理得由动能定理得mgaJO02121agJmgaO2321OxIOyICal2a12I例例16-7 图示均质细杆长为图示均质细杆长为2a, ,质量为质量为m, ,杆由水平位置无初速落杆由水平位置无初速落下下, ,撞上一固定物块。设恢复系数为撞上一固定物块。设恢复系数为k, ,求轴承的碰撞冲量和撞求轴承的碰撞冲量和撞击中心的位置。击中心的位置。 杆在铅直位置与物块碰撞杆在铅直位置与物块碰撞, ,设碰撞开设碰撞开始和结束时杆角速度分别为始和结束时杆角速度分别为1和和2解解: : 取杆

26、为研究对象取杆为研究对象设撞击点碰撞前后的速度为设撞击点碰撞前后的速度为v和和v 恢复系数恢复系数1212llvvk12kONortheastern UniversityPAG 31列对列对O点的冲量矩定理点的冲量矩定理碰撞冲量碰撞冲量16-5 16-5 碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用 撞击中心撞击中心121;23kaglIJJOO121212)1 (34)(klmalJIO例例16-7 图示均质细杆长为图示均质细杆长为2a, ,质量为质量为m, ,杆由水平位置无初速落杆由水平位置无初速落下下, ,撞上一固定物块。设恢复系数为撞上一固定物块。设恢复系数为k, ,求

27、轴承的碰撞冲量和撞求轴承的碰撞冲量和撞击中心的位置。击中心的位置。agklmaI6)1 (32 根据冲量定理根据冲量定理IIaamOx)(120OyIOxIOyICal2a12IONortheastern UniversityPAG 3216-5 16-5 碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用 撞击中心撞击中心0;)(;2312121OyOxIIIaamkag例例16-7 图示均质细杆长为图示均质细杆长为2a, ,质量为质量为m, ,杆由水平位置无初速落杆由水平位置无初速落下下, ,撞上一固定物块。设恢复系数为撞上一固定物块。设恢复系数为k, ,求轴承的碰撞冲量和撞求轴

28、承的碰撞冲量和撞击中心的位置。击中心的位置。得撞击中心位置得撞击中心位置1)1 (amkIImaIOx)(21aglamk6)2132()1 (时时 当当02132la0OxI34al OxIOyICal2a12IONortheastern UniversityPAG 33按碰撞力作用线:对心碰撞、偏心碰撞1、碰撞的分类 碰撞问题的简化【小结【小结】按碰撞速度:正碰撞、斜碰撞按接触处有无摩擦:光滑碰撞、非光滑碰撞按碰撞后变形恢复程度:完全弹性碰撞、弹性碰撞 塑性碰撞两点简化： 在碰撞过程中,由于碰撞力非常大,重力、弹性力等 普通力的冲量可忽略不计; 碰撞过程非常短促,而速度又是有限量,可认为物

29、体 在碰撞开始和结束时的位置相同。Northeastern UniversityPAG 34【小结【小结】2、普遍定理在碰撞过程的应用冲量定理:质点系在碰撞开始和结束时动量的变化,等 于作用于质点系的外碰撞冲量的主矢。)(eiiiiiIvmvm)(eiCCIvmvm)()()(12eiOeiiOOIMIrLL冲量矩定理:质点系在碰撞开始和结束时对点O的动量 矩的变化,等于作用于质点系的外碰撞冲 量对同一点的主矩。Northeastern UniversityPAG 35【小结【小结】2、普遍定理在碰撞过程的应用刚体平面运动的“碰撞方程”)(eiCCIvmvm)()(12eiCCCIMJJNortheastern UniversityPAG 36碰撞过程的两个阶段： 第一阶段物体动能减小到