第一章8函数的的连续性

1、二、二、 函数的间断点函数的间断点 一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义 第八节函数的连续性 第一章 三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性 一、教学目的与要求：会利用定义判断连续或间断点二、教学重点（难点）：判断函数连续和间断tmom0t0一般, 当 f (x)连续变化时, 其图形是一条连续曲线.反之, 若 f (x)图形是一条连续曲线, f (x)则是连续变化的.xyoxyoxxyyxyxyx0f (x0)ABx x0 x x0从图上可看出, (x)在x0间断. 但f (x)在x0连续. (x)在x0的极限不存在, 而).()(lim00 xfxfxxyyx0y = (x)y =

2、f (x)1、函数的增量 设函数yf(x)在点x0的某一个邻域U(x0)内有定义称Dyf(x0+Dx)-f(x0)为函数y的增量 在邻域U(x0)内 若自变量x从初值x0变到终值x1 则称Dxx1-x0为自变量x的增量 DxDy一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义xy0 xy00 xxxD D+ +0)(xfy xD D0 xxxD D+ +0 xD DyD DyD D)(xfy ,0 xxxD D+ + 设设),()(0 xfxfy- - D D,00 xxxD D就是就是).()(00 xfxfyD D就是就是2.连续的定义连续的定义对应的函数的增量对应的函数的增量趋于零时，趋于零时

3、，自变量的增量自变量的增量xD D也趋于零，也趋于零，yD D或或即即0lim0 D DD Dyx, 0)()(lim000 - -D D+ +D Dxfxxfx连续，连续，在点在点则称则称0)(xxf.)(0的连续点的连续点称为称为xfx内有定义，内有定义，在在设函数设函数)()(0 xUxfd d如果当如果当1定义定义(Continuity)2定义定义内有定义，内有定义，在在设函数设函数)()(0 xUxfd d如果当如果当的极限存在，的极限存在，时函数时函数)(0 xfxx 且等于它在且等于它在，即即)x( f)x( flim0 xx0 ，处的函数值处的函数值点点)(00 xfx.)(0

4、连续连续在点在点则称则称xxf提示:0lim0DDyx设xx0+Dx 则当Dx0时 xx0 因此 Dyf(x0+Dx)-f(x0) 0lim0DDyx0)()(lim00-xfxfxx0)()(lim00-xfxfxx)()(lim00 xfxfxx 讨论: 如何用e-d 语言叙述函数的连续性定义？:定义定义d d- -e e.)()(, 0, 000e ed dd de e - - - - xfxfxx恒有恒有时时使当使当注: 与极限定义比较, 将a换成 f (x0)将0|x-x0|d 换成 |x-x0|d .可见 , 函数)(xf在点0 x(1) )(xf在点0 x即)(0 xf(2) 极

5、限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx连续必须具备下列条件:存在 ;有定义 ,存在 ;例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf证证, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定义由定义2知知.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf),0()(lim0fxfx 3.单侧连续单侧连续; )( ),()( ,()( 0000处左连续在点则称且内有定义在若函数xxfxfxfxaxf-定理定理.)()(00处既左连续又右连续处既左连续又右连续在在是函数是函数处连续处连续在在函数函数xxfxxf.)( ),()( ,

6、),)( 0000处右连续在点则称且内有定义在若函数xxfxfxfbxxf+)()(lim00 xfxfxx-)()(lim00 xfxfxx+注:v连续函数 在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续连续函数举例 1 多项式函数P(x)在区间(- +)内是连续的 这是因为 函数P(x)在(- +)内任意一点 x0处有定义 并且)()(lim00 xPxPxx 如果区间包括端点 那么函数在右端点连续是指左连续 在左端点连续是指右连续 continue若)(xf在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上连续 , 或称它为该区间上的连续函数连续函数 . ,ba

7、C在闭区间,ba上的连续函数的集合记作右连续左连续.,)(,),(上连续在闭区间函数则称处左连续在右端点处右连续并且在左端点内连续如果函数在开区间baxfbxaxba 2 函数 ysin x 在区间(- +)内是连续的 这是因为 函数ysin x在(- +)内任意一点x处有定义 并且sin)sin(limlim00 xxxyxx-D+DDD0)2cos(2sin2lim0D+DDxxxx 基本初等函数在其定义域内每点都连续基本初等函数在其定义域内是连续的0lim,0, )0(C,1,0lim Ck1. 无穷小的比较设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小

8、 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小复习常用的等价无穷小.当x0时, sinx x, tanx x, arctanx x, arcsinx x, ex1 x, ln(1+x) x, 2cos12xx-)0,( ,1)1 (-+kRkkxxk11-+nxxn1函数连续性的定义函数连续性的定义在在二、二、 函数的间断点函数的间断点(1) 函数)(xf0 x(2) 函数)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3) 函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在 , 但)()(lim00 xfxfxx 不连续 :0 x设0 x在点)(xf的某去心邻域内有定义 , 则下列情形这

9、样的点0 x之一函数 f (x) 在点虽有定义 , 但虽有定义 , 且称为间断点间断点 . 在无定义 ;xytan) 1 (2x没有定义.例如例如:xytan2xyo2x为其无穷间断点 . 因为xxtanlim2 xxfsgn)()2(不存在 sgnlim0 xx-1 sgnlim-0 xx1 sgnlim0+xx0 x为其跳跃间断点 .xyo11- 因函数f(x)的图形在x0处产生跳跃现象 我们称x0为函数f(x)的跳跃间断点 例例 2 函数xy1sin在点 x0 没有定义 当x0时 函数值在-1与+1之间变动无限多次 所以点x0是函数的间断点 所以点x0称为函数的振荡间断点 xy1sin1

10、x为可去间断点 .11)3(2-xxyxoy12) 1(lim11lim121+-xxxxx处没有定义在 1 xy处连续则函数在点时，如果令1x , 2y 1 x注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.1)(lim, 0)0(sgn)()4(02xffxxfx，）（0 1 sgn0 0 sgn0 1 sgn-xxxxxx当当当)0()(lim0fxfx0 x为其可去间断点 .xyo1所以x1是函数f(x)的间断点 如果改变函数f(x)在x1处的定义 令f(1)1 则函数在x1成为连续 所以x1也称为

11、此函数的可去间断点 例例例 4 设函数1 211 )(xxxxfy 因为1lim)(lim11xxfxx) 1 ()(lim1fxfx 21) 1 ( f 间断点分类间断点分类: :第一类间断点第一类间断点:)(0-xf及)(0+xf均存在 , )()(00+-xfxf若称0 x, )()(00+-xfxf若称0 x第二类间断点第二类间断点:不是第一类间断点的任何间断点称0 x若其中有一个为振荡 ,称0 x若极限为,为可去间断点 .为跳跃间断点 .为无穷间断点无穷间断点 .为振荡间断点振荡间断点 .1) 1 (1)(lim1fxfx显然1x为其可去间断点 .1,1,)(21xxxxfy(5)xoy211(6) +-0,10,00,1)(xxxxxxfyx