概率统计电子教案(6)

1、2.4 二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布 如果每个样本点与一对有序实数之间有某种如果每个样本点与一对有序实数之间有某种一一对应关系，那么就是二维随机向量。如果每一一对应关系，那么就是二维随机向量。如果每个样本点与一组个样本点与一组(含含n个个)有序实数之间有某种对应有序实数之间有某种对应关系，那么就是关系，那么就是n维随机向量。维随机向量。 本节主要讨论二维随机向量取值的统计规律本节主要讨论二维随机向量取值的统计规律性性(即分布即分布)。对于。对于n维随机向量，这些内容同样适维随机向量，这些内容同样适用。用。 一、联合概率函数一、联合概率函数 定义定义2.2 给定一个随机试验，给定一个

2、随机试验， 是它的样本是它的样本空间，如果对空间，如果对 中的每一个样本点中的每一个样本点 ，有一对有，有一对有序实数序实数 与它对应，那么就把这样一个与它对应，那么就把这样一个定义域为定义域为 ，取值为有序实数，取值为有序实数 的变量称为二维随机变的变量称为二维随机变(向向)量。量。 如果一个二维随机变量只可能取有限个或可列无限个向如果一个二维随机变量只可能取有限个或可列无限个向量值量值(即它的值域是一个二维有限集或可列无限集即它的值域是一个二维有限集或可列无限集)，那么我，那么我们便称这个随机变量为们便称这个随机变量为(二维二维)离散型随机变量。离散型随机变量。)(),(YX)(),(),

3、(YXYX 定义定义2.3 假定假定 的值域为的值域为 我们称我们称 为二维随机变量为二维随机变量 的概率函数的概率函数(或分布律，或概或分布律，或概率分布率分布)，或者称它为随机变量，或者称它为随机变量X与与Y的联合概率函数的联合概率函数(或联合分布律，或联合概率分布或联合分布律，或联合概率分布)。, 2 , 1, 2 , 1: ),(),(jibajiYX, 2 , 1,)(),(jipbYaXPbYaXPijjiji),(YX),(YX易见，易见， 应该满足下列两个条件：应该满足下列两个条件： (i) ； (ii) 的联合概率函数常用下列表格来表示：的联合概率函数常用下列表格来表示：XY

4、21bb2221212111ppappa),(YX, 2 , 1, 0jipij1ijijpijp 例例1 一个口袋中装有一个口袋中装有5只球，其中只球，其中4只是红球，只是红球，1只是白球。采用无放回抽样，接连摸两次。设只是白球。采用无放回抽样，接连摸两次。设 ，第一次摸到红球，第一次摸到红球， ，第一次摸到白球，第一次摸到白球， ，第二次摸到红球，第二次摸到红球， ，第二次摸到白球。，第二次摸到白球。 试求：（试求：（1）X与与Y的联合概率函数；的联合概率函数； （2） 。 01X01Y)(YXP 解解 （1）由概率的乘法公式：）由概率的乘法公式：因此，因此，X与与Y的联合概率函数见下表的

5、联合概率函数见下表 1(0,1)5P XY3(1,1)5P XY1(1,0)5P XYXY53511510010(0,0)0P XY0101 (2)由于事件由于事件 因此因此 如果采用有放回抽样，那么如果采用有放回抽样，那么X与与Y的联合概率的联合概率函数见下表：函数见下表：)1 , 1 (),0 , 1 (),0 , 0( | ),(YXYX4()5P XY2516254254251XY 例例2 一个口袋中装有一个口袋中装有4只球，它们依次标有数字只球，它们依次标有数字1，1，2，3。采用无放回抽样，接连摸两次。设。采用无放回抽样，接连摸两次。设X、Y表示第一次、第二次摸到的球上标有的数字，

6、表示第一次、第二次摸到的球上标有的数字， 试试求：求：（1）X与与Y的联合概率函数；的联合概率函数； （2） 。 解由题意可知，解由题意可知，X、Y的可能取值都为的可能取值都为1，2，3；且有；且有)2(22YXP同理可得(1,1)(1) (1|1)211436P XYP XP YX11(1,2)(1,3)661(2,1)(2,2)0611(2,3)(3,1)1261(3,2)(3,3)012P XYP XYP XYP XYP XYP XYP XYP XY所以，所以，X与与Y的联合概率函数为的联合概率函数为（2）思考题：如果采用有放回的抽样，答案如何？思考题：如果采用有放回的抽样，答案如何？1

7、23111166611206121130612XY61)2(22YXP 例例2 一个口袋中装有一个口袋中装有6只球，其中红球只球，其中红球1个，白个，白球球2个，黑球个，黑球3个。现采用无放回抽样，接连摸两次。个。现采用无放回抽样，接连摸两次。设设X、Y分别表示取出的红球和白球个数，分别表示取出的红球和白球个数， 试求：试求：（1）X与与Y的联合概率函数；的联合概率函数； （2） 。 解由题意可知，解由题意可知，X的可能取值为的可能取值为0，1； Y的的可能取值为可能取值为0，1，2；且有；且有X与与Y的联合概率函数为的联合概率函数为)2(22YXP（2）思考题：如果采用有放回的抽样，答案如何

8、？思考题：如果采用有放回的抽样，答案如何？012121055151210515XY1514)2(22YXP二、边缘概率函数二、边缘概率函数 设设 的概率函数为的概率函数为 X的值域为的值域为 。按概率的可加性：。按概率的可加性：因此，因此，X的概率函数为的概率函数为 , 2 , 1,),(jipbYaXPijji,21aaX, 2 , 1,),(),()(ippbYaXPbYaXPaXPijijjjijiji),(YX称这个概率函数为称这个概率函数为X的边缘概率函数的边缘概率函数(或边缘分布律，或边缘分布律，或边缘概率分布或边缘概率分布)。 类似地，类似地，Y的值域为的值域为 。按概率的。按概

9、率的可加性可加性 2121ppPaaXr,21bbY, 2 , 1,),(),()(jppbYaXPbYaXPbYPjiijijijiij因此，因此，Y的概率函数为的概率函数为 称这个概率函数为称这个概率函数为Y的边缘概率函数的边缘概率函数(或边缘分布律，或边缘分布律，或边缘概率分布或边缘概率分布)。 例例1续续 前面我们有前面我们有X与与Y的联合概率函数。于的联合概率函数。于是可得是可得X与与Y的边缘概率函数分别是的边缘概率函数分别是 2121ppPbbYr8 . 02 . 010rPY8 . 02 . 010rPX 顺便指出顺便指出X与与Y虽然概率函数相同虽然概率函数相同(称为称为X与与Y

10、同同分布分布)，但它们是意义不同的随机变量，不能由此，但它们是意义不同的随机变量，不能由此误认为误认为“X=Y”，随机事件，随机事件 的概率为的概率为 如果采用有放回抽样，类似地可以得到如果采用有放回抽样，类似地可以得到X与与Y同分布，它们的边缘概率函数与无放回抽样情形下同分布，它们的边缘概率函数与无放回抽样情形下的边缘概率函数是一样的。这表明边缘概率函数不的边缘概率函数是一样的。这表明边缘概率函数不能唯一确定联合概率函数。但联合概率函数却唯一能唯一确定联合概率函数。但联合概率函数却唯一确定了边缘概率函数。确定了边缘概率函数。 YX 6 . 0) 1, 1()0, 0()(YXPYXPYXP

11、例例2 设二维随机变量设二维随机变量 的概率函数如下表，的概率函数如下表，已知已知 。试求常数。试求常数 的值。的值。 解解 由由 及及求得求得 。4 . 01 . 02121yaxabbXY14 . 01 . 0yx324 . 04 . 0)(),()|(22222xbYPbYaXPbYaXP3 . 0, 2 . 0yx),(YX222(|)3P XaYbyx, 例例2 设随机变量设随机变量 的概率函数为的概率函数为且满足且满足 ，试求，试求 （1） 联合概率函数联合概率函数 （2）概率）概率(1,2)iX i 12(0)1P X X 12(,)XX12()P XX101111424irXP

12、 解 （1）由已知条件可得 （2）概率 12XX101110041100441100412()0P XX2.5 随机变量的独立性与条件分布随机变量的独立性与条件分布 二维随机变量二维随机变量(X,Y) 不是两个随机变量不是两个随机变量X与与Y的简单组合，而应把它们看作一个整体，它们与同的简单组合，而应把它们看作一个整体，它们与同一个样本点一个样本点 对应。二维随机变量的概率函数不对应。二维随机变量的概率函数不仅说明了作为一维随机变量仅说明了作为一维随机变量X、Y取值的统计规律取值的统计规律性性(边缘分布边缘分布)，而且还蕴含着，而且还蕴含着X与与Y之间的统计联系。之间的统计联系。这方面的内容便

13、是本节讨论的主题。这方面的内容便是本节讨论的主题。一、随机变量的独立性一、随机变量的独立性 定义定义2.3 设随机变量设随机变量X,Y的联合概率函数为的联合概率函数为 如果联合概率函数恰为两个边缘概率函数的乘积，如果联合概率函数恰为两个边缘概率函数的乘积，即即 对一切对一切 那么就称随机变量那么就称随机变量X与与Y相互独立。相互独立。 , 2 , 1,),(jipbYaXPijji, 2 , 1,jipppjiij 定理定理2.2 随机变量随机变量X与与Y相互独立的充分必要相互独立的充分必要条件是，对实数轴上任意两个集合条件是，对实数轴上任意两个集合 ，总有，总有 定义定义2.4 如果随机变量

14、如果随机变量 的联合概的联合概率函数恰为率函数恰为n个边缘概率函数的乘积，即对个边缘概率函数的乘积，即对 的值的值域中任意一个值域中任意一个值 ，总有，总有 那么就称这那么就称这n个随机变量个随机变量 相互独立。相互独立。 )()(),(2121SYPSXPSYSXP21,SSnXXX,21iXnixi, 2 , 1,niiinnxXPxXxXP111)(),(nXXX,21 从直观上不难看出，当从直观上不难看出，当 相互独立时，相互独立时，这这n个随机变量中的任意个随机变量中的任意 个也是相互个也是相互独立的独立的 。特别地，。特别地， n个随机变量相互独立保证它们个随机变量相互独立保证它们

15、两两独立。两两独立。nXXX,21) 12(nkk二、条件概率函数二、条件概率函数 定义定义2.5 设随机变量设随机变量 的概率函数为的概率函数为 对任意一个固定的对任意一个固定的 称称 为已知为已知 发生条件下发生条件下X（记作（记作“ ”）的条件概率函数的条件概率函数(或条件分布律，或条件概率分布或条件分布律，或条件概率分布)。 ),(YX., 2 , 1,),(jipbYaXPijji), 2 , 1(jj, 2 , 1,)(),()|(ippbYPbYaXPbYaXPjijjjijijbY jbYX| 类似地，对任意一个固定的类似地，对任意一个固定的 ，称，称 为已知为已知 发生条件下

16、发生条件下X(记作记作“ ”)的的条件概率函数条件概率函数(或条件分布律，或条件概率分布或条件分布律，或条件概率分布)。这里要注意的是当这里要注意的是当X与与Y相互独立时，立刻可相互独立时，立刻可推得：推得：对一切的对一切的 都成立，此时，任一条件概率都成立，此时，任一条件概率函数都与其边缘概率函数相同。函数都与其边缘概率函数相同。), 2 , 1(ii, 2 , 1,)(),()|(jppaXPbYaXPaXbYPiijijiijiaX iaXY|)()|(ijiaXPbYaXP, 2 , 1,ji 例例3 设随机向量设随机向量 的联合概率函数为的联合概率函数为 试求：试求：(1) 已知事件

17、已知事件Y=1发生时发生时X的条件概率函数；的条件概率函数； (2) 已知事件已知事件X=2发生时发生时Y的条件概率函数。的条件概率函数。01261416128161810XY),(YX 解：解： 按条件概率函数的定义，得到按条件概率函数的定义，得到 （1）所求的）所求的X的条件概率函数的条件概率函数(其中其中)为为 （2）所求的）所求的Y的条件概率函数的条件概率函数(其中其中 )为为 020121|YX2|XY5352rP727372rP 例例5 已知运载火箭在飞行中，进入它的仪器已知运载火箭在飞行中，进入它的仪器舱的宇宙粒子数舱的宇宙粒子数 服从参数为服从参数为 的泊松分布，而的泊松分布，而进入仪器舱的每个粒子落到仪器重要部位的概率进入仪器舱的每个粒子落到仪器重要部位的概率为为 ，求恰有，求恰有 个粒子落到仪器重要部位的概率。个粒子落到仪器重要部位的概率。Xpm 解解 设设 表示表示“落到仪器重要部位的粒子数落到仪器重要部位的粒子数”，由已知由已知 ，且，且所以，所以，Y)(PXmnmmnppCnXmYP)1 (