第3章一元函数积分学3-12(第二换元积分法(2)与分部积分法)

1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学高等数学A A3.1.4 3.1.4 换元积分法换元积分法3.1.5 3.1.5 分部积分法分部积分法第二第二换元积分法换元积分法积分法积分法 换元换元积分法习例积分法习例1-53.1 3.1 不定积分不定积分3.1.4 不定积分的换元积分法不定积分的换元积分法分部积分法分部积分法 分部积分法习例分部积分法习例6-193.1.5 不定积分的分部积分法不定积分的分部积分法小结与思考题小结与思考题换元积分法与分部积分法换元积分法与分部积分法 )()()()(xtdtttfdxxf 则有换元公式则有换元公式并且并

2、且0)( t ，一、第二换元积分法一、第二换元积分法应用过程应用过程:( )( ) ( )( )xtf x dxftt dt dttg )(Ct )(. )()(Cxxt 第二换元积分法习例第二换元积分法习例例例1 计算计算dxxx 251例例2 计算计算.11dxex 例例3 计算计算dxxx )2(17例例4 计算计算.1124dxxx 例例5 计算计算.)1(13dxxx 积分中为了消去根式并不一定采用三角积分中为了消去根式并不一定采用三角代换，需根据被积函数的情况来定代换，需根据被积函数的情况来定.例例1 计算计算dxxx 251（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）21 xt 令令,

3、122 tx,tdtxdx xdxxxdxxx 242511 tdttt 221 dttt 1224Cttt 353251.)1()1(32)1(51212325222Cxxx 解解(1)224251211dxxxdxxx 解解(2)222211)1)(1(21dxxxx 222211)1(121dxxxx 222211)21(121dxxxx )1(11)12)1(21222223xdxxx .)1()1(32)1(51212325222Cxxx 例例2 计算计算解解.11dxex xet 1 令令, 12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122Ctt 11ln.11ln2

4、Cxex ,1ln2 txCeexx 1111ln当分母的阶较高时当分母的阶较高时, 可采用倒代换可采用倒代换.1tx 例例3 计算计算dxxx )2(17tx1 令令,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct |21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解例例4 计算计算解解.1124dxxx dxxx 1124tx1 令令,12dttdx dtttt 22411111（分母的阶较高）（分母的阶较高）dttt 231222121dttt 22211121dttt )1()111(21222tdtt Ctt 2321)1(31.11312

5、32Cxxxx 当被积函数含有两种或两种以上的根式当被积函数含有两种或两种以上的根式时时,可采用令可采用令 (其中其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数) lkxx,ntx n例例5 计算计算.)1(13dxxx 解解 令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt2216 dttt221116 dtt21116Ctt arctan 6.arctan 666Cxx 二、不定积分的分部积分法二、不定积分的分部积分法问题问题 ?dxxexxe dxxxde和和哪一个计算简单？哪一个计算简单？解决思路解决思路利用两个函数乘积的求导法则可将利用两个函

6、数乘积的求导法则可将 化为容易积分的化为容易积分的 形式形式.xxdexe dxxxxdxee dxxdexxxxdedxee dx即即两边积分，得两边积分，得xxxxxxdedxee dxxeeCxxe dx 设设函函数数)(xuu 和和)(xvv 具具有有连连续续导导数数, ,vuvuuv , vuuvvu ,dxvuuvdxvu .duvuvudv , vdxudxuvdxvu定理定理 ,)(),(则有分部积分公式则有分部积分公式具有连续导数具有连续导数设设xvvxuu .duvuvudv 注意注意 (1)分部积分法用于求两类不同函数乘积的积分分部积分法用于求两类不同函数乘积的积分.(2

7、)用分部积分法计算的不定积分类型常见的有用分部积分法计算的不定积分类型常见的有:,dxexxk ,lndxxxmk ,sindxaxxk ,cosdxaxxk ,arctandxbxxk .sindxbxex (3)分部积分法与换元法经常穿插着使用分部积分法与换元法经常穿插着使用.(4)分部积分法常用来推导递推公式分部积分法常用来推导递推公式.(5)( )( ).f x g x dxudvuvvdu分部积分法习例分部积分法习例例例7 计算计算.2 dxexx例例8 计算计算.arctan xdxx例例9 计算计算.ln) 13(3 xdxxx例例10 计算计算.sin xdxex例例11 计算

8、计算例例6 计算计算.cos xdxx22 dxax 例例12 计算计算.)(arcsin2 dxx例例13 计算计算.)sin(ln dxx例例14 计算计算.sec3 xdx例例15 计算计算 .1arctan2dxxxx例例18计算计算).( )(22NnaxdxInn .)(,)(2 dxxfxexfx求求的的一一个个原原函函数数为为设设例例19例例16 计算计算例例17 计算计算1(lnln).lnxdxx 2ln.(1 ln )xdxx 例例6 计算计算.cos xdxx解解(1)令令,cos xu ,212 xdxdxdv )21(coscos2xxdxdxx xdxxxxsin

9、2cos222显然，显然， 选择不当选择不当，积分更难进行，积分更难进行.vu ,解解(2)令令,xu ),(sincosxdxdxdv xdxxcos xxdsin xdxxxsinsin.cossinCxxx 例例7 计算计算.2 dxexx解解,2xu ,xxdedxedv dxexx2 dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx （再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）,xu xxdedxedv 总结总结 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函数弦函数或幂函数和指数函数的乘积或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函就考虑设幂函数为数为 , 使其降幂一次使其降

10、幂一次(假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数)u xxdexdxex22 dxxeexxx22 xxxdeex22)(22 dxexeexxxx.)(22Cexeexxxx xdex2例例8 计算计算.arctan xdxx解解令令,arctan xu ),2(2xdxdxdv )21(arctanarctan2xxdxdxx)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx 例例9 计算计算.ln)13(3 xdxxx解解)2341(lnln)13(243xxxx

11、dxdxxx 总结总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为数或反三角函数为 .udxxxxxxxxx 1)2341(ln)2341(2424dxxxxxxx )12341(ln)2341(324.43161ln)2341(2424Cxxxxxxx 例例10 计算计算.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexx

12、sin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 注意循环形式注意循环形式总结总结 若被积函数是指数函数与三角函数乘积时，可任若被积函数是指数函数与三角函数乘积时，可任意令意令u，但要两次使用分部积分，且，但要两次使用分部积分，且u的设法相同的设法相同.解题技巧解题技巧:的一般方法及选取vu把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三反对幂指三” 的顺序,前者为 后者为u.v反: 反三角函数对: 对数函数幂: 幂函数指: 指数函数三: 三角函数反对幂三指反对幂三指反对不要碰，三指动一动反对不要碰，三指动一动22d . Ixax 例例1111求积分求积分解解22222

13、22dd xxIxaxxxaxa 2222222()d xaaxxxaxa 2222222dd xxxaxaxaxa 22222 ln|xxaIaxxa22222221dln| . 22aIxaxxxaxxaC 例例12 计算计算.)(arcsin2 dxx方法方法1 dxx2)(arcsin 22)(arcsin)(arcsinxxdxx.2arcsin12)(arcsin22Cxxxxx dxxxxxx221arcsin2)(arcsin 221arcsin2)(arcsinxxdxx)arcsin1arcsin1(2)(arcsin222 xdxxxxx)arcsin1(2)(arcsi

14、n22 dxxxxx方法方法2 tdttdxxxttxcos)(arcsin2arcsinsin2 tdtsin2 tdttttsin2sin2 ttdttcos2sin2)coscos(2sin2 tdtttttCttttt sin2cos2sin2.2arcsin12)(arcsin22arcsinCxxxxxxt 总结总结 若被积函数是超越函数若被积函数是超越函数(指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角三角函数函数,反三角函数反三角函数)时，直接令超越函数为时，直接令超越函数为u.例例13 计算计算.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(ln )sin(ln)sin(lnxxdx

15、x dxxxxxx1)cos(ln)sin(ln )cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx dxxxx)cos(ln)sin(ln例例14 计算计算.sec3 xdx解解 xdx3sec xdxxsecsec2 xxd tansec xdxxxxsectantansec2 xdxxxxsec)1(sectansec2 dxxxxx)sec(sectansec3 xdxxdxxxsecsectansec3 xdxxxxdxsec21tansec21sec3.tan

16、secln21tansec21Cxxxx 例例15 计算计算 .1arctan2dxxxx解解 ,1122xxx dxxxx21arctan 21arctanxxd)(arctan1arctan122xdxxx dxxxxx222111arctan1 221arctan1xdxxxxx arctan12 .)1ln(2Cxx 解解 dxxxdxln1lnln原式原式 dxxxxdxxln1)ln(lnlnln dxxdxxxxxxln11ln1lnln dxxdxxxxln1ln1lnln.lnlnCxx 例例16 计算计算1(lnln) .lnxdxx解解 dxxxxx2)ln1(ln原式原

17、式 )ln11(lnxxdx )ln(ln11ln1lnxxdxxxx dxxxxxxln11lnln1ln.ln1lnCxxxx 例例17 计算计算2ln.(1 ln )xdxx解解dxaxxnaxxaxdxnnn )()1(2)()(222122122 dxaxaaxdxnaxxnnn)()()1(2)(222122122 nnnnIaInaxxI211221)1(2)( 即即 11222)32()()1(21nnnInaxxnaI.arctan11CaxaI 且且利用分部积分法可以得到某些积分的递推公式利用分部积分法可以得到某些积分的递推公式例例18 计算计算).( )(22NnaxdxInn 例例19 .)(,)(2 dxxfxexfx求求的的一一个个原原函函数数为为设设解解,)(2的的一一个个原原函函数数是是xfex )()(2 xexf.22xxe .)(12Cedxxfx dxxfx)( dxxfxxf)()(222xex .2Cex )(xxdf小结：小结：第二换元法的形式第二换元法的形式还有倒代换、根式代换等其它还有倒代换、根式代换等其它. .分部