拉普拉斯变换

1、自动控制原理自动控制原理拉普拉斯变换拉普拉斯变换1 拉氏变换的概念拉氏变换的概念2 拉氏变换的运算定理拉氏变换的运算定理3 拉氏反变换拉氏反变换4 拉氏变换应用举例拉氏变换应用举例1 拉氏变换的概念本章简要叙述拉氏变换（和拉氏反变换）的概念、拉氏变换本章简要叙述拉氏变换（和拉氏反变换）的概念、拉氏变换的运算定理和应用拉氏变换求解微分方程的基本方法，并通的运算定理和应用拉氏变换求解微分方程的基本方法，并通过拉氏变换应用举例，介绍了典型一、二阶系统的单位阶跃过拉氏变换应用举例，介绍了典型一、二阶系统的单位阶跃函数和典型一阶系统的单位斜坡响应。函数和典型一阶系统的单位斜坡响应。 拉普拉斯变换（拉普拉

2、斯变换（The Laplace Transfrom）（简称拉氏变换）（简称拉氏变换）是一种函数的变换，经变换后，可将微分方程式变换成代数是一种函数的变换，经变换后，可将微分方程式变换成代数方程，并且在变换的同时即将初始条件引入，避免了经典解方程，并且在变换的同时即将初始条件引入，避免了经典解法中求积分常数的麻烦，因此这种方法可以使微分方程求解法中求积分常数的麻烦，因此这种方法可以使微分方程求解题的过程大为简化。题的过程大为简化。在经典自动控制理论中，自动控制系统的数学模型是建立在在经典自动控制理论中，自动控制系统的数学模型是建立在传递函数基础之上的，而传递函数的概念又是建立在拉氏变传递函数基础

3、之上的，而传递函数的概念又是建立在拉氏变换的基础上的，因此，拉氏变换是经典控制理论的数学基础换的基础上的，因此，拉氏变换是经典控制理论的数学基础。1 拉氏变换的概念 若将实变量的函数，乘以指数函数若将实变量的函数，乘以指数函数(其中，是一个复变数其中，是一个复变数)，再在，再在0到到 之间对进行积分，就得到一个新的函数。称之间对进行积分，就得到一个新的函数。称为拉氏变换式，并可用符号为拉氏变换式，并可用符号 表示。表示。 上式称为拉氏变换的定义式。为了保证式中等号右边的积上式称为拉氏变换的定义式。为了保证式中等号右边的积分存在（收敛），应满足下列条件：分存在（收敛），应满足下列条件： 当当 ，

4、 ； 当当 ， 分段连续；分段连续； 当当 ， 较较 衰减得更快。衰减得更快。 s是复数变量，是复数变量，s=+j( )L f t0( )( )( )stF sL f tf t edt（1）0t ( )0f t 0t ( )f tt ste( )f t1 拉氏变换的概念由于由于 是一个定积分，是一个定积分，t 将在新函数中消失。因将在新函数中消失。因此，此， 只取决于只取决于s，它是复变数，它是复变数s的函数。拉氏变换将原来的函数。拉氏变换将原来的实变量函数的实变量函数 转化为复变量函数转化为复变量函数 。拉氏变换是一种单值变换。拉氏变换是一种单值变换。 和和 之间具有一一对应的之间具有一一对

5、应的关系。通常前者称为原函数，后者为象函数。关系。通常前者称为原函数，后者为象函数。由拉氏变换的定义式，可以从已知的原函数求取对应的象函由拉氏变换的定义式，可以从已知的原函数求取对应的象函数。例如数。例如例例1：求单位阶跃函数（：求单位阶跃函数（Unit Step Function）的象函数。）的象函数。 在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信号，相在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信号，相当一个开关的闭合当一个开关的闭合(或断开或断开)。在求它的象函数前，首先应给。在求它的象函数前，首先应给出单位阶跃函数的定义式出单位阶跃函数的定义式 0( )stf t edt( )F s

6、( )f t( )F s( )f t( )F s1 拉氏变换的概念在自动控制系统中，单位阶跃函数相当一个突加作用信号。在自动控制系统中，单位阶跃函数相当一个突加作用信号。由式由式(1)有有 0(0)1( )1(0)ttt0011( )1( )1ststF sLtedtess （2）1 拉氏变换的概念例例2：求单位脉冲函数：求单位脉冲函数(Unit Puise Fuction)的象函数。的象函数。设函数设函数 函数的特点是函数的特点是 单位脉冲函数单位脉冲函数 定义为：定义为： 在在 时及在时及在 时为时为0，在，在t=0时，时， 由由 ；又由；又由 。但对时间的积分为。但对时间的积分为1。即。

7、即 0(0)1( )(0)0()tttt ( ) t0001( )( )1t dtt dtt( ) t0( )lim( )tt( ) t0t 0t ( ) t00 000( )lim( )1t dtt dt（3）1 拉氏变换的概念在自动控制系统中，单位脉冲函数相当一个瞬时的扰动信在自动控制系统中，单位脉冲函数相当一个瞬时的扰动信号。它的变换式由式（号。它的变换式由式（1）有）有0( )( )( )stF sLtt edt00lim( )( )ststt e dtt e dt00000111limlimlim1sststee dtess(4)1 拉氏变换的概念例例3： 求求 与与 间的关系间的关

8、系 由以上两例可见，在区间（由以上两例可见，在区间（0，）里，）里 ，而，而 ，所以，所以由上式有由上式有 ( ) t1( ) t11 ( ) tt1( ) t1 ( )1( )dttdt001 ( )limlim( )dttdt（5）1( )( )d ttdt2.1 拉氏变换的概念由上式有由上式有 （6） 由式（由式（5）和式）和式(6)可知：单位阶跃函数对时间的导数即为单可知：单位阶跃函数对时间的导数即为单位脉冲函数。反之，单位脉冲函数对时间的积分即为单位阶位脉冲函数。反之，单位脉冲函数对时间的积分即为单位阶跃函数。跃函数。例例4：求斜坡函数（：求斜坡函数（Ramp Function）的象

9、函数。）的象函数。斜坡函数的定义式为：斜坡函数的定义式为： 在自动控制原理中，斜坡函数是一个对时间作均匀变化的信在自动控制原理中，斜坡函数是一个对时间作均匀变化的信号。在研究随动系统时，常以斜坡信号作为典型的输入信号号。在研究随动系统时，常以斜坡信号作为典型的输入信号。同理，根据拉氏变换的定义式有：。同理，根据拉氏变换的定义式有：1( )( )tt dt0(0)( )(0)tf tKtt式中式中K为常数为常数2.1 拉氏变换的概念若式若式K=1，即单位斜坡函数，即单位斜坡函数 0( )stF sL KtKtedt0ststeKe dtKtss20stKKe dtss（7） 21L ts1 拉氏

10、变换的概念 例例5：求指数函数（：求指数函数（Exponential Function） 的的象函数。象函数。 由式（由式（1）有）有 0( )ttstF sL eee dt()()0011sts tedtess（8）te欧拉公式：欧拉公式： sin2cos2cossinj tj tj tj tj teetjeetetjt1 拉氏变换的概念实用上，常把原函数与象函数之间的对应关系列成对实用上，常把原函数与象函数之间的对应关系列成对照表的形式。通过查表，就能够知道原函数的象函数照表的形式。通过查表，就能够知道原函数的象函数，或象函数的原函数，十分方便。，或象函数的原函数，十分方便。 ()()00

11、12sjtsjtedtedtj22111()2j sj tsj ts(9)001( )sinsin()2stj tj tstF sLtte dteee dtj例例6. 求正弦函数（求正弦函数（Sinusoidal Function） 的象函数。的象函数。( )sinf tt2 拉氏变换的运算定理在应用拉氏变换时，常需要借助于拉氏变换运算定理，这在应用拉氏变换时，常需要借助于拉氏变换运算定理，这些运算定理都可通过拉氏变换定义式加以证明，现分别叙些运算定理都可通过拉氏变换定义式加以证明，现分别叙述如下：述如下：一、叠加定理一、叠加定理两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的代数两个函数代数和

12、的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的代数和。即和。即证证1212( )( )( )( )L f tf tL f tL f t12120( )( )( )( )stL f tf tf tf t edt1200()()ststf te dtf te dt1212()()( )( )L f tL f tF sF s（10）2 拉氏变换的运算定理二、比例定理二、比例定理K倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的K倍。即倍。即( )( )L Kf tKL f t0( )( )stL Kf tKf t edt0( )( )stKf t edtKF s（11）2 拉氏变换的运

13、算定理三、微分定理三、微分定理 在零初始条件下在零初始条件下( )( )(0)L f tsF sf( )( )nnL fts F s （12）( )( )dL f tLf tdt0( )stdef t dtdt0( )ste df t00( )( )()ststf t ef ts edt0(0)( )stfsf t e dt( )(0)sF sf2 拉氏变换的运算定理当初始条件当初始条件 时，时，同理，可求得同理，可求得 若具有零初始条件，若具有零初始条件， 即即 则则(0)0f( )( )L ftsF s2( )( )(0)(0)L fts F ssff( )1(1)( )( )(0)(0)

14、nnnnLfts F ssff (1)(0)(0)(0)0nfff2( )( )L fts F s( )( )( )nnL fts F s 2 拉氏变换的运算定理上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数的阶导上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数的阶导数的拉氏式等于其象函数乘以。这使函数的微分运算数的拉氏式等于其象函数乘以。这使函数的微分运算变得十分简单。它是拉氏变换能将微分运算转换成代变得十分简单。它是拉氏变换能将微分运算转换成代数运算的依据。因此微分定理是数运算的依据。因此微分定理是个十分重要的运算个十分重要的运算定理。定理。 四、积分定理四、积分定理0( )( )( )tf t dtF

15、 sLf t dtss( )( )()nnnF sLf t dts0( )( )stLf t dtf t dt edt （13）（14）2 拉氏变换的运算定理00( )( )()()ststeef t dtf t dtss0011( )( )sttf t dtf t edtss0( )( )tf t dtF sss2 拉氏变换的运算定理当初始条件当初始条件 时，由上式有时，由上式有同理，可以证明在零初始条件下有同理，可以证明在零初始条件下有0( )0tf t dt( )( )F sLf t dts22( )( )()F sLf t dts( )( )()nnnF sLf t dts2 拉氏变换

16、的运算定理上式同样表明，在零初始条件下，原函数的重积分的拉氏式等上式同样表明，在零初始条件下，原函数的重积分的拉氏式等于其象函数除以。它是微分的逆运算，与微分定理同样是十分于其象函数除以。它是微分的逆运算，与微分定理同样是十分重要的运算定理。重要的运算定理。五、位移定理五、位移定理上式表明，原函数上式表明，原函数 乘以因子乘以因子 时，它的象函数只需把时，它的象函数只需把 中的用中的用s代替代替s+a即可。也就是将即可。也就是将 平移了位置平移了位置a。()F s( )()tL ef tF s 0( )( )ttstL ef tef t edt ()0( )stf t edt( )f tte(

17、 )F s( )F s2 拉氏变换的运算定理六、延迟定理六、延迟定理 原函数原函数 延迟延迟t时间，即成为时间，即成为 。当当 时，时，以新变量置换，设以新变量置换，设 ，既，既 ， ，当，当t由由 时，则时，则x由由 ，代入上式，可得，代入上式，可得()( )sL f teF s( )f t（16）()f tt() 0f t00()()0()sssL f tf te dte dtf te dtxt tx()dtd xdx 0()000()( )( )( )( )ssss xsxsxL f tf xedxf xe e dx ef xe dx e Fs2 拉氏变换的运算定理 上式表明，当原函数上

18、式表明，当原函数 延迟延迟 ，即成为，即成为 时，相应的象函数时，相应的象函数 应乘以因子应乘以因子 。 七、相似定理七、相似定理 （17） 证证 对上式进行变量置换，令对上式进行变量置换，令 ，则，则 ，于是上式可写为，于是上式可写为( )f t()f t( )F sste()()tLfFs0()()stttL ffedtxttx0( )( )()s xtL ff x edx0( )s xf x edx()Fs2 拉氏变换的运算定理上式表明，当原函数上式表明，当原函数 的自变量的自变量t变化变化1/a时，则它对应的时，则它对应的象函数象函数 及变量及变量s将按比例变化将按比例变化a倍。倍。八

19、、初值定理八、初值定理 证证由微分定理有由微分定理有 当当 时，时， ，对上式左边取极限有，对上式左边取极限有 ，以此代入上式有，以此代入上式有 即即 （证毕）（证毕）( )f t( )F s0lim( )lim( )tsf tsF s（18）0( )( )(0)stft edtsF sfs 0ste0lim( )0stsft edtlim( )(0)0ssF sf0lim( )lim( )tsf tsF s2 拉氏变换的运算定理上式表明原函数上式表明原函数 在在t=0 时的数值（初始值），可以通过时的数值（初始值），可以通过将象函数乘以将象函数乘以s后，再求后，再求 的极限值求得。条件是当的

20、极限值求得。条件是当 和和 时等式两边各有极限存在。时等式两边各有极限存在。九、终值定理九、终值定理 由微分定理有由微分定理有 对上式两边取极限对上式两边取极限由于当由于当 时，时， ，所以等式左边可写成，所以等式左边可写成( )f ts 0t s 0lim( )lim( )tsf tsF s（19）0( )( )(0)stft edtsF sf000lim( )lim( )(0)stssft edtsF sf(20)0s 1ste000lim( )( )stsft edtft dt0( )lim( )(0)tf tf tf2 拉氏变换的运算定理以上式代入式以上式代入式(20),两边消去两边消

21、去 ,得得 （证毕）（证毕）上式表明原函数在上式表明原函数在 时的数值时的数值(稳态值稳态值),可以通过将象函可以通过将象函数乘以数乘以s后后,再求再求 的极限值来求得的极限值来求得.条件是当条件是当 和和 时时,等式两边各有极限存在。等式两边各有极限存在。终值定理在分析研究系统的稳态性能时终值定理在分析研究系统的稳态性能时(例如分析系统的稳态例如分析系统的稳态误差求取系统输出量的稳态值等误差求取系统输出量的稳态值等)有着很多的应用。因此终有着很多的应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算定理。值定理也是一个经常用到的运算定理。由于拉氏变换具有上述这些简明的运算定理，使拉氏变换的由于拉氏变换具

22、有上述这些简明的运算定理，使拉氏变换的应用更加方便。应用更加方便。 (0)f0lim ( )lim( )tsf tsF st 0s t 0s 3 拉氏反变换由象函数求取原函数的运算称为拉氏反变换由象函数求取原函数的运算称为拉氏反变换Inverse Laplace Transform)。拉氏反变换常用下式表示。拉氏反变换常用下式表示拉氏变换和反变换是一一对应的，所以，通常可以通过查表拉氏变换和反变换是一一对应的，所以，通常可以通过查表来求取原函数。在自动控制理论中常遇到的象函数是的有理来求取原函数。在自动控制理论中常遇到的象函数是的有理分式，即分式，即这种形式的原函数这种形式的原函数般不能直接由

23、拉氏变换对照表中查得，般不能直接由拉氏变换对照表中查得，因此，要用部分分式展开法先将因此，要用部分分式展开法先将 化为一些简单分化为一些简单分式之和。这些分式的原函数可以由查表得到。则所求原函数式之和。这些分式的原函数可以由查表得到。则所求原函数就等于各分式原函数之和。就等于各分式原函数之和。1( )( )f tLF s11101110( )( )( )mmmmnnnb sbsbsbB sF sA ssasasa( )( )B sA s3、 拉式反变换拉式反变换 F(s)是复变数s的有理代数分式，可化成下列因式分解形式： 1）F(s)中具有不同的极点，即A(s)=0无重根时，可展开为 其中 或

24、者)()()()()()()(2121nmpspspszszszsksAsBsF nnpsapsapsasF 2211)( sFpsakpskklim kpsksAsBa 2）F(s)含有共扼复数极点，即A(s)=0有重根时，可展开为 式中nnpsapsapspsasasF 332121)()(11)()()(2121pspspspssAsBasa 3） F(s)含有多重极点时，可展开为 式中)()()()()()(11111111nnrrrrrrpsapsapsbpsbpsbsF 1)()()(1psrrpssAsBb111)()()(psrrpssAsBdsdb11)()()(!1psrj

25、jjrpssAsBdsdjb11111)()()()!1(1psrrrpssAsBdsdrb4 拉氏变换应用举例 例例1：求典型一阶系统的单位阶跃响应。：求典型一阶系统的单位阶跃响应。 设典型一阶系统的微分方程为：设典型一阶系统的微分方程为： 式中，式中，r（t）为输入信号；）为输入信号；c（t）为输出信号；）为输出信号；T为时间常为时间常数，其初始条件为零。数，其初始条件为零。 解解:对微分方程两边进行拉氏变换有对微分方程两边进行拉氏变换有 由于由于 ，则，则 ，代入上式有：，代入上式有：( )( )( )dc tTc tr tdt( )( )( )TsC sC sR s（29）( )1( )r tt1( )R ss1(1) ( )TsC ss2.4 拉氏变换应用举例由上式由上式 用待定系数法可求得用待定系数法可求得A=1，B=-T，代人上式有：，代人上式有： 对上式进行拉氏反变换由表可查得对上式进行拉氏反变换由表可查得 11( )11ABC ss TssTs（30）111( )