恒定总流基本方程细PPT课件

1、第四章第四章 理想流体动力学基本方程理想流体动力学基本方程 主要内容动量方程：反映了流体的动量变动量方程：反映了流体的动量变 化与外力之间的关系化与外力之间的关系能量方程：机械能守恒定理能量方程：机械能守恒定理粘性流体：粘性流体：实际流体都具有粘性，致使所研究的问题比较复杂。实际流体都具有粘性，致使所研究的问题比较复杂。理想流体：理想流体：指粘性为零的流体，实际上并不存在，但在有些问题指粘性为零的流体，实际上并不存在，但在有些问题 中，粘性的影响很小，可以忽略不计，致使所研究的中，粘性的影响很小，可以忽略不计，致使所研究的 问题简单化。问题简单化。 理想流体动力学规律可以应用于理想流体动力学规

2、律可以应用于粘性的影响很小的实粘性的影响很小的实 际流体中，所以本章的研究具有实际意义。际流体中，所以本章的研究具有实际意义。第1页/共131页0粘性流体：粘性流体：实际流体都具有粘性。既有实际流体都具有粘性。既有粘性切应力，又有法向压应力粘性切应力，又有法向压应力。粘性流体：粘性流体：理想流体：理想流体：理想流体：理想流体：理想流体可忽略理想流体可忽略粘性粘性。即即无粘性切应力，只有法向压应力。无粘性切应力，只有法向压应力。0第2页/共131页 一、动量方程一、动量方程流体的运动方程流体的运动方程1 1、积分形式的动量方程、积分形式的动量方程流体的运动方程流体的运动方程质点系的动量定理：质点

3、系的动量定理： 系统的动量对时间的变化率等于作系统的动量对时间的变化率等于作 用于该系统上所有的外力之合。用于该系统上所有的外力之合。 FdtKddvvmKinii1Fdvdtd第3页/共131页AndAvdtddtd把动量代入输运方程的随体导数公式把动量代入输运方程的随体导数公式AndAvvdtvdvdtd)(FdvdtdFdAvvdtvAn)(Fdvdtd控制体控制体（t）内动量随时间的变化率与单位时间内经过控制体）内动量随时间的变化率与单位时间内经过控制体表面表面A（t）流出的动量之和等于作用于控制体上所有外力之和。）流出的动量之和等于作用于控制体上所有外力之和。v第4页/共131页作用

4、于控制体上的外力：作用于控制体上的外力：质量力质量力表面力表面力表面力：表面力：对于理想流体表面力只有压力，对于理想流体表面力只有压力， 粘性剪应力为零。粘性剪应力为零。dAnpA 指外法线方向，负号表示压力指外法线方向，负号表示压力n质量力：质量力：用用 f 表示，具有加速度的量纲表示，具有加速度的量纲dfdAnpfdFdAvvdtvAAn)(积分形式的动量方程积分形式的动量方程FFdAvvdtvAn)(第5页/共131页（1 1）定常流动：）定常流动：动量不随时间变化动量不随时间变化dAnpfddAvvdtvAAn0)(单位时间内流出控制体的动量等于作用于控制体上的外力之和单位时间内流出控

5、制体的动量等于作用于控制体上的外力之和积分形式的动量方程积分形式的动量方程dAnpfddAvvdtvAAn)(控制体控制体（t）内动量随时间的变化率与单位时间内经过控制体）内动量随时间的变化率与单位时间内经过控制体表面表面A（t）流出的动量之和等于作用于控制体上所有外力之和。）流出的动量之和等于作用于控制体上所有外力之和。第6页/共131页2 2、微分形式的动量方程、微分形式的动量方程欧拉运动微分方程欧拉运动微分方程理想流体理想流体 ，无粘性切应力，只有法向压应力，无粘性切应力，只有法向压应力0第7页/共131页坐标：坐标：x、y、z平均密度：平均密度：动压强：动压强：p速度：速度：zyxuu

6、u、方向沿坐标轴的正向方向沿坐标轴的正向取六面体的流体微团为控制体，其边长分别为：取六面体的流体微团为控制体，其边长分别为：dx、dy、dzC点（六面体的中心点）点（六面体的中心点）: : 第8页/共131页x 轴方向受到的表面压力：轴方向受到的表面压力：dxdydzxpdydzdxxppdydzdxxpp22流体微团受到流体微团受到 x 轴轴方向的质量力：方向的质量力：dxdydzfx单位质量力为：单位质量力为：kfjfiffzyx第9页/共131页x 轴方向受到的表面压力：轴方向受到的表面压力：dxdydzxpdydzdxxppdydzdxxpp22dxdydzfx根据牛顿第二定理：根据牛

7、顿第二定理：xxFma dxdydzfdxdydzxpdtdudxdydzxxxpfdtduxx1流体微团受到流体微团受到 x 轴方向的质量力：轴方向的质量力：第10页/共131页根据牛顿第二定理：根据牛顿第二定理： FamzzyyxxFmaFmaFmaxxFma （1 1）（2 2）yyFma ypfdtduyy1（3 3）zzFma zpfdtduzz1微分形式的动量方程微分形式的动量方程或欧拉运动微分方程或欧拉运动微分方程xpfdtduxx1第11页/共131页根据欧拉法求导：根据欧拉法求导：zuuyuuxuutudtduzpfzuuyuuxuutudtduypfzuuyuuxuutud

8、tduxpfzzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxx111写成矢量的形式：写成矢量的形式：uutudtudpf1kzjyix哈密顿算子哈密顿算子xpfdtduxx1ypfdtduyy1zpfdtduzz1kzjyixkujuiuuzyx第12页/共131页（1 1）达朗伯原理：）达朗伯原理：单位质量流体的质量力、表面力单位质量流体的质量力、表面力 及惯性力三力组成平衡力系。及惯性力三力组成平衡力系。011dtudpfdtudpf单位质量流单位质量流体的表面力体的表面力单位质量流单位质量流体的惯性力体的惯性力单位质量流单位质量流体的质量力体的质量力（2 2）动量定理：）动量定理：单

9、位质量流体的动量对时间的导数等于单单位质量流体的动量对时间的导数等于单 位质量流体所受的质量力与表面力之和。位质量流体所受的质量力与表面力之和。dtudpf1动量：动量：mu。当。当m=1时，动量时，动量 ：u第13页/共131页（3 3）欧拉运动微分方程与欧拉平衡微分方程的转化）欧拉运动微分方程与欧拉平衡微分方程的转化当当 时，流体的速度为零，即流体静止不动。时，流体的速度为零，即流体静止不动。0zyxuuuzpfdtduzpfypfdtduypfxpfdtduxpfzzzyyyxxx101101101欧拉平衡微分方程欧拉平衡微分方程（4 4）欧拉运动微分方程的求解）欧拉运动微分方程的求解

10、欧拉运动微分方程中有四个未知数欧拉运动微分方程中有四个未知数p、ux、uy、uz， 但只有三个运动方程，所以必须在特殊情况下才能求解。但只有三个运动方程，所以必须在特殊情况下才能求解。第14页/共131页在恒定流动时，动量方程为：在恒定流动时，动量方程为：dAnpfddAvvAAn单位时间内流出控制体的动量等于作用于控制体上的外力之和。单位时间内流出控制体的动量等于作用于控制体上的外力之和。单位时间内控制体动量的增量等于作用于控制体上的外力之和。单位时间内控制体动量的增量等于作用于控制体上的外力之和。 3、恒定总流的动量方程及其应用恒定总流的动量方程及其应用dAnpfdFdAvvdtvAAn)

11、(恒定总流的动量方程可简化为一元流动的动量方程恒定总流的动量方程可简化为一元流动的动量方程控制体控制体任取一段总流任取一段总流1- -1、 2- -2之间的流体。之间的流体。第15页/共131页1112221111222211221122112121222121udtdAuudtdAuudtdAuudtdAuudmudmKKKKKKKKKd分析其中任一元流：分析其中任一元流：dt 时段内元流由时段内元流由 1-2 运动至运动至1-2 从而动量发生变化，动量的增量为：从而动量发生变化，动量的增量为：对于不可压流体：对于不可压流体：21第16页/共131页1212111222111222AAAAu

12、udAuudAdtudtudAudtudAKd)()()()(11221122111122221111222212vvQdtvQvQdtvAvvAvdtdAvvdAvvdtKdAA恒定总流：恒定总流：总流可以看作是由无数元流组成，将元流总流可以看作是由无数元流组成，将元流 动量的增量对总流过流断面进行积分，得：动量的增量对总流过流断面进行积分，得：用过流断面的平均流速用过流断面的平均流速 v 来代替上式中未知的点速来代替上式中未知的点速 u 分布，分布，由此产生的误差，通过引进动量修正系数由此产生的误差，通过引进动量修正系数加以改正。加以改正。1122AvAvQ总流的流量总流的流量第17页/共

13、131页)()()(112211221122zzzyyyxxxvvQFvvQFvvQF 方程的投影式：方程的投影式：两边同除两边同除 dt：不可压缩流体恒定总流的动量方程不可压缩流体恒定总流的动量方程不可压缩流体定常流动总流的动量方程是矢量形式的动不可压缩流体定常流动总流的动量方程是矢量形式的动量方程，为了计算方便，将它投影在三个坐标轴方向。量方程，为了计算方便，将它投影在三个坐标轴方向。外力与流速的符号规则：外力与流速的符号规则： 外力：外力：与选定的坐标轴方向相同者取正号，否则取负号。与选定的坐标轴方向相同者取正号，否则取负号。 流速：流速：与选定的坐标轴方向相同者取正号，否则取负号。与选

14、定的坐标轴方向相同者取正号，否则取负号。FvvQdtKd)(1122)(1122vvQdtKd动量方程的右端是单位时间内动量方程的右端是单位时间内流出流出的动量的动量减去减去流入流入的动量。的动量。第18页/共131页 动量修正系数动量修正系数121112222222dAvuvuAdAvuvAAvdAudAvdAuAAAAA（1 1）总流动量方程讨论）总流动量方程讨论12111222AAuudAuudAdtdK)(1211112222AAdAvvdAvvdtKd 指外界作用在控制体上外力的合力指外界作用在控制体上外力的合力F质量力：质量力：只有重力只有重力( (恒定流动恒定流动速度不随位置改变

15、速度不随位置改变a=0=0，无惯性力，无惯性力 ) )。表面力：表面力：控制体两端过流断面的动压力：控制体两端过流断面的动压力： 固体壁面给予控制体的作用力，即待求的力固体壁面给予控制体的作用力，即待求的力R。 边壁的摩擦力，若不计损失，则摩擦力为边壁的摩擦力，若不计损失，则摩擦力为0。2211ApAp、在均匀流中在均匀流中 v=u ，u=0=0，所以，所以 =1。、速度分布越不均匀，速度分布越不均匀， 值越大。值越大。、在缓变流中在缓变流中 =1.02=1.021.051.05，常取，常取 =1。第19页/共131页动量方程中的压强只能用相对压强：动量方程中的压强只能用相对压强： 因为对所选

16、的控制体，周界上均作用了大小相等的大气压强。因为对所选的控制体，周界上均作用了大小相等的大气压强。)()()(112211221122zzzyyyxxxvvQFvvQFvvQF当沿程有分流和汇流时：当沿程有分流和汇流时：)()()(111222333111222333111222333zzzzyyyyxxxxvQvQvQFvQvQvQFvQvQvQF应用条件：应用条件： 应用：应用：解决急变流运动中，流体与边界之间的相互作用力问题。解决急变流运动中，流体与边界之间的相互作用力问题。 条件：条件：恒定流动恒定流动 过流断面是均匀流或渐（缓）变流断面不可压缩流体过流断面是均匀流或渐（缓）变流断面不

17、可压缩流体第20页/共131页(2)(2)动量方程的应用步骤动量方程的应用步骤 选取适当的过流断面与控制体选取适当的过流断面与控制体 对应总流取控制体：缓变流对应总流取控制体：缓变流急变流急变流缓变流缓变流 控制体应包括动量有急剧变化的急变流段，急变流两控制体应包括动量有急剧变化的急变流段，急变流两 端的过流断面应选择在缓变流区域。端的过流断面应选择在缓变流区域。 建立适当的坐标系建立适当的坐标系投影轴可任意选取，以计算方便为宜投影轴可任意选取，以计算方便为宜 分析控制体的受力情况分析控制体的受力情况注意不要遗漏，并以正负号表明力的方向注意不要遗漏，并以正负号表明力的方向 分析控制体流入、流出

18、的动量，列动量方程分析控制体流入、流出的动量，列动量方程动量方程的右端是动量方程的右端是单位时间内单位时间内流出流出的动量的动量减去减去流入流入的动量，不可颠倒。的动量，不可颠倒。 )()()(112211221122zzzyyyxxxvvQFvvQFvvQF第21页/共131页选控制体选控制体: :如图一段弯管，液体以速度如图一段弯管，液体以速度v1流入流入1-1面，以速面，以速 度度v2流出流出2-2面面, ,以弯管以弯管1-2中的流体为控制体；中的流体为控制体；建立坐标系建立坐标系: :弯管在弯管在xy平面内；平面内；受力受力分析：分析：设弯管在水平面上，弯管的转角为设弯管在水平面上，弯

19、管的转角为 。(3)(3)动量方程的应用动量方程的应用质量力：质量力：只有重力只有重力（垂直于（垂直于xy平面）平面）表面力：表面力：控制体端面压力控制体端面压力与固体壁面的作用与固体壁面的作用 力，即待求的力力，即待求的力R。2211ApAp,由于管子有弯度，液流对弯管壁的作用力由于管子有弯度，液流对弯管壁的作用力第22页/共131页xyyxRRarctgRRR22xxxxvvQRApApF122211cosyyyyvvQRApF1222sin122211coscosvvQApApRx列动量方程求解。列动量方程求解。1)()(1211221122yyyxxxvvQFvvQF122211cos

20、cosvvQRApApFxx0sinsin222vQRApFyysinsin222QvApRy第23页/共131页二、二、能量方程能量方程伯努利方程伯努利方程1 1、恒定元流的能量方程恒定元流的能量方程恒定元流的伯努利方程恒定元流的伯努利方程欧拉运动微分方程是描述理想流体运动的基本方程，用来欧拉运动微分方程是描述理想流体运动的基本方程，用来解决实际流体问题时，必须对其进行积分，目前在数学上解决实际流体问题时，必须对其进行积分，目前在数学上还不能对欧拉运动微分方程进行普遍的积分，只有在一些还不能对欧拉运动微分方程进行普遍的积分，只有在一些特殊的条件下，才有解析解。特殊的条件下，才有解析解。（1

21、1）通过对）通过对欧拉运动微分方程进行积分来推导欧拉运动微分方程进行积分来推导伯努利积分伯努利积分 理想流体；理想流体； 定常流动；定常流动； 质量力只有重力；质量力只有重力； 不可压流体；不可压流体； 沿流线积分。沿流线积分。zuuyuuxuutudtduzpfzuuyuuxuutudtduypfzuuyuuxuutudtduxpfzzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxx111第24页/共131页zuuyuuxuutudtduxpfxzxyxxxxx1理想流体的欧拉运动微分方程：理想流体的欧拉运动微分方程：定常流动：定常流动：0tuxzuuyuuxuuxpfxzxyxxx1xu

22、zuuxuyuuuxuxuxxuuxuuxuuxuuzuuyuuxuuzxzyxyzyxzzzzyyyyxzxyxx222222右边第25页/共131页xuzuzuyuzxyyzx2121yuxuxyz21流体微团的旋转角速度为：流体微团的旋转角速度为：zyyzyzzyzyxzxzyxyzyxuuuxuuuuuxxuzuuxuyuuuxuxux222222222222222右边代入原方程得：代入原方程得：zyyzxuuuxxpf2212yxxyzxzzxyuuuzzpfuuuyypf22122122第26页/共131页dzuudzuzdzzpdzfdyuudyuydyypdyfdxuudxux

23、dxxpdxfyxxyzxzzxyzyyzx221221221222三个投影方程的两端分别乘以三个投影方程的两端分别乘以dx、dy、dz，得：得：dzuudyuudxuuuuudzdydxxyyxzxxzyzzyzyxzyx右侧zyxzyxzyxuuudzdydxdzuzdyuydxuxdzzpdyypdxxpdzfdyfdxf2222)(1222三式求和三式求和第27页/共131页dzzpdyypdxxpdpzyxpp,zyxzyxzyxuuudzdydxuddpdzfdyfdxf22120zyxzyxuuudzdydx0212uddpdzfdyfdxfzyx若行列式等于零，即：若行列式等于

24、零，即：zyxzyxzyxuuudzdydxdzuzdyuydxuxdzzpdyypdxxpdzfdyfdxf2222)(1222第28页/共131页若质量力只有重力若质量力只有重力gdzdzfdyfdxfzyx0212uddpgdz若不可压流体若不可压流体常数两边积分得：两边积分得：cupgz22gugpzgugpz2222222111恒定元流的能量方程恒定元流的能量方程恒定元流的伯努利方程恒定元流的伯努利方程cgugpz220212uddpdzfdyfdxfzyx第29页/共131页关于行列式等于零的讨论：关于行列式等于零的讨论： （a）若流体静止时，行列式必为零。）若流体静止时，行列式必

25、为零。 即：即： （b）若流体作无旋运动，行列式必为零。）若流体作无旋运动，行列式必为零。 即：即： （c）若沿流线积分时，）若沿流线积分时，行列式必为零。行列式必为零。 即：即：0zyxuuu0zyxdzudyudxuzyx根据流线的定义，流线上的曲线微元根据流线的定义，流线上的曲线微元ds与流速与流速矢量矢量u的方向相同。在直角坐标系下，设的方向相同。在直角坐标系下，设ds的分的分量为量为dx、dy、dz，u的分量为的分量为ux、uy、uz，根据，根据相互平行的两个矢量的分量成比例的性质得到相互平行的两个矢量的分量成比例的性质得到流线的微分方程。流线的微分方程。0zyxzyxuuudzdy

26、dx第30页/共131页dzudyudxuzyxdyudzudxudzudxudyuzyzxyx0dyudxudzudyudzudxuuuudzdydxxzzyyxzxxyyzzyxzyx第31页/共131页 （1 1）用机械能守恒定律来推导）用机械能守恒定律来推导 即：外力对系统做功即：外力对系统做功 = = 系统机械能的增加系统机械能的增加2 2、恒定元流的能量方程、恒定元流的能量方程伯努利方程伯努利方程dt 时段内总流时段内总流 1-2 运动至运动至1-2第32页/共131页dQdtppdtudApdtudApdldApdldAp)(21222111222111端面压力作功：端面压力作功

27、：侧面压力作功：侧面压力作功：0流段所获能量：流段所获能量：势能的增加势能的增加动能的增加：动能的增加：dQdtuuumum)22(21212122211222)(12111222zzgdQdtdtzugdAdtzugdAGz第33页/共131页外力对系统做功外力对系统做功 = = 系统机械能量的增加系统机械能量的增加)()22()(12212221zzgdQdtdQdtuudQdtppgugpzgugpz2222222111单位重量的理想流体沿元流的能量方程单位重量的理想流体沿元流的能量方程)()22()(12212221zzguupp单位重量的理想流体沿元流的单位重量的理想流体沿元流的伯努

28、利方程伯努利方程第34页/共131页（2 2）恒定元流能量方程各项的物理意义和几何意义）恒定元流能量方程各项的物理意义和几何意义 单位重量流体相对于某单位重量流体相对于某参考面所具有的位能参考面所具有的位能 元流过流断面上某点相对于某元流过流断面上某点相对于某参考面的位置高度参考面的位置高度/ /位置水头位置水头 能量意义能量意义 几何意义几何意义 zgp单位重量流体所具有的压能单位重量流体所具有的压能 压强水头压强水头gugpz22gu22gpz单位重量流体所具有的总势能单位重量流体所具有的总势能 测压管水头测压管水头单位重量流体所具有的动能单位重量流体所具有的动能 速度水头速度水头单位重量

29、流体所具有的总机械能单位重量流体所具有的总机械能 总水头总水头gugpzgugpz2222222111第35页/共131页（3 3）恒定元流能量方程图示）恒定元流能量方程图示gugpzgugpz2222222111第36页/共131页（4 4）恒定元流能量方程的应用）恒定元流能量方程的应用欲测量欲测量A点流速，在该点放置一根弯成点流速，在该点放置一根弯成900两端开口的细管，将弯两端开口的细管，将弯管一端的管口正对流动方向，另一端垂直向上，此管即为测速管。管一端的管口正对流动方向，另一端垂直向上，此管即为测速管。管中液柱受液流的顶冲，液面将上升到管中液柱受液流的顶冲，液面将上升到h1高度，液流

30、受到弯管的阻高度，液流受到弯管的阻挡，流体接近挡，流体接近A点时流速逐渐减低，流至点时流速逐渐减低，流至A点时速度变为零点时速度变为零 称为驻点或滞止点，此时动能全部转换为压能。称为驻点或滞止点，此时动能全部转换为压能。毕托管毕托管 测点的速度测点的速度原理：原理：应用伯努利方程，通过测量点压强的方法来间应用伯努利方程，通过测量点压强的方法来间 接地测出点速度的大小。接地测出点速度的大小。第37页/共131页hguhghhguguhhgugghgghgugpzgugpzBBBBAAA22)(222222122122122在在A点上游同一水平流线上取相距很近的点上游同一水平流线上取相距很近的B点

31、，在点，在B点所在的过流断面边壁点所在的过流断面边壁上安放一根测压管，此测压管的液面将上升至上安放一根测压管，此测压管的液面将上升至h2高度，因为高度，因为A点与点与B点相距点相距很近，很近，B点的压强、流速实际上等于点的压强、流速实际上等于A点在放置测速管以前的压强与流速。点在放置测速管以前的压强与流速。h两根测压管的液面高差。两根测压管的液面高差。 毕托管的校正系数（毕托管的校正系数（ = 0.98-1.04）。）。 实际上，由于流体具有粘性，能量转换时有损失，实际上，由于流体具有粘性，能量转换时有损失， 所以必须乘以校正系数。所以必须乘以校正系数。应用理想流体元流的能量方程应用理想流体元

32、流的能量方程第38页/共131页已知：已知：如图所示，在如图所示，在D=150mm的水管中，装一带有水银压差计的毕的水管中，装一带有水银压差计的毕 托管，用以测量管轴心处的流速。如果托管，用以测量管轴心处的流速。如果1、2两点相距很近且毕两点相距很近且毕 托管加工良好，水流经过时没有干扰；管中水流平均速度为管托管加工良好，水流经过时没有干扰；管中水流平均速度为管 轴处流速的轴处流速的0.84倍。倍。 问：问：此时水管中的流量为多少？此时水管中的流量为多少？解：解：由于由于1，2两点相距很近，可认为水流自两点相距很近，可认为水流自1流至流至2之间无能量损失，之间无能量损失， 取管轴线为基准面，列

33、过流断面取管轴线为基准面，列过流断面1- -1，2- -2之间的能量方程。之间的能量方程。根据伯努利方程根据伯努利方程：gugpzgugpz22222221110,221uzz)(212maxgppgugpgpgu12212第39页/共131页假设在过流断面上假设在过流断面上1- -1及及2- -2上压强按静压规律分布，即：上压强按静压规律分布，即：hgpp)(12484.02maxDvvAQuvhggppgu12)(212maxhhghgppghppAB12hABABpp 第40页/共131页恒定元流能量方程：恒定元流能量方程：gugpzgugpz2222222111上式就是单位重量流体沿元

34、流的能量方程式。设元流的上式就是单位重量流体沿元流的能量方程式。设元流的流量为流量为dQ，单位时间内通过元流任一过流断面的流体重，单位时间内通过元流任一过流断面的流体重量为量为gdQ，将上式中各项分别乘以，将上式中各项分别乘以gdQ，则单位时间，则单位时间内通过元流两过流断面间流体的能量关系为：内通过元流两过流断面间流体的能量关系为：gdQgugpzgdQgugpz)2()2(222221113 3、恒定总流的能量方程、恒定总流的能量方程 恒定总流的恒定总流的伯努利方程伯努利方程第41页/共131页2211dAudAudQ对总流过流断面进行积分：对总流过流断面进行积分：221123222221

35、3111112)(2)(AAAAgdAgudAgugpzgdAgudAgugpz222222112111)2()2(dAgugugpzdAgugugpz代入上式：代入上式：gdQgugpzgdQgugpz)2()2(22222111第42页/共131页的积分的积分gQgpzdQggpzgudAgpzAA)()()(Cgpz)(gudAgpzA)(一般而言，总流过流断面上的测压管水头的分布规律与过流断面上一般而言，总流过流断面上的测压管水头的分布规律与过流断面上的流动状态有关，若是均匀流或缓变流，则同一断面上动压强的分的流动状态有关，若是均匀流或缓变流，则同一断面上动压强的分布规律与静压强相同，

36、即：布规律与静压强相同，即： ，因此只要是缓变流断面，因此只要是缓变流断面，上式的积分可化为：上式的积分可化为：2211232222213111112)(2)(AAAAgdAgudAgugpzgdAgudAgugpz第43页/共131页gdAguA23的积分的积分上式表示单位时间内通过过流断面上式表示单位时间内通过过流断面A的流体总动能。由于过流断的流体总动能。由于过流断面上的流速分布与流体内部结构和边界条件有关，一般难于确面上的流速分布与流体内部结构和边界条件有关，一般难于确定。因此工程上常用平均速度取代点的速度，定。因此工程上常用平均速度取代点的速度，由此产生的误差，由此产生的误差，通过引

37、进动能修正系数通过引进动能修正系数加以改正。加以改正。 上式的积分可化为：上式的积分可化为：gQgvgAgvdAggvgdAgvgdAguAAA22222233332211232222213111112)(2)(AAAAgdAgudAgugpzgdAgudAgugpz第44页/共131页2211232222213111112)(2)(AAAAgdAgudAgugpzgdAgudAgugpzgQgvgAgvgdAguA222233gQgpzgudAgpzA)()(将（将（1 1）（）（2 2）两个积分代入公式中，可得总流的能量方程式：）两个积分代入公式中，可得总流的能量方程式：gvgpzgvgp

38、z222222221111总流的能量方程式总流的能量方程式( (恒定总流的恒定总流的伯努利方程伯努利方程) )第45页/共131页（）恒定总流能量方程各项的物理意义和几何意义（）恒定总流能量方程各项的物理意义和几何意义总流过流断面上某点（计算点）总流过流断面上某点（计算点）单位重量流体的位能单位重量流体的位能 位置高度位置高度/ /位置水头位置水头 能量意义能量意义 几何意义几何意义 zgp压强水头压强水头gvgpz22gv22gpz单位重量流体所具有的单位重量流体所具有的平均平均势能势能 测压管水头测压管水头速度水头速度水头单位重量流体的单位重量流体的平均平均机械能机械能 总水头总水头总流过

39、流断面上某点（计算点）总流过流断面上某点（计算点）单位重量流体的压能单位重量流体的压能 总流过流断面上单位总流过流断面上单位重量流体的重量流体的平均平均动能动能 gvgpzgvgpz222222221111第46页/共131页（2 2）恒定总流能量方程图示）恒定总流能量方程图示gvgpzgvgpz222222221111第47页/共131页（3 3）总流能量方程的应用条件）总流能量方程的应用条件恒定流动；恒定流动；不可压缩流体；不可压缩流体；作用于流体上的质量力只有重力；作用于流体上的质量力只有重力；所选取的两个计算过流断面应符合缓变流或均匀流条件，所选取的两个计算过流断面应符合缓变流或均匀流

40、条件， 但两计算断面之间允许存在急变流；但两计算断面之间允许存在急变流；两断面之间没有分流和汇流，流量保持不变两断面之间没有分流和汇流，流量保持不变（4 4）运用总流能量方程的解题步骤）运用总流能量方程的解题步骤选基准面选基准面( (参考面）参考面） 基准面的选取，最好能使能量方程中计算点的位置高度一个基准面的选取，最好能使能量方程中计算点的位置高度一个 为为0，一个为正。，一个为正。选过流断面和计算点选过流断面和计算点 过流断面应取在均匀流或渐变流断面上，它与计算点的选取过流断面应取在均匀流或渐变流断面上，它与计算点的选取 共同共同应力求使未知数最少应力求使未知数最少。列能量方程式列能量方程

41、式 结合连续性方程求解。结合连续性方程求解。第48页/共131页（6 6）运用总流能量方程的注意事项）运用总流能量方程的注意事项基准面可以任意选取，但必须是水平面；基准面可以任意选取，但必须是水平面；在计算过流断面的测压管水头（在计算过流断面的测压管水头（ ）时，可任意选取过流）时，可任意选取过流断面上的点作为计算点，并不要求是同一条流线上的点，具体选断面上的点作为计算点，并不要求是同一条流线上的点，具体选哪一点，以计算方便，未知量少为标准；一般无压流选自由表面哪一点，以计算方便，未知量少为标准；一般无压流选自由表面方程中的方程中的p可以是相对压强也可以是绝对压强，但等式两边一致；可以是相对压

42、强也可以是绝对压强，但等式两边一致；gpz（5 5） 动能修正系数：动能修正系数：133AvdAuA速度分布越不均匀，速度分布越不均匀， 值越大。值越大。在均匀流中在均匀流中 v = u ，所以，所以 =1。在缓变流中在缓变流中 =1.05=1.051.101.10，常取，常取 =1=1。第49页/共131页（7 7）总流能量方程的推广）总流能量方程的推广两断面之间有分流或汇流两断面之间有分流或汇流根据能量守恒定理：根据能量守恒定理：)2()2()2(233333222222211111gvgpzgQgvgpzgQgvgpzgQ单位时间内通过单位时间内通过1- -1、2- -2两过流断面间流体

43、的两过流断面间流体的总机械能等于通过总机械能等于通过3- -3过流断面的总机械能。过流断面的总机械能。321QQQ根据连续性方程：根据连续性方程：)2()2()2()2(233332233331222222211111gvgpzgQgvgpzgQgvgpzgQgvgpzgQ第50页/共131页02)2(2)2(2333322222223333211111）（）（gvgpzgvgpzQgvgpzgvgpzQgvgpzgvgpzgvgpzgvgpz222223333222222333321111通过通过1- -1，2- -2两个过流断面的流体，全部流向过流断面两个过流断面的流体，全部流向过流断面3

44、- -3。即两股总流即两股总流1- -1，3- -3和和2- -2，3- -3可分别列能量方程。可分别列能量方程。)2()2()2()2(233332233331222222211111gvgpzgQgvgpzgQgvgpzgQgvgpzgQ第51页/共131页已知：已知：水流通过如图所示管路系统流入大气，已知水流通过如图所示管路系统流入大气，已知U形管中水银形管中水银 柱高差柱高差hp=0.25m，水柱高，水柱高h1=0.92m，管径，管径d1=0.1m ，管道，管道 出口直径出口直径d2=0.05m，不计损失。，不计损失。 求：求：管中通过的流量。管中通过的流量。第52页/共131页解：解

45、：（）（）选基准面选基准面以管道出口断面为基准面，即以以管道出口断面为基准面，即以2- -2面为基准面面为基准面（）选过流断面（）选过流断面选安装选安装U形管的管道断面为形管的管道断面为1- -1断面；以及管道出口断面；以及管道出口断面为断面为2- -2断面断面（）选计算点（）选计算点计算点均取在管轴中心上计算点均取在管轴中心上（）列（）列1- -1，2- -2断面的能量方程断面的能量方程gvgpgvgp202152022222111）（121: :令令gvgpgvgp225222211第53页/共131页02111pghghghppghpppBpBAsmdvAvQsmv/105 .374/7

46、8. 4332111111122122112224)(44vvddvdvdvgvgpgvgp225222211相对压强相对压强（5 5）连续性方程）连续性方程gvgvgghghp22522211gvvgghghp2521221第54页/共131页三、恒定总流能量方程应用三、恒定总流能量方程应用1 1、文丘里流量计、文丘里流量计用以测量管路中流体流量的设备。它是由渐缩管、喉管、渐扩管所组成。用以测量管路中流体流量的设备。它是由渐缩管、喉管、渐扩管所组成。主管路直径主管路直径d1；喉管直径喉管直径d2；管长；管长L=0.5d1-0.25d1；渐缩管管长渐缩管管长L=2.5d1；渐扩管管长渐扩管管长

47、L=7.5d1。欲测某管段的流量，则把文丘里流量计连接在该管段中，因喉管断面缩小，欲测某管段的流量，则把文丘里流量计连接在该管段中，因喉管断面缩小，流速增大，动能增加，势能减小，安装在该断面的测压管液面就会低于安装流速增大，动能增加，势能减小，安装在该断面的测压管液面就会低于安装在渐缩管进口断面前的测压管液面。测量两测压管液面高差，便可根据恒定在渐缩管进口断面前的测压管液面。测量两测压管液面高差，便可根据恒定总流的能量方程计算得到管道的流量。总流的能量方程计算得到管道的流量。第55页/共131页（1 1）文丘里流量计）文丘里流量计水平管路水平管路已知：已知：某水平管路直径某水平管路直径d1，喉

48、管直径，喉管直径d2，两根测压管水头差为，两根测压管水头差为 h, ,不计能量损失。不计能量损失。试求：试求：管道的流量。管道的流量。解：解：（1 1）连续性连续性方程方程 列列1- -2过流断面间的连续性方程过流断面间的连续性方程122112122211vddvAAvAvAv第56页/共131页取管路的轴线为参考面，所以取管路的轴线为参考面，所以102121zzgvgvgpgp22212221gvgpzgvgpz222222221111（2 2）伯努利方程）伯努利方程 沿沿1- -2过流断面列伯努利方程，过流断面列伯努利方程，计算点均取在管轴中心计算点均取在管轴中心第57页/共131页将连续

49、性方程代入伯努利方程将连续性方程代入伯努利方程gvgvgpgp222122211212221421212212121212121ddvAAvvvAApp12211212vddvAAv12421211ddppv第58页/共131页hghhgppghpghp212122111212421421211ddhgddppv421111dvAvQ第59页/共131页已知：已知：某倾斜管路直径某倾斜管路直径d1 1，喉管直径，喉管直径d2，两根测压管水头差为，两根测压管水头差为 h, , 不计能量损失，不计能量损失， 为为水的密度。水的密度。试求：试求：管道中水的流量。管道中水的流量。（2 2）文丘里流量计

50、）文丘里流量计倾斜管路倾斜管路解：解：列列1- -1，2- -2断面的能量方程：断面的能量方程： （参考面为（参考面为0- -0）gvgpzgvgpz222222221111121令2211221222211)(2ddvvgvvhgpzgpz）（）（连续性方程连续性方程第60页/共131页hKhgdvAQddhgddhgvddvvgvvhgpzgpz2411212)(2211142142112211221222211管管道道的的理理论论流流量量流流速速系系数数；）（）（K 文丘里管常数，可通过计算确定。文丘里管常数，可通过计算确定。 由于推导过程的简化，实际流量一般低于理论流量，由于推导过程的

51、简化，实际流量一般低于理论流量， 所以需要修正，即所以需要修正，即 流量系数流量系数 1，（，（=0.950.98）。）。hKQ实第61页/共131页（3 3）文丘里流量计文丘里流量计安装水银压差计的倾斜管路安装水银压差计的倾斜管路 如果两断面的压差过大，不便读数时可直接安装水银压差计如果两断面的压差过大，不便读数时可直接安装水银压差计已知：已知：某倾斜管路直径某倾斜管路直径d1 1，喉管直径，喉管直径d2，不计能量损失，不计能量损失, , 为为水银水银 的密度，的密度，水银压差计的水银面高差为水银压差计的水银面高差为h hp ， 为为水的密度。水的密度。试求：试求：管道的流量。管道的流量。解

52、：解：列列1- -1，2- -2断面的能量方程：断面的能量方程： （参考面为（参考面为0- -0）gvgpzgvgpz222222221111121令22112)(ddvv 连续性方程连续性方程第62页/共131页右左NNppgvgpzgvgpz2222222111gvvzzgpp2)(21222121phzzgpp12121pppppNpNhgphzzgphgphgzzgphgghpphgghzzgpp221122112211右左第63页/共131页phKQ实此时管道通过的实际流量：此时管道通过的实际流量：gvvhp212122）（12211212vddvAAv1242411ddhgvpph

53、zzgpp12121gvvzzgpp2)(21222121pphKddhgdvdQ1244424121121第64页/共131页已知：已知：输油管道的直径输油管道的直径d1=260mm收缩到收缩到d2=180mm，用图示缸套、，用图示缸套、 活塞装置测量油的流量活塞装置测量油的流量Q。活塞直径。活塞直径D=300mm，油的密度，油的密度 =850kg/m3，如果固定活塞所要施加的力，如果固定活塞所要施加的力F=75N。 求：求：管内油的流量管内油的流量Q。第65页/共131页解：解：（1 1）建立连续性方程）建立连续性方程2222211122112144dQAQvdQAQvQAvAvQQQ（2

54、 2）建立伯努利方程）建立伯努利方程 对对1- -1，2- -2断面列伯努利方程断面列伯努利方程gvgpzgvgpz222222221111第66页/共131页取管路的轴线为参考面，所以取管路的轴线为参考面，所以102121zzgvgvgpgp222122214142422222212221222118122dddQvvvvvpp4)(4)(2221DghpPDghpP右左作用于活塞左右两侧的压力作用于活塞左右两侧的压力2222211144dQAQvdQAQv第67页/共131页22121244DFppppDPPF右左smddDdFQDFdddQvvpp/0458. 0124182341422

55、422414242222122214)(4)(2221DghpPDghpP右左（3 3）作用于活塞上的力）作用于活塞上的力F第68页/共131页已知：已知：为了测量矿山排风管道的气体流量为了测量矿山排风管道的气体流量Q，在其出口处装有一个，在其出口处装有一个 收缩、扩张的管嘴，在喉部处安装一个细管，下端插入水中，收缩、扩张的管嘴，在喉部处安装一个细管，下端插入水中， 如图所示。其中如图所示。其中h=45mm，d1=400mm，d2=600mm，大气压的，大气压的 密度为密度为=1.25kg/m3, , 水水的密度为的密度为=1000kg/m3。 求：求：排风管道的气体流量排风管道的气体流量Q。

56、第69页/共131页解：解：（1 1）建立连续性方程）建立连续性方程22122121221221221121vddvddAAvvQAvAvQQQ（2 2）建立伯努利方程）建立伯努利方程 对对1- -1，2- -2断面列伯努利方程断面列伯努利方程gvgpzgvgpz2222222111大气大气大气大气第70页/共131页取管路的轴线为参考面取管路的轴线为参考面021 zz414222212212122112222ddvvvppgvgvgpgpaa大气大气ghpppghpaa1141222241422dvQddghv221221vddv 大气大气gvgpgvgpa2222211第71页/共131页

57、2 2、虹吸现象、虹吸现象虹吸管是一种在负压（真空）下工作的管道，由于其部分管虹吸管是一种在负压（真空）下工作的管道，由于其部分管道高于液面，必存在真空管段，为使虹吸管开始工作，必须道高于液面，必存在真空管段，为使虹吸管开始工作，必须由管中预排出空气，在管中初步造成负压，在负压的作用下，由管中预排出空气，在管中初步造成负压，在负压的作用下，液体进入管道并从低液位处排出。液体进入管道并从低液位处排出。第72页/共131页已知：已知：在图示的虹吸管中，在图示的虹吸管中，3- -3端并未接触水面端并未接触水面 ， H1=2m，H2=6m，吸管的直径为吸管的直径为d=15mm，如不计损失。，如不计损失

58、。 求：求：（1 1）S 处的压强应为多大时此管才能吸水？处的压强应为多大时此管才能吸水？ （2 2）吸管的速度吸管的速度v2 及及吸管的流量吸管的流量Q 为若干？为若干？第73页/共131页3232322322221202vvAvAvQQgvgpgvgpHHa)(221BgpHHgpa选取水平面选取水平面3- -3为基准面，列过流断面为基准面，列过流断面2- -2及及3- -3的能量方程：的能量方程：)(22202221222121AgvgpHgpgvgpHgvgpaa解：解：选取过流断面选取过流断面1- -1、2- -2及水平基准面及水平基准面O- -O列能量方程：列能量方程：第74页/共

59、131页smvAQ/109 . 13322)(221BgpHHgpa)(22221AgvgpHgpasmgHvHgv/85.102222222由（由（B）得：）得：gHHppHHgppaa212212apgHHp212)(221BgpHHgpagpHHgvgpH22122212第75页/共131页四、恒定总流动量方程与能量方程的综合应用四、恒定总流动量方程与能量方程的综合应用（1 1）连续性方程）连续性方程132QQQQQQ21（2 2）伯努利方程）伯努利方程gvgpzgvgpz222222221111（3 3）动量方程）动量方程)()()(112211221122zzzyyyxxxvvQFv

60、vQFvvQF方程的投影式：方程的投影式：求固体壁对液体的作用力或液体对固体壁的作用力时，求固体壁对液体的作用力或液体对固体壁的作用力时，需要连续性方程、伯努利方程和动量方程综合应用需要连续性方程、伯努利方程和动量方程综合应用FvvQdtKd)(1122第76页/共131页已知：已知：水平放置在混凝土支座上的变直径弯管，弯管两端与等直水平放置在混凝土支座上的变直径弯管，弯管两端与等直径管径管 相连接处的断面相连接处的断面1- -1上压力表读数上压力表读数 p1=17.6104 Pa，管，管中流量中流量 Q=0.1m3/s，若直径，若直径d1=300mm，d2=200mm，变直径弯，变直径弯管的