平面力系的简化与平衡

1、内容：内容：n2.1 平面汇交力系平面汇交力系n2.2 平面力偶系平面力偶系n2.3 平面一般力系平面一般力系n2.4 平面平行力系平面平行力系n2.5 物体系统的平衡物体系统的平衡n引言：在工程实际中，作用在物体上的力系有引言：在工程实际中，作用在物体上的力系有多种多样，我们将力的作用线位于同一平面内多种多样，我们将力的作用线位于同一平面内的力系称为平面一般力系，否则称为空间一般的力系称为平面一般力系，否则称为空间一般力系。工程中有许多问题都可以简化为平面一力系。工程中有许多问题都可以简化为平面一般力系问题来解决的。比如屋架，可以将其上般力系问题来解决的。比如屋架，可以将其上的荷载及支座反力

2、视为作用在屋架自身平面内，的荷载及支座反力视为作用在屋架自身平面内，组成平面一般力系。本章的学习对后续各章的组成平面一般力系。本章的学习对后续各章的学习以及工程实践中的应用都有着非常重要的学习以及工程实践中的应用都有着非常重要的意义。意义。2.1 平面汇交力系的简化与平衡平面汇交力系的简化与平衡n平面汇交力系是作用在平面内的所有力的作用平面汇交力系是作用在平面内的所有力的作用线都汇交于一点的力系，它是平面一般力系的线都汇交于一点的力系，它是平面一般力系的特殊情况。特殊情况。n我们通过两种方法我们通过两种方法几何法和解析法，讨论几何法和解析法，讨论该力系的简化（或合成）与平衡问题。该力系的简化（

3、或合成）与平衡问题。2.12.1平面汇交力系平面汇交力系2.1.1 平面汇交力系合成的几何法平面汇交力系合成的几何法2.1.2 平面汇交力系合成的解析法平面汇交力系合成的解析法 2.1.1 几何法力多边形法则F1F2F3F1F3F2F1F2F3F4FRFR1FR2(a)(b)(C)(d)图21 平面汇交力系合成的几何法AAabcdedcF1bF2aF3F4FReF4FRF4F42.1.1平面汇交力系合成的几何法平面汇交力系合成的几何法 多边形多边形abcde称为此平面汇交力系的称为此平面汇交力系的力多边形力多边形 求合力矢的几何作图法称为求合力矢的几何作图法称为力多边形法则力多边形法则 矢量矢

4、量 称为此力多边形的称为此力多边形的封闭边封闭边 ae F1F2F3F1F3F2F1F2F3F4FRFR1FR2(a)(b)(C)(d)图21 平面汇交力系合成的几何法AAabcdedcF1bF2aF3F4FReF4FRF4F4F1F2F3F1F3F2F1F2F3F4FRFR1FR2(a)(b)(C)(d)图21 平面汇交力系合成的几何法AAabcdedcF1bF2aF3F4FReF4FRF4F4F1F2F3F1F3F2F1F2F3F4FRFR1FR2(a)(b)(C)(d)图21 平面汇交力系合成的几何法AAabcdedcF1bF2aF3F4FReF4FRF4F4 必须注意必须注意: 2.若

5、改变各分力矢的合成次序，则绘出的若改变各分力矢的合成次序，则绘出的力多边形的形状亦会随之改变，但不会影响力多边形的形状亦会随之改变，但不会影响合力合力FR的大小和方向。的大小和方向。 1.力多边形中各分力矢量首尾相接沿着同力多边形中各分力矢量首尾相接沿着同一方向环绕力多边形。由此组成的力多边形一方向环绕力多边形。由此组成的力多边形abcde有一缺口，故为不封闭的力多边形，而有一缺口，故为不封闭的力多边形，而合力矢则沿相反方向连接此缺口，构成力多合力矢则沿相反方向连接此缺口，构成力多边形的封闭边。边形的封闭边。结论结论： 平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小平面汇交力系可简化为一合力，其合力

6、的大小与方向等于各分力的矢量和（几何和），合力的与方向等于各分力的矢量和（几何和），合力的作用线通过力系的汇交点作用线通过力系的汇交点。 R121nniiFFFFF可简写为可简写为 1niiFF平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的必要和充分的几何条件平面汇交力系平衡的必要和充分的几何条件是：力系的力多边形自行封闭。是：力系的力多边形自行封闭。 平面汇交力系平衡的充分和必要条件是力平面汇交力系平衡的充分和必要条件是力系的合力矢等于零。或力系中各力矢的矢量系的合力矢等于零。或力系中各力矢的矢量和等于零，即和等于零，即0F解题的步骤解题的步骤 ( (1) )选取研

7、究对象选取研究对象 ( (2) )画研究对象受力图画研究对象受力图 ( (3) )作力多边形图作力多边形图 ( (4 4) )确定未知量确定未知量例例 支架的横梁支架的横梁AB与斜杆与斜杆DC彼此以铰链彼此以铰链C相联接，并各以相联接，并各以铰链铰链A、D连接于铅直墙上。如图所示。已知连接于铅直墙上。如图所示。已知ACCB；杆杆DC与水平线夹与水平线夹4545角；角；荷载荷载Fp=10kN，作用于作用于B处。梁和杆处。梁和杆的重量忽略不计，求铰链的重量忽略不计，求铰链A的约束反力和杆的约束反力和杆DC所受的力。所受的力。 ACBD45a)ACBEFA45FDFCCDb)abd45c)abdd)

8、0510(N)比例尺FPFAFAFCFCFCFPFPFP量得：量得：FC=28.3 kN FA=22.4 kNACBD45a)ACBEFA45FDFCCDb)abd45c)abdd)0510(N)比例尺FPFAFAFCFCFCFPFPFP解：选取横梁解：选取横梁AB为研究对象为研究对象 ACBD45a)ACBEFA45FDFCCDb)abd45c)abdd)0510(N)比例尺FPFAFAFCFCFCFPFPFPACBD45a)ACBEFA45FDFCCDb)abd45c)abdd)0510(N)比例尺FPFAFAFCFCFCFPFPFPACBD45a)ACBEFA45FDFCCDb)abd4

9、5c)abdd)0510(N)比例尺FPFAFAFCFCFCFPFPFPACBD45a)ACBEFA45FDFCCDb)abd45c)abdd)0510(N)比例尺FPFAFAFCFCFCFPFPFPFxFyOyxFxFyAFBijOFxxyAFBji 力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与投影轴正向间夹角的余弦投影轴正向间夹角的余弦 coscosxyFFFF2.1.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法 力在轴上的投影为代数量力在轴上的投影为代数量, ,当力与投影轴当力与投影轴正向正向间间夹角为锐角时，其值为正；夹角为钝角时，其值夹

10、角为锐角时，其值为正；夹角为钝角时，其值为负。为负。FxFyOyxFxFyAFBijOFxxyAFBjicosxFF 9 力力F 沿正交轴分解为两个分力沿正交轴分解为两个分力Fx 和和Fy 时，其分力与力时，其分力与力的投影之间有下列关系的投影之间有下列关系: ,xxyyFFFiFj 力的解析表达式力的解析表达式: xyFFFijFxFyOyxFxFyAFBijOFxxyAFBji 已知力已知力F 在平面内两个正交轴上的投影在平面内两个正交轴上的投影Fx 和和Fy 时，时，该力矢的大小和方向余弦分别为该力矢的大小和方向余弦分别为: 22cos(, ),cos(, )xyyxFFFFFFFF i

11、F jFxFyOyxFxFyAFBijOFxxyAFBji22cos(, ),cos(, )xyyxFFFFFFFF iF j2.2.2 平面汇交力系合成的解析法平面汇交力系合成的解析法 设平面汇交力系（设平面汇交力系（F F1 1, , F F2 2, , , F Fn）作用在刚体上，作用在刚体上，以力系汇交点以力系汇交点O为坐标原为坐标原点，在力系作用面内建立点，在力系作用面内建立直角坐标系直角坐标系Oxy，求出各求出各力在力在x、y轴上的投影，轴上的投影，将将各力用解析式表示各力用解析式表示: :（i1，2，n） iixiyFFFijxyOijF1F2F3FnFRyFRxiOjFRxFR

12、yRixiyiFFFFijxyOijF1F2F3FnFRRRRxyFFFijRRxixyiyFFFF 这表明：力系的合力矢在任一轴上的投影，等这表明：力系的合力矢在任一轴上的投影，等于各分力矢在同一轴上投影的代数和。这一关系于各分力矢在同一轴上投影的代数和。这一关系称为称为合力投影定理合力投影定理 22RRRRRRRRRcos(, ),cos(, )xyyxFFFFFFFFiFj合力的大小与方向余弦为合力的大小与方向余弦为 : 合力合力FR的方向也可以用它与的方向也可以用它与x轴所夹锐角轴所夹锐角（小于小于90）表示，即）表示，即 RRarctanyxFF力力FR的指向需由投影的指向需由投影F

13、Rx、FRy的正负号来判定。的正负号来判定。 例例 试用解析法求作用在图示支架上点试用解析法求作用在图示支架上点O的三个力的合的三个力的合力的大小和方向。力的大小和方向。 OF1=600NF2=700NF3=500N6011yxFR解解：建立直角坐标系：建立直角坐标系Oxy求合力求合力FR在坐标轴上的投影在坐标轴上的投影 R12R123cos45cos30600 cos45700 cos30N1030Nsin45sin30600 sin45700 sin30500 N426NxixyiyFFFFFFFFF R12R123cos45cos30600 cos45700 cos30N1030Nsin

14、45sin30600 sin45700 sin30500 N426NxixyiyFFFFFFFFF OF1=600NF2=700NF3=500N6011yxFR合力的大小为合力的大小为: 2222RRR1030426N1115NxyFFF 合力方向合力方向:RR426tan0.4136103022.5yxFF2.2.3 平面汇交力系的解析法平面汇交力系的解析法 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力矢合力矢FR等于零。等于零。 合力合力FR等于零，必须有等于零，必须有FRx0、FRy0，即即00ixiyFF 用解析式表示的平面汇交力系平衡的必要

15、和充用解析式表示的平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在力系作用面内两个坐标轴上投分条件是：各力在力系作用面内两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。影的代数和分别等于零。 平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程注意注意：利用平衡方程求解平衡问题时，受力图中的未：利用平衡方程求解平衡问题时，受力图中的未知力的指向可以任意假设。若计算结果为正值，表示知力的指向可以任意假设。若计算结果为正值，表示假设的指向就是实际的指向；若计算结果为负值，表假设的指向就是实际的指向；若计算结果为负值，表示假设的指向与实际指向相反。示假设的指向与实际指向相反。 解题的步骤解题的步骤： ( (1) )选取研究对

16、象选取研究对象 ( (2) )画研究对象受力图画研究对象受力图( (3) )选投影轴，建立平衡方程选投影轴，建立平衡方程( (4) )求解未知量求解未知量 例例 图为井架起重装置。重物通过卷扬机图为井架起重装置。重物通过卷扬机D由绕过滑由绕过滑轮轮B的钢索起吊。设重物的钢索起吊。设重物E重重FP=20kN，起重臂的重起重臂的重量、滑轮的大小和重量以及钢索的重量均不计。试求量、滑轮的大小和重量以及钢索的重量均不计。试求当重物当重物E匀速上升时起重臂匀速上升时起重臂AB和杆件和杆件BC所受的力。所受的力。 AEBCD601530ExyBFBAFTBDFBC30301515FP解解：取滑轮：取滑轮B

17、连同重物连同重物E一起为研究对象一起为研究对象AEBCD601530ExyBFBAFTBDFBC30301515FP取投影轴取投影轴x沿沿CB方向，方向，y轴垂直于轴垂直于FBCP=0 cos60cos75 cos30 =0yBATBDFFFFP0 cos15 + sin60sin30 =0 xBCTBDBAFFFFF = 45.0 kNBAF =9.65 kNBCF算出算出FBA和和FBC均为正值，说明图中所均为正值，说明图中所画力画力FBA、FBC的方向正确。由作用与的方向正确。由作用与反作用定律知，起重臂受压力为反作用定律知，起重臂受压力为45.0 kN，BC杆受拉力为杆受拉力为9.65

18、 kN。 2.2.2 2 平面力偶系平面力偶系 2.2.1 力对点的矩力对点的矩2.2.2 合力矩定理合力矩定理 2.2.3 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡 2.2.1 力对点力对点的的矩的概念与计算矩的概念与计算 OFh力对点的矩可以用来度量力使物体绕点转动的效应。力对点的矩可以用来度量力使物体绕点转动的效应。 力对点的矩是一个代数量，它的绝对值等于力力对点的矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小的大小F 与力臂与力臂h的乘积，力使物体绕矩心逆时的乘积，力使物体绕矩心逆时针转向转动时取为正值，反之取为负值针转向转动时取为正值，反之取为负值。 MO (F)Fh力矩的单位常用力矩的

19、单位常用Nm或或kNm 记为：记为：力矩性质力矩性质 （1）力）力F对点对点O的矩，不仅决定于力的大小，同时与的矩，不仅决定于力的大小，同时与矩心的位置有关。矩心的位置不同，力矩随之而异。矩心的位置有关。矩心的位置不同，力矩随之而异。 （3）力的大小等于零，或力的作用线通过矩心（即力力的大小等于零，或力的作用线通过矩心（即力臂臂h=0），），则力矩等于零。则力矩等于零。（4）相互平衡的两个力对同一点的矩的代数和等于零。）相互平衡的两个力对同一点的矩的代数和等于零。 （2）力力F沿其作用线移动，不改变它对点的矩。沿其作用线移动，不改变它对点的矩。2.2.2 合力矩定理合力矩定理 合力矩定理合力矩

20、定理：平面汇交力系的合力对于平面：平面汇交力系的合力对于平面内任一点的矩等于其分力对于同一点之矩的内任一点的矩等于其分力对于同一点之矩的代数和代数和。R121nOOOOnOiiMMMMMFFFFFROOMMFF即：即：简写为：简写为：例例 图示挡土墙每图示挡土墙每1m长所长所受土压力的合力为受土压力的合力为FR，它它的大小为的大小为FR=150kN，方方向如图示。求土压力向如图示。求土压力FR使使墙倾覆的力矩。墙倾覆的力矩。30AF1F2FRda=2mb=1.5m解：土压力解：土压力FR可使挡土墙绕墙趾可使挡土墙绕墙趾A点倾覆，故求点倾覆，故求FR使墙倾使墙倾覆的力矩，就是求覆的力矩，就是求F

21、R对对A点的力矩。点的力矩。 30AF1F2FRda=2mb=1.5mR1212AAAMMMFaF bFFF150cos302 150sin301.5 kN m 147.3kN m例例 重力坝受力情况如图。已知重力坝受力情况如图。已知F1400kN，F280kN，F3450kN，F4200kN。试验算在此情况试验算在此情况下重力坝会不会绕下重力坝会不会绕A点倾覆。点倾覆。1.5m1.8m0.6m5.7m2.8m3m9mAF2F1F3F4解解：F1是使重力坝绕是使重力坝绕A点倾覆的力，它对点倾覆的力，它对A点产生的力点产生的力矩是倾覆力矩；而阻止重力坝倾覆的力是矩是倾覆力矩；而阻止重力坝倾覆的力

22、是F2、F3、F4，它们对它们对A点产生的力矩是抗倾覆力矩。点产生的力矩是抗倾覆力矩。 1.5m1.8m0.6m5.7m2.8m3m9mAF2F1F3F45.73tan0.3916.7倾覆力矩为倾覆力矩为 112.81120kN mAMF F1.5m1.8m0.6m5.7m2.8m3m9mAF2F1F3F4抗倾覆力矩为抗倾覆力矩为 2342340.6,5.7 1.51.82300kN mcosAMFFFF F F 抗倾覆力矩大于倾覆力矩的绝对值，重力坝不会倾覆。抗倾覆力矩大于倾覆力矩的绝对值，重力坝不会倾覆。 倾覆力矩倾覆力矩11120kN mAM F2342340.6,5.7 1.51.82

23、300kN mcosAMFFFF F F2342340.6,5.7 1.51.82300kN mcosAMFFFF F F2.2.3 平面力偶系的简化为平衡平面力偶系的简化为平衡1. 1. 力偶与力偶矩力偶与力偶矩 2. 2. 力偶的基本性质力偶的基本性质 3. 3. 平面力偶系的合成和平衡条件平面力偶系的合成和平衡条件 力偶力偶: :大小相等、方向相反、作用线平行的一对力大小相等、方向相反、作用线平行的一对力1 1. . 力偶与力偶矩力偶与力偶矩记作：记作：(F、F) FF图213 力偶转动方向盘FF 图214 丝锥攻螺纹FFdAB图215 力偶 由于力偶中的两个力的矢量和等于零，因而力偶不

24、可由于力偶中的两个力的矢量和等于零，因而力偶不可能使物体产生移动效应，又因为力偶中的两力不共线，所能使物体产生移动效应，又因为力偶中的两力不共线，所以也不能相互平衡。这样的两个力可以使物体产生纯转动以也不能相互平衡。这样的两个力可以使物体产生纯转动效应。效应。 FFdAB图215 力偶力偶作用面：力偶作用面：力偶臂：力偶臂：力偶中两个力作用线所决定的平面力偶中两个力作用线所决定的平面力偶中两个力作用线之间的距离力偶中两个力作用线之间的距离 力偶使物体转动的效应，取决于力偶的两个反向平行力力偶使物体转动的效应，取决于力偶的两个反向平行力和力偶臂的大小以及力偶的转向。和力偶臂的大小以及力偶的转向。

25、 在平面力系问题中，力偶在力系作用面内的在平面力系问题中，力偶在力系作用面内的转向不是逆时针方向就是顺时针方向，因而可转向不是逆时针方向就是顺时针方向，因而可以把力偶中的力的大小以把力偶中的力的大小F与力偶臂与力偶臂d的乘积加上的乘积加上适当的正负号作为度量力偶对物体转动效应的适当的正负号作为度量力偶对物体转动效应的物理量，称为物理量，称为力偶矩。力偶矩。记为记为: : 或或 M 表示，即表示，即 、M F F9、MMFd FF9通常规定，力偶逆时针旋转时，力偶矩为正；通常规定，力偶逆时针旋转时，力偶矩为正；反之为负。反之为负。 力偶的简明表示力偶的简明表示: : FFdMFdFMFFdMFd

26、FM力偶矩的单位和力矩的单位相同力偶矩的单位和力矩的单位相同: : Nm或或kNm。 在平面力系问题中，力偶矩是一个代数量。在平面力系问题中，力偶矩是一个代数量。 FFdMFdFMFFdMFdFM2.2.力偶的基本性质力偶的基本性质 1. 1.力偶没有合力，既不能与一个力等效也力偶没有合力，既不能与一个力等效也不能与一个力相平衡。不能与一个力相平衡。 2. 2.力偶对其作用面内任一点之矩恒等于力力偶对其作用面内任一点之矩恒等于力偶矩，而与矩心位置无关。偶矩，而与矩心位置无关。 3. 3.在同一平面内的两个力偶，如果它们的在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，力偶的转向相同，则这两个

27、力偶矩大小相等，力偶的转向相同，则这两个力偶是等效的。称为力偶的等效性。力偶是等效的。称为力偶的等效性。 dFABFOx证明：证明： 设有一力偶作用在物体上，其力偶矩为设有一力偶作用在物体上，其力偶矩为MFd 在力偶的作用面内任取一点在力偶的作用面内任取一点O为矩心，则力偶的两为矩心，则力偶的两个力对个力对O点之矩的代数和为点之矩的代数和为 ,OMF dxF xFdMF F99此值即等于力偶矩此值即等于力偶矩根据力偶的等效性，可得出两个推论根据力偶的等效性，可得出两个推论 :推论推论1 1：力偶可在其作用面内任意移动，而不：力偶可在其作用面内任意移动，而不改变它对刚体的转动效应。即力偶对刚体的

28、改变它对刚体的转动效应。即力偶对刚体的转动效应与其在作用面内的具体位置无关。转动效应与其在作用面内的具体位置无关。 推论推论2 2：在保持力偶矩大小和转向不变的情况：在保持力偶矩大小和转向不变的情况下，可任意改变力偶中力的大小和力偶臂的长下，可任意改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，不会改变它对刚体的转动效应。短，不会改变它对刚体的转动效应。 3 3. . 平面力偶系的合成和平衡条件平面力偶系的合成和平衡条件 平面力偶系平面力偶系: : 作用在物体上同一平面内的一作用在物体上同一平面内的一群力偶群力偶1平面力偶系的合成平面力偶系的合成 设有三个力偶设有三个力偶(Fl，F1)、(F2，F2)、(F

29、3，F3)作用在刚体的同一平面内，其力偶矩分别为作用在刚体的同一平面内，其力偶矩分别为MlFldl、M2F2d2、M3F3d3 F1d1F1d2F2d3F3F3FFFFFdBAFABdFFF2 在力偶作用面内任意取一线段在力偶作用面内任意取一线段AB,并且令并且令ABd，将将各力偶在作用面内移转，使它们的力偶臂都与各力偶在作用面内移转，使它们的力偶臂都与AB重合，重合，于是得到与原力偶系等效的三个新力偶于是得到与原力偶系等效的三个新力偶( (F F，F F)、( (F F，F F)和和( (F F，F F)。而力而力F F、F F、F F的大小为的大小为 MMMFFFddd123 = = =F

30、1d1F1d2F2d3F3F3FFFFFdBAFABdFFF2F1d1F1d2F2d3F3F3FFFFFdBAFABdFFF2F1d1F1d2F2d3F3F3FFFFFdBAFABdFFF2设设FFF FFFFFFFF9999F1d1F1d2F2d3F3F3FFFFFdBAFABdFFF2 F与与F大小相等，方向相反，作用线平行而不重合，大小相等，方向相反，作用线平行而不重合，所以构成了与原力偶系等效的合力偶所以构成了与原力偶系等效的合力偶 F1d1F1d2F2d3F3F3FFFFFdBAFABdFFF2合力偶的矩为合力偶的矩为 MFdFFFdFdF dF d即即 123MMMM结论结论：平面

31、力偶系可以合成为一个合力偶，合：平面力偶系可以合成为一个合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和力偶矩等于各分力偶矩的代数和。 121nniiMMMMML2 2平面力偶系的平衡平面力偶系的平衡 平面力偶系平衡的必要与充分条件是：力平面力偶系平衡的必要与充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零。偶系中各力偶矩的代数和等于零。 0M 平面力偶系的平衡方程平面力偶系的平衡方程例例 如图所示，在物体的某平面内受到三个力偶作用。已知如图所示，在物体的某平面内受到三个力偶作用。已知Fl300N，F2600N，Me100Nm，求其合成结果。求其合成结果。F2F2F1F1Me0.25m30601m解解：由平面

32、力偶系的合成结果可知此三个力偶合成的：由平面力偶系的合成结果可知此三个力偶合成的结果是一个合力偶。结果是一个合力偶。F2F2F1F1Me0.25m30601m11 1(300 1)N m300N mMFd2220.25(600)N m300N msin30MF d3100N meMM 合力偶矩大小为合力偶矩大小为 123300300 100 N m500N mMMMM11 1(300 1)N m300N mMFd2220.25(600)N m300N msin30MF d3100N meMM 转向为逆时针方向，与原力偶系共面。转向为逆时针方向，与原力偶系共面。 123300300 100 N

33、m500N mMMMM例例 不计重量的水平杆不计重量的水平杆AB，受到固定铰支座受到固定铰支座A和连杆和连杆DC的约束，如图所示。在杆的约束，如图所示。在杆AB的的B端有一力偶端有一力偶(F、F)作作用，其力偶矩的大小为用，其力偶矩的大小为 。求固定铰支座。求固定铰支座A的反力的反力FA和连杆和连杆DC的反力的反力FDC。100N mM 30ABCDFFE0.5mFACEBFFDCFA30解解：以杆：以杆AB为研究对象为研究对象 30ABCDFFE0.5mFACEBFFDCFA30sin300.25mAEACo由平面力偶系的平衡条件，有由平面力偶系的平衡条件，有 0M 0AMFAE100()N

34、400N0.25AMFAE400NDCAFF2.3 平面一般力系平面一般力系n 平面任意力系是指各力的作用线在同一平面任意力系是指各力的作用线在同一平面内不完全汇交于一点也不完全相互平行的平面内不完全汇交于一点也不完全相互平行的力系，也称为平面一般力系。力系，也称为平面一般力系。2.3.1 2.3.1 平面一般力系的简化平面一般力系的简化2. 平面任意力系向作用面内一点的简化平面任意力系向作用面内一点的简化 3.沿直线分布的线荷载的合力沿直线分布的线荷载的合力 4. 平面任意力系简化结果分析平面任意力系简化结果分析 1. 力的平移定理力的平移定理ABBAFAFAFBFBdBAFBMa)b)c)

35、图36 力的平移定理力的平移定理力的平移定理：作用在刚体上的力，可以等效作用在刚体上的力，可以等效地平移到刚体上任一指定点，但必须在该力与地平移到刚体上任一指定点，但必须在该力与指定点所确定的平面内附加一个力偶，附加力指定点所确定的平面内附加一个力偶，附加力偶的力偶矩等于原力对指定点的力矩偶的力偶矩等于原力对指定点的力矩。 ABAMF dMFFAFB 1. 1. 力的平移定理力的平移定理ABBAFAFAFBFBdBAFBMa)b)c)图36 力的平移定理ABBAFAFAFBFBdBAFBMa)b)c)图36 力的平移定理 根据上述力的等效平移的逆过程，可以得知共面根据上述力的等效平移的逆过程，

36、可以得知共面的一个力和一个力偶总可以合成为一个力，此力的的一个力和一个力偶总可以合成为一个力，此力的大小和方向与原力相同，但它的作用线与原力要相大小和方向与原力相同，但它的作用线与原力要相距一定的距离距一定的距离。 ABBAFAFAFBFBdBAFBMa)b)c)图36 力的平移定理FFFMFeOO力线平移不改变运动效应力线平移不改变运动效应 FFFMFeOOFAFMBFAB=力线平移改变变形效应力线平移改变变形效应 FAFMBFAB=2 2. .平面任意力系向作用面内一点的简化平面任意力系向作用面内一点的简化 F1A A1A2AnOF2FnOFnF2F1MO1MO2MOnxyyFRMOOxi

37、jijF1F1、F 2F2、FnFn MO1 MO（F1），MO2MO（F2），MOnMO（Fn） 其中其中：F1A A1A2AnOF2FnOFnF2F1MO1MO2MOnxyyFRMOOxijijF1A A1A2AnOF2FnOFnF2F1MO1MO2MOnxyyFRMOOxijij合力偶矩合力偶矩MO等于各附加力偶矩的代数和等于各附加力偶矩的代数和 亦等于原力系中各力对于简化中心的力矩的代数和亦等于原力系中各力对于简化中心的力矩的代数和 12OOOOnOiMMMMMFFFL合力矢合力矢FR等于平面汇交力系中各力矢的矢量和等于平面汇交力系中各力矢的矢量和 亦等于原力系中各力的矢量和亦等于原力

38、系中各力的矢量和 R12niFFFFFL9R12nLFFFF99912OOOOnMMMML 力系中各力矢的矢量和力系中各力矢的矢量和Fi称为该力系的称为该力系的主矢量主矢量（简称为力系的（简称为力系的主矢主矢）结论结论：平面任意力系向一点简化的结果一般是平面任意力系向一点简化的结果一般是一个力和一个力偶，这个力作用于简化中心，一个力和一个力偶，这个力作用于简化中心，其力矢等于力系的主矢；这个力偶的矩等于力其力矢等于力系的主矢；这个力偶的矩等于力系对于简化中心的主矩。系对于简化中心的主矩。 力系中各个力对力系中各个力对O点的力矩的代数和点的力矩的代数和Moi 称称为该力系对于简化中心为该力系对于

39、简化中心O的的主矩主矩。应当注意：应当注意： 力系的主矢量与简化中心位置无关。力系的主矢量与简化中心位置无关。因为因为原力系中各力的大小及方向一定，它们的矢量原力系中各力的大小及方向一定，它们的矢量和也是一定的。所以，一个力系的主矢量是一和也是一定的。所以，一个力系的主矢量是一常量，不随简化中心选取的不同而改变。常量，不随简化中心选取的不同而改变。 力系的主矩一般将随简化中心位置不同而力系的主矩一般将随简化中心位置不同而改变。改变。因为力系中各力对于不同的简化中心的因为力系中各力对于不同的简化中心的力矩是不同的，因而它们的和一般说来也不相力矩是不同的，因而它们的和一般说来也不相等。所以，说到力

40、系的主矩时，必须指出是力等。所以，说到力系的主矩时，必须指出是力系对于哪一点的主矩。系对于哪一点的主矩。 主矢的解析表达式为主矢的解析表达式为 F1A A1A2AnOF2FnxyyFRMOOxijijRRRxyxyFFFFFijij999主矢主矢FR的大小及方向余弦为的大小及方向余弦为 22RxyFFF9RRRRcos,;cos,yxFFFFFiFj9999力系的主矩：力系的主矩： 12OOOOnOiMMMMMLFFFF1A A1A2AnOF2FnxyyFRMOOxijij平面固定端（插入端）约束平面固定端（插入端）约束AFB 构件的一端牢固地嵌入固定物体的内部，嵌构件的一端牢固地嵌入固定物体

41、的内部，嵌入的一端称为固定端或插入端，这种约束称为固入的一端称为固定端或插入端，这种约束称为固定端约束。定端约束。 例如梁的一端牢固地嵌入墙内而使梁固定，例如梁的一端牢固地嵌入墙内而使梁固定，一端深埋在地下的电线杆、牢固地浇筑在基础一端深埋在地下的电线杆、牢固地浇筑在基础上的柱子等，受到的都是固定端约束。上的柱子等，受到的都是固定端约束。 这种约束既能阻碍物体在平面内沿任何方这种约束既能阻碍物体在平面内沿任何方向移动，又能阻碍物体在该平面内转动。向移动，又能阻碍物体在该平面内转动。 AFBAFAFBBABFMAFAFAyFAxAFAFBBABFMAFAFAyFAx固定端约束的简图固定端约束的简

42、图 当构件承受的荷载是平面力系时，作用在当构件承受的荷载是平面力系时，作用在构件的固定端的约束反力是一平面任意力系。构件的固定端的约束反力是一平面任意力系。 可将这个约束反力系向点可将这个约束反力系向点A简化为一个力简化为一个力FA和一个力偶矩为和一个力偶矩为MA的力偶。的力偶。FA的大小及方向均的大小及方向均未知，可将它沿直角坐标轴分解为两个分力未知，可将它沿直角坐标轴分解为两个分力FAx和和FAy AFAFBBABFMAFAFAyFAxABFMAFAyFAx 一般情况下，平面固定端约束有三个未知量：一般情况下，平面固定端约束有三个未知量：水平反力、铅直反力和反力偶。它们的方向均水平反力、铅

43、直反力和反力偶。它们的方向均可任意假设。可任意假设。 固定端约束的反力表示固定端约束的反力表示 3 3. .沿直线分布的线荷载的合力沿直线分布的线荷载的合力 沿着一条线连续分布且相互平行的力系，称为沿着一条线连续分布且相互平行的力系，称为平行线分布力平行线分布力，简称，简称线分布力线分布力或或线荷载线荷载。例如梁。例如梁的自重，可简化为沿梁的轴线分布的线荷载。的自重，可简化为沿梁的轴线分布的线荷载。 ABqABqBqA 某一单位长度上所受的分布力，称为分布力在某一单位长度上所受的分布力，称为分布力在该处的该处的荷载集度荷载集度，通常用，通常用 q 表示，单位表示，单位：Nm 或或 kNm。 表

44、示荷载集度分布情况的图形称为表示荷载集度分布情况的图形称为荷载集度荷载集度图图，简称，简称荷载图荷载图 若荷载集度若荷载集度q 为一常量，这种荷载称为为一常量，这种荷载称为均布荷均布荷载载; ; q 不为常量，则称为不为常量，则称为非均布荷载非均布荷载 ABqABqBqAABqABqBqA均布荷载作用均布荷载作用非均布荷载作用非均布荷载作用 沿直线且垂直于该直线分布的同向线荷载，沿直线且垂直于该直线分布的同向线荷载，其合力的大小等于荷载图的面积，作用线通过荷其合力的大小等于荷载图的面积，作用线通过荷载图形的形心，合力的指向与分布力的指向相同。载图形的形心，合力的指向与分布力的指向相同。 线荷载

45、可以用一个集中力来替换，而不改变线荷载可以用一个集中力来替换，而不改变线荷载对刚体的效应。线荷载对刚体的效应。 ABqFql2l2FqqlABqFq2l3l3FqqlBAl2FqqAlFqqFqBqAFqqB-qA)l2l3l均布荷载合力均布荷载合力ABqFql2l2FqqlABqFq2l3l3FqqlBAl2FqqAlFqqFqBqAFqqB-qA)l2l3l三角形分布荷载合力三角形分布荷载合力ABqFql2l2FqqlABqFq2l3l3FqqlBAl2FqqAlFqqFqBqAFqqB-qA)l2l3l梯形荷载的合力梯形荷载的合力 4 4. .平面任意力系简化结果分析平面任意力系简化结果

46、分析 力系的主矢和主矩这两个量可能出现如下的力系的主矢和主矩这两个量可能出现如下的四种情况，即四种情况，即 根据这四种情况作进一步讨论。根据这四种情况作进一步讨论。 1). FR=0, MO02).FR0, MO=03). FR0, MO04).FR=0, MO=01 1）平面任意力系简化结果是一个力偶的情形）平面任意力系简化结果是一个力偶的情形 在这种情况下，主矩与简化中心的位置无在这种情况下，主矩与简化中心的位置无关，因为力偶对任一点的矩恒等于力偶矩，而关，因为力偶对任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关，也就是说，原力系无论向与矩心的位置无关，也就是说，原力系无论向哪一点简化都是一个

47、力偶矩相同的力偶。哪一点简化都是一个力偶矩相同的力偶。 原力系简化的最后结果是一个原力系简化的最后结果是一个合力偶合力偶，合，合力偶的矩等于原力系对简化中心的主矩。力偶的矩等于原力系对简化中心的主矩。FR=0, MO0 2 2）平面任意力系简化结果是一个力的情形）平面任意力系简化结果是一个力的情形 原力系简化的最后结果是一个原力系简化的最后结果是一个合力合力，合力，合力矢等于原力系的主矢，矢等于原力系的主矢，合力作用线通过简化中合力作用线通过简化中心心O。FR0, MO=0 原力系简化的最后结果也是一个原力系简化的最后结果也是一个合力合力，合力，合力矢等于原力系的主矢，矢等于原力系的主矢，合力

48、作用线不通过简化中合力作用线不通过简化中心心O 。 FRMOOOFROOFRFRdOOFRdFRMOOOFROOFRFRdOOFRdFRMOOOFROOFRFRdOOFRdFR0, MO03）平面任意力系简化结果是一个力的情形）平面任意力系简化结果是一个力的情形合力作用线到简化中心合力作用线到简化中心O点的距离为：点的距离为：ROMdF9合力合力 对点对点O 的矩为的矩为 : :RFRROOOMF dMMFFFRMOOOFROOFRFRdOOFRdFRMOOOFROOFRFRdOOFRdROOMMFF 平面一般力系的合力对其作用面内任一平面一般力系的合力对其作用面内任一点的力矩等于力系中各力对

49、同一点的矩的代点的力矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。这称为平面一般力系的合力矩定理。数和。这称为平面一般力系的合力矩定理。 合力矩定理合力矩定理4 4）平面一般力系平衡的情形）平面一般力系平衡的情形 原力系是平衡力系原力系是平衡力系 综上所述，平面任意力系简化的最后结果综上所述，平面任意力系简化的最后结果可能是一个力偶，或者是一个合力，或者是处可能是一个力偶，或者是一个合力，或者是处于平衡情况。于平衡情况。 FR=0, MO=0求解平面一般力系合成问题的具体步骤如下求解平面一般力系合成问题的具体步骤如下：（1 1）任选简化中心；）任选简化中心；（2 2）计算力系的主矢和对简化中心的主矩；

50、）计算力系的主矢和对简化中心的主矩；（3 3）分析简化结果得到力系的合成结果。）分析简化结果得到力系的合成结果。2.3.4 2.3.4 平面一般力系的平衡平面一般力系的平衡 1. 1. 平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡条件 2. 2. 平面任意力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程 平面任意力系平衡的必要和充分条件是：平面任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和力系对任一点的主矩都等于零。力系的主矢和力系对任一点的主矩都等于零。即即1 1. .平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡条件 FR=0 M0=02 2. . 平面任意力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程 （1）基本形式的平

51、衡方程（一矩式）000 xyOFFM 平面任意力系平衡的必要和充分条件为平面任意力系平衡的必要和充分条件为：力系力系中所有各力在力系作用面内两个坐标轴中每一轴中所有各力在力系作用面内两个坐标轴中每一轴上的投影的代数和等于零；力系中所有各力对于上的投影的代数和等于零；力系中所有各力对于作用面内任一点的力矩的代数和等于零作用面内任一点的力矩的代数和等于零。 式中式中A、B两矩心的连线不能垂直于两矩心的连线不能垂直于x 轴轴。 000 xABFMM（2）二矩式平衡方程）二矩式平衡方程式中式中A、B、C三个矩心不能在同一直线上三个矩心不能在同一直线上。000ABCMMM（3）三矩式平衡方程）三矩式平衡

52、方程 平面任意力系的平衡方程虽然有三种形平面任意力系的平衡方程虽然有三种形式，但独立的平衡方程只有三个。任何第四式，但独立的平衡方程只有三个。任何第四个平衡方程都是力系平衡的必然结果而不再个平衡方程都是力系平衡的必然结果而不再代表力系平衡的必要条件，故不是独立方程。代表力系平衡的必要条件，故不是独立方程。 因此，当物体在平面一般力系作用下处因此，当物体在平面一般力系作用下处于平衡时，应用平衡方程，最多只能求解三于平衡时，应用平衡方程，最多只能求解三个未知量。个未知量。 平面一般力系平衡方程解题的步骤如下：平面一般力系平衡方程解题的步骤如下： （1 1）确定研究对象）确定研究对象 根据题意分析已

53、知量和根据题意分析已知量和未知量，选取适当的研究对象。未知量，选取适当的研究对象。（2 2）画研究对象受力图）画研究对象受力图 在研究对象上画出在研究对象上画出它受到的所有主动力和约束反力。它受到的所有主动力和约束反力。（3 3）列平衡方程）列平衡方程 选取适当形式的平衡方程、选取适当形式的平衡方程、投影轴和矩心。投影轴和矩心。（4 4）解平衡方程）解平衡方程 求得未知量。求得未知量。例例 简支梁受力如图所简支梁受力如图所示。已知示。已知F20kN，q10kN/m，不计梁不计梁自重，求自重，求A、B两处两处的支座反力。的支座反力。2m2m2m2m2m2m1m1m60BF60FABqFqFAxF

54、AyFBqAq解解：取：取AB梁为研梁为研究对象究对象 画受力图画受力图 2m2m2m2m2m2m1m1m60BF60FABqFqFAxFAyFBqAq 分布荷载可用作用在分布荷载中心的集中力分布荷载可用作用在分布荷载中心的集中力Fq代替，其大小为代替，其大小为Fq2q。 列平衡方程并求解：列平衡方程并求解：0 xF cos600AxFF2m2m2m2m2m2m1m1m60BF60FABqFqFAxFAyFBqAqcos6020kNcos6010kNAxFF 0AM652sin600BqFFF11(52sin60 )(5 2 102 20 sin60 )kN22.4kN66BqFFF 0BM6

55、4sin600AyqFFF11(4sin60)(4 20sin602 10)kN14.9kN66AyqFFF 例例 悬臂刚架尺寸和受力如图所示，求悬臂刚架尺寸和受力如图所示，求A支座的约支座的约束反力。束反力。 4m3m4kN/m5kNABCAC4kN/mB5kNFAxFAyMA解：取刚架为研究对象，其受解：取刚架为研究对象，其受力如图示。由平衡方程求解力如图示。由平衡方程求解 0 xF 0AxF0yF 4 350AyF 4 35 kN17kNAyF 0AM4 3 1.55 30AM 4 3 1.55 3 kN m33kN mAM FAyMFAx2.4 2.4 平面平行力系平面平行力系 平面平

56、行力系是平面任意力系的一种特殊情平面平行力系是平面任意力系的一种特殊情形。如取形。如取y轴平行于各力，则轴平行于各力，则 ，因，因而平面平行力系的平衡方程为而平面平行力系的平衡方程为0 xF 00yOFMF1FiFnF2Oxy00ABMMF1FiFnF2Oxy 平面平行力系的平衡方程，也可以用二矩式平面平行力系的平衡方程，也可以用二矩式方程的形式，即方程的形式，即 其中其中A、B两点的连线不得与各力平行两点的连线不得与各力平行。 例例 求图示外伸梁求图示外伸梁A、B处的支座反力。处的支座反力。ABF=2kNq=1kN/m1m2m1m图318 例35图ABFAFBF=2kNq=1kN/ma)b)

57、ABF=2kNq=1kN/m1m2m1m图318 例35图ABFAFBF=2kNq=1kN/ma)b)解：取外伸梁为研究对象，作受力图解：取外伸梁为研究对象，作受力图 。 由于梁上的集中荷载、分布荷载以及由于梁上的集中荷载、分布荷载以及B处的处的约束反力相互平行，故约束反力相互平行，故A处的约束反力必定与处的约束反力必定与各力平行。各力平行。 应用平面平行力系的平衡方程求解两个未知量。应用平面平行力系的平衡方程求解两个未知量。 ABF=2kNq=1kN/m1m2m1m图318 例35图ABFAFBF=2kNq=1kN/ma)b)ABF=2kNq=1kN/m1m2m1m图318 例35图ABFA

58、FBF=2kNq=1kN/ma)b)0BM1313202AFqF 11(31.5 )(3 2 1.5 1)kN3.75kN22AFFq0yF 1302ABFFFq 1.5(2 1.5 1 3.75)kN0.25kN( )BAFFqF FFFFAFB6m12m2m2mAB例例 可沿路轨移动的可沿路轨移动的塔式起重机如图。机塔式起重机如图。机身重身重FW220kN，作用线通过塔架的中作用线通过塔架的中心。已知最大起吊重心。已知最大起吊重量量FP50 kN，起重起重悬臂长悬臂长12m，轨道轨道A、B的间距为的间距为4m，平衡平衡重重FQ到机身中心线到机身中心线的距离为的距离为6m。试求：试求：FFF

59、FAFB6m12m2m2mAB（1）起重机满载时，）起重机满载时，要保持机身平衡，平要保持机身平衡，平衡重衡重FQ至少要有多大？至少要有多大？（2）起重机空载时，）起重机空载时，要保持机身平衡，平要保持机身平衡，平衡重衡重FQ最大不能超过最大不能超过多少？多少？（3）当）当FQ30kN，且起重机满载时，轨且起重机满载时，轨道道A、B对起重机的反对起重机的反力是多少？力是多少？FFFFAFB6m12m2m2mAB (1) 求平衡重的最小值求平衡重的最小值FQ min 解：这是塔式起重机的平衡和翻倒问题。解：这是塔式起重机的平衡和翻倒问题。 若没有平衡重或平衡重若没有平衡重或平衡重FQ的值太小，当

60、起吊重量超过某的值太小，当起吊重量超过某一限额时，左侧轮子就会与轨一限额时，左侧轮子就会与轨道道A脱开（即反力脱开（即反力FA=0），），整整个起重机就会绕点个起重机就会绕点B向右侧翻向右侧翻倒。因此，要使起重机在起吊倒。因此，要使起重机在起吊最大重量时也能平稳地工作，最大重量时也能平稳地工作，就需要确定平衡重的最小重量就需要确定平衡重的最小重量FQ min。FFFFAFB6m12m2m2mAB 满载时，满载时，FP=50kN，在临界平衡状态下，在临界平衡状态下，FA=0，此时求得的平此时求得的平衡重是最小值。衡重是最小值。 0BMQminWP(62)2(122)0FFFQminPW11028