气体输运系数的导出

1、 热热 学学 气体黏性系数的导出气体黏性系数的导出主讲：主讲：孔红艳孔红艳 陕西师范大学物理学与信息技术学院陕西师范大学物理学与信息技术学院3.8气体输运系数的导出气体输运系数的导出 前面我们已介绍过气体输运现象的宏观规律前面我们已介绍过气体输运现象的宏观规律, ,并说明并说明气体的黏性、热传导及扩散来源于不均匀气体中的无规气体的黏性、热传导及扩散来源于不均匀气体中的无规热运动热运动. .在交换分子对的同时分别把分子原先所在区域的在交换分子对的同时分别把分子原先所在区域的宏观性质（动量、能量、质量）输运到新的区域宏观性质（动量、能量、质量）输运到新的区域. . 本节将利用分子碰撞截面及分子平均

2、自由程来导出本节将利用分子碰撞截面及分子平均自由程来导出气体输运系数的表达式。气体输运系数的表达式。 所讨论所讨论输运过程的适用条件输运过程的适用条件: :(1)这里的这里的“输运过程都是近平衡的非平衡输运过程都是近平衡的非平衡”过程过程, ,空间空间不均匀性（如温度梯度、速度梯度、分子数密度梯度）不均匀性（如温度梯度、速度梯度、分子数密度梯度）都不大都不大. .因而不管分子以前的平均数值如何因而不管分子以前的平均数值如何, ,它经过一次它经过一次碰撞后就具有在新的碰撞地点的平均动能、平均定向动碰撞后就具有在新的碰撞地点的平均动能、平均定向动量及平均粒子数密度量及平均粒子数密度. .(2)在这

3、里所讨论的气体是既足够稀薄（气体分子间平均在这里所讨论的气体是既足够稀薄（气体分子间平均距离比起分子的大小要大得多距离比起分子的大小要大得多, ,这是理想气体的特征）这是理想气体的特征）, ,但又不是太稀薄（它不是但又不是太稀薄（它不是“真空真空”中气体的输运现中气体的输运现象象,“,“真空真空”中气体的输运现象将在下一节讨论）中气体的输运现象将在下一节讨论）. .3.8.1气体黏性系数的导出气体黏性系数的导出一一.气体的黏性系数气体的黏性系数 在层流流体中在层流流体中,每个分子除有热运动动量外每个分子除有热运动动量外,还叠加上还叠加上定向动量定向动量.因为热运动动量的平均值为零因为热运动动量

4、的平均值为零,故只需考虑流故只需考虑流体中各层分子的定向动量体中各层分子的定向动量. 设想有一与定向动量方设想有一与定向动量方向平行向平行, ,与与z轴垂直的某一中轴垂直的某一中性平面性平面, ,它的它的z轴坐标为轴坐标为z0.如如图所示。图所示。处处或者)()(00ZZ2.若再假设所有从上面（或从下面）穿越若再假设所有从上面（或从下面）穿越z0平面的分子平面的分子, ,平平均说来都分别是来自均说来都分别是来自 则则: :tAvn)6/1 (1.在在 t时间内从上方穿过时间内从上方穿过 z0平面上的面积元向下运动的平平面上的面积元向下运动的平均分子数为均分子数为: : 假定有假定有n/6个分子

5、向个分子向z0方向运动方向运动, ,每个分子以平均速率每个分子以平均速率 运动。运动。vtAzmuvnAzzttAzmuvnAzztxx)(61)(610000面积向下输送的总动量平面的时间内越过面积向上输送的总动量平面的时间内越过3.将上面的两式相减即得从下方通过将上面的两式相减即得从下方通过z0平面面积向上方平面面积向上方净输净输运的总动量运的总动量: :0016xxnvmuzmuzAt 4.该式除以该式除以 t即得即得z0平面内的切应力平面内的切应力, ,即黏性力即黏性力: :0016xxfnv m uzuzA5.考虑到在近平衡的非平衡条件下考虑到在近平衡的非平衡条件下, ,气体定向运动

6、的速度气体定向运动的速度梯度梯度 ux/ z较小较小, ,另外气体的压强也并非很低另外气体的压强也并非很低, ,因而分子平因而分子平均自由程并不很大均自由程并不很大, ,这说明在这说明在z方向间距为平均自由程的方向间距为平均自由程的范围内范围内, ,定向速率的变化定向速率的变化 ux与与ux相比小得多相比小得多, ,因而可作泰因而可作泰勒级数展开并取一级近似有勒级数展开并取一级近似有: :)()()(00zuzuzuxxx)()()(00zuzuzuxxx 将它们代入将它们代入f中可得中可得: :Azumvnfx)(2616.将上式与牛顿黏性定律将上式与牛顿黏性定律 比较可得比较可得: : A

7、zuf3/v3/vnm利用气体的密度利用气体的密度 = m n的关系的关系, ,上式可以表示为上式可以表示为: :二二. .讨论讨论: :1. 与与 n 无关无关:23vm和和3/vnmn21由由可以得到可以得到: :(2)气体的黏性系数在温度一定时与气体的黏性系数在温度一定时与n( (或或P) )无关这一特性无关这一特性首先由麦克斯韦于首先由麦克斯韦于1860年得出年得出, ,并由他在实验上加以证实并由他在实验上加以证实. .2. 仅是温度的函数仅是温度的函数: : 若认为气体分子是刚球若认为气体分子是刚球, ,有效碰撞截面有效碰撞截面 = d2为常数为常数. .将气体分子平均速率公式将气体

8、分子平均速率公式 代入代入 中可得中可得: :8KTvm3 2mv2/ 12/ 132TTkm说明说明: : 与与T1/2成正比成正比. .(1)若若n加倍加倍, ,确实在确实在z0平面上下之间交换的分子对数加倍平面上下之间交换的分子对数加倍. .但因平均自由程也减半但因平均自由程也减半, ,它只能输送离它只能输送离z0平面上下距离分别平面上下距离分别为为 处的定向动量处的定向动量, ,这样净动量的输运率仍不变这样净动量的输运率仍不变. .223vm3.利用利用 可以测定气体分子碰撞截面及气体分可以测定气体分子碰撞截面及气体分子有效直径的数量级。子有效直径的数量级。23vm 在三个输运系数中在

9、三个输运系数中,实验最易精确测量的是气体的黏实验最易精确测量的是气体的黏性系数性系数,利用黏性系数的测量来确定气体分子有效直径是利用黏性系数的测量来确定气体分子有效直径是较简便的较简便的.4.黏性系数公式的适用条件为黏性系数公式的适用条件为:Ld(L为容器的线度为容器的线度) )对于稀薄气体对于稀薄气体:LL或它的输运性质将在下一节讨论它的输运性质将在下一节讨论. .5.采用不同近似程度的各种推导方法的实质是相同的采用不同近似程度的各种推导方法的实质是相同的. .上上面对面对 的推导中采用了如下近似的推导中采用了如下近似: :利用气体分子碰壁数公式利用气体分子碰壁数公式;平均说来从上（或下）方

10、穿过平均说来从上（或下）方穿过z0平面的分子都是在上平面的分子都是在上下分别相距平均自由程处经受一次碰撞的；下分别相距平均自由程处经受一次碰撞的；未考虑分子从上（或下）方穿过未考虑分子从上（或下）方穿过z0平面时的碰撞概率平面时的碰撞概率. . 实际上实际上, ,即使是更为严密细致的推导即使是更为严密细致的推导, ,其中仍有一定其中仍有一定的近似的近似, ,其结果与实验仍有一定差别其结果与实验仍有一定差别, ,更深层次的讨论要更深层次的讨论要利用非平衡态统计利用非平衡态统计, ,其数学处理要复杂得多其数学处理要复杂得多. .所有不同层所有不同层次的各种推导方法的实质都是相同的次的各种推导方法的

11、实质都是相同的, ,所得结果其数量所得结果其数量级一致级一致. . 对于初学者来说对于初学者来说,应该首先关心输运系数与哪些物理应该首先关心输运系数与哪些物理量有关？它的数量级是多少？至于公式中的系数量有关？它的数量级是多少？至于公式中的系数,在不在不影响数量级的情况下是次等重要的影响数量级的情况下是次等重要的. 热热 学学 气体热传导系数和扩散系数的导出气体热传导系数和扩散系数的导出主讲：主讲：孔红艳孔红艳 陕西师范大学物理学与信息技术学院陕西师范大学物理学与信息技术学院3.8.2气体热传导系数与扩散系数的导出气体热传导系数与扩散系数的导出 一一. .气体的热传导系数气体的热传导系数1.推导

12、推导: :气体热传导是在分子热运动过程中交换分子同时气体热传导是在分子热运动过程中交换分子同时所伴随的能量传输所伴随的能量传输, ,其讨论方法与上节类同其讨论方法与上节类同. .不同仅是在不同仅是在 z轴方向不存在定向运动速率梯度轴方向不存在定向运动速率梯度, ,而存在温度梯度而存在温度梯度. .6nAt v6nAt v0z0z0z)(0zT)(0zT)(0zT 现假设在现假设在 及及 处的温度分别为处的温度分别为: :0z0z)()(00zTzT及 若温度梯度数值较小若温度梯度数值较小, ,就可就可假定恰在离开假定恰在离开z0平面上下一个平面上下一个平均自由程距离处碰撞过的分平均自由程距离处

13、碰撞过的分子的平均动能仅与在碰撞处的子的平均动能仅与在碰撞处的温度有关温度有关, ,它们的温度分别为它们的温度分别为: :)(0zT6/vn 这样这样, ,在在z0平面上交换分子对的同时也交换了热运动平面上交换分子对的同时也交换了热运动动能动能, ,因而产生了热量的输运因而产生了热量的输运. .在单位时间内在单位时间内, ,在单位截面在单位截面上交换的分子对数为上交换的分子对数为: :因而单位时间内因而单位时间内, ,在单位截面上流过的热量为在单位截面上流过的热量为: : )()(6100zzvnJTzzzzvnJT)()(6100zvnJT31即即: :zTTvnJT31或者或者: :(1)

14、TNdTdUCAmmV 因为理想气体内能就是热运动能量因为理想气体内能就是热运动能量,而理想气体定体而理想气体定体摩尔热容量为摩尔热容量为:代入代入(1)式得式得: :zTNCvnzTTvnJAmvT3131(2)将将(2)式与傅里叶定律对照式与傅里叶定律对照: :dzdTJT可得可得: :13VACnvN利用利用 = mn关系关系, ,可以得到气体热导系数可以得到气体热导系数: :13VmCvM 2/132TMCkmmmV可见可见: :刚性分子气体的热导率与数密度刚性分子气体的热导率与数密度n无关无关, ,仅与仅与T1/2有关。有关。2.气体热导系数讨论气体热导系数讨论(1)在热导率公式推导

15、中没有考虑到在热导率公式推导中没有考虑到, ,由于温度梯度不同由于温度梯度不同, ,会在离开会在离开z0平面上下平均自由程处会发生气体分子数密平面上下平均自由程处会发生气体分子数密度差异及平均速率的差异度差异及平均速率的差异, ,故前面所用的数据应是与气故前面所用的数据应是与气体平均温度所对应的数密度、密度及平均速率体平均温度所对应的数密度、密度及平均速率. .(2)将将n21mkTv/8及及mmVMCv.31代入代入中可得中可得: :Ld3.气体热导率公式适用于温度梯度较小气体热导率公式适用于温度梯度较小, ,满足如下条件的满足如下条件的理想气体理想气体: :二二. .气体扩散系数的导出气体

16、扩散系数的导出: :1.类似地可证明理想气体的扩散系数类似地可证明理想气体的扩散系数: :vD312.讨论讨论: :(1)利用平均自由程公式和平均速率的公式利用平均自由程公式和平均速率的公式,即即:pTmkD2/333282KTKTvmP和可将上式化为可将上式化为: :说明说明: :刚性分子气体的扩散系数与黏性系数不同刚性分子气体的扩散系数与黏性系数不同, ,它在它在P一一定时与定时与T3/2成正比成正比, ,在温度一定时在温度一定时, ,又与又与P成反比成反比. .而黏性系而黏性系数与数与P无关无关, ,与与T1/2成正比成正比. .(2)由上式可看到由上式可看到, ,在一定的压强与温度下在

17、一定的压强与温度下, ,扩散系数扩散系数D与分与分子质量的平方根成反比子质量的平方根成反比. . 热热 学学 理论与实验的比较理论与实验的比较主讲：主讲：孔红艳孔红艳 陕西师范大学物理学与信息技术学院陕西师范大学物理学与信息技术学院3.8.3与实验结果的比较与实验结果的比较 下面我们从几个方面将初级理论的结果与实验结果下面我们从几个方面将初级理论的结果与实验结果进行比较进行比较.1.输运系数与气体状态参量的函数关系输运系数与气体状态参量的函数关系: :选压强选压强P和温度和温度T为独立的状态参量为独立的状态参量. .12;81;2nP KTmnP TKTvTT Pmn则则: :12123213

18、1313VvTv CTDvTP 由于由于 与与 对于压强对于压强P的依赖关系相反的依赖关系相反, ,二者的乘二者的乘积与积与P无关无关, ,导致导致 和和 与与P无关无关. .这个结论在不经理论推这个结论在不经理论推导之前并不是显而易见的导之前并不是显而易见的. .麦克斯韦和迈耶等人曾在几麦克斯韦和迈耶等人曾在几个个mmHg到几个大气压的压强范围内作实验到几个大气压的压强范围内作实验, ,证实了这证实了这个推论个推论, ,这对当时气体动理论的建立起了重要作用这对当时气体动理论的建立起了重要作用. . 以上各式表明以上各式表明, , ,实验结果表实验结果表明明, , ,即都比理论预期的温度依赖即

19、都比理论预期的温度依赖关系更为显著关系更为显著. .偏差来自计算平均自由程时采用的是刚偏差来自计算平均自由程时采用的是刚球模型球模型, ,在此模型中只考虑了分子间的排斥力在此模型中只考虑了分子间的排斥力. .实际上实际上分子间还有较弱的吸引力分子间还有较弱的吸引力, ,吸引力使分子的碰撞截面吸引力使分子的碰撞截面 对温度有一定的依赖关系对温度有一定的依赖关系. .0.51.5,TDT和0.71.752,TDTT和2.三个输运系数之间的关系三个输运系数之间的关系: :以上各式表明以上各式表明: :1,1VCD 1.32.5,1.31.5VCD 而实验结果是而实验结果是:具体数值都因气体不同而异具

20、体数值都因气体不同而异. .3.输运系数的数量级输运系数的数量级: :例例1:估算估算150C时时N2的黏性系数的黏性系数. .取取N2分子的有效直分子的有效直径径 . .已知已知N2的分子量为的分子量为28. .103.8 10dm解解: :32326523288 ,28 106.02 104.7 101141.1 1033TK mkgkgmKTvPa sd 实验测得实验测得150C时时N2的黏性系数的黏性系数 , ,即理论即理论 与实验的数量级是符合的与实验的数量级是符合的. .由于三个输运系数两两之比由于三个输运系数两两之比的数量级理论与实验符合的数量级理论与实验符合, ,其它两个输运系

21、数其它两个输运系数 的数的数 量级也是对的量级也是对的. .51.75 10Pa s,Dm109.681sm446v3329.1104.22029.0mkg空气的摩尔质量为空气的摩尔质量为0.029kg,而空气密度为而空气密度为: : 例例2:试估计标准状况下空气的黏性系数试估计标准状况下空气的黏性系数, ,热导率及扩散系数热导率及扩散系数. .解解: :前面已估算出标准状况下空气的平均自由程和平均速前面已估算出标准状况下空气的平均自由程和平均速率分别为率分别为: :1251113,26sm100 . 131smJ105 . 931msN101331vDKMCvvmmv故故: : 在上述计算中认为空气是刚性分子在上述计算中认为空气是刚性分子