《连续体力学》习题及解答2

1、2 二阶张量及其若干运算法则(一) 概念、理论和公式提要2-1 张量的乘法 张量的外乘(并乘) 张量的外乘用表示，其外积为张量，其阶数等于外乘诸张量阶数之和。 张量的内乘(点乘) 张量的点乘用“”表示(有时也可省去“”)，其内积为张量，其阶数为内乘诸张量阶数之和减去2倍内乘的次数。 张量的双点乘记作“”(两次点乘)，例如；其积为张量，其阶数为诸张量阶数之和减2倍点乘次数。设，则 (2-1-1)取，其分量为 (2-1-2)其中分量的后两个指标与分量的前两个指标，分量的后两个指标与分量的前两个指标依次相同。 二阶张量为正方根，且有 (2-1-3) (2-1-4) (2-1-5) (2-1-6) (

2、2-1-7)亦为二阶张量。 设，记为阶张量，其分量关系为 (2-1-8)反之，如果已知为张量，其分量与带指标的量满足上式，则为张量的分量，称为商法则或张量识别定理。的阶数等于，减去的阶数。特别地当的分量的全部指标都是哑标时，则的阶数等于和的阶数之和。在笛卡尔坐标生系内，有 (2-1-9)式中是点的位矢的分量，都是一阶张量，且是哑标，根据张量识别定理，是二阶张量的分量，这个二阶张量称为二阶单位张量，记作；其分量式为 (2-1-10)的分量矩阵为单位矩阵。 矢量的叉积为 (2-1-11)即 (2-1-12)已知二阶张量是二阶张量的分量；按张量识别定理，： (2-1-13)2-2 张量的代数运算法则

3、 可以将矩阵的某些代数运算法则移用到二阶张量和矢量的运算。以下设的列阵。 记的转置，则有 (2-2-1) 记的行列式，则有 (2-2-2)设，则 (2-2-3) 设的分量，则有其中，于是由上式可得 (2-2-4)上式表明，张量的行列式是坐标不变性的，称为张量的三次主不变量。 当。 记的迹，则有 (2-2-5)以及 (2-2-6) (2-2-7)于是又有 (2-2-8)上式表明，张量的迹是坐标系不变性的，称为张量的一次主不变量。 记及 (2-2-9)当张量存在逆时，称张量为可逆的；张量可逆的条件是张量为正则的。 对于正则张量。 记，则有 (2-2-10)以及个相乘，则 (2-2-11) 设，则有

4、 (2-2-12) 设，后一式对应于。由此可得 (2-2-13)于是 (2-2-14)2-3 二阶张量的特征值和特征矢 (1) 二阶张量是仿射量，它将一个矢量线性变换为另一个矢量(映象)；一般地原矢量与其映象的方向和大小(模)都不相同。但是，对于任意二阶张量使得 (2-3-1)位相同。满足上式的矢量的特征矢，的特征值。 式(2-3-1)可写成 (2-3-2)为二阶单位张量。上式的分量式(相对于给定的基)为 (2-3-3)式(2-3-2)或(2-3-3)存在非零解的条件是系数行列式等于零 (2-3-4)或 (2-3-5)上式的展示式为 (2-3-6)上式称为张量的特征方程；其中 (2-3-7)又

5、可写成分量式 (2-3-8)前已说明，都是坐标系不变性的量，因此都是坐标系不变性的量，分别称为张量的一次、二次和三次主不变量。由此可见，特征方程(式2-3-6)的3个根也都是坐标系不变性的，记这3个根为，它们是二阶张量的特征值。 已求出，将它们依次代入式(2-3-3)，结合，可以求出3个对应的特征矢。显然，二阶张量的特征矢是坐标系不变性的。当取称为特征方向。 张量的幂 (2-3-9)如果是正则的，则可以是任意整数。2-4 特殊张量 (1) 对称张量 设为对称张量。对称张量总有3个实的特征值和3个实的特征方向，常分别称为张量的主值和主方向或主轴。当三个主值不相等时，三个主方向相互正交；当其中两个

6、主值相等时，在与之对应的主轴所在平面内的任何方向都是主方向；当三个主值都相等时，则任何方向都是主方向。因此，在任何情况下，对于对称张量总可选取三个相互正交的主轴作局部坐标系的基，相对于这个局部基，二阶张量的分量式为 (2-4-1)或 (2-4-2)指标下加一横线表示该指标不是哑标，但随哑标取值。式(2-4-1)或(2-4-2)称为的谱表示。显然，相对于主轴基的分量矩阵为 (2-4-3)的主不变量可表示为 (2-4-4) 当时，式(2-4-1)变为 (2-4-5) 当时，上式进一步简化为 (2-4-6)具有上列形式的二阶张量称为球张量。 根据式(2-3-9)，可以写出 (2-4-7) (2-4-

7、8) 对于对称张量，如果对任意二阶张量，有 (2-4-13) (2-4-14)此处都是对称张量，按式(2-4-10)，它们都是半正定的。如果是正则的，则当是正定张量。 根据的谱表示，有上的分量。于是根据式(2-4-9)(2-4-12)，可得 (2-4-15) (2-4-16) 如果左点乘式(2-3-1)两侧，得到 (2-4-17)这表明的主值的倒数。类似地可得 (2-4-18)于是在存在逆的情况下，我们有 (2-4-19)为任意整数。 主轴依次相同的张量称为同轴张量。两个张量同轴的充要条件是 (2-4-20) (2) 反称张量 如果为反称张量。显然反称张量的正分量为零。可以证明，任意反称张量的

8、双点乘乘积恒为零 (2-4-21) 置换张量之点积为反称张量。现记 (2-4-22) (2-4-23)以上两式表明，任一反称张量恒有一矢量与之对偶；反之亦然。称为反称张量的轴矢量。利用反称张量与其轴矢量之间的关系(式2-4-22和2-4-23)，可得 (2-4-24) (2-4-25)设分别为两个反称张量及其轴矢量，则有 (2-4-26) (2-4-27) 设。 另外，还有如下关系 (2-4-28) 反称张量只有一个实的特征值，与其对应的特征矢即它的轴矢量。这一结论从式(2-4-25)已可看到。 任何二阶张量可唯一地分解为对称部分和反称部分。 (3) 偏斜张量和球张量 迹恒为零(但正分量不全为

9、零)的二阶张量称为偏斜张量，具有形式的张量称为球张量，为二阶单位张量。球张量的三个主值相等，所有方向都是主方向。易证偏斜张量(记作)和球张量(记作)的双点乘乘积恒为零 (2-4-30) 任意对称张量恒可唯一地分解为偏斜部分和球张量部分之和： (2-4-31) (4) 正交张量 使任意矢量称为正交张量。正交张量具有下列性质： (2-4-32) (2-4-33)时，称为非正常正交张量。 任意两矢量变换后其夹角不变，即有 (2-4-34)标准正交基之间有如下关系 (2-4-35)之间有如下关系 (2-4-36) ，则可证明的分量等于的刚性变换性质，它只使矢量发生转动或镜射。 当的典则表示式为 (2-

10、4-37)式中按右手法则的转角。上式也可写作 (2-4-38)式中为轴矢量的反称张量；记(参阅式2-4-26)，则式(2-4-38)又可写成 (2-4-39)记镜射变换为，其表达式为 (2-4-40)为非正常正交张量，则一般地可表示为将的典则式(2-4-39)及式(2-4-40)代入上式，可以得到的统一表达式 (2-4-41) (5) 相似张量 ，如果下列关系成立 (2-4-42)则称时，则的分量经刚性变换(式2-4-42)后的映象。 相似张量的行列式、迹和范数相等 (2-4-43) (2-4-44) (2-4-45)相似张量的特征值相同，但有下列关系 (2-4-46) (6) 各向同性张量

11、当笛卡尔坐标系作任意旋转时，如果张量相对于不同基的分量不变，则称为该张量为各向同性张量。 所有标量都是各向同性的。 不存在非零的各向同性矢量。 任意标量之积是唯一的各向同性二阶张量，其表达式为 (2-4-47) 任意标量是唯一的各向同性三阶张量，其表达式为 (2-4-48) 各向同性四阶张量为 (2-4-49)为任意标量。 更高阶的各向同性张量可由构成。2-5 Cayley-Hamilton定理 任意二阶张量恒满足它的特征方程，称为Cayley-Hamilton定理。例如在3维欧氏空间内二阶张量应满足下列方程(参阅式2-3-6) (2-5-1)式中的主不变量(见式2-3-7)。上式称为Cayl

12、ey-Hamilton方程，简称C-H方程。 在的C-H方程为 (2-5-2)式中 C-H定理的一个重要用途是可以将一个以张量为变量的三次以上多项式化成的二次多项式。2-6 张量函数 以张量为变量的函数称为张量函数；函数本身为标量的张量函数称为标量值张量函数，函数本身是张量函数称为张量值张量函数。 设有张量值张量函数，则张量函数的导数记为 (2-6-1)的增量为 (2-6-2)式中“”表示对应于标量值张量函数。 线性张量函数 线性标量值张量函数是张量的线性组合。设则 (2-6-3)是线性标量值张量函数，如果是给定的二阶张量。如果是给定的四阶张量，则 (2-6-4)是线性张量值张量函数。 二阶张

13、量的主不变量的导数分别为 (2-6-5)已知，上列第三式又可写作 (2-6-6) 各向同性张量函数 设有函数 (2-6-7)可分别为标量、矢量或二阶张量。记分别为和的刚性变换，其变换法则为 (2-6-8)如果仍然保持原来的函数关系(式2-6-7) (2-6-9)则称张量函数是各向同性张量函数。 当为各向同性矢量函数的条件是 (2-6-10)当为各向同性张量函数的条件为 (2-6-11)如果为各向同性张量函数的充要条件是 (2-6-12) 如果为各向同性张量函数的条件是 (2-6-13) 当满足上式的充要条件为 (2-6-14)式中主不变量的标量值函数。 如果的主值有两个相等，则 (2-6-15

14、)如果为球张量 (2-6-16)(二) 习题和解答 2-1 设，(三阶卡氏张量，以下类推)，它们相对于基是时，将上述结论推广到后一情况。 解 按题意有按坐标变换式，有于是上式是。显然上述结论易于推广到。 2-2 已知，试证 解 设新坐标系的基为，则有表明。 类似地可以证明。 2-3 设，试证 (a)也是；并证 (b) (c) (d)如果定义，证明 (e) (d) (g) 解 (1) 已知，则由式(a)可得其中，是一个不因坐标系变换而改变的量，称为的不变量。于是上式表明。 (2) 由式(a)可得式(b)得证。又由式(a)分别可以得到式(c)、(d)得证。 (3) 按题给的定义，易证类似地，此处用

15、到了等。应用这些关系式易证式(e)、(f)及(g)得证。 2-4 若为任意矢量。证明。 解 对于任意的基，有上式要求是任意矢量，所以，即。 2-5 若正则张量。如果。 解 已知是正则二阶张量，故存在逆。于是以点乘。2-6 试证是CT(4)，以及。解 设其表达式为 (a)式中将上列有关式代入式(a)，得到上式表明。另外证毕。 2-7 设，证明 (1) 若，则 (a) (2) 若，则 (b) 解 (1) 当，于是式(a)得证。当，于是式(b)得证。2-8 若，证明 (1) (2) 当且只当是对称的。 解 (1)已知的双点乘乘积，即的二次缩并。根据商法则，是一阶张量。 (2) 如果，则有或者表明只要

16、 如果，则有从而上式要求。证毕。 2-9 若的轴矢量，证明 (1) ； (2) ； (3) 的轴矢量。 解 (1) 按题给定义，有证毕。 (2) 证毕。 (3) ，且设是反称张量的轴矢量，则与的关系为即为所以的轴矢量。当然也可由(2)的结果证明(3)。已知，则因为是任意矢量，所以其轴矢量为。 2-10 若是反称的相对于基的分量阵，证明对于基的任何变化，该张量的分量矩阵不变。 解 按题意坐标变换矩阵为于是相对于任意的基的分量矩阵为在推导上式中，应用了。2-11 如果，试从的主不变量同的主不变量之间的关系。解 由于。于是有=从而有式中，从而有如果，这与题给条件矛盾。本题结果表明，当的特征方程为用遍

17、乘上式，再与的特征方程相比较，即得到的主不变量、之间的关系如下： 2-11 设，证明 (1) (2) 的主不变量。 解 的C-H方程为遍乘上式各项，即可从所得方程解出由的C-H方程可解出表示的三项式；再用逐次遍乘的C-H方程，即可求出表示的三项式，其系数为的主不变量的函数。类似地用逐次遍乘的C-H方程，可分别得到表示的三项式。由此可以得出结论：对于表示的三项式。 2-13 设的主不变量可表示为 (a) 解 的特征方程为 (b)题设的特征值，亦即式(b)的根，因此式(a)又可写成 (c)展开上式，并写式(b)进行比较，即可得式(a)。 2-14 如果两个对称的二阶张量的特征方向(主轴)依次重合，

18、则称它们是同轴的。证明，当且只当时，它们同轴。 解 设同轴，其主轴为则有，分别是的特征值。于是易证即如果。 设的主轴，则有将第二式两侧分别右点乘和左点乘第一式的两侧，注意到为对称张量及，得到 将以上二式相减，得到上式要求同轴。证毕。 2-15 设是固定的标准正交基，其中的一个特征方向，对应的特征值记为的另两个特征值，证明存在一个角度可表示成： (a) 解 设；令的夹角(从逆时针量为正)，则有的谱表示式为将集项，即得式(a)。 2-16 令的轴矢量。证明 (1) 可表示成式中是双线性表达式 (2) 可表示成 解 (1) 只有一个实的特征方向，即轴矢量方向，在此方向的特征值为零，因此平面内有分量。

19、均为零，交叉分量。于是有 (a) (2) 以右点乘上式，得到此处已用到。于是式(a)可写作 (b) 2-17 正常正交张量的典则式为式中的特征矢，对应的特征值为1，即是转轴方向。构成一标准正交基。试证，对于任意矢量，有 (a) 解 ，因此有 (b)及 (c)在推导式(c)时，用到下列关系式利用以上关系式(b)和(c)，可证式(a)。 2-18 证明正交张量只有一个实的特征值。 解 根据的典则方程(见上题)，相对于局部标准正交基的分量矩阵为于是易于求得的主不变量分别为的特征方程为或者的三个根分别为在一般情况下只有一个实的特征值。当或。前者对应于(没有转动)，后者对应于基的角。 2-19 设为正定

20、、半正定时的条件，以及的定义(或谱表示式) 解 设为任意非零矢量，则在特征矢坐标系内，有的特征方向的分量。如果及为任意矢量，可以导出，如果是半正定的，则由，可以导出至少有一个特征值为零，其余特征值不为负。 如果。则可按下式定义的正平方根 式中唯一确定于 如果的逆存在且唯一地定义为 显然，必与。 2-20 设，试推导 (1) 当为对称张量时 (a) (2) 当为反称张量时 (3) 当 解 (1) 一般地，我们有下式 (2) 当是对称张量时，则有由上式可得 (3) 当是反称张量时由上式易得及 2-21 设是给定的矢量，为任意矢量；如果有下列关系=，证明 (1) 为二阶张量，并写出其分量； (2)

21、如果为任意标量； (3) 如果，也是二阶张量，而且 。 解 (1) 在式为标量，所以此式右侧为一矢量。上式左侧为一矢量，且有是一个线性变换，即二阶张量。令有或由上式可得的分量式为 (2) 当是对称张量。又由可得上式要求为任意标量。 还有另一种证法。已知则。已知，所以有这表明方位相同，即有因为为任意矢量。所以为任意标量。 (3) 由题给关系式，可得；又知，所以有由于是任意矢量，所以上式要求上式表明亦为二阶张量。 2-22 设有下列恒等式 (a)证明： 解 已知为二阶张量，因此为矢量；从而为二阶张量，类似地可证为二阶张量。 现在记，则恒等式(a)可写成分量形式由于是任意矢量，由上式可得到将后一式的

22、自由指标变换，得到证毕。 2-23 证明：一般地为矢量，为二阶张量。 解 由于所以一般地是对称张量时，才有。 2-24 设二阶张量存在下列三个关系式 (1) (2) (3) 式中为任意矢量。证明上列三个关系式等价。 解 (1) 由 (2) 由第二个关系式，可得。由于是任意矢量，上式要求。 (3) 由第三个关系式，可得是任意矢量，上式要求。 以上结果表明，题给三个关系式等价。 2-25 设都是CT(2)。 解 首先证明。 (a)上式表明。 在式(a)中，令，得到上式表明。 在式(a)中，分别令。 2-26 证明任何一个二阶张量恒可分解为一个对称张量和一个反称张量之和(称为和式分解或加法分解)：

23、解 先证和式分解的存在性。显然，恒有下列等式记，所以分别是对称和反称张量。存在性得证。 再证唯一性。设有两种和分解 (a)其中则有或者 (b)令式(a)和(b)相加和相减，分别得到和式分解的唯一性得证。 2-27 设恒可作下列分解 (a) (b)式中都是对称正定张量。 解 设为任意的非零矢量，则有(否则，参见习题2-4)。于是由式(2-4-9)及(2-4-13)(此处是正则的)可知是正定对称张量。现在令，因是正交张量。所以因此，所以存在逆，以，得到是唯一的。下面再证分解的存在性。 定义，是正定对称张量，它存在逆。令因，所以又因此这就证明了式(a)的存在性。类似地可以证明的唯一性和存在性。通常称

24、式(a)和(b)为张量的极分解；且称式(a)为右极分解，式(b)为左极分解。 2-28 设的特征值对应的特征矢，证明任何与平行的矢量都是对应于的特征矢。 解 已知设。于是有或者证毕。 2-29 设的主方向。求的分量。 解 已知的分量可表示为其中所以或者 2-30 设的特征矢，相应的特征值为。 解 对于基，有证毕。类似地可证，当是特征方向之一，特征值为；等等。 2-31 证明，二阶张量的相应分量矩阵主对角元素中的最大值和最小值。 解 的线性组合：显然有的分量为式中，则有证毕。 2-32 各向同性的分量式一般地可写作 (a)如果具有如下对称性 (b)则表达式如何。 解 当具有式(b)的对称性，则式

25、(a)中的。 2-33 证明。 解 的标量值张量函数，即为各向同性函数的条件是现在于是有所以的各向同性标量值函数。 3-34 如果两个二阶对称张量(称同轴，或称是可交换的)。又设的特征矢。证明也是对应于的特征矢。 解 已设，于是上式表明，的一个特征矢，对应的特征矢为。反过来，可以证明，如果有则是可交换的。(请读者自行证明)。 由以上分析结果可以得出以下的“交换定理”。记的所有特征值的集合，称为的特征值谱。对于，的特征矢的集合记作的特征空间。设两个二阶张量是可交换的，则的每个特征空间不变，即若的特征空间，也属于同一个特征空间。反之，若是可交换的。此即所谓交换定理。 2-35 设是二阶对称张量，是各向同性张量值函数，则的每个特征矢也是的特征矢(即与同轴)。这一陈述称为转移定理。证明此定理。 解 设为单位法线的平面的镜射，即于是 (a)设位在反射平面上，即有 (b)于是易证 上式也可如下证明，设的特征方向，是对应的特征值，于是的谱表示为及按交换定律，是可交换的，即有或者 已知是各向同性张量值函数，故此处取。由上式可得在上式两侧乘，得到因此，或者上式表明有相同的特征矢。转移定理得证。 2-36 设是二阶对称张量，证明当的三