新思维第三讲_轴对称相关

1、新思维轴对称讲义 【学习目标】本章主要介绍轴对称和轴对称图形，研究图形的一种特殊的对称以及其性质。进一步详细介绍线段、角、等腰三角形、等腰梯形的对称性。【学习重点、难点】等腰三角形、等腰梯形的轴对称性。【探究过程】1.轴对称：如果把一个图形沿着 后，能够 重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做 ，两个图形中的对应点叫做 。lAB2.轴对称图形：如果把一个图形沿着 ，直线两旁的部分能够 ，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做 。3.轴对称的性质： 成轴对称的两个图形 。如果两个图形成轴对称，那么对称轴是 。4线段的垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分

2、线。（也称线段的中垂线） lABM5线段的轴对称性：线段是轴对称图形，对称轴有两条，一条是 ，另一条是 。线段的垂直平分线上的点到 相等。到 的点，在这条线段的 上。结论：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合6角的轴对称性：角是 图形，对称轴是 。角平分线上的点到 相等。到 的点，在 上。结论：角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合7等腰三角形：有 的三角形叫等腰三角形，其中相等的边叫做腰，另一条边叫做底。等腰三角形是 ，对称轴是 。等腰三角形 相等， 相等（简称 ）；等腰三角形的 互相重合。（三线合一）8如果一个三角形 ，那么 （简称 ）；9等边三角形是特殊的 ，具备 的一切性质

3、。除此之外，等边三角形有 ， ， 。10等边三角形的判定： 是等边三角形； 的三角形是等边三角形； 是等边三角形。11 的四边形叫做梯形。平行的两条边叫做梯形的上底和下底，不平行的两条边叫做腰。腰和底的夹角叫做底角。两底之间的距离叫做梯形的高。12 叫做等腰梯形。13等腰梯形是 ，有一条对称轴，是 。等腰梯形 ， ，对角线 。14等腰梯形的判定： 的梯形是等腰梯形； 的梯形是等腰梯形；【等腰、等边、等腰梯形】1、下列说法正确的是（ ） A、等腰三角形的一个角的平分线是它的对称轴;B、有一个内角是60°的三角形是轴对称图形;C、等腰直角三角形是轴对称图形，它的对称轴是斜边上的中线所在的

4、直线;D、等腰三角形有三条对称轴2、（1）已知等腰三角形的两边长分别是4和6，则第三边的长是 （2）已知等腰三角形的两边长分别是4和9，则周长是 （3）已知等腰三角形的周长为8，边长为整数，求这个三角形的腰长 （4）知等腰三角形的腰长为10，腰上的高为6，则它的底边的长为 （5）若等腰三角形的周长是20cm ,一边长是6cm, 其他两边的长为 （6）在等腰三角形中一个角是700，则另两个角分别为 （7）若等腰梯形的三边分别为3、4、11，则这个等腰梯形的周长为 （8）等腰梯形的对角线互相垂直且长度为3，则梯形的面积为 ，高为 （9）等腰梯形的上底是4cm，下底是10cm，一个底角是，则等腰梯形

5、的腰长是 （10）正方形ABCD内一点P与点A、B组成等边三角形，则三角形PCD三个内角的度数分别 为 、 、 . （11）如图，ABC中，AB=AC，ABC=36°，D，E为BC上的点，且BAD=DAE=EAC，则图中共有等腰三角形 个 （12）已知ABC中BAC=140°，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F.则EAF= （13）已知ABC中AB=AC=10，DE垂直平分AB，交AC于E.已知BEC的周长是16，ABC的周长为 （14） 如图所示，P是等边ABC内的一点，且PAPBPC =345，则APB= （15）如图所示，在ABC中， AB的垂直平分线分别交AB

6、、BC于点M、E；AC的垂直平 分线分别交AC、BC于点N、F，如果B=27°，BAC=2C，EAF的度数 若BC=28cm，那么AEF的周长= ACPB【对称最值专题】1.1、已知直线及其两侧两点A、B，如图.（1）在直线上求一点P，使PA=PB；（2）在直线上求一点Q，使平分AQB 1.2、如图所示，已知 AOB及点M,在AO，BO分别找一点P，Q，使得MP+MQ最短。 1.3、如图：已知AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到AOB两边的距离相等AC··DOB1.4 如图，已知平面直角坐标系中，A,B两点的坐标分别为A(2，-3),B(4，-1)

7、.(1) 若P(x，0)是x轴上的一个动点，当PAB的周长最短时，求x的值。(2) 若C（a，0），D（a+3,0）是x轴上的两个动点，当四边形ABCD的周长最短时，求a的值。(3) 设M,N分别为x轴y轴上的动点，问：是否存在这样的点M（m，0）和（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由。 2、如图，若AOB=45°，其内部有一点P，OP=10，在AOB的两边上有点Q,R（均不同于O），则PQR周长的最小值为_.（河南省中考题）3、如图，在ABC中，AB=BC=2，ACB=90°,D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+E

8、D的最小值是_.（河南省中考题）4、 在直角坐标系中，已知两点A(-8，3),B(-4，5)以及动点C（0，n），D（m，0），则当四边形ABCD的周长最小时，比值为 5、河岸l同侧的两个居民小区A,B到河岸的距离分别为a米，b米（如图所示，AA´=a米，BB´=b米），A´B´=c米，现欲再河岸边建一个长度为s米的绿化带CD（宽度不计），使C到小区A的距离为与D到小区B的距离之和最小。（江苏省竞赛题）（1） 在图中画出绿化带的位置，并写出画图过程；（2） 求AC+BD的最小值。【对称中的动点专题】1、如图，在梯形ABCD中，ADBC，AD3，CD5，B

9、C10，梯形的高为4动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动设运动的时间为t(秒)(1)当MNAB时，求t的值；(2)试探究：t为何值时，CMN为等腰三角形2、 如图，在RtABC中，C=90°，AB =20，AC=10，点M在边AB上，且AM=6：（1） 动点D在边AC上运动，且点A、C均不重合，设CD=x。 设ABC与ADM的面积之比为y，求y与x之间的函数关系式；（写出自变量x 的取值范围） 当x取何值时，ADM是等腰三角形？写出你的理由；（2） 如图，在以图中的直角边为一组邻边的矩形中，

10、动点D在矩形边上运动一周，能使AMD是以M为顶角的等腰三角形共有多少个？3、如图所示，在梯形ABCD中，AD/BC，A= ，AD=21，BC=24，点M从点A开始沿AD边向点D以1/的速度移动，点N从点C开始沿CB边向点B以2/的速度移动，如果M、N两点分别从A、C同时出发，试探索：经过多长时间梯形MBND为等腰梯形。 3、如图，在等腰梯形中，等腰直角三角形的斜边，点与点重合，和在一条直线上，设等腰梯形不动，等腰直角三角形沿所在直线以的速度向右移动，直到点与点重合为止（1）等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状由 形变化为 形；（2）设当等腰直角三角形移动时，等腰直角三角形与等

11、腰梯形重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式；（3）当时，求等腰直角三角形与等腰梯形重叠部分的面积A（N）MPDCBANMPDCB 【轴对称杂题】1、如图，在矩形ABCD中，将ABC绕AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F，试说明EF=DF.2、如图，在ABC中，C=90°,BC=6，D,E分别在AB,AC上，将ABC沿DE折叠，使点A落在点A´处，若A´为CE的中点，则折痕DE的长为 （河北省中考题）3、如图，在MON的两边上顺次取点，使 DE=CD=BC=AB=OA，若MON=22°，则NDE= .4、（高中恰存在、最多问题）在MAN中加入长度相同

12、的小棒，已知AB=BC=CD=DE=EF=., （1） 此角中只能放3根，求范围？（2） 此角中恰能放6根，求范围？（3） 此角至少能放9跟，求范围？5、如图，在ABC中，A=45°，边AC的垂直平分线交边AB于E点，交CB的延长线于F点，垂足为D (1)求CEF的度数；（2）若AB=AC,试比较EC与EF的大小，说明理由；（3）若EC=EF，试比较AB与AC的大小，说明理由6、如图，四边形ABCD中，BAD=120°,B=D=90°,在BC,CD上分别找一点M,N，使AMN周长最小时，则AMN+ANM的度数为（ ）(2012年兰州市中考题) A130°

13、 B120° C 110° D 100° 7、在平面直角坐标系中，直线LG过点M(3，0),且平行于Y轴。（南京市中考题）（1） 如果ABC三个顶点的坐标分别是A(-2，0),B(-1，0),C(-1，2)，ABC关于Y轴对称图形是,关于直线L的对称图形是,写出的三个顶点的坐标；（2） 如果点P的坐标是（-a,0）,其中a0,点P关于Y轴的对称点是点,点关于直线L的对称点是点,求P的长。试一试 对于（2），随着a的取值不同，与M有不同的位置关系。8、（1）已知：如图，AB=AC，BD平分ABC，CD平分ACB，过D作EFBC交AB于E，交AC于F，则图中有几个等腰

14、三角形?选出其中一个进行说理。（2） 如图，AB=AC，BF 平分ABC交AC于F，CE平分ACB交AB于E，BF和BE交于点D，且EFBC，则图中有几个等腰三角形?（3）如图，若将第7题中的AB=AC去掉，其他条件不变，情况会如何?若ABC的周长为17，BC7，你能求出AEF的周长吗？ 【打桌球趣味】1、如图，在长方形球台ABCD上，现在要击打P球，使它依次碰撞球台的AB边，BC边，CD边，AD边后，恰好撞到Q球，求P求打击的路线。解 作法：（1） 作点P关于AB的对称点，再作点关于BC的对称点；（2） 作点Q关于AD的对称点,再作点关于DC的对称点;（3） 链接，分别交BC,CD于F,G,

15、链接F交AB于点E,G交AD于点H，折线PEFGHQ即为所求的路线。需要指出的是，上面求得的路线，恰好也是一条最短的路线。拓展 （1）如图，当母球P再AB边中（不包括点A,B），先撞击BC边，反射到CD边，再反射到AD边，最后回到出发点，问母球P的初始路线应该满足什么条件？（2） 如图，给出一张长，宽分别为a，b（=）的台球桌，母球P从桌的一个角落，以45°角击出，再桌子边缘回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球袋，问球落入球袋前，再桌子边缘回弹多少次？2、如图是一个精光改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔。如果一个球按如图中所示的方向被击出（球可以经多次

16、反射），那么该球最后将落入的球袋是（ ）（河北省中考题）3、 台球室一项高雅的体育运动，其中包含了许多物理学，几何学知识。如图是一个台球桌，目标球F于本球E之间有一个G球阻挡。（苏州市中考题）（1） 击球者想通过击打E球先撞击球台的AB边，经过一次反弹后再撞击F球，他应将E球打到AB边上的哪一点？请在图中用尺规作出这一点H，并作出E球的运动路线（不写画法，保留作图痕迹）；（2） 如图，现以D为原点，建立直角坐标系，记A（0,4）,C(8，0)E(4，3),F(7，1),求E球按刚才方式运行到F球的路线长度（忽略球的大小）4、如图，一个台球桌是直角三角形的，如果从斜边上某点朝着垂直于斜边的方向击

17、出台球，那么球再其他两个直角边上反弹后，又能回到斜边上，请证明：台球滚过的距离长于击球点的位置无关（台球反射时服从入射角等于反射角的规律）（俄罗斯萨文市竞赛题）【直角三角形初步探讨】解读课标直角三角形是一类特殊三角形，有以下丰富的性质：角的关系：两锐角互余；边的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和；边角关系：30°所对的直角边等于斜边的一半。这些性质广泛应用于线段计算，证明线段倍分关系，证明线段平方关系等方面。熟悉下列基本图形，基本结论：1、我们知道 3，4,5是最简单的勾股数，折表明三边长为连续整数的直角三角形是存在的，并且只有一个（为什么？），由此研究边长为连续整数的三角形。问题

18、：（1） 三边长为连续整数的钝角三角形存在吗？如果存在，有多少个？（2） 三边长为连续整数的锐角三角形存在吗？如果存在，有多少个？分析与解 对于（1），设三遍长分别是x-1，x，x+1（x为大于1的整数），则（x+1）x+（x-1），整理得x（x-4）<0.0<x<4，x=2,3当x=2时，边长为1，,23的三角形是不存在的故三边长为连续整数的钝角三角形也只有一个，这个猜想是错误的。实际上，这种锐角三角形有无数个，只要设x为大于4的整数，那么以x-1，x，x+1为三遍的三角形都为锐角三角形，（为什么？）2、 用直角边分别为3和4的两个直角三角形拼成凸四边形，所得的四边形的周长

19、是 3、有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别是6m，8m。现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的三角形，则扩充后等腰三角形的周长为 4、在锐角三角形中，已知某两边a=1，b=3，那么第三边的变化范围是 5、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A,B的坐标分别为（3,0），（3,4），动点M,N分别从O,B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中，点M从O点出发沿OA向终点A运动。点N从B出发沿BC向终点C运动，过点N作NPBC,交AC于P,连MP,若M,N两动点运动了x秒。（苏州市中考题）（1） 设MPA面积为y，试求y与x的函数关系试；（2） 请你探索：当x为何值时，MPA是一个等腰三角形？【等边三角形的探讨】等边三角形是特殊的等腰三角形，有以下丰富的性质：1. 三边相等，每个角都是60°；2. 每条边上的高线，中线，所对角的平分线互相重合；3. 等边三角形内任意一点到三遍距离和是一个定值，等于一边上的高。4. 若等边三角形的边长为a，则等边三角形的面积为 判定等边三角形的基本方法有：1. 从边入手，证明三边相等；2. 从角入手，证明三角形相等或证明两个角都是60°；3. 从边角入手，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。双等边三角形以一个点为顶