二项式定理典型例题解析

1、二项式定理 概念篇【例1】求二项式（a 2b）4的展开式.分析：直接利用二项式定理展开.解：根据二项式定理得(a 2b)4=c 4 a4+C4 a3( 2b)+C 2 a2( 2b)2+C 4 a( 2b)3+C 4 (2b）4=a4 8a3b+24a2b2 32ab3+i6b4说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把 2b中的符号“”忽略【例2】展开（2x金）5.2x5）2+C3（2硝一分析一：直接用二项式定理展开式.解法一：(2x-2>C5(2x)5+c5(2x)4(-9)+C2(2x)3( 一C43, 一 5(2x)(-)4+C5(- 2x2=32x5- 120x2+180

2、135 405243+ 8x710 .32x分析二:解法二:对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开 _3_ 53 5_ （4x3）（ 斤）一132x10C 5 (4x3)5+C 5 (4x3)4( 3)+C 2 (4x3)3( 3)2+C 5 (4x3)2( 3)3+C 5 (4x3)( 3)4 +C5( 3)51(1024x15 3840x12+5760x94320x6+1620x3 243) 32x10=32x5- 120x2+螫 x135 405x4 + 8x724332x10 .说明：记准、记熟二项式（a+b）n的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件对较复杂的二项式，有时先化

3、简再展开会更简便【例3】在（x、:3）10的展开式中，x6的系数是.解法一：根据二项式定理可知x6的系数是C40.解法二：（x-8）10的展开式的通项是 Tr+1=C；0x10-r（ V3 ）r.令10-r=6,即r=4,由通项公式可知含 x6项为第5项，即T4+1=c40x6（仆）4=9C40x6.x6的系数为9c40.上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？问题要求的是求含 x6这一项系数，而不是求含 x6的二项式系数，所以应是解法二正确如果问题改为求含 x6的二项式系数，解法一就正确了，也即是 C40.说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异二项式系数与项的系数是两

4、个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关 【例4】已知二项式(3& -2)10,3x(1)求其展开式第四项的二项式系数；(2)求其展开式第四项的系数；(3)求其第四项.分析：直接用二项式定理展开式.解：(3JX Z)10 的展开式的通项是 Tr+i=C；o(3VX)10 r(-)r(r=0, 1, , 10).3x3x(1)展开式的第4项的二项式系数为 C3o=12O.2 一(2)展开式的第4项的系数为C3o37(- -)3=-77 7 60.1(3)展开式的第4项为一77760(、：x )7/，即一77760 Vx . x说明

5、：注意把(3 4 _2)10写成3反+(_2)10,从而凑成二项式定理的形式 .3x3x【例5】求二项式(x，=)10的展开式中的常数项.2.x分析：展开式中第r+1项为C；0(x2)10 r()r,要使得它是常数项，必须使“x”的指2, x数为零，依据是x0=1, xw0.解：设第r+1项为常数项，则51 20 -r 15Tr+1=C；0(x2)10(一)二C；0x2 (-)r(r=0, 1,，10),令 20 r=0,得 r=8.2 .x22 T9=C10( 1 )8= -452256第9项为常数项，其值为色.256说明：二项式的展开式的某一项为常数项，就是这项不含“变元”，一般采用令通项

6、Tr+1中的变元的指数为零的方法求得常数项.【例6】(1)求(1+2x)7展开式中系数最大项；(2)求(1 2x)7展开式中系数最大项.列出相邻两项系数之间关系的不等分析：利用展开式的通项公式，可得系数的表达式,式，进而求出其最大值.解：(1)设第r+1项系数最大，则有C72c72r 7r 712127!2r即 r!(7 r)!2 r !(7 r)!7!2r 1(r 1) !(7 r 1)!7!2r 1(r 1)!(7 r 1)!化简彳导r17r解得2.r 1163 又.0<r<7,r=5.13.3，系数最大项为T6=C 5 25x5=672x5.（2）解：展开式中共有 8项，系数

7、最大项必为正项，即在第一、三、五、得.又因（1 2x）7括号内的两项中后两项系数的绝对值大于前项系数的绝对值,七这四项中取故系数最大值必在中间或偏右，故只需比较T5和T7两项系数的大小即可44C4( 2)4c7.C6( 2)6 而>1,所以系数最大项为第五项，即 T5=560x4.说明：本例中（1）的解法是求系数最大项的一般解法，（2）的解法是通过对展开式多项分析，使解题过程得到简化，比较简洁.【例7】（1+2x）n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大 的项和系数最大的项.分析：根据已知条件可求出n,再根据n的奇偶性确定二项式系数最大的项.解：T6=C5(2x)5

8、, T7=C6 (2x)6,依题意有 Cn 25=C6 26,解得 n=8. (1+2 x)8 的展开式中,二项式系数最大的项为T5=C 4 （2x）4=1120x4.r «rr 1 ,r 1设第r+1项系数最大，则有77,C72r C7 12r1.5< r< 6. 1. r=5 或 r=6.二系数最大的项为T6=1792x5, T7=1792x6说明：（1）求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大；n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.（2）求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列

9、不等式，再解不等式的方法求得应用篇【例 8】若 nCN*, ( V2+1)n=72an+bn(an、bnCZ),则 bn 的值()B.一定是偶数D.与a有相同的奇偶性A.C.与bn的奇偶性相反分析一：形如二项式定理可以展开后考查解法一：由(相+1)n=V2an+bn,知 J2an + bn=(1+ J2)n =Cn+C1n +C2H2 )2+C3 ()3+ +Cn(2)n.-bn=1+C2( V2)2+C4(v'2)4+ , , bn为奇数.答案：A分析二：选择题的答案是唯一的，因此可以用特殊值法解法二：nCN*,取 n=1 时，（寸2+1）1=（ 72+1）,有 b1=1 为奇数.取

10、n=2时，(夜+1)2=2血+5,有b2=5为奇数.答案：A【例9】若将(x+y+z)10展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为()A.11B.33C.55D.66分析：(x+y+z)10看作二项式(x y) z10展开.解：我们把x+y+z看成(x+y)+z,按二项式将其展开，共有 11 “项”，即(x+y+z)10=10厂/ 110* / . 10一k k(x y) z =C10 (x+y) z.k 0这时，由于“和”中各项 z的指数各不相同，因此再将各个二项式(x+y)10-k展开，不同的乘积C：0(x+y)10-kzk(k=0, 1,，10)展开后，都不会出现同类项.下面，再分别考虑

11、每一个乘积Ck0(x+y)10 kzk(k=0, 1,，10).其中每一个乘积展开后的项数由(x+y)10k决定，而且各项中x和y的指数都不相同，也不会出现同类项.故原式展开后的总项数为11+10+9+1=66.答案：D说明：化三项式为二项式是解决三项式问题的常用方法【例10】求(I x | +一2)3展开式中的常数项.|x|分析：把原式变形为二项式定理标准形状.解：(I x1 +52)3=(而J)6,|X|.|x|展开式的通项是Tr+1=C 6 （ V| x | ）6,（一1 |x|）=（ 1）rc6h：面）6 2r若Tr+1为常数项，则6 2r=0, r=3.展开式的第4项为常数项，即 丁

12、4= C3 = 20.说明：对某些不是二项式，但又可化为二项式的题目，可先化为二项式，再求解 【例11】求(jx 刘x)9展开式中的有理项.分析：展开式中的有理项，就是通项公式中x的指数为整数的项.1127 r解：. Tr+1=c9(x2)9 r(x3)=(1)c9xk.令 27_ e Z,即 4+3- e Z,且 r=0, 1, 2,，9.66r=3 或 r=9.当 r=3 时，27_=4, T4=(1)3C3x4= 84x4.6当 r=9 时，27=3, T10=(-1)9C9x3=-x3.，(我一VX)9的展开式中的有理项是第4项84x4,第10项一x3.说明：利用二项展开式的通项Tr+

13、1可求展开式中某些特定项.【例 12若(3x1)7=a7X7+a6X6+ +aX+a0,求(1)a + a2 +a7；(2)a1 + a3+a5+a7；(3)a0+a2+a4+a6.分析：所求结果与各项系数有关可以考虑用“特殊值”法，整体解决解：(1)令 x=0,贝U a0= 1,令 x=1 ,贝U a7+a6+ +a+a0=27=128. 0a1+a2+- - +a7=129.(2)令 x= 1,贝U a7+a6+a5+a4+a3+a2+a1+ao=( 4)7.由 得:a1+a3+a5+a7=- ：128-(-4)7 =8256. 22(3)由 得 ao+a2+a4+a6=1128+( 4)

14、7 =-8128.22说明：(1)本解法根据问题恒等式特点来用“特殊值”法，这是一种重要的方法，它用 于恒等式.(2) 一般地，对于多项式 g(X)=(pX+q)n=a0+a1X+a2X2+a3X3+a4X4+a5X5+a6X6+a7X7, g(X)各项的系数和为g(1), g(X)的奇数项的系数和为 1 g(1)+g(1), g(X)的偶数项的系数和为1 g(1)22g(一1)1 .+2ncn =3n；n2n ；【例13】证明下列各式(2)(Cn)2+(C；)2+ +(C n )2=C(1)1+2C；+4C：+ +2n_ 1_ 2_ 3_ n(3)C n +2C n +3C n + +nCn

15、 =n2分析：(1)(2)与二项式定理的形式有相同之处可以用二项式定理，形如数列求和，因此 可以研究它的通项寻求规律.证明：(1)在二项展开式(a+b)n=C0an+C； 令 a=1, b=2,得(1+2)n=1+2C 1n+4C2+ -1b+C： an 2b2+ +Cn1ab1+cnbn 中,+2n1cn 1+2ncn，即1+2C；+4Cn+ +2n 1cn(2)(1 + X)n(1+X)n=(1 + X)2n, 12cr. . (1+C n X+C n X+ +C n1+2nCn=3n.rn.12 2r rX + +X )(1+C n X+C n X + +C n X +X)=(1 +X)

16、2n.而C 2n是(1 + X)2n的展开式中Xn的系数，由多项式的恒等定理，得 cncn+c；cn 1+ +C；cn 1+cncn=c 2n.C：=cn m, 0Wm” /c 0、21 、2n、2 n. (C n ) +(C n ) + +(C n ) =C 2n .(3)证法一:令 S=C；+2C2+3C3+ +nCn.令 S=C；+2C】+ +(n-1)Cn 1+nCn=nCn+(n-1)Cn 1+ +2C：+C；=ncn+(n1)c；+ +2cn 2+c n 1.由 + 得 2S=nCn+nC2+nC3 + +nC，=n(C n+C：+C 2+C 3 + +C，)0123n、 小= n

17、(C n +C n +C n +C n + +C n )=n2 .S=n2n 1,即 Cn+2C2+3Cn+ +nCn=n2n l.证法二：观察通项：kCn=kn n一一 nCn 1. k!(n k)! (k 1)!(n k)!0123n 10123.原式=nC n 1 +nC n1 + nC n1 +nC n1 + +nC n 1=n(C n1 +C n1 +C n1 +C n1 + +Cn 1)=n2n 1,即 C n +2c n +3C n + +nC n =n2n 说明：解法二中kC n =nCn 1可作为性质记住.【例14】求1.9975精确到0.001的近似值.分析：准确使用二项式

18、定理应把1.997拆成二项之和形式如 1.997=2 0.003.解：1.9975=(2 0.003)5=25 C； 240.003+C 5 230.0032 C 5220.0033+=32 0.24+0.00072 =31.761.说明：利用二项式定理进行近似计算，关键是确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度.【例15】求证：5151-1能被7整除.分析：为了在展开式中出现7的倍数，应把51拆成7的倍数与其他数的和(或差)的形A.证明：5151-1=(49+2) 51 - 1=C 014951+C 5149502+ +C 51 49 - 250+C 51 251-1 , 易知除C51

19、2511以外各项都能被7整除.又 251 - 1=(23)171=(7+1)17 1=C 07 717+C 17 716+C 16 7+C 17 1=7(C 07716+C17 715+C17).显然能被7整除，所以5151-1能被7整除.说明：利用二项式定量证明有关多项式(数彳1)的整除问题，关键是将所给多项式通过恒等变形变为二项式形式，使其展开后的各项均含有除式.创新篇22,中间一项为 20000.求x.不难求解！【例16】已知(x1gx+1)n的展开式的最后三项系数之和为 分析：本题看似较繁，但只要按二项式定理准确表达出来,n N*, 1- n=6.x1gx=10.解：由已知 Cn+C

20、n 1+Cn 2=22,即 n2+n 42=0.又 T4 为中间一项，T4=C3 (x1gx)3=20000 ,即(x1gx)3=1000.两边取常用对数，有 1g2x=1 , lgx=± 1,x=10或x=-.10常利用二项式通项公说明：当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时, 式，根据已知条件列出等式或不等式进行求解【例17】设f(x)=(1 + x)m+(1 + x)n(m, nCN*),若其展开式中关于 x的一次项的系数和为11,问m, n为何值时，含x2项的系数取最小值？并求这个最小值 分析：根据已知条件得到x2的系数是关于x的二次表达式，然后利用二次函数性质探

21、讨最小值问题.22解：C1m+C n =n+m=11. Cmm +C 2 = - (m2-m+n2- n)=-,22. nC N*,n=6或5, m=5或6时，x2项系数最小，最小值为 25.说明：本题是一道关于二次函数与组合的综合题【例18若（x+12尸的展开式的常数项为一 20,求n. x分析：题中xwo,当x>0时，把三项式（x+二2）n转化为（JxJ）2n；当x<0时, x. x同理(x+12)n=(1)n( Jx 4)2n.然后写出通项，令含x的哥指数为零，进而解出n.x一 x解：当 x>0 时，(x+1 2)n=( “仅 1)2n, x. x其通项为+1=c 2n

22、( Jx )2n r(二)=( 1)rc 2n (Ji )2n 2r.、, x令2n- 2r=0,得n=r, 展开式的常数项为（1）Cnn；当 xv0 时，(x+1 -2)n=(- 1)n( Vx x无论哪一种情况，常数项均为令（1）rC2n=20.以 n=1, 2：(T)rC17）2n.同理可得，展开式的常数项为（一1）rC 2n.n 2n .3,，逐个代入，得 n=3.说明：本题易忽略 xv 0的情况.【例19】利用二项式定理证明（2）31V.一 2一', 一一 ，一分析： 不易从二项展开式中得到,n 1可以考虑其倒数证明：欲证（2）n 1<_2_成立，只需证3 n 1(-)

23、n 1< n 22成立.而(|)n1=(1+*1=C01+C1n-+C=1 +n 1 2 Io +C n 1 ( ) + +C n221 .221(2)n11(2)2Cn1("说明：本题目的证明过程中将（3）1转化为（1+1）广然后利用二项式定理展开式是解22决本问题的关键.【例 20】求证：2W （1+1）n3（nC N*）. n分析：（1+1）n与二项式定理结构相似，用二项式定理展开后分析 n证明：当 n=1 时，(1+1 )n=2. n当 n>2 时，(1+-)n=1+cn 1+c2 nn又 Cn(n)k=n(n 1) (n k 1)1+ + n1& 1,k

24、!一 1C 1 +cn(-)n=1+1+c2-2+ nnc 1 一+")».所以(1+1 )n< 2+ 1 n 2!+ + + <2+3! n!1+(n 1) n111=2+(1-)+(-)+ - +(=3- 1 <3.n综上有 2W(1+I)nv3. n说明：在此不等式的证明中, 知识，将不等式证明到底.利用二项式定理将二项式展开，再采用放缩法和其他有关【例21】求证：对于nC N分析：结构都是二项式的形式,(1+1)n<(1+L)n+1.n n 1因此研究二项展开式的通项是常用方法证明：(1+1)n展开式的通项nTr+1=C：1 n(n 1)(n

25、 2) (n r 1) -r!nr二 ；(1- 1)(1-弓)。-).r! n nn(1+')n+1展开式的通项 r+1=cn n 1An 11r -r(n 1)r r !(n 1)r1 n(n 1)(n 2) (n r 1)r!nr二 ；(1工)(1二)(1 r! n 1 n 1由二项式展开式的通项可明显地看出Tr+1VT' r+1所以(1+1 )n< (1+ J )n+1 n n 1说明：本题的两个二项式中的两项均为正项，且有一项相同 采用比较通项大小的方法完成本题证明.证明时，根据题设特点,【例22】设a、b、c是互不相等的正数，且a、b、c成等差数列，nCN*,求

26、证：an+cna、b、c成等差数列创造条件使用>2bn .分析：题中虽未出现二项式定理的形式，但可以根据二项式定理.证明：设公差为d,则a=b d, c=b+d.an+cn-2bn=(b-d)n+(b+d)n-2bn=bn-Cnbn 1d+c2bn 2d2+ +(-1)ndn1 + bn+Cnbn 1d+c2bn 2d2+ +dn1=2(C2bn 2d2+c4bn 4d4)>0.说明：由a、b、c成等差，公差为d,可得a=b-d, c=b+d,这就给利用二项式定理证 明此问题创造了可能性.问题即变为(b-d)n+(b+d)n>2bn,然后用作差法改证 (b d)n+(b+d)

27、n-2bn>0.【例23】求(1+2x 3x2)6的展开式中x5项的系数.分析：先将1+2x3x2分解因式，把三项式化为两个二项式的积， 即(1+2x 3x2)6=(l+3x)6 (1-x)6.然后分别写出两个二项式展开式的通项，研究乘积项x5的系数，问题可得到解决.解：原式二(1+3x)6(i -x)6,其中(1+3x)6展开式之通项为 Tk+i=ck3kxk, (1 -x)6展开式之通项为 Tr+1=C6(-x)r.原式=(1+3x)6(l x)6 展开式的通项为 Ck C 6 ( 1)r3kxk+r.现要使 k+r=5,又. kC 0,1, 2, 3, 4, 5,6, r C 0, 1,2,3,4,5, 6,k 0 k1- k2- k 3- k 4- k5,必须 或 或 或 或 或r 5 r4 r3 r 2 r1 r0.故 x5 项系数为 C°30c6(-1)5+C631c6 (-1)4+C 6 32C 6( 1)3+C 633c 2 ( 1)4+C 6 34C6 (-1)+C 535C0(-1)0=-168.说明：根据不同的结构特征灵活运用二项式定理是本题的关